精品解析：广东省东莞市东莞实验中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

东莞实验中学2024-2025学年第二学期第一次段考 高一年级数学 注意事项： 1.考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 【答案】B 【解析】 【分析】由复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意复数，则的虚部为-4. 故选：B. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示，数量积的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，则，， 由，得， 所以. 故选：B 3. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断 【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误. 故选：C 4. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解． 【详解】由正弦定理得，，解得， 因为，所以或， 又因为，所以， 故选：A． 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】∵向量满足，，， ，， ， ， 故选：D 6. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形ABCD中，M是AB的中点，得到，从而利用向量基本定理得到. 【详解】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 7. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为， 故选：A． 8. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可. 【详解】设，则可得， 由，可得B是AC的中点，所以， 而，则， ，中，由余弦定理可得：， 解得：，所以该建筑的高度米. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量是否共线即可求解逐一求解. 【详解】对于A，由于，故不共线，可以作为基底， 对于B，，共线，不可以作为基底， 对于C, 由于，故不共线，可以作为基底， 对于D，由于，故， 因此，此时共线，不可以作为基底， 故选：BD 10. 已知复数，，下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则点z的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的大小关系判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的模的几何意义判断选项D. 【详解】设，, 对于A，，，故选项A正确； 对于B，当为虚数时，可以比较大小，不能比较大小，故选项B不正确； 对于C，由复数模的运算性质可知， ， ， 所以，故选项C正确； 对于D，若，则复平面内点z的集合所构成的图形是以为圆心，半径为1和的两圆之间的圆环， 面积为，故选项D正确. 故选：ACD 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用余弦定理结合基本不等式可求出的周长的最大值为，可判断B选项；利用正弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用正弦定理、三角恒等变换结合正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理可得， 因为，故，A错； 对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得 ，即， 当且仅当时，等号成立，故的周长为， 即的周长的最大值为，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时，取最大值，此时，，，C对； 对于D选项，由正弦定理可得，则，， 所以， ， 因为，则，可得，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数的模为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】的模为， 故答案为： 13. 已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围：______. 【答案】 【解析】 【分析】与所成的角为钝角即且与不平行，列式求解即可. 【详解】与所成的角为钝角即且与不平行， 即， 所以. 故答案为：. 14. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为， 则 ， 其中易得，故． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量； （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）运用数量积和模长公式求出夹角余弦值，再得到夹角即可；（2）运用向量坐标的模长公式求解即可. 【小问1详解】 由于， 则， 又，则与的夹角为； 【小问2详解】 ，则 16. 已知，，，是复平面内的四个点，其中，且向量对应的复数分别为，且． （1）求； （2）若复数，，在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合向量坐标表示可用表示出，根据复数运算和复数的相等可构造方程组求得，由此可得； （2）根据复数除法运算法则可化简得到，由此可得对应点坐标；根据点位于第四象限可构造不等式组求得的范围. 【小问1详解】 ，，，， ，则，解得：， ，. 【小问2详解】 由（1）知：， 则对应的复平面内的点为，又位于第四象限， ，解得：，即实数的取值范围为. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 18. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， 又，故， 故三点共线. 19. 在三角形中，点在线段上，平分． （1）尝试利用等面积法证明角平分线定理，即请证明：； （2）尝试利用正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； （3）若，，则是多少？ 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用结合题意可完成证明； （2）设，则，，由正弦定理结合可完成证明； （3）由角平分定理可得，然后由向量模长公式可得答案. 【小问1详解】 利用等面积法证明：设，BC边上的高为h. 由，又，故； 【小问2详解】 利用正弦定理证明：设，则， ， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得：； 【小问3详解】 由角平分线定理得，故， 于是， 两边平方得： ，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞实验中学2024-2025学年第二学期第一次段考 高一年级数学 注意事项： 1.考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 6. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则点z的集合所构成的图形的面积为 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数的模为__________. 13. 已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围：______. 14. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量； （1）求与的夹角； （2）求． 16. 已知，，，是复平面内的四个点，其中，且向量对应的复数分别为，且． （1）求； （2）若复数，，在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 18. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 19. 在三角形中，点在线段上，平分． （1）尝试利用等面积法证明角平分线定理，即请证明：； （2）尝试利用正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； （3）若，，则是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $