信息必刷卷03（北京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（北京专用） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面是入围年北京冬奥会会徽设计评选的四副作品的主体图案，其中可以抽象为中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，那么下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 5．不透明的袋子中有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是黑色的，从中随机同时摸出两枚棋子，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（  ） A． B． C． D． 白1 白2 黑 白1 白2、白1 黑、白1 白2 白1、白2 黑、白2 黑 白1、黑 白2、黑 6．“天问一号”探测器由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，飞行期间已成功完成地月合影获取、两次轨道中途修正、载荷自检等工作，截至2020年10月1日凌晨，探测器已飞行约188000000千米，飞行状态良好，把188000000用科学记数法表示，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）    A．以点F为圆心，OE长为半径画弧 B．以点F为圆心，EF长为半径画弧 C．以点E为圆心，OE长为半径画弧 D．以点E为圆心，EF长为半径画弧 8．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． A．①②④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①④⑤ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．使二次根式有意义的x的取值范围是 ． 10．把多项式分解因式的结果是 ． 11．方程的解为 ． 12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ． 14．如图，的直径垂直弦于点E，若，，则弦的长为 ． 15．如图，是半的直径，点C在半上，，，点D是弧上的一个动点（可以和点重合），连接，过点C作于点D．下列结论正确的是 ．（填写所有正确选项的序号） ①： ②连接，当与的面积比为时，； ③在点D从点C移动到点B的过程中，点E所走过的路径长为．    16．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题5分）计算：． 18．（本题5分）解不等式组： 19．（本题5分）已知，求代数式的值． 20．（本题6分）如图，菱形中，分别延长至点，使，，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21．（本题6分）某中学为积极开展校园足球运动，打算恰好用3000元经费购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球价格为150元，一个品牌足球价格为180元．所购买品牌的足球个数能否是所购买品牌足球个数的2倍？若能，请求出所购买的和两种品牌的足球个数，若不能，请说明理由． 22．（本题5分）在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 23．（本题5分）为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，我校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现．计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下． 技术统计表： 队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误 甲 27.5 8 2 乙 28 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)表中的_____，____； (2)计分组的同学们已经算出了甲得分的方差为3.25，请你帮助他们算出乙得分的方差． (3)规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误．综合得分越高表现越好．利用这种评价方法_____（填“甲”或“乙”）队员表现更好． 24．（本题6分）如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（本题5分）如图，在中，，，点D是线段上的动点，将线段绕点A顺时针旋转至，连接．已知，设为，为．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） (1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表： 0 (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)结合画出的函数图象，解决问题：线段的长度的最小值约为 ；若，则的长度x的取值范围是 ． 26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为 (1)求a的值和抛物线的对称轴用含b的式子表示； (2)若点，，在该抛物线上，且，求b的取值范围. 27．（本题7分）已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点和点在直线的同侧，作射线交直线于点，连接． (1)根据题意将图1补全； (2)如图1，如果． ① ， （用含有代数式表示）； ②用等式表示线段，与的数量关系，并证明． (3)如图2，如果，直接写出线段，，与的数量关系，不证明． 28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义： 点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”． 如图，直线l：y=-x-4是函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”． （1）在直线y1=-2x，y2=3x+1，y3=-x+3中，是如图函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为y1=-2x； 请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：y=-3x； （2）如图，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由； （3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷03（北京专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A B A B D D 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，请把答案直接填写在横线上 9． 10． 11． 12． 0 13．3150名 14．2 15．①②③ 16． 60 三、解答题:本大题有8个小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题5分） 【解析】解： ． 18．（本题5分） 【解析】 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 不等式组的解集为． 考点：解一元一次不等式组. 19．（本题5分） 【解析】解： ， ． 20．（本题6分） 【解析】（1）证明：∵CE=CD，CF=CB， ∴四边形DBEF是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB． ∴CE=CF， ∴BF=DE， ∴四边形DBEF是矩形； （2）∵四边形DBEF是矩形， ∴， ∵AB=5， ∴BF=2CB=2AB=10， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 21．（本题6分） 【解析】解：不能，理由如下： 设购买品牌足球个，则购买品牌的足球个， 由题意得：， 解得：， 因为足球个数为整数，而不是整数，故不能． 22．（本题5分） 【解析】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知：点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 当时，， ∵当时，函数的值大于函数的值且小于5， ∴， 解得：． 23．