2025年中考数学二轮专题复习：专题四 平面直角坐标系与函数

考点四平面直角坐标系与函数——中考二轮专题复习 考点分析 考点 考点形式 考试频率 平面直角坐标系 点的坐标特征 ☆ 用坐标表示位置 ☆☆ 坐标与图形 ☆☆ 函数的基础知识 函数自变量的取值范围 ☆☆ 函数图像的判断 ☆☆☆ 函数图像的分析 ☆☆ 函数解析式的确定 ☆ 一次函数的图象与性质 一次函数的图象、性质与综合应用 ☆☆☆ 一次函数与方程（组）、不等式（组）结合 一次函数与方程（组）结合 ☆ 一次函数与不等式（组）结合 ☆ 一次函数的实际应用 一次函数的实际应用 ☆☆☆ 二次函数的图象与性质 二次函数的图象、性质与综合应用 ☆☆☆ 二次函数与方程、不等式的结合 二次函数与方程结合 ☆ 二次函数与不等式结合 ☆ 二次函数的实际应用 二次函数的实际应用 ☆☆☆ 反比例函数的图象与性质 反比例函数的增减性 ☆☆ 反比例函数与一次函数的综合 ☆☆☆ 反比例函数中比例系数k的几何意义 ☆☆☆ 反比例函数的实际应用 反比例函数的实际应用 ☆☆ 基础知识 考点一 平面直角坐标系及其相关知识 1.平面直角坐标系 平面直角坐标系 平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. 横轴：水平的数轴称为轴或横轴，习惯上取向右为正方向. 纵轴：竖直的数轴称为轴或纵轴，习惯上取向上为正方向. 原点：两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点. 象限：建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 【注意】（1）坐标轴上的点不属于任何象限. （2）象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 2.点的坐标的符号特点 点的位置 点的横、纵坐标的符号 图示 在象限内 第一象限 ，即 第二象限 ，即 第三象限 ，即 第四象限 ，即 在坐标轴上 轴 正半轴 ，即 负半轴 ，即 轴 正半轴 ，即 负半轴 ，即 原点 ，即 【拓展】 （1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. （2）与轴平行的直线上的点的纵（横）坐标相同. 3.坐标系中的距离 （1）点到坐标轴及原点的距离 ①到轴的距离； ②到轴的距离； ③到原点的距离. （2）两点间的距离（设） ①轴，； ②轴，； ③为任意两点， 考点二 函数的基础知识 概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 表示方法 解析式法 解析式主要反映两个变量之间的数量关系 列表法 表格具体地反映了函数与自变量的数值对应关系 图象法 图象主要反映事物变化规律和趋势 画函数图象的一般步骤 列表描点连线 自变量的取值范围 整式型 自变量的取值范围：任意实数，如中，为任意实数 分式型 自变量的取值范围：分母不为0，如中， 二次根式型 自变量的取值范围：被开方数大于等于0，如中， 分式二次根式型 自变量的取值范围：分母不为0且被开方数大于等于0，如中，；中，且 实际问题中 自变量的取值范围：使实际问题有意义 考点三 一次函数及其相关知识 1.一次函数的图象与性质 概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做一次函数（特别地，当时，是正比例函数） 的作用 的符号函数增减性或图象的倾斜方向；直线的倾斜程度 的作用 的符号直线与轴交点的位置 图象 经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 2.一次函数图象的平移 平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 （1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”； （2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到 向上平移个单位 向下平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位 3.一次函数的解析式 待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为； （2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式 4.一次函数与一元一次方程（组）、一元一次不等式（组） （一）一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”上看：函数中，当时，的值方程的解. （2）从“形”上看：函数的图象与轴的交点的横坐标方程的解 （二）一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，时的取值范围 不等式的解集在函数中，时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在轴下方的部分所对应的的取值范围 ( 一次 函数 图象 上点的坐标 二元 一次方程 的 解 一次 函数 二元 一次方程 )（三）一次函数与二元一次方程（组）的关系 ( 相互 转化 ) ( 一一 对应 ) 考点四 二次函数及其相关知识 1.二次函数的概念 一般式 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数 顶点式 ，函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 2.二次函数的性质 二次函数 （是常数，） 对称轴 或（其中，为二次函数图象）与轴两个交点的横坐标 顶点坐标 （1）利用顶点坐标公式求解； （2）用配方法把一般式转化为顶点式求解； （3）将对称轴代入函数解析式求解 增减性 时，当时，随的增大而减小；当时，取最小值；当时，随的增大而增大 时，当时，随的增大而增大；当时，取最大值；当时，随的增大而减小 3.二次函数的图象与之间的关系 决定抛物线开口方向 抛物线开口向上 抛物线开口向下 决定抛物线对称轴的位置 对称轴为轴； （同号）对称轴在轴左侧； （异号）对称轴在轴右侧 决定抛物线与轴交点的位置 抛物线过； 抛物线与轴交于正半轴； 抛物线与轴交于负半轴 4.