精品解析：天津市红桥区2024-2025学年高三下学期一模数学试题

高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高． 锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． 球的体积公式，其中R表示球的半径． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知命题，命题，则命题p是命题q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 等比数列前n项和为，且，，则（ ） A. 24 B. 28 C. 36 D. 48 4. 已知，记，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该省考生数学成绩的中位数为75分 B. 若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分 C. 从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人 D. 若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩平均分约为70.5. 6. 抛物线 的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（ ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知i是虚数单位，则________________. 11. 展开式中的常数项为___________． 12. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________. 13. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________. 14. 如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______． 15. 已知函数 ，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是________. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角所对边分别是，已知，， （1）求b，c的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． （1）求证：∥平面PBC； （2）求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； （3）求点A到平面PBC的距离． 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 19. 已知等比数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； （3）记，求证：. 20. 已知函数，． （1）求函数在点处的切线方程； （2）当时，，求实数a的取值范围； （3）已知，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高． 锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． 球的体积公式，其中R表示球的半径． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得到，利用并集概念求出答案. 【详解】，又， 所以. 故选：B 2. 已知命题，命题，则命题p是命题q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数以及指数的单调性化简，即可求解. 【详解】由可得， 由可得， 因此，但， 因此命题p是命题q的充分不必要条件， 故选：A 3. 等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 24 B. 28 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】求出公比，得到，从而得到. 【详解】设公比为，则， 所以， 所以. 故选：B 4. 已知，记，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：A 5. 在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该省考生数学成绩的中位数为75分 B. 若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分 C. 从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人 D. 若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5. 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项． 【详解】由频率分布直方图知中位数在上，设其为，则， 解得，A错； 要全省的合格考通过率达到，设合格分数线为，则，，B正确； 由频率分布直方图优秀的频率为，因此人数为，C正确； 由频率分布直方图得平均分为，考试数学成绩的平均分约为70.5,D正确． 故选：A. 6. 抛物线 的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程的斜率，根据直线垂直的条件可得答案. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为， 根据两焦点坐标可得该直线斜率为， 因为两焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，所以，解得， 故选：B. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（ ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的图象确定函数的解析式，在逐项判断即可. 【详解】由函数的图象可知：，. 因为，又，所以. 因为， 所以，.所以，. 由图象可知：，即. 所以当时，. 所以 对①：因为，所以的图象不关于对称，①错误； 对②：因为，所以的图象关于直线对称，②正确； 对③：当时，，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，③正确； 对④：当时，，所以，所以，④正确. 故选：C 9. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求点的轨迹方程，并确定三棱锥体积最大时的点的位置，再代入三棱锥外接球的半径公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，，，由可知， ， 整理为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆， 如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且， 所以平面，， 等腰直角三角形的外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知i是虚数单位，则________________. 【答案】 【解析】 分析】根据复数除法运算法则求解. 【详解】. 【点睛】本题考查复数除法运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 11. 展开式中的常数项为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可得展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：15 12. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16， 由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为. 故答案为：8 13. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据全概率公式和条件概率公式计算即可. 【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡， 恰有一个是合格品的概率为， 若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为. 故答案为：；. 14. 如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则______；若，，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接的中位线，利用三角形相似得到，再利用加法的三角形法则表示出，即可得到的值；同理表示出，利用向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】 如图所示：连接， 因为D，F分别为，的中点， 所以是的中位线，所以， 则， 所以，所以； 因为， 所以 . 故答案为：；. 15. 已知函数 ，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图像，的图像是在轴下方的部分向上翻折形成，考虑，，三种情况，根据相切计算斜率，结合图像得到答案. 【详解】的图像是在轴下方的部分向上翻折形成， 画出函数图像，如图所示： 当时，，有两个零点，不满足； 当时，过点，与相切与点，，故，即，解得，，根据图像知当时，有且只有个零点； 当时，，过点，与相切与点，，故，即，解得，，根据图像知，当，即时，有且只有个零点； 综上所述：当时，有且只有个零点. 故答案为： 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角所对的边分别是，已知，， （1）求b，c的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用余弦定理，代入求解即可； （2）根据正弦定理进行求解即可； （3）由（2）可求得，然后利用两角差的正弦公式展开计算即可. 【小问1详解】 因为，，，则， 由余弦定理，，则， 解得，. 小问2详解】 由（1）知， 由正弦定理，则. 【小问3详解】 由（2）知， 又，则， 所以， 则． 17. 如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． （1）求证：∥平面PBC； （2）求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； （3）求点A到平面PBC的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的法向量，然后利用向量法求解两平面夹角的余弦值； （3）利用点到平面的向量距离公式求解即可. 【小问1详解】 如图所示， 建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， ， 则 设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 因为， 所以，且平面，即∥平面； 【小问2详解】 设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量， 则点A到平面PBC的距离， 所以点到平面的距离为． 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线，联立方程组由，求得， 设，得到，再由和的方程，求得和，结合，得到，将和，代入化简得到，求得，进而得到答案. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 可得，解得，椭圆. 【小问2详解】 设直线，联立方程组，整理得， 则且，可得，所以， 设，则， 则直线的方程为，与直线交于点， 直线的方程为，与直线交于点， 当时，且，则， 将， 代入可得，所以，解得， 所以斜率的取值范围为． 【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 19. 已知等比数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； （3）记，求证：. 【答案】（1） （2） （3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据和的关系即可求解；（2）根据等差数列前项和公式求出代入化简即可解决；（3）求出，进行适当放缩后用裂项相消求和解决. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 当时，有，则 ① 当时，，两式相减可得：， 整理得，可知，代入①可得， 所以等比数列的通项公式为（）. 【小问2详解】 由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列， 所以， 则， 设，则是递增数列， 当为偶数时，恒成立，即，所以； 当为奇数时，恒成立，即，所以； 综上所述，的取值范围是. 小问3详解】 证明：由（1）得， 则有 . ,原不等式得证. 20. 已知函数，． （1）求函数在点处的切线方程； （2）当时，，求实数a的取值范围； （3）已知，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式直线方程求解即可； （2）先利用导数法证明，然后按照和分类讨论，时结合结论放缩证明即可，时举反例判断，即可得解； （3）当时，由（2）得，变形得，令，得，再构造函数，利用导数法证明，进而，利用累加法即可证明 【小问1详解】 因为， 则函数在点处的切线斜率为， 又， 所以函数在点处的切线方程； 【小问2详解】 设，， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 则函数，所以， 当时，，即， 当时，取，观察的其中的一个零点为， 由于， 而，得， 即，不合题意， 综上所述，实数的取值范围是； 【小问3详解】 当时，由（2）得， 则，所以，即，则， 令，得，所以，即， 又， 令，则，且不恒为零， 所以在上单调递增，即，则， 所以， 即 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $