期中复习（易错题60题20个考点）范围：第七章～第九章七年级数学下学期新教材青岛版

期中复习（易错题60题20个考点） 范围：第七章-第九章 一．二元一次方程组的解（共6小题） 1．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 2．关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 　 　 ． 4．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则关于x，y的二元一次方程组 的解是 　 　 ． 5．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＝5，则a的值为 　 　 ． 6．已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求（2a+3b）2023的值． 二．解二元一次方程组（共1小题） 7．对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定x※y＝ax﹣by+2，等式右边是通常的四则运算．例如：2※1＝2a﹣b+2． （1）若1※（﹣1）＝﹣4，3※2＝4，求a、b的值； （2）若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y（x≠y），都满足x※y＝y※x，求a、b之间的数量关系． 三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 8．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，则下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 四．二元一次方程组的应用（共3小题） 9．五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元． 学生票：按成人票价5折优惠． 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上）． （1）求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ （2）通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 10．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　 　 张，正方形铁片 　 　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 11．阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 五．解三元一次方程组（共1小题） 12．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1． 把x＝1代入②得y＝0， 所以方程组的解为． （2）已知，求x+y+z的值． 解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③ ③÷10，得x+y+z＝4． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． 六．三元一次方程组的应用（共2小题） 13．问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则2x+y的值为 　 　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3） 甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 14．数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值． （1）小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝　 　 ； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝　 　 ，∴x+y+z＝4． 第5页（共6页） 小仑的方法：①+②：　 　 ③；∴　 　 得：x+y+z＝4． （2）已知，试求解x+y+z的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 七．垂线（共1小题） 15．已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的倍少40°，则∠A＝　 　 ． 八．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 16．下列判断错误的是（　　） A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角 九．平行公理及推论（共1小题） 17．若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 一十．平行线的判定（共6小题） 18．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127° 19．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 20．下列说法正确的是（　　） A．过同一平面内三点中任意两点，最多画3条直线 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平角是一条直线 21．如图所示，由已知条件推出结论错误的是（　　） A．由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD B．由AD∥BC，可以推出∠4＝∠8 C．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC D．由AD∥BC，可以推出∠3＝∠7 22．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 23．如图，直线EF上有两点A、C，分别作射线AB、射线CD．∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，CD与AB在直线EF异侧．若射线AB、射线CD分别绕A点、C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　 　 秒时，CD与AB平行． 一十一．平行线的性质（共22小题） 24．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（　　） A．122° B．120° C．118° D．115° 25．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，如图①，当光线经过镜子反射时有∠1＝∠2．如图②，一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形态，∠AOB＝42°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜上点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠EDC的度数为（　　） A．94° B．95° C．96° D．108° 26．骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知AB∥DE，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠DEF的度数为（　　） A．43° B．53° C．70° D．67° 27．如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 28．如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 29．如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝60° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β+γ＝180° 30．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　 　 ． 31．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中∠ABC＝45°，∠D＝60°），固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒30°的速度绕点B按逆时针方向旋转180°停止．在这个过程中，当运动时间为 　 　 秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）． 32．如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC＝26°，则∠DFG＝　 　 ． 33．如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　 　 ． 34．如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝　 　 度． 35．如图，AB∥CD，点F，H分别在AB，CD上，FD∥HE，FG⊥HE于点G，连结FE，且FE恰好平分∠AFG，∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝40°；②∠EHC+2∠D＝90°；③∠HFD＝∠DFB；④FH平分∠GFD；⑤∠AFE+∠CHE＝∠FEH，其中结论正确的为 　 　 ．（请填写所有正确结论的序号） 36．如图，图1是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是 　 　 ． 37．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 38．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 39．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是 　 　 ； 【初步认识】 （2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小． 【问题解决】 ②如图2，连接EF．若H为平面内一动点（点H不在直线AB，CD，EF上），∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M．若∠BEH＝m°，∠DFH＝n°，∠N是∠EMF的“2系数补角”，直接写出∠N的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）． 40．（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数． （2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数； （3）如图③，在（2）的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． 41．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G． （1）求证：∠BAG＝∠BGA； （2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B＝50°． ①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数； ②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数． （3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP＝2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出∠PBM：∠ABM的值． 42．【感知】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． 按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　 　 度；（直接写出答案） 【探究】（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝∠α，∠PCD＝∠β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究∠APC与∠α、∠β之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选—种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在线段OB上； ②点P在射线DM上． 43．已知AB∥CD，点P为直线AB上方一点． （1）如图1，求证：∠A＝∠P+∠C； （2）如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC之间的关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若CE经过点A，∠APC+∠PCE＝105°，点M是直线PC上一点，请直接写出∠BAM、∠APC和∠AMC的数量关系． 44．如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D，且∠CBD＝60°． （1）求∠A的度数； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 45．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，如果∠A＝40°，那么∠C等于 　 　 度； （2）如图2，探究∠DAB与∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 一十二．平行线的判定与性质（共2小题） 46．已知AB∥CD，点P是直线AB，CD外一点． （1）【问题初探】如图1，点E，F分别在直线AB，CD上，连接PE，PF．求证： ①∠1+∠2＝∠EPF； ②∠3+∠EPF+∠4＝360°． 证明：过点P作PQ∥AB，…，请将问题①，②的证明过程补充完整； （2）【结论应用】如图2，∠ABP的角平分线交CD于点E，点F是射线ED上一动点且点F不在直线BP上，连接PF，作∠PFE 的角平分线与BE相交于点Q，问：∠BQF与∠BPF有怎样的数量关系？说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，O是CD上一定点，∠ABO＝α．在∠ABO内部作射线BE，使得，BE与CD相交于点F．动点P在射线FE上，点Q在PF上，连接OQ，∠FOQ＝n∠POQ，若在点P的运动过程中，始终有4∠FQO﹣3∠FPO＝50°，求n，α的值． 47．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 一十三．全面调查与抽样调查（共1小题） 48．下列调查适合做抽样调查的是（　　） A．对搭乘高铁的乘客进行安全检查 B．审核书稿中的错别字 C．调查一批LED节能灯管的使用寿命 D．对七（1）班同学的视力情况进行调查 一十四．总体、个体、样本、样本容量（共1小题） 49．某校从800名学生中随机抽取100名学生进行百米测试，下列说法正确的是（　　） A．该调查方式是普查 B．每名学生的百米测试成绩是个体 C．样本容量是800 D．100名学生的百米测试成绩是总体 一十五．频数与频率（共3小题） 50．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 51．一组数据共40个数，分为5组，第1组到第3组的频数之和为27，第4组的频率是0.1，则第5组的频数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 52．在一个样本中，45个数据分别落在5个小组内，第一、二、三、五组频数分别是2，8，15，5，则第四小组的频数为（　　） A．5 B．10 C．15 D．都不对 一十六．频数（率）分布直方图（共1小题） 53．某班学生每周参加体育锻炼时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示．其中锻炼时间在6小时及以上的学生有（　　） A．12人 B．18人 C．27人 D．30人 一十七．统计表（共1小题） 54．为了解学生心理健康情况，某学校在全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，根据竞赛成绩将各年级合格人数绘制了如图所示的统计表，则下列说法正确的是（　　） 各年级合格人数统计表 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数（人） 337 330 322 A．七年级学生的合格率最高 B．九年级学生的合格人数最少 C．八年级学生的人数为330人 D．九年级学生的合格率为32.2% 一十八．扇形统计图（共1小题） 55．某校图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知乙类书有90本，则丙类书的本数是（　　） A．80 B．144 C．200 D．90 一十九．条形统计图（共3小题） 56．党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012～2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的息，下列说法错误的是（　　） A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人 B．2012年末至2019年末，农村贫困人口逐年减少累计减少超过9000万人 C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上 D．若维持从2018年末至2019年末的农村贫困人口下降率，2020年末农村贫困人口将全部脱贫 57．某中学七年级甲、乙两个班进行了一次数学运算能力测试，测试人数每班都为40人，每个班的测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制的统计图如图． 根据以上统计图提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．甲班D等的人数最多 B．乙班A等的人数最少 C．乙班B等与C等的人数相同 D．C等的人数甲班比乙班多 58．牡丹江管局教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）求出该校九年级学生总数； （2）分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②； （3）求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？ 二十．折线统计图（共2小题） 59．某月前10天，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数折线统计图如图，则下列结论错误的是（　　） A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加 B．1日﹣10日，乙的步数先逐天减少，后又逐天增加 C．第11日，乙的步数相比第10日一定是增加的 D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多 60．最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸引了很多游客，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意；E不清楚．