二次函数解析式的求解 用待定系数法求二次函数的解析式时，注意解析式的设法，常见情况如下： 已知 所设表达式 顶点+其他 顶点在原点处： 顶点在轴上： 顶点在轴上： 与轴的两个交点+其他 （注：与轴的两个交点为） 任意三个点 过原点： 5.二次函数与一元二次方程 （1）一元二次方程的解是二次函数的图象与轴的交点的横坐标； （2）判别式决定抛物线与轴的交点个数： ①方程有两个不相等的实数根抛物线与轴有两个交点； ②方程有两个相等的实数根抛物线与轴有一个交点； ③方程没有实数根抛物线与轴没有交点 考点五 反比例函数及其相关知识 1.反比例函数的概念 概念：一般地，形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，其中是自变量，是函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数（为常数，）也可以写成（为常数，）或（为常数，）的形式. 2.反比例函数的图象性质 反比例函数 的符号 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 性质 增减性 在同一支上，随的增大而减小；在两支上，第一象限值大于第三象限值 在同一支上，随的增大而增大；在两支上，第二象限值大于第四象限值 渐近趋势 反比例函数图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交 3.反比例函数比例系数的几何意义 反比例函数中的几何意义包括以下两种： （1）如图所示，过曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，所得的矩形的面积.因为，所以，所以，即过双曲线上任意一点作轴，轴的垂线，所得的矩形面积为. （2）如图，过双曲线上的任意一点作轴，垂足为，连接，则，即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为. 考点突破 1.在平面直角坐标系中,点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.如图所示，在象棋盘上，若“帅”位于点，“象”位于点，则“炮”位于点( ) A. B. C. D. 3.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是( ) A. B. C. D. 4.已知点是平面直角坐标系第二象限内一点,则x的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 5.如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为( ) A. B. C. D. 6.如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2m时,水面宽4m,水面下降2.5m,水面宽度增加( ) A.1m B.2m C.3m D.6m 7.如图所示,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是,,,,则点E的坐标是( ) A. B. C. D. 8.二次函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 9.如图,在平面直角坐标系中,是边长为4的等边三角形,直线过的中点C,且平行于,交x轴于点D,交y轴于点E,则直线的解析式为( ) A. B. C. D. 10.如图,点A在双曲线上,连接并延长,交双曲线于点B,点C为x轴上一点,且,连接,若的面积是6,则k的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 11.将抛物线向右平移3个单位,再向上平移1个单位后恰好经过点,则m值是______. 12.甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,匀速行进甲先出发且先到达B地,他们之间的距离s(km)与甲出发的时间t(h)的关系如图所示,则乙由B地到A地用了______h. 13.如图,直线与直线交于点,则关于x的不等式的解集是______. 14.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为,则能建成的饲养室总占地面积最大为______. 15.如图,点和点B在反比例函数的图象上,延长与y轴相交于点C,若,则点C的纵坐标为______. 16.实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y毫克百毫升与时间x时变化的图象如图图象由线段OA与部分双曲线AB组成所示国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 求部分双曲线AB的函数表达式； 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6：30能否驾车去上班？请说明理由． 17.如图，函数与的图象交于点. (1)求k的值； (2)求的面积. 18.共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费（元），B品牌收费（元）. 根据以上信息，解答下列问题： (1)A品牌每分钟收费_______元； (2)求B品牌收费的函数关系式，并描述B品牌的收费方案； (3)如果小豫每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小豫家到工厂的距离为，那么小豫选择哪个品牌的共享电动车更省钱？ 19.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)判断的形状,并证明你的结论； (3)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点P,使得的面积最大？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由. 20.