（本题5分） 【解析】（1）解：由统计图知，甲的平均得分， 把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30， 乙的中位数， 故答案为：，； （2）解：乙的平均得分为， 乙的方差为， ； （3）解：甲的综合得分为：， 乙的综合得分为：， ， 乙队员表现更好， 故答案为：乙． 24．（本题6分） 【解析】（1）连接 ∵是的切线 ∴ ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴， ∴ ∴ ∴； （2）由，设，， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴正数 ∴，， 连接 ∵是直径， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 25．（本题5分） 【解析】（1）解：如图1， 在上取一点E使， 由旋转知，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，，， ∴， 过点E作于F， 在中，，， 当时，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 故答案为：； （2）解：函数图象如图2所示， （3）解：由图象和表格知，线段的长度的最小值约为， ∵， ∴， 由图象知，， 故答案为：，． 26．（本题6分） 【解析】（1）将代入， 得 ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线 （2）点，，在该抛物线上，且， 点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， 即， 解得 的取值范围为 27．（本题7分） 【解析】（1）解：图形如图所示： （2）①∵线段与线段关于直线对称， ∴，垂直平分线段， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案是：； ②结论：． 理由：在上截取，连接． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：． 理由：在延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； 28．（本题7分） 【解析】解：（1）根据的“隔离直线”的定义可知y1=-2x，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”， 直线y=-3x也是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”， 故答案为y1=-2x，y=-3x． （2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图． 在Rt△DGO中，OD=， ∴∠1=30°，∠2=60°， ∵⊙O的半径为2， ∴点D在⊙O上． 过点D作DH⊥OD交y轴于点H， ∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”． 在Rt△ODH中，OH= ∴点H的坐标是（0，4）， ∴直线DH的表达式为y=-x+4， 即所求“隔离直线”的表达式为y=-x+4． （3）如图， 由题意F（4，5），当直线y=2x+b经过点F时，5=8+b， ∴b=-3， ∴直线y=2x-3，即图中直线EF， ∵正方形A1B1C1D1的中心M（1，t）， 易知正方形正方形A1B1C1D1的边长为2， 当x=2时，y=1， ∴C1（2，1），直线EF是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，此时t=2， 当直线y=2x+b与y=x2-2x-3只有一个交点时， 消去y得到x2-4x-3+b=0， 由△=0，可得16-4（-3-b）=0， 解得b=-7， 此时易知M（1，-8），t=-8， 根据图象可知，当t≥2或t≤-8时，直线y=2x+b是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（北京专用） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面是入围年北京冬奥会会徽设计评选的四副作品的主体图案，其中可以抽象为中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，中心对称图形关键是要找准对称中心． 2．如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和平角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，正确识别各角之间的关系是解题的关键． 3．有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，那么下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数轴知，，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴知，， A. ， ，故A正确，符合题意； B. ， ，故B错误，不符合题意； C. ， ， ，故C错误，不符合题意； D.由知D错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是数轴和绝对值，熟知数轴上右边的数总是比左边的大及有理数的运算法则是解答此题的关键． 4．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，且， ∴只有B选项符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 5．不透明的袋子中有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是黑色的，从中随机同时摸出两枚棋子，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，列出表格，可得一共有6种等可能结果，其中摸出的两枚棋子颜色相同的有2种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 白1 白2 黑 白1 白2、白1 黑、白1 白2 白1、白2 黑、白2 黑 白1、黑 白2、黑 一共有6种等可能结果，其中摸出的两枚棋子颜色相同的有2种， 所以摸出的两枚棋子颜色相同的概率是． 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 6．“天问一号”探测器由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，飞行期间已成功完成地月合影获取、两次轨道中途修正、载荷自检等工作，截至2020年10月1日凌晨，探测器已飞行约188000000千米，飞行状态良好，把188000000用科学记数法表示，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 【详解】解：188000000这个科学记数法表示，结果正确的是1.88×108， 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 7．如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）    A．以点F为圆心，OE长为半径画弧 B．以点F为圆心，EF长为半径画弧 C．以点E为圆心，OE长为半径画弧 D．以点E为圆心，EF长为半径画弧 【答案】D 【详解】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D． 8．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． A．①②④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】 ①根据菱形的性质，运用“”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线对称，可知最小为长；③先假设，而后逆推即可判断；④连接，根据两点之间线段最短可得，当点M落在的中点时，的值最小；⑤根据图形特征得出当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，过E点作，交的延长线于F，在中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 即． 又∵， ∴，故本答案正确； ②∵，， ∵，， ∴， ∴，故本答案错误； ③假设，且， ∴是的垂直平分线． 连接， 由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∴点M是上一定点， 而M为对角线（不含B点）上任意一点， 所以，无法得到是的垂直平分线，故本答案错误； ④连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴． ∴点A和点C关于直线对称， ∴当M点与O点重合时，的值最小为的值． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 即的值最小为1，本答案正确； ⑤由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 根据“两点之间线段最短”，得最短． ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 过E点作，交的延长线于F， 则，设菱形的边长为a， ∴，． 在中，， 解得．故本答案正确． 综上所述①④⑤正确． 故答案为：D． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．使二次根式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：3+2x≥0，解得：． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方式大于等于零． 10．把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】先提取公因式m，再利用完全平方公式继续分解即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验是原方程的解； 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ． 【答案】3150名． 【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，150名学生占总人数的百分比为：， ∴估计该区会游泳的六年级学生人数约为8400×=3150(名) ． 故答案为：3150名． 【点睛】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键． 14．如图，的直径垂直弦于点E，若，，则弦的长为 ． 【答案】2 【分析】根据圆周角定理得出的度数，在中，由含30度角的直角三角形的性质求得的长，再由垂径定理得出即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直径， ∴，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了垂径定理，还考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 15．如图，是半的直径，点C在半上，，，点D是弧上的一个动点（可以和点重合），连接，过点C作于点D．下列结论正确的是 ．（填写所有正确选项的序号） ①： ②连接，当与的面积比为时，； ③在点D从点C移动到点B的过程中，点E所走过的路径长为．    【答案】①②③ 【分析】如图1所示，连接，证明是等边三角形，得到，再由是半的直径，，即可判断①；求出，根据三角形面积公式得到，，由与的面积比为，得到，则，即可得到，则，即可判断②；如图2所示，过点C作于H，取的中点M，连接，由，得到点E在以M为圆心，为直径的圆上运动，即点E的运动轨迹即为弧，由此即可判断③． 【详解】解：如图1所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是半的直径，， ∴，故①正确； ∵是半的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与的面积比为， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故②正确；    如图2所示，过点C作于H，取的中点M，连接， ∵， ∴点E在以M为圆心，为直径的圆上运动，即点E的运动轨迹即为弧， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点E的运动路径长为，故③正确； 故答案为：①②③．      【点睛】本题主要考查了求弧长，解直角三角形，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 16．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题5分）计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键． 18．（本题5分）解不等式组： 【答案】． 【详解】试题分析：解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）. 试题解析： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 不等式组的解集为． 考点：解一元一次不等式组. 19．（本题5分）已知，求代数式的值． 【答案】化简为：，结果值为：5 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案． 【详解】解： ， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20．（本题6分）如图，菱形中，分别延长至点，使，，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据菱形的性质得出CE=CD，CF=CB，再根据矩形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质得出，利用（1）的结论得到BF=2AB=10，再利用三角函数的定义即可求得BD的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵CE=CD，CF=CB， ∴四边形DBEF是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB． ∴CE=CF， ∴BF=DE， ∴四边形DBEF是矩形； （2）∵四边形DBEF是矩形， ∴， ∵AB=5， ∴BF=2CB=2AB=10， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，三角函数的知识，勾股定理的应用，关键是根据菱形的性质和矩形的判定解答． 21．（本题6分）某中学为积极开展校园足球运动，打算恰好用3000元经费购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球价格为150元，一个品牌足球价格为180元．所购买品牌的足球个数能否是所购买品牌足球个数的2倍？若能，请求出所购买的和两种品牌的足球个数，若不能，请说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设购买品牌足球个，则购买品牌的足球个，根据一个品牌足球价格为150元，一个品牌足球价格为180元，且总花费为3000元建立方程求解，检验． 【详解】解：不能，理由如下： 设购买品牌足球个，则购买品牌的足球个， 由题意得：， 解得：， 因为足球个数为整数，而不是整数，故不能． 22．（本题5分）在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用， （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）当时，，当时，，根据题意可得，问题随之得解． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知：点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 当时，， ∵当时，函数的值大于函数的值且小于5， ∴， 解得：． 23．（本题5分）为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，我校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现．计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下． 技术统计表： 队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误 甲 27.5 8 2 乙 28 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)表中的_____，____； (2)计分组的同学们已经算出了甲得分的方差为3.25，请你帮助他们算出乙得分的方差． (3)规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误．综合得分越高表现越好．利用这种评价方法_____（填“甲”或“乙”）队员表现更好． 