五者任选其一），根据调查情况，绘制了如图所示的统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（　　） A．选择“C满意”的人数最多 B．抽样调查的样本容量是240 C．样本中“A不满意”的百分比为10% D．若到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题60题20个考点） 范围：第七章-第九章 一．二元一次方程组的解（共6小题） 1．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：， 方法一：①+②得，6x+6y＝5k+1， ∴x+y1， 解得k＝1； 方法二：①×2﹣②，得6x＝10k﹣13， 解得x③， 将③代入②，得4y＝5， 解得y， ∴原二元一次方程组是解为， ∵x+y＝1， ∴1， ∴k＝1． 故选：B． 2．关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设m+n＝x'，m﹣n＝y'， 则关于m，n的二元一次方程组可以转化为， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于x'、y'的二元一次方程组的解， ∴， ①+②得：2m＝6，解得m＝3， 将m＝3代入①得：n＝﹣2， ∴． 故选：D． 3．已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：将和分别代入方程mx+ny＝2， 得到关于m和n的二元一次方程组， 解得； 将代入tx﹣7y＝8， 得到关于t的一元一次方程3t+14＝8， 解得t＝﹣2， ∴m+tn＝2﹣22＝﹣1． 故答案为：﹣1． 4．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则关于x，y的二元一次方程组 的解是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：令x+y＝a，x﹣y＝b，代入方程组， 得，其解为， 即，解得． 故答案为：． 5．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＝5，则a的值为 　﹣7　 ． 【答案】﹣7． 【解答】解：解方程组，得， 由x+y＝5，得5， 解得a＝﹣7． 故答案为：﹣7． 6．已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求（2a+3b）2023的值． 【答案】（1）； （2）﹣1． 【解答】解：（1）解方程组，解得． （2）将代入，得，解得． ∴2a+3b＝﹣2×2+3×1＝﹣1， ∴（2a+3b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 二．解二元一次方程组（共1小题） 7．对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定x※y＝ax﹣by+2，等式右边是通常的四则运算．例如：2※1＝2a﹣b+2． （1）若1※（﹣1）＝﹣4，3※2＝4，求a、b的值； （2）若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y（x≠y），都满足x※y＝y※x，求a、b之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵1※（﹣1）＝﹣4，3※2＝4， ∴a+b+2＝﹣4，3a﹣2b+2＝4， 即， 解得：， ∴a的值为﹣2，b的值为﹣4； （2）∵x≠y， ∴x﹣y≠0， ∵x※y＝y※x， ∴ax﹣by+2＝ay﹣bx+2， ∴ax﹣ay+bx﹣by＝0， ∴a（x﹣y）+b（x﹣y）＝0， ∴（x﹣y）（a+b）＝0， ∴a+b＝0， ∴a＝﹣b， ∴a、b之间的数量关系为a＝﹣b． 三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 8．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，则下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：每块墙砖的长为x cm，宽为y cm， 根据题意得：． 故选：D． 四．二元一次方程组的应用（共3小题） 9．五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元． 学生票：按成人票价5折优惠． 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上）． （1）求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ （2）通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 【答案】（1）这次参加游玩的家长5人，学生4人；（2）如果家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱，说明见解析． 【解答】解：（1）设参加游玩的家长为x人，学生为y人， ∴． 解得： 答：参加游玩的家长5人，学生4人． （2）家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱． 理由：购买团体票需要买10张或10张以上，家长和学生共9人，团体购票需要购买10张，所以花费的钱数为：10×0.75×90＝675（元）， ∵675＞630， ∴如果家长和学生一起购买团体票，费用至少为675元，不能比分别购票更省钱． 10．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　 张，正方形铁片 　3　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：． ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 11．阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴xy＝10×6＝60． 故每个小长方形的面积为60； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm， 则，解得， 则12x+y＝12×1+8＝20． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm． （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得 ， 解得， ∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64． 故答案为：64． 五．解三元一次方程组（共1小题） 12．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1． 把x＝1代入②得y＝0， 所以方程组的解为． （2）已知，求x+y+z的值． 解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③ ③÷10，得x+y+z＝4． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． 【答案】（1）； （2）x+y+z的值为1． 【解答】解：（1）， 把②代入①得：3×2+4＝2a， 解得：a＝5， 把a＝5代入②得：5﹣b＝2， 解得：b＝3， ∴原方程组的解为：； （2）， ①﹣②得：4x+4y+4z＝4， ∴x+y+z＝1， ∴x+y+z的值为1． 六．三元一次方程组的应用（共2小题） 13．问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则2x+y的值为 　2　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【答案】（1）2；（2）答案见解析；（3）购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 【解答】解：（1）， ∴①﹣②得，2x+y＝2． 故答案为：2． （2）， ∴①+②得，3x＝3a+1， ∴x． 把x代入②得， 2y＝2﹣a， ∴y． ∴x+y． ∴无论a取何值，x+y的值始终不变． （3）由题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元， 则， ∴①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420， ∴2x+2y+2z＝150． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 14．数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值． （1）小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝　3﹣2z　 ； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝　z+1　 ，∴x+y+z＝4． 第5页（共6页） 小仑的方法：①+②：　5x+5y+5z＝20　 ③；∴　③÷5　 得：x+y+z＝4． （2）已知，试求解x+y+z的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 【答案】（1）3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；③÷5；（2）3；（3）320元． 【解答】解：（1）由题意，小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝3﹣2z； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1， ∴x+y+z＝4． 小仑的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③； ∴③÷5得：x+y+z＝4． 