专题10 概率与随机变量及其分布大题综合（3考点35题）（苏教版2019，江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题10 概率与随机变量及其分布大题综合（3考点35题） 题型概览 题型01概率 题型02随机变量及其分布 题型03正态分布 优选提升题 概率题型01 1．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球． (1)现从甲、乙两个袋内各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． (2)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率． 2．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求： (1)求第次抽到黑球且第次也抽到黑球的概率； (2)已知第次抽到黑球，则第次抽到黑球的概率； (3)判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立． 3．(23-24高二下·江苏徐州·期中)设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球． (1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率； (2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 4．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)一个袋子内装有若干个颜色为红､白､黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为. (1)求袋子内小球的个数； (2)若从中随机抽取个小球，设取出白球的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)若一次只抽取个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率. 5．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 6．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)某校学生文艺部有男生4人，女生2人 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 7．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. (1)问抽到不合格品的概率是多少? (2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? 8．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； (2)求第二次取到2号球的概率； 9．(23-24高二下·江苏连云港七校·期中)在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 10．(23-24高二下·江苏苏州·期中)某工厂有三个车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产该通讯器材的优等品率为，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的，，． (1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？ (2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第个车间生产的概率． 11．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 12．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为． (1)求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率； (2)求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率． 13．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. (1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； (2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求 ②求 14．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； (2)求第二次取到1号球的概率； (3)如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有多少种? 随机变量及其分布题型02 15．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)袋中有形状、大小完全相同的4个球，编号分别为，从袋中取出2个球，以X表示取出的2个球中的最大号码． (1)写出X的分布列； (2)求X的均值与方差． 16．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个白球和2个红球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， (1)求的概率即 (2)求取出白球的数学期望和方差 17．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目. (1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 18．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差． 19．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)新高考方案的考试科目简称“3+1+2”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等. (1)求学生选科为“物理、化学和生物”的概率； (2)若选科完毕后的某次考试中，甲同学首选科目及格的概率是 ，每门再选科目及格的概率都是 ，且各门课程及格与否相互独立.用X表示该同学所选的3门课程在这次考试中及格的门数，求随机变量X的分布列和数学期望 20．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 21．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 22．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为、．假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格期望大于处理价格作为可以购买的依据． (1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； (2)现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验． ①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望； ②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，判断此箱是否可以购买． 23．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动．抽奖箱中有2个蓝球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.有以下两种抽奖方案可供选择： 初始奖池 摸球方式 奖励规则 方案A 30元 不放回摸2次，每次摸出1个球. 每摸出一个红球，奖池金额增加50元，在抽奖结束后获得奖池所有金额. 方案B 有放回摸2次，每次摸出1个球. 每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后获得奖池所有金额. (1)若顾客选择方案A，求其所获得奖池金额X的分布列及数学期望； (2)以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案A还是方案B？ 24．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 25．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 26．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一､二等品，则为不合格品. (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品的件数，求的分布列和数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5 ①求2件减排器的利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：） 27．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； 28．(23-24高二下·江苏苏州·期中)甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求： (1)在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）； (2)在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差． 