【答案】(1)； (2) (3)乙 【分析】本题主要考查了中位数，平均数、方差的计算，熟练掌握其知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据平均数的概念和中位数的计算方法求解即可； （2）根据方差公式计算求解即可； （3）根据“综合得分”的计算方法求出甲和乙的得分，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：由统计图知，甲的平均得分， 把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30， 乙的中位数， 故答案为：，； （2）解：乙的平均得分为， 乙的方差为， ； （3）解：甲的综合得分为：， 乙的综合得分为：， ， 乙队员表现更好， 故答案为：乙． 24．（本题6分）如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质及直角三角形斜边上中线定理证明得到，故可求解； （2）由，设，，根据勾股定理求出，，连接，证明，列出比例关系即可求出，． 【详解】（1）连接 ∵是的切线 ∴ ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴， ∴ ∴ ∴； （2）由，设，， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴正数 ∴，， 连接 ∵是直径， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查圆的切线判定综合，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟知切线的性质及相似三角形的判定与性质． 25．（本题5分）如图，在中，，，点D是线段上的动点，将线段绕点A顺时针旋转至，连接．已知，设为，为．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） (1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表： 0 (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． (3)结合画出的函数图象，解决问题：线段的长度的最小值约为 ；若，则的长度x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，； 【分析】（1）本题主要考查三角形全等的判定与性质，三角函数，先构造出全等三角形，判断出，再利用三角函数求出，，进而得出，进而利用三角函数求出，，进而得出，最后用勾股定理即可得出结论； （2）本题考查画函数图像，描点，用平滑的线连接起来即可得到答案； （3）本题考查函数的性质，利用图象和表格及函数性质即可得出结论； 【详解】（1）解：如图1， 在上取一点E使， 由旋转知，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，，， ∴， 过点E作于F， 在中，，， 当时，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 故答案为：； （2）解：函数图象如图2所示， ； （3）解：由图象和表格知，线段的长度的最小值约为， ∵， ∴， 由图象知，， 故答案为：，． 26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为 (1)求a的值和抛物线的对称轴用含b的式子表示； (2)若点，，在该抛物线上，且，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 将代入，可得，则抛物线的解析式为，即可得抛物线的对称轴为直线 由题意得，点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，求出b的取值范围即可． 【详解】（1）将代入， 得 ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线 （2）点，，在该抛物线上，且， 点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， 即， 解得 的取值范围为 27．（本题7分）已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点和点在直线的同侧，作射线交直线于点，连接． (1)根据题意将图1补全； (2)如图1，如果． ① ， （用含有代数式表示）； ②用等式表示线段，与的数量关系，并证明． (3)如图2，如果，直接写出线段，，与的数量关系，不证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． ②结论：．在上截取，连接．证明，推出． （3）解题思路同（2）②． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）①∵线段与线段关于直线对称， ∴，垂直平分线段， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案是：； ②结论：． 理由：在上截取，连接． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：． 理由：在延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义： 点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”． 如图，直线l：y=-x-4是函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”． （1）在直线y1=-2x，y2=3x+1，y3=-x+3中，是如图函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为y1=-2x； 请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：y=-3x； （2）如图，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由； （3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）y1=-2x，y=-3x；（2）y=-x+4；（3）当t≥2或t≤-8时，直线y=2x+b是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”． 【分析】（1）根据的“隔离直线”的定义即可解决问题； （2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．过点D作DH⊥OD交y轴于点H，易知直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”，求出直线DH即可解决问题； （3）分两种情形正方形在x轴上方以及在x轴下方时，分别求出正方形的一个顶点在直线y=2x+b上时的t的值即可解决问题． 【详解】解：（1）根据的“隔离直线”的定义可知y1=-2x，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”， 直线y=-3x也是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”， 故答案为y1=-2x，y=-3x． （2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图． 在Rt△DGO中，OD=， ∴∠1=30°，∠2=60°， ∵⊙O的半径为2， ∴点D在⊙O上． 过点D作DH⊥OD交y轴于点H， ∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”． 在Rt△ODH中，OH= ∴点H的坐标是（0，4）， ∴直线DH的表达式为y=-x+4， 即所求“隔离直线”的表达式为y=-x+4． （3）如图， 由题意F（4，5），当直线y=2x+b经过点F时，5=8+b， ∴b=-3， ∴直线y=2x-3，即图中直线EF， ∵正方形A1B1C1D1的中心M（1，t）， 易知正方形正方形A1B1C1D1的边长为2， 当x=2时，y=1， ∴C1（2，1），直线EF是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，此时t=2， 当直线y=2x+b与y=x2-2x-3只有一个交点时， 消去y得到x2-4x-3+b=0， 由△=0，可得16-4（-3-b）=0， 解得b=-7， 此时易知M（1，-8），t=-8， 根据图象可知，当t≥2或t≤-8时，直线y=2x+b是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”． 【点睛】本题考查一次函数、正方形的性质、一次函数的应用、二次函数、反比例函数、二元二次方程组、三角函数．一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$