故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；③÷5． （2）由题意，， ∴①×3+②，整理得：z＝6﹣2x； ①+②×2，整理得，y＝x﹣3， ∴x+y+z＝3． （3）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元， 可得方程组， ∴②﹣①得，3y＝1.2， ∴y＝0.4． 又①×8﹣②×5，整理得，2x+z＝2． ∴2x+3y+z＝3.2． ∴200x+300y+100z＝320． 答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元． 七．垂线（共1小题） 15．已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的倍少40°，则∠A＝　80°或92°　 ． 【答案】80°或92°． 【解答】解：∵∠A的两边与∠B的两边分别垂直， ∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°， ①∠A＝∠B时， ∵∠A比∠B的倍少40°， ∴， ∴∠B＝80°， ∴∠A＝80°； ②∠A+∠B＝180°时， ∵∠A比∠B的倍少40°， ∴， ∴∠B＝88°， ∴∠A＝92°． 故答案为：80°或92°． 八．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 16．下列判断错误的是（　　） A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角 【答案】C 【解答】解：A、∠2与∠4是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∠3与∠4是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意； C、∠5与∠6不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意； D、∠1与∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 九．平行公理及推论（共1小题） 17．若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【答案】C 【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意； B、∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意； C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意； D、∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意； 故选：C． 一十．平行线的判定（共6小题） 18．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127° 【答案】D 【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进， ∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补， 故选：D． 19．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 【答案】A 【解答】解：A．根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD； B．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD； C．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD； D．根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD． 故选：A． 20．下列说法正确的是（　　） A．过同一平面内三点中任意两点，最多画3条直线 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平角是一条直线 【答案】A 【解答】解：A、说法正确，故A符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故B不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C不符合题意； D、平角的两条边构成一条直线，不能说平角是一条直线，故D不符合题意． 故选：A． 21．如图所示，由已知条件推出结论错误的是（　　） A．由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD B．由AD∥BC，可以推出∠4＝∠8 C．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC D．由AD∥BC，可以推出∠3＝∠7 【答案】B 【解答】解：A、由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD，故本选项正确； B、由AB∥CD，可以推出∠4＝∠8，故本选项错误； C、由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC，故本选项正确； D、由AD∥BC，可以推出∠3＝∠7，故本选项正确． 故选：B． 22．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 故选：C． 23．如图，直线EF上有两点A、C，分别作射线AB、射线CD．∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，CD与AB在直线EF异侧．若射线AB、射线CD分别绕A点、C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　4或40　 秒时，CD与AB平行． 【答案】4或40． 【解答】解：如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC， 即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°， 解得：t＝4； 此时（180°﹣60°）÷6＝20， ∴0＜t＜20； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∵∠DCF＝360°﹣6t°﹣60°＝300°﹣6t°，∠BAC＝100°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°， 解得：t＝40， 此时（360°﹣60°）÷6＝50， ∴20＜t＜50； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∴∠DCF＝6t°﹣（180°﹣60°+180°）＝6t°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°， 解得：t＝40， 此时t＞50， 而40＜50， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行． 故答案为：4或40． 一十一．平行线的性质（共22小题） 24．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（　　） A．122° B．120° C．118° D．115° 【答案】A 【解答】解：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DFE＝94°， ∵∠DCE是△CEF的一个外角， ∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°， 故选：A． 25．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，如图①，当光线经过镜子反射时有∠1＝∠2．如图②，一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形态，∠AOB＝42°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜上点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠EDC的度数为（　　） A．94° B．95° C．96° D．108° 【答案】C 【解答】解：∵DC∥OB， ∴∠O＝∠ADC＝42°， 由题意得：∠ADC＝∠ODE＝42°， ∴∠EDC＝180°﹣∠ADC﹣∠ODE＝96°， 故选：C． 26．骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知AB∥DE，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠DEF的度数为（　　） A．43° B．53° C．70° D．67° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠BCE＝∠CED＝67°， ∵∠CEF＝137°， ∴∠DEF＝∠CEF﹣∠CED＝70°， 故选：C． 27．如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 【答案】B 【解答】解：如图：过点E作EG∥AB， ∴∠1＝∠MEG， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠GEN＝∠CNE， ∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN， ∴∠MEN＝∠1+∠CNE， 同理可得：∠F＝∠AMF+∠4， ∵ME平分∠AMF，NF平分∠CNE， ∴∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4， ∴∠MEN＝∠1+2∠4，∠F＝2∠1+∠4， ∵∠MEN+54°＝2∠F， ∴∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4）， ∴∠1＝18°， ∴∠AMF＝2∠1＝36°， 故选：B． 28．如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【答案】D 【解答】解：过点A作AF∥BE， ∴∠BAF＝∠3， ∵∠CAF＝∠BAF﹣∠1， ∴∠CAF＝∠3﹣∠1， ∵CD∥BE， ∴AF∥CD， ∴∠CAF+∠2＝180°， ∴∠3﹣∠1+∠2＝180°， 即∠2+∠3﹣∠1＝180°， 故选：D． 29．如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝60° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β+γ＝180° 【答案】B 【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H． 在△BGC中，∠1＝60°﹣α， ∵∠β＝∠2+∠γ， ∴∠2＝β﹣γ， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠2， ∴60°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝60°． 故选：B． 30．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　112°　 ． 【答案】112°． 【解答】解：∵EF⊥MN， ∴∠MFE＝90°， 如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB， ∵AB∥MN， ∴AB∥DG∥EH∥MN， ∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEF，∠HEF＝∠MFE＝90°，∠DEH＝GDE， ∵∠DEF＝126°，∠BCD＝104°， ∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF﹣90°＝36°，∠CDG＝180°﹣104°＝76°， ∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝112°， 故答案为：112°． 31．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中∠ABC＝45°，∠D＝60°），固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒30°的速度绕点B按逆时针方向旋转180°停止．在这个过程中，当运动时间为 　0.5或1.5或3.5或4.5或5　 秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）． 【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5． 【解答】解：当DE∥AB时，如图1， 此时∠ABE＝∠E＝30°， ∴∠CBE＝15°， t＝15°÷30°＝0.5； 当BD∥AC时，如图2， 此时∠DBC＝45°， t＝45°÷30°＝1.5； 当DE∥AC时，如图3， 此时，∠EBC＝60°+45°＝105°， t＝105°÷30°＝3.5； 当BE∥AC时，如图4， 此时∠EBC＝90°+45°＝135°， ∴t＝135°÷30°＝4.5； 当DE∥BC时，如图5， 此时∠EBC＝90°+60°＝150°， t＝150°÷30°＝5， 故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5． 32．如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC＝26°，则∠DFG＝　77°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由折叠可得，∠BGF∠BGE（180°﹣26°）＝77°， ∵AD∥BC， ∴∠DFG＝∠BGF＝77°， 故答案为：77°． 33．如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　130°　 ． 【答案】130°． 【解答】解：延长DC到点E，如图： ∵AB∥CD， ∴∠BCE＝∠ABC＝25°， 由折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°， ∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BCE﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣25°＝130°， 故答案为：130°． 34．如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝　28　 度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，分别过E、G作AB的平行线EM和GN， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥CD∥GN， ∵BE是∠ABG的平分线，CF是∠GCD的平分线， ∴∠BEM＝∠ABE∠ABG，∠MEF＝∠DCF∠GCD，∠BGN＝∠ABG，∠GCD+∠CGN＝180°， ∴∠BEC＝∠BGM+∠MEF（∠ABG+∠GCD）， ∠BGC＝∠BGN﹣∠CGN＝∠ABG﹣（180°﹣∠GCD）＝∠ABG+∠GCD﹣180°， ∴∠BGC＝2∠BEC﹣180°， ∵3∠BEC﹣5∠BGC＝172°， ∴3∠BEC＝5∠BGC+172°， ∴∠BGC（5∠BGC+172°）﹣180°， ∴3∠BGC＝10∠BGC+344°﹣540°， ∴∠BGC＝28°． 故答案为：28． 35．如图，AB∥CD，点F，H分别在AB，CD上，FD∥HE，FG⊥HE于点G，连结FE，且FE恰好平分∠AFG，∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝40°；②∠EHC+2∠D＝90°；③∠HFD＝∠DFB；④FH平分∠GFD；⑤∠AFE+∠CHE＝∠FEH，其中结论正确的为 　②⑤　 ．（请填写所有正确结论的序号） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵FG⊥HE， ∴∠FGH＝∠FGE＝90°， ∵FD∥EH， ∴∠GFD＝∠EGF＝90°， ∴∠AFG+∠BFD＝180°﹣90°＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D， ∴∠AFG+∠D＝90°， ∵∠AFG＝2∠D， ∴∠AFG＝60°，∠D＝30°， 故①不正确； ∵FD∥EH， ∴∠D＝∠EHC＝30°， ∴∠EHC+2∠D＝90°， 故②正确； ∵∠DFH≠30°，∠BFD＝30°， ∴∠DFH≠∠BFD， 故③不正确； ∵∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠DFH＝90°， ∵∠GFH≠45°， ∴FH不平分∠GFD， 故④不正确； ∵FE平分∠AFG，∠AFG＝60°， ∴∠AFE＝∠EFG∠AFG＝30°， ∵∠FGE＝90°， ∴∠FEG＝90°﹣∠EFG＝60°， ∴∠FEG＝∠AFE+∠EHC＝60°， 故⑤正确； 所以，上列结论，其中结论正确的②⑤， 故答案为：②⑤． 36．如图，图1是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是 　102°　 ． 【答案】102°． 【解答】解：图1中： ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE＝26°， ∴∠EFC＝180°﹣∠BFE＝154°， 图2中： 由折叠得： ∠EFC＝154°， ∵∠BFE＝26°， ∴∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝128°， 图3中： 由折叠得： ∠BFC＝128°， ∵∠BFE＝26°， ∴∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝102°， 故答案为：102°． 37．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）50°． 【解答】（1）证明：∵AC∥EF， ∴∠1+∠FAC＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠BDC； （2）解：∵AC平分∠FAD， ∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC， 由（1）知∠FAC＝∠2， ∴∠FAD＝2∠2， ∴∠2∠FAD， ∵∠FAD＝80°， ∴∠280°＝40°， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°． 38．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 【答案】（1）∠EPF的度数为64°； （2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由见解答； （3）∠G的度数为α． 