29．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.该4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元：分12期或15期付款，其利润为2万元.用X表示经销一辆汽车的利润. 付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期 分15期 频数 30 20 10 (1)求上表中的值； (2)若以频率作为概率，求事件“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率； (3)求的分布列及均值. 正态分布题型03 30．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）. (1)现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率. 参考数据：若，则，， 31．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 32．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 33．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据： 男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29； 女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49. (1)在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导.求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率； (2)时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率.现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望. 34．(23-24高二下·江苏南通·期中)现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球. (1)当时， ①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率； ②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率； (2)记第三次取到白球的概率为，证明：. 35．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)联合国将每年的4月20日定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉［jié］造字的贡献，促进联合国六种官方语言平等使用．为宣传“联合国中文日”，某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，竞赛分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下： ①个人赛规则：每位留学生需要从“拼音类”、“成语类”、“文化类”三类问题中随机选1道试题作答，其中“拼音类”有6道，“成语类”有8道，“文化类”有10道，若答对将获得一份奖品． ②对抗赛规则：两位留学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答同一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，累计得分为正者将获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)留学生甲参加个人赛，根据以往答题经验，留学生甲答对“拼音类”、“成语类”、“文化类”的概率分别为，，，求留学生甲答对了所选试题的概率； (2)留学生乙和留学生丙参加对抗赛，根据以往答题经验，每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为，，设随机变量X为“第一轮中留学生丙的得分”，求和； (3)在（2）的条件下，求留学生丙获得奖品的概率． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 概率与随机变量及其分布大题综合（3考点35题） 题型概览 题型01概率 题型02随机变量及其分布 题型03正态分布 优选提升题 概率题型01 1．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球． (1)现从甲、乙两个袋内各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． (2)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【来源】江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列求解步骤，利用古典概型公式求相应概率可得分布列，再由利用期望定义式求解即可； （2）利用全概率公式求解可得. 【详解】（1）的所有可能取值为， ；； ；； . 故的分布列为 0 1 2 3 4 . （2）记事件从甲袋中取出2个红球，从甲袋中取出2个白球，从甲袋中取出1个红球和1个白球，从乙袋中取出2个红球. 两两互斥，且即“从甲袋中任取2个球”的样本空间. 由全概率公式得， . 故从乙袋中取出的是2个红球的概率是. 2．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求： (1)求第次抽到黑球且第次也抽到黑球的概率； (2)已知第次抽到黑球，则第次抽到黑球的概率； (3)判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立． 【答案】(1) (2) (3)不相互独立 【来源】江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】（1）先记事件为“第一次取到黑球”，事件为“第二次取到黑球”，则事件为“两次都取到黑球”，由古典概型的概率，即可求出结果； （2）由条件概率公式即可求得； （3）计算出，得到，则可判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”不互相独立. 【详解】（1）设“第1次抽到黑球”，“第2次抽到黑球”， 第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率为 . （2）依题意知，又， 则在第1次抽到黑球的条件下第2次抽到黑球的概率为 . （3）第1次抽到黑球的概率， 第2次抽到黑球的概率. 所以， 由（1）知， 所以， 则事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”不相互独立. 3．(23-24高二下·江苏徐州·期中)设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球． (1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率； (2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】（1）运用互斥事件的定义，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可. 【详解】（1）记事件：从甲袋中取出2个红球，：从甲袋中取出2个白球，：从甲袋中取出1个白球和1个红球，B：从乙袋中取出2个红球． 显然，，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间． 由全概率公式，得 ． 答：从乙袋中取出的是2个红球的概率为． （2）设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“第一次取出的球是红球”为事件B，“第二次取出的球是白球”为事件C，则， ，， 故， 所以 答：第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是识别全概率公式运用的条件. 4．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)一个袋子内装有若干个颜色为红､白､黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为. (1)求袋子内小球的个数； (2)若从中随机抽取个小球，设取出白球的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)若一次只抽取个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析；； (3). 【来源】江苏省沭阳如东中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）设红球、白球、黑球的个数分别为，根据异色球的概率列方程求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式求出概率，进而可得分布列，然后可求期望； （3）设第一次抽取的是红球、白球、黑球别为事件A，B，C，第二次抽取的是黑球为事件D，利用全概率公式求，然后再由条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设红球、白球、黑球的个数分别为， 因为从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为， 所以，即， 整理得，因为，所以， 所以袋子内小球的个数为. （2）由（1）知，袋中有8个小球，其中4个白球，故， ，， ，， 0 1 2 3 P . （3）设第一次抽取的是红球、白球、黑球别为事件A，B，C，第二次抽取的是黑球为事件D， 则， ， 所以， 所以第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率为. 5．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 【答案】(1) (2)；；. 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）利用条件概率求解. 【详解】（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：. 所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：. （2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件， 则客户满意且是甲运送的概率为：, 客户满意且是乙运送的概率为：, 客户满意且是丙运送的概率为：. 6．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)某校学生文艺部有男生4人，女生2人 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】(1)480 (2)， 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）利用插空法求解； （2）①利用古典概型的概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【详解】（1）先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生， 所以2名女生互不相邻得排法有种. （2）①设事件表示“男生甲被选中”，则. ②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”， 则，， 所以. 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为. 7．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. (1)问抽到不合格品的概率是多少? (2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. （2）结合第（1）问，利用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”， 表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，， 由题意，，，，， 且，，，， 从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是： . （2）结合第（1）问知. 8．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； (2)求第二次取到2号球的概率； 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由条件概率公式即可得解. （2）由全概率公式、条件概率公式即可得解. 【详解】（1）记事件分别表示第一次、第二次取到号球， ， 则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率； （2）依题意两两互斥， 其和为， 并且， ，， ， 应用全概率公式， 有. 9．(23-24高二下·江苏连云港七校·期中)在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 【答案】(1)； (2). 【来源】江苏省连云港市七校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可； （2）根据概率乘法公式计算即可. 【详解】（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 第一个人摸出个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球， 故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率. （2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件， 所以 10．(23-24高二下·江苏苏州·期中)某工厂有三个车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产该通讯器材的优等品率为，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的，，． (1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？ (2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第个车间生产的概率． 【答案】(1) (2)，， 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解； （2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）设事件分别表示取出的通讯器材是第个车间生产的，表示“取到的是优等品”. 易知两两互斥，根据全概率公式， 可得 ． 所以从仓库中任取一个该通讯器材，取到优等品的概率是． （2） 如果取到的通讯器材是优等品，它是第1个车间生产的概率为； 如果取到的通讯器材是优等品，，它是第2个车间生产的概率为； . 如果取到的通讯器材是优等品，，它是第3个车间生产的概率为. 11．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】 (1)合理设出事件，利用条件公式进行求解； (2) 利用全概率公式进行求解； (3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解； 【详解】（1）记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件. . 所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为. （2） 所以第一次取到白球的概率为. （3） 所以. 所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为. 12．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为． (1)求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率； (2)求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式与条件概率的乘法公式即可得解； （2）利用全概率公式求解. 【详解】（1）用，分别表示第一次、第二次借阅“期刊杂志”，用，表示第一次、第二次借阅“文献书籍”. 则，，，,. 记两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”为事件，则 . （2）设第二次借阅“文献书籍”为事件，则： . 13．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. (1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； (2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求 ②求 【答案】(1) (2)①，，；② 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）直接根据分步计数原理和古典概率公式计算即可； （2）是条件概率公式的乘法形式，则是根据代入条件概率公式计算，需要根据容斥原理计算，因为不互斥，计算则属于马尔科夫链的概率模型，其本质为全概率公式，通过全概率公式计算和即可计算. 【详解】（1）； （2）①， ， ， ； ②， . 14．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； (2)求第二次取到1号球的概率； (3)如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有多少种? 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省江阴长泾中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）利用缩样法求条件概率； （2）记事件分别表示第一次、第二次取到号球，则事件第二次取到1号球可表示为，利用全概率公式求结论； （3）满足要求的放法有两类，有两个口袋都放一个球，第三个口袋放3个球，或有2个口袋都放2个球，第三个口袋放1个球，再根据分堆分配问题的处理方法求解. 【详解】（1）记事件分别表示第一次、第二次取到号球， ， 则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率， （2）依题意 两两互斥， 其和为， 并且 应用全概率公式， 有 （3）先将5个不同的小球分成1，1，3或1，2，2三份，再放入三个不同的口袋， 则不同的分配方法有 随机变量及其分布题型02 15．