如图,一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点,且与x轴交于点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图1,将直线向上平移个单位,平移后的直线与的图象在第一象限交于点P,若,求平移距离d； (3)如图2,Q是第二象限内一点,,连接,将绕点O顺时针旋转,点Q的对应点恰好落在该反比例函数图象上,求点Q的坐标. 答案以及解析 1.答案：D 解析：∵,,∴点在第四象限. 故选D. 2.答案：D 解析：如图所示：“炮”位于点. 故选：D. 3.答案：D 解析：由一次函数可知，一次函数的图象与x轴交于点，排除A、B； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限， 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C； 故选D. 4.答案：C 解析：由题意得： , 解得：, 则在数轴上表示为 ； 故选C. 5.答案：C 解析：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C. 6.答案：B 解析：如图,建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点, 则O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为, 设顶点式,把A点坐标代入得, ∴抛物线解析式为, 当水面下降2.5米, 把代入抛物线解析式得出：, 解得：, , 所以水面下降2.5m,水面宽度增加2米, 故选B. 7.答案：C 解析：∵点A坐标为, ∴点A在该平面直角坐标系的y轴上, ∵点C、D的坐标为,, ∴点C、D关于y轴对称, ∵正五边形ABCDE是轴对称图形, ∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴, ∴点B、E也关于y轴对称, ∵点B的坐标为, ∴点E的坐标为, 故选C.. 8.答案：D 解析：由图象得,,, ,故选项A错误； ∵二次函数图象与x轴有两个交点, ,故选项B错误； ∵抛物线的对称轴为直线, ∴当时,, ,故选项C错误： ∵抛物线的对称轴为直线, ∴, , ,故选项D正确, 故选：D. 9.答案：D 解析：是边长为4的等边三角形, ,, , 连接, 直线平行于, ,, 是等边三角形, , 点C是的中点, , , 点是中点, , 在中, , , 即, 直线的解析式为, 故选：D. 10.答案：C 解析：如图,过点A作轴于点D,过点B作轴于点F, 点A在双曲线上,点B在双曲线上, ,, , , , , , , ,, , , , , , 故选：C. 11.答案：-30 解析：抛物线向右平移3个单位,再向上平移1个单位后解析式为, 把代入得：, , 故答案为：. 12.答案：10 解析：由图可得, 甲的速度为：, 则乙的速度为：, 则乙由B地到A地用时：, 故答案为10. 13.答案：/ 解析：∵根据图象进行对比可得：, ∴把,代入可得：, 解得：, ∴, 故答案为：. 14.答案： 解析：可建墙体的总长为,三处各留宽的门,则总长为. 设该饲养室的宽为,则长为, 该饲养室的面积. 由二次函数的性质可知当时,S取最大值,最大值为. 故答案为：. 15.答案：4 解析：由点在反比例函数的图象上,可知, ∴反比例函数解析式为：； 过点A、B分别作x轴的垂线,垂足为F,E,过点A作于点D,交于点H, ∴, ∴, ∴, 如图,点,, . ∴, 又,, , ∴, ∴, 点B的坐标为, , ∵, ∴ ∴, ,即点C的纵坐标为4. 故答案为：4. 16.答案：（1） （2）不能 解析：(1)依题意，直线OA过，则直线OA的解析式为， 当时，，即，设双曲线的解析式为，将点代入得：， ； (2)由得当时，， 从晚上22：00到第二天早上6：30时间间距为8.5小时， ， 第二天早上6：30不能驾车去上班 17.答案：(1)3； (2)6 解析：(1)函数与的图象交于点， 将代入两函数解析式，得：， 解得：， k的值为3； (2)对于函数， 令，则， 解得：， ， ， 由(1)得：， ， ， 的面积是6. 18.答案：(1)0.2； (2)；当骑行时间不超过时，收费3元；当骑行时间超过时，除了收费3元，每多骑行加收0.1元； (3)小豫选择B品牌的共享电动车更省钱. 解析：（1）设， 把点代入中，得：， 解得：， 故答案为：0.2. （2）由图象可知，当时，， 当时，设， 把点和代入中，得： 解得：，， 综上：. B品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费3元；当骑行时间超过时，除了收费3元，每多骑行加收0.1元. （3）， ，由图象可知，当骑行时间超过时，， 小豫选择B品牌的共享电动车更省钱. 19.答案：(1), (2)直角三角形,证明见解析 (3)存在, 解析：(1)∵点在抛物线上, ∴, ∴, ∴抛物线的解析式为：； ∵, ∴顶点. (2)∵抛物线与y轴交于点C, ∴当时,, ∴, ∴, ∵抛物线与x轴交于点A,点B, ∴, ∴,, ∴点, ∴,,, ∵；；, ∴, ∴是直角三角形. (3)存在,理由如下： 过点P作轴,交于E, 设直线的解析式为, ∵,, ∴, 解得：, ∴直线的解析式为, 设,则, ∴, ∴, ∵, ∴当时,有最大值, ∴, ∴点. 20.答案：(1), (2) (3) 解析：(1)点在一次函数上, , 一次函数的表达式为； 点在直线上, , . , 把代入得, 解得：, 反比例函数的表达式为； (2)法1：作轴交直线于点D, , , , , . 法2：设直线平移前后与y轴分别交于E,F两点, 连接,, 与同底等高, , , , , ； (3)连接,设点Q的对应点为点G,过点G作轴于N,过点Q作轴于M, 由旋转的性质可知：,, , 轴,轴,, , ,, ,, 点,, ,为等腰直角三角形. 设,则, ,,点G的坐标为, 点在反比例函数的图象上,, 解得：,(不合题意,舍去), 当时,, 点Q的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$