【解答】解：（1）过点P作PG∥AB， ∴∠BEP＝∠EPG＝36°， ∵AB∥CD， ∴GP∥CD， ∴∠FPG＝180°﹣∠CFP＝28°， ∴∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝64°， ∴∠EPF的度数为64°； （2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA， 理由：过点P作PG∥AB， ∴∠EPG＝∠PEA， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠PFC＝∠FPG， ∵∠EPF＝∠FPG﹣∠EPG， ∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA； （3）∵FG平分∠PFC，EG平分∠AEP， ∴∠GFC∠PFC，∠GEA∠AEP， 由（2）可得：∠G＝∠GFC﹣∠GEA， ∵∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝α ∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA ∠PFC∠AEP （∠PFC﹣∠PEA） α， ∴∠G的度数为α． 39．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是 　∠3　 ； 【初步认识】 （2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小． 【问题解决】 ②如图2，连接EF．若H为平面内一动点（点H不在直线AB，CD，EF上），∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M．若∠BEH＝m°，∠DFH＝n°，∠N是∠EMF的“2系数补角”，直接写出∠N的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）． 【答案】（1）∠3； （2）∠BEG＝26°； （3）（m+n）﹣45°或45°（m+n）或45°（m﹣n）或45°（n﹣m）． 【解答】解：（1）由题意，∵∠P＝90°，∠3＝30°， ∴∠P+3∠3＝180°， ∴∠P的“3系数补角”是∠3， 故答案为：∠3； （2）①过点G作MG∥AB， ∵AB∥CD，MG∥AB， ∴MG∥CD， ∴∠MGF＝∠DFG＝50°． ∵MG∥AB， ∴∠MGE＝∠BEG， ∴∠EGF＝50°﹣∠BEG． ∵∠BEG是∠EGF的“6系数补角”， ∴∠EGF+6∠BEG＝180°， ∴（50°﹣∠BEG）+6∠BEG＝180°， 即∠BEG＝26°； （3）由题可得，点H可能存在6个位置，所以分6种情况讨论， ①当点H在AB上方，EF左侧时，如图，过H作HG∥AB∥CD， ∴∠GHF＝∠DFH＝n°，∠GHE＝∠BEH＝m°， ∴∠EHF＝∠GHE﹣∠GHF＝m°﹣n°， ∵FM和EM分别是角平分线， ∴∠EMF＝180°﹣（∠MFE+∠MEF） ＝180°（∠HFE+∠HEF） ＝180°（180°﹣∠EHF） ＝90°∠EHF ＝90° ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N45°（m°﹣n°）； ②当点H在AB和CD之间，EF左侧时，如图， 同理可得∠H＝360°﹣m°﹣n°， ∴∠EMF＝90°∠EHF＝270°， ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N（m°+n°）﹣45°； ③当点H在CD下方，EF左侧时，如图， 同理可得∠H＝n°﹣m°， ∴∠EMF＝90°∠EHF＝90°， ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N45°（n°﹣m°）； ④当点H在AB上方，EF右侧时，如图， 同理可得∠H＝n°﹣m°， ∴∠EMF＝90°∠EHF＝90°， ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N45°（n°﹣m°）； ⑤当点H在AB和CD之间，EF右侧时，如图， 同理可得∠H＝m°+n°， ∴∠EMF＝90°∠EHF＝90°， ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N45°（m°+n°）； ⑥当点H在CD下方，EF右侧时，如图， 同理可得∠EHF＝m°﹣n°， ∴∠EMF＝90°∠EHF＝90° ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N45°（m°﹣n°）； 综上所述，∠N的度数为（m+n）﹣45°或45°（m+n）或45°（m﹣n）或45°（n﹣m）． 40．（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数． （2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数； （3）如图③，在（2）的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． 【答案】（1）90°； （2）70°； （3）35°． 【解答】解；（1）如图①，过点P作PM∥AB， ∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD（已知）， ∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠PFD＝130°（已知）， ∴∠2＝180°﹣130°＝50°， ∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°， 即∠EPF＝90°； （2）如图②，过点P作PM∥AB， ∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD（已知）， ∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）． ∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°； （3）如图③，过点G作GM∥AB， ∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线， ∴∠AEG∠AEP＝25°，∠GFC∠PFC＝60°， ∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知）， ∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）． ∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°． 41．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G． （1）求证：∠BAG＝∠BGA； （2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B＝50°． ①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数； ②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数． （3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP＝2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出∠PBM：∠ABM的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①20°；②160°；（3）或． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠BGA， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠GAD， ∴∠BAG＝∠BGA； （2）解：①∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°， ∴∠GCF＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠GCF＝45°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠GAD＝65°， ∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°； ②如图4，∵∠AGB＝65°，∠BCF＝45°， ∴∠AFC＝∠CGF+∠BCF＝115°+45°＝160°； （3）解：有两种情况： ①当M在BP的下方时，如图5， 设∠ABC＝3x ∵∠ABP＝2∠PBG， ∴∠ABP＝2x，∠PBG＝x， ∵AG∥CH， ∴∠BCH＝∠AGB， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠PBM＝90°， ∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝2x， ∴∠ABM：∠PBM：； ②当M在BP的上方时，如图6， 同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝2xxx， ∴∠ABM：∠PBMx：x； 综上，∠ABM：∠PBM的值是或． 42．【感知】（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． 按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　110　 度；（直接写出答案） 【探究】（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝∠α，∠PCD＝∠β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究∠APC与∠α、∠β之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选—种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在线段OB上； ②点P在射线DM上． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110． （2）∠APC＝α+β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴α＝∠APE，β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β； （3）如图所示，当点P在射线DM上时， ∠CPA＝α﹣β； 如图所示，当点P在线段OB上时， ∠CPA＝β﹣α． 43．已知AB∥CD，点P为直线AB上方一点． （1）如图1，求证：∠A＝∠P+∠C； （2）如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC之间的关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若CE经过点A，∠APC+∠PCE＝105°，点M是直线PC上一点，请直接写出∠BAM、∠APC和∠AMC的数量关系． 【答案】（1）见解析； （2）∠APC＝2∠AQP；理由见解析；（3）∠BAM﹣∠AMC+2∠APC＝210°或∠BAM+∠AMC﹣2∠APC＝150°或∠AMC﹣∠BAM+2∠APC＝30°． 【解答】（1）解：过点P作PF∥AB， ∵AB∥CD， ∴PF∥AB∥CD， ∴∠A＝180°﹣∠FPA， ∠C＝180°﹣∠FPC＝180°﹣∠FPA﹣∠APC，即∠C+∠APC＝180°﹣∠FPA， ∴∠A＝∠C+∠APC，即∠A＝∠P+∠C； （2）解：∠APC＝2∠AQP；理由如下， 过点P作PF∥AB，过点Q作QH∥AB， ∵AQ平分∠PAB，CE平分∠PCD，即PQ平分∠GPF， ∴∠PAB＝2∠4，∠GPF＝2∠2＝∠PCD， ∵AB∥CD， ∴QH∥PF∥AB∥CD， ∴∠1+∠4＝180°①， ∠1+∠AQP+∠2＝180° ②， ∠3+2∠4＝180°③， ∠APC+∠3+2∠2＝180°④， 由①②得∠4＝∠2+∠AQP， 代入③得∠3+2∠2+2∠AQP＝180°⑤， 由④⑤得∠APC＝2∠AQP； （3）解：∠APC+∠PCE＝105°，CE平分∠PCD， 设∠PCE＝∠DCE＝α， ∴∠APC+α＝105°，即2α＝210°﹣2∠APC， 延长BA交CP于点G，则∠PGA＝∠PCD＝2α， ①当点M在CG的延长线上时， 由（1）得∠BAM＝∠AMC+∠PCD＝∠AMC+∠MGA＝∠AMC+2α， ∴∠BAM＝∠AMC+210°﹣2∠APC，即∠BAM﹣∠AMC+2∠APC＝210°； ②当点M在线段CG上时， ∠AMC＝∠MGA+∠GAM＝180°﹣∠PGA+180°﹣∠BAM ＝360°﹣2α﹣∠BAM＝360°﹣（210°﹣2∠APC）﹣∠BAM， ∴∠BAM+∠AMC﹣2∠APC＝150°； ③当点M在线段GC的延长线上时， ∠PGA＝∠AMC+∠GAM＝∠AMC+180°﹣∠BAM， ∴2α＝∠AMC+180°﹣∠BAM，即 210°﹣2∠APC＝∠AMC+180°﹣∠BAM， ∴∠AMC﹣∠BAM+2∠APC＝30°． 综上，∠BAM﹣∠AMC+2∠APC＝210°或∠BAM+∠AMC﹣2∠APC＝150° 或∠AMC﹣∠BAM+2∠APC＝30°． 44．如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D，且∠CBD＝60°． （1）求∠A的度数； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠CBP∠ABP，∠DBP∠NBP， ∴∠ABN＝2∠CBD， 又∵∠CBD＝60°， ∴∠ABN＝120°， ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN＝180°， ∴∠A＝60°； （2）不变化，∠APB＝2∠ADB， 证明：∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN， ∠ADB＝∠DBN， 又∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB＝2∠ADB； （3）∵AD∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 又∵∠ACB＝∠ABD， ∴∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）可得，∠CBD＝60°，∠ABN＝120°， ∴∠ABC（120°﹣60°）＝30°． 45．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，如果∠A＝40°，那么∠C等于 　50　 度； （2）如图2，探究∠DAB与∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 【答案】（1）50． （2）∠DAB+∠C＝90°． （3）105°． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°． ∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°． 又∵AM∥CN， ∴∠C＝∠AOB＝50°． 故答案为：50． （2）∠DAB+∠C＝90°，理由如下： 如图2，过点B作BG∥AM． ∵AM∥CN， ∴BG∥CN． ∴∠DAB＝∠ABG，∠C＝∠CBG． ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°． ∴∠ABG+∠CBG＝90°． ∴∠DAB+∠C＝90°． （3）如图3，作BG∥AM． 又∵AM∥CN， ∴BG∥CN． ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴设∠DBE＝∠ABE＝x，∠AFB＝y， 则∠DBF＝∠FBC＝2x+y．∠ABD＝2x，∠GBF＝∠AFB＝y，∠BFC＝3∠DBE＝3x．∠DBF＝90﹣y ∴∠AFC＝3x+y． ∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°． ∴∠FCB＝∠AFC＝3x+y． 在△BCF中，∠CBF+∠FCB+∠BFC＝180°． ∴90﹣y+3x+3x+y＝180°①． ∴x＝15°． ∵AB⊥BC． ∴∠EBC＝15°+90°＝105°． 一十二．平行线的判定与性质（共2小题） 46．已知AB∥CD，点P是直线AB，CD外一点． （1）【问题初探】如图1，点E，F分别在直线AB，CD上，连接PE，PF．求证： ①∠1+∠2＝∠EPF； ②∠3+∠EPF+∠4＝360°． 证明：过点P作PQ∥AB，…，请将问题①，②的证明过程补充完整； （2）【结论应用】如图2，∠ABP的角平分线交CD于点E，点F是射线ED上一动点且点F不在直线BP上，连接PF，作∠PFE 的角平分线与BE相交于点Q，问：∠BQF与∠BPF有怎样的数量关系？说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，O是CD上一定点，∠ABO＝α．在∠ABO内部作射线BE，使得，BE与CD相交于点F．动点P在射线FE上，点Q在PF上，连接OQ，∠FOQ＝n∠POQ，若在点P的运动过程中，始终有4∠FQO﹣3∠FPO＝50°，求n，α的值． 【答案】（1）①证明过程见解答；②证明过程见解答； （2）当点F在直线BP的左侧时，2∠BQF+∠BPF＝360°，当点F在直线BP的右侧时，∠BPF＝2∠BQF．理由见解答； （3）n＝3，α＝75°． 【解答】（1）证明：①过点P作PQ∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠EPQ＝∠1，∠FPQ＝∠2， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠1+∠2，即∠1+∠2＝∠EPF． ②∵∠1+∠2＝∠EPF， ∴∠3+∠EPF+∠4＝∠3+（∠1+∠2）+∠4＝（∠1+∠3）+（∠2+∠4）＝180°+180°＝360°． （2）解：当点F在直线BP的左侧时，2∠BQF+∠BPF＝360°． 理由如下： ∵BE、FQ分别是∠ABP、∠EFP的平分线， ∴∠ABE＝∠EBP，∠EFQ＝∠PFQ， ∴根据（1）②可知，∠ABP+∠BPF+∠EFP＝2（∠ABC+∠EFQ）+∠BPF＝360°． ∵AB∥CD， ∴∠BQF＝∠BED+∠EFQ＝∠ABC+∠EFQ． ∴2∠BQF+∠BPF＝360°． 当点F在直线BP的右侧时， 同理可求∠BPF＝2∠BQF． （3）∵AB∥CD， ∴∠BFO＝∠ABF， ∵∠OBE∠ABO， ∴∠BFOα， ∵∠FQO＝∠FPO+∠POQ， ∴4∠FQO﹣3∠FPO＝4（∠FPO+∠POQ）﹣3∠FPO＝∠FQO+3（∠FQO﹣∠FPO）＝∠FQO+3∠POQ＝50°， ∵∠FOQ＝n∠POQ， ∴∠FQO∠FOQ＝50°， ∵∠BFO＝∠FQO+∠FOQ， ∴∠BFO+（1）∠FOQ＝50°， ∴α∠FOQ＝50°， ∵α，n为定值， ∴∠FOQ为变量， 要使等式恒成立，需要0， ∴n＝3，α＝75°． 47．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）平行． 如图①，∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， 又∵∠B＝∠D＝120°， ∴∠D+∠A＝180°， ∴AB∥CD； （2）如图②，∵AD∥BC，∠B＝∠D＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE， ∴∠EAC∠BAE，∠EAF∠DAE， ∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF（∠BAE+∠DAE）∠DAB＝30°； （3）①如图3，当点E在C点左侧时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：3； ②如图4，当点E在C点右侧时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：1． 一十三．全面调查与抽样调查（共1小题） 48．下列调查适合做抽样调查的是（　　） A．对搭乘高铁的乘客进行安全检查 B．审核书稿中的错别字 C．调查一批LED节能灯管的使用寿命 D．