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)袋中有形状、大小完全相同的4个球，编号分别为，从袋中取出2个球，以X表示取出的2个球中的最大号码． (1)写出X的分布列； (2)求X的均值与方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)； 【来源】江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列求解步骤，利用古典概型公式求相应概率可得； （2）利用期望与方差定义式求解即可. 【详解】（1）的所有可能取值为. ；；. 故的分布列为 2 3 4 （2）； . 故X的均值为为；方差为． 16．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个白球和2个红球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， (1)求的概率即 (2)求取出白球的数学期望和方差 【答案】(1) (2)， 【来源】江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）首先求出，再根据对立事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，求出对应的概率，然后可得答案. 【详解】（1）因为，所以； （2）依题意的可能取值为、、， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以， . 17．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目. (1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2，方差为. 【来源】江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）结合排列知识应用古典概型概率公式求解即可； （2）由题设的可能值为0，1，2，3，4，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望和方差. 【详解】（1）设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则， 所以该同学摸球三次后停止摸球的概率为. （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4. ，，，，. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以， . 18．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出随机变量的分布列；（2）根据分布列由期望方差公式求解即可得出答案； 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ；； ；； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， 方差． 19．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)新高考方案的考试科目简称“3+1+2”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等. (1)求学生选科为“物理、化学和生物”的概率； (2)若选科完毕后的某次考试中，甲同学首选科目及格的概率是 ，每门再选科目及格的概率都是 ，且各门课程及格与否相互独立.用X表示该同学所选的3门课程在这次考试中及格的门数，求随机变量X的分布列和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【来源】江苏省海州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由古典概率结合组合计算即可； （2）得到随机变量的可能取值，计算概率，列出分布列，用公式求出期望即可 【详解】（1）因为各类别中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等， 所以学生选科为“物理、化学和生物”的概率为， （2）随机变量X的可能取值为， 则，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 期望， 20．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 【答案】(1) (2)甲同学得分的数学期望为；乙同学得分的数学期望为. 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）利用组合数和概率乘法公式即可计算求解. （2）甲得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望；乙得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望. 【详解】（1）由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为. （2）记甲同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以甲同学得分的数学期望为. 记乙同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以乙同学得分的数学期望为. 21．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 【答案】(1) (2)见解析 【来源】江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用超几何分布和二项分布求概率即可； （2）计算出两人答对歌名个数的期望和方差即可. 【详解】（1）设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为, 则可能为2，3，4， 则, 由题意知，贾某轩答对的题数满足， 故, 闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道， 故共答对3首歌名的概率：. （2）由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下： X 2 3 4 P 故期望， 方差， 且，故，, 故. 所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定， 故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动 22．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为、．假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格期望大于处理价格作为可以购买的依据． (1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； (2)现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验． ①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望； ②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，判断此箱是否可以购买． 【答案】(1)可以购买 (2)①分布列见解析，；②不可以购买 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】（1）求出在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望，再与比较，即可得出结论； （2）①写出的所有取值，求出对应概率，再根据期望公式求期望即可； ②先利用条件概率公式分别在求出两种箱子抽取的概率，再求出正品价格的期望，再与比较，即可得出结论. 【详解】（1）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为： ， 所以不开箱检验的情况下，可以购买； （2）①由题意，可取， 则， 所以的分布列为： 所以； ②设事件：发现在抽取抽取检查的盏产品中，其中恰有盏是废品， 则， 设事件：抽取的是废品为盏的一箱， 则， 事件：抽取的是废品为盏的一箱， 则， 设正品价格的期望为，则可取， 则， 所以， 所以在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，此箱不可以购买． 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解． （2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解； （3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解． 23．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动．抽奖箱中有2个蓝球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.有以下两种抽奖方案可供选择： 初始奖池 摸球方式 奖励规则 方案A 30元 不放回摸2次，每次摸出1个球. 每摸出一个红球，奖池金额增加50元，在抽奖结束后获得奖池所有金额. 方案B 有放回摸2次，每次摸出1个球. 每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后获得奖池所有金额. (1)若顾客选择方案A，求其所获得奖池金额X的分布列及数学期望； (2)以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案A还是方案B？ 