对七（1）班同学的视力情况进行调查 【答案】C 【解答】解：A、对搭乘高铁的乘客进行安全检查，适合全面调查，故A不符合题意； B、审核书稿中的错别字，适合全面调查，故B不符合题意； C、调查一批LED节能灯管的使用寿命，适合抽样调查，故C符合题意； D、对七（1）班同学的视力情况进行调查，适合全面调查，故D不符合题意； 故选：C． 一十四．总体、个体、样本、样本容量（共1小题） 49．某校从800名学生中随机抽取100名学生进行百米测试，下列说法正确的是（　　） A．该调查方式是普查 B．每名学生的百米测试成绩是个体 C．样本容量是800 D．100名学生的百米测试成绩是总体 【答案】B 【解答】解：A．该调查方式是抽样调查，原说法错误，故本选项不合题意； B．每名学生的百米测试成绩是个体，说法正确，故本选项符合题意； C．样本容量是100，原说法错误，故本选项不合题意； D．100名学生的百米测试成绩是样本，原说法错误，故本选项不合题意． 故选：B． 一十五．频数与频率（共3小题） 50．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【解答】解：由题意得：摸到红球出现的频率0.08； 摸到黄球出现的频率0.42； 摸到蓝球出现的频率0.17； 摸到绿球出现的频率0.33； ∴该球的颜色最有可能是绿色， 故选：D． 51．一组数据共40个数，分为5组，第1组到第3组的频数之和为27，第4组的频率是0.1，则第5组的频数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解答】解：由题意得：第4组的频数＝40×0.1＝4， ∵第1组到第3组的频数之和为27， ∴第5组的频数＝40﹣27﹣4＝9， 故选：B． 52．在一个样本中，45个数据分别落在5个小组内，第一、二、三、五组频数分别是2，8，15，5，则第四小组的频数为（　　） A．5 B．10 C．15 D．都不对 【答案】C 【解答】解：由题意得： 45﹣2﹣8﹣15﹣5＝15， ∴第四小组的频数为15， 故选：C． 一十六．频数（率）分布直方图（共1小题） 53．某班学生每周参加体育锻炼时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示．其中锻炼时间在6小时及以上的学生有（　　） A．12人 B．18人 C．27人 D．30人 【答案】B 【解答】解：由频数分布直方图可得，锻炼时间在6小时及以上的学生有12+6＝18（人）． 故选：B． 一十七．统计表（共1小题） 54．为了解学生心理健康情况，某学校在全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，根据竞赛成绩将各年级合格人数绘制了如图所示的统计表，则下列说法正确的是（　　） 各年级合格人数统计表 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数（人） 337 330 322 A．七年级学生的合格率最高 B．九年级学生的合格人数最少 C．八年级学生的人数为330人 D．九年级学生的合格率为32.2% 【答案】B 【解答】解：∵七、八、九年级的人数不确定， ∴无法求得七、八、九年级的合格率． ∴A、C、D选项不符合题意； 由统计表可知九年级合格人数是322人，在三个年级中的人数最小，故选项B说法正确，符合题意． 故选：B． 一十八．扇形统计图（共1小题） 55．某校图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知乙类书有90本，则丙类书的本数是（　　） A．80 B．144 C．200 D．90 【答案】A 【解答】解：总数是：90÷45%＝200（本）， 丙类书的本数是：200×（1﹣15%﹣45%）＝200×40%＝80（本） 故选：A． 一十九．条形统计图（共3小题） 56．党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012～2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的息，下列说法错误的是（　　） A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人 B．2012年末至2019年末，农村贫困人口逐年减少累计减少超过9000万人 C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上 D．若维持从2018年末至2019年末的农村贫困人口下降率，2020年末农村贫困人口将全部脱贫 【答案】D 【解答】解：A、1660﹣551＝1109，即2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人，此选项正确； B、9899﹣551＝9348，所以2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少9899﹣551＝9348（万人），超过9000万人，此选项正确； C、9899﹣8249＝1650，8249﹣7017＝1232，7017﹣5575＝1442，5575﹣4335＝1240，4335﹣3046＝1289，3046﹣1660＝1386，1660﹣551＝1109，2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，此选项正确； D、从2018年末至2019年末的农村贫困人口下降率为：，则2019年末到2020年末预计农村贫困人口减少551×66.8%＝368.1万人，368.1＜551，所以2020年末农村贫困人口不能全部脱贫，此选项错误； 故选：D． 57．某中学七年级甲、乙两个班进行了一次数学运算能力测试，测试人数每班都为40人，每个班的测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制的统计图如图． 根据以上统计图提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．甲班D等的人数最多 B．乙班A等的人数最少 C．乙班B等与C等的人数相同 D．C等的人数甲班比乙班多 【答案】D 【解答】解：由条形统计图可知，甲班D等的人数最多，故选项A不合题意； 由扇形统计图可知，乙班A等级的人数为：40×10%＝4（人），故乙班A等的人数最少，故选项B不合题意； B、C均站35%，故乙班B等与C等的人数相同，故选项C不合题意； 乙班C等级的人数为：40×35%＝14（人）， ∴C等的人数甲班比乙班少，故选项D符合题意． 故选：D． 58．牡丹江管局教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）求出该校九年级学生总数； （2）分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②； （3）求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：九年级学生总数为20÷10%＝200（人）； （2）a＝1﹣（5%+10%+15%+15%+30%）＝25%， 活动时间为5天的人数为200×25%＝50（人）， 活动时间为7天的人数为200×5%＝10（人）， 补全统计图，如图所示： （3）根据题意得：50+30+10＝90（人）， ∴参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是90人． 二十．折线统计图（共2小题） 59．某月前10天，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数折线统计图如图，则下列结论错误的是（　　） A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加 B．1日﹣10日，乙的步数先逐天减少，后又逐天增加 C．第11日，乙的步数相比第10日一定是增加的 D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多 【答案】C 【解答】解：A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加，故A中结论正确，不符合题意； B．1日﹣5日，乙的步数逐天减少，5日﹣10日，乙的步数逐天增加，故B中结论正确，不符合题意； C．第11日，乙的步数不一定比乙的步数多；故C中结论错误，符合题意； D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多；故D中结论正确，不符合题意； 故选：C． 60．最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸引了很多游客，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意；E不清楚．五者任选其一），根据调查情况，绘制了如图所示的统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（　　） A．选择“C满意”的人数最多 B．抽样调查的样本容量是240 C．样本中“A不满意”的百分比为10% D．若到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人 【答案】B 【解答】解：由题意知，选择“C满意”的人数最多，故A结论正确，不符合题意； 抽取的人数中，口味“B一般”的人数为20人，其占比为20%，则抽取的总人数为：20÷20%＝100（人），故抽样调查的样本容量是100，故B结论错误，符合题意； “A不满意”的人数为100﹣（20+40+25+5）＝10（人），样本中“A不满意”的百分比为，故C结论正确，不符合题意； 周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的人数为：800160（人）， 即周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的大约人数为160人．故D结论正确，不符合题意； 故选：B． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$