【答案】(1)分布列见解析，80 (2)选择方案. 【来源】江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】（1）根据题意可能取值为30，80，130，满足超几何分布，求出分布列与期望； （2）若顾客选择B,的可能取值为30，60，120，满足二项分布，求出分布列与期望，比较大小，判断选择方案. 【详解】（1）由题意可知可能取值为30，80，130，则 ，，， 所以的分布列为: 所以. （2）设顾客选方案B，所获得的金额为，则的可能取值为30，60，120，则 ， ， ， 的分布列为: 所以， 所以，所以选择方案A. 24．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）选出名队员中主力队员，求解概率分布和数学期望； （2）根据每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或投完5次，可得，求出期分布和期望. 【详解】（1）根据题意可得， 则,, ,, 则的分布列为： 所以 （2）根据每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或投完5次，可得，则 则的分布列， . 25．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【答案】(1) (2)， 【来源】江苏省盐城市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题 【分析】（1）利用超几何分布的概率计算公式计算即可得解； （2）计算超几何分布的期望与方差即可得. 【详解】（1）设甲老师答对2个问题为事件，则. 所以甲老师答对2个问题的概率为. （2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8， ，，， 则， . 26．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一､二等品，则为不合格品. (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品的件数，求的分布列和数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5 ①求2件减排器的利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：） 【答案】(1)分布列见解析； (2)①0.81；②要增加产量，增加3件最好 【来源】江苏省沭阳如东中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①根据相互独立事件的乘法公式计算即可； ②先求出一件减排器的平均利润，进而可得出增加件产品，利润增加量和成本的提高量，进而可得出净利润，再利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）， ，， ，， 分布列如下： 0 1 2 3 P ； （2）①设2件减排器的利润为Y万元， ， 所以2件减排器的利润不少于1万元的概率为0.81； ②一件减排器的平均利润为（万元）， 则增加件产品，利润增加为万元，成本也相应提高万元， 所以净利润为， 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，因为x只能取正整数，所以或，此时可能为最大值， ， ， 所以要增加产量，增加3件最好. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下： （1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 27．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【来源】江苏省邗江中学2023-2024学年学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望. 【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件． 则，所以； （2）依题意知服从超几何分布，且， 所以的分布列为： 0 1 2 . 28．(23-24高二下·江苏苏州·期中)甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求： (1)在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）； (2)在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)甲的得分的均值与方差分别为 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】（1）根据题意一轮比赛中，甲得分的可能取值为，分别求解概率即可得分布列； （2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，分别求解概率，根据均值与方程的定义求解即可得结论. 【详解】（1）一轮比赛中，甲得分的可能取值为， ， 则的概率分布列为： （2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为， ， ， ， ， 所以甲的得分的均值为， 甲的得分的方差为， 甲的得分的均值与方差分别为. 29．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.该4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元：分12期或15期付款，其利润为2万元.用X表示经销一辆汽车的利润. 付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期 分15期 频数 30 20 10 (1)求上表中的值； (2)若以频率作为概率，求事件“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率； (3)求的分布列及均值. 【答案】(1)，； (2)0.896； (3)分布列见解析，1.5万元. 【来源】 江苏省邳州市文华高级中学2023--2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据给定的频率及购车顾客总数，列式计算即得. （2）利用互斥事件及独立重复试验的概率公式计算即得. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）由分9期付款的频率为0.2，得，解得， 又，解得， 所以，. （2）以频率作为概率，购买该品牌汽车的顾客中采用分9期付款”的概率为， 所以“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用9期付款”的概率为： . （3）的可能取值为：1，1.5，2（单位万元） ，，， 所以的分布列为 1 1.5 2 0.3 0.4 0.3 的数学期望(万元). 正态分布题型03 30．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）. (1)现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率. 参考数据：若，则，， 【答案】(1)分布列见解析，； (2)，； (3). 【来源】 江苏省邳州市文华高级中学2023--2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列关求出期望. （2）根据给定条件，利用二项分布的概率公式，结合互斥事件的概率求出概率，用二项分布的方差公式求出方差. （3）利用正态分布的对称性和对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）由题意，可知可取0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 从而的数学期望. （2）可取的值为0，1，2，3，4，5，6，显然， ，， . 所以技术攻坚成功的概率， 所以的方差. （3）由，得，由，得， 则， 于是，则， 记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件， 则. 所以至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为. 【点睛】方法点睛：判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为，；二是看是否为次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数. 31．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)， (3)0.2056． 【来源】江苏省泰州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由题意服从超几何分布，求出对应的概率即可得到分布列以及数学期望； （2）由二项分布的概率公式以及方差公式即可得解； （3）由正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】（1）由题知，的可能取值为0，1，2，． 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望． （2）由题意可知，服从二项分布， 故， 技术攻坚成功的概率为 ， ． （3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以． 从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056． 32．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 【答案】(1)分布列见解析 (2)①，，；②，； 【来源】江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）列出随机变量的所有可能取值并求得对应的概率，写出其分布列即得； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求得，，再通过构造等比数列求得数列的通项即得. 【详解】（1）的可能取值为2和3， 则， 所以随机变量的分布列为： 2 3 （2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，， 则有，，. ②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即，， 所以，且. 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查全概率公式应用和数列递推公式的处理方法,属于难题. 解题的关键有二，其一，在用表示事件“经过次传球后，球在甲手中”后 ，要想到运用全概率公式得到，再运用独立事件的概率乘法公式展开得到；其二，在此数列递推式两边凑项，构造等比数列. 33．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据： 男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29； 女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49. (1)在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导.求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率； (2)时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率.现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【来源】江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由数据分析并进行标记，将问题转化为“从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，求甲被A指导的概率”，利用古典概率公式计算即得； （2）记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有人，分析判断可得，~，~，而，根据的所有可能取值0，1，2，3，4.分别求其概率，列出分布列，利用二项分布均值公式计算即得. 【详解】（1）由数据分析知“阅读能手”有4人，“阅读后进者”有3人，我们把阅读时长为51、49、46、46小时的同学分别记为A、B、C、D； 把阅读时长为10、11、12小时的同学分别记为甲、乙、丙. 那么问题即为：从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，求甲被A指导的概率. 从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，则共有种情况. 记“甲被A指导”为事件E，若甲被A指导，那么只需从BCD中随机选2人指导乙丙， 则共有种情况. 则.即阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率为. （2）由题意可知，随机抽取一名男生为“阅读爱好者”的概率为，随机抽取一名女生为“阅读爱好者”的概率为. 记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有人， 则~，~，.于是有                                的所有可能取值为0，1，2，3，4.从而 ； =； =； =；    的分布列为：                  0 1 2 3 4 . 34．(23-24高二下·江苏南通·期中)现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球. (1)当时， ①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率； ②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率； (2)记第三次取到白球的概率为，证明：. 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题 【分析】（1）①时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率； ②先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，再结合条件概率即可得解； （2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，进而得证． 【详解】（1）①时，第二个袋中有2白2红，共4个球， 从中连续取出三个球（每个取后不放回）， 第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白， ∴第三次取出为白球的概率为； ②设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为， 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： （白，白，白），若则，取法数为， 若或或，取法数为，也满足关系， 故取（白，白，白）的取法可表示为， 同理（白，红，白），取法数为， （红，白，白），取法数为， （红，红，白），取法数为， 从而第三次取出的是白球的种数为： ， 则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率， 则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率， 而选到第个袋子的概率为，故所求概率为： ， 所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为； （2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为， 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： （白，白，白），取法数为， （白，红，白），取法数为， （红，白，白），取法数为， （红，红，白），取法数为， 从而第三次取出的是白球的种数为： ， 则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率， 而选到第个袋子的概率为， 所以． 【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题：根据题意首先分类讨论不同值情况下的抽取总数(可直接用值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中与的关系可简化累加步骤. 35．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)联合国将每年的4月20日定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉［jié］造字的贡献，促进联合国六种官方语言平等使用．为宣传“联合国中文日”，某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，竞赛分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下： ①个人赛规则：每位留学生需要从“拼音类”、“成语类”、“文化类”三类问题中随机选1道试题作答，其中“拼音类”有6道，“成语类”有8道，“文化类”有10道，若答对将获得一份奖品． ②对抗赛规则：两位留学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答同一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，累计得分为正者将获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)留学生甲参加个人赛，根据以往答题经验，留学生甲答对“拼音类”、“成语类”、“文化类”的概率分别为，，，求留学生甲答对了所选试题的概率； (2)留学生乙和留学生丙参加对抗赛，根据以往答题经验，每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为，，设随机变量X为“第一轮中留学生丙的得分”，求和； (3)在（2）的条件下，求留学生丙获得奖品的概率． 【答案】(1) (2)，； (3) 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）利用独立事件的概率求解； （3）利用独立重复试验求解. 【详解】（1）解：设留学生甲选1道“拼音类”试题为事件A，选1道“成语类”试题的事件为B，选1道“文化类”试题为事件C，答对试题为事件D， 则， 又， 所以， ； （2）第一轮中留学生丙得-1分的概率为：； 第一轮中留学生丙得0分的概率为：； 第一轮中留学生丙得1分的概率为： ； 所以， ； （3）在3轮比赛后，留学生丙得3分的概率为：； 在3轮比赛后，留学生丙得2分的概率为：； 在3轮比赛后，留学生丙得1分的概率为：； 所以留学生丙获得奖品的概率为：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$