专题07 排列组合与二项式定理大题综合（4考点35题）（苏教版2019，江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题07 排列组合与二项式定理大题综合（4考点35题） 题型概览 题型01排列数、组合数的计算 题型02二项式定理 题型03奇偶项系数问题 题型04排列组合综合 优选提升题 排列数、组合数的计算题型01 1．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)求值（用数字表示） (1) (2) (3) 【答案】(1)64 (2)15 (3)或 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数公式计算可得； （3）首先确定的值，再由排列、组合数公式计算可得. 【详解】（1） ； （2）； （3）依题意可得，又，解得或， 当时，； 当时，. 2．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)（1）求值: （2）解方程： 【答案】（1）；（2）或. 【来源】江苏省江阴长泾中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）直接利用排列数公式计算即可； （2）根据组合数的运算性质将原方程化为或，解一元二次方程，结合组合数的性质计算即可. 【详解】（1）； （2）由题意，为正整数，由可得或 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求， 故或. 二项式定理题型02 3．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1)7 (2) 【来源】江苏省盐城市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题 【分析】（1）根据题意结合二项式系数可得，且，运算求解即可； （2）根据二项展开式的通项可得，令，代入运算即可. 【详解】（1）由题意可知：，且， 可得，解得. （2）由（1）可知：的展开式的通项为， 令，解得，所以展开式中含的项为. 4．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数的绝对值最大的项为第几项． 【答案】(1) (2)第4项． 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期中考试试卷 【分析】（1）直接利用展开式的次幂得到展开式的项数，进一步求出二项式系数的最大项； （2）利用展开式求出系数的绝对值的最大项． 【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第6项， 所以． （2）（2）设第项的系数的绝对值最大， 故 整理得，，解得，所以． 故系数的绝对值最大的项为第4项． 5．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的系数之和． 【答案】(1)6 (2)1270 【来源】江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】（1）写出通项，结合已知代数计算即可； （2）由通项求出有理项的系数，计算即可. 【详解】（1）依题意，展开式的通项公式 显然第三项系数为，第四项系数为， 因此，解得， 所以的值为6. （2）知，当时，对应的项是有理项， 当时，展开式中对应的有理项为：. 当时，展开式中对应的有理项为. 当时，展开式中对应的有理项为. 所以展开式中有理项的系数之和为． 6．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1 (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2)或 【来源】江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据已知先求出，然后结合通项展开式即可求解； （2）由不等式组法求得系数最大的项位于展开式中的第几项，由此即可得解. 【详解】（1）二项式通项公式为 ， 所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，第三项的系数为：， 由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或 （舍去）， 二项式通项公式为， 根据题意，得，解得，因此，展开式中含的项为. （2）设第k项的系数最大，故， 即，即， 解得，因为，所以或， 故系数最大的项为或． 7．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)（1）求展开式中的常数项； （2）已知，，的展开式中含项的系数为，含项的系数为，求的近似值.（精确到0.01） 【答案】（1）60；（2）2.02 【来源】江苏省盐城中学、南京二十九中联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）由，写出展开式的通项，利用通项计算可得； （2）依题意可得且，根据组合数公式求出、的值，再利用二项式展开式计算可得. 【详解】（1）因为， 又的展开式的通项公式为： ，， 令，则，令，则（舍去）， 所以的展开式中常数项为. （2）因为展开式的通项为（且）， 根据题意得，即①. 的展开式中的系数为. 将①变形为代入上式得， 解得或， 所以或，则， 所以. 8．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数. (1)若的所有项的二项式系数的和为64，求展开式的常数项； (2)若展开式中第2项系数为12，求的展开式中的系数. 【答案】(1)160 (2) 【来源】江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）利用各二项式系数之和求出的值，再写出展开式的通项求出常数项即可. （2）根据已知条件求出的值，再根据展开式求出的系数即可. 【详解】（1）由已知得，即， 所以， 令，得，所以， 即展开式中的常数项为：. （2）由已知得， 所以，即， 所以展开式中含的项为： ， 即的系数为：. 9．(23-24高二下·江苏无锡运河实验学校·期中)在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍． (1)求的值； (2)求的展开式中的第6项的系数及常数项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项？ 【答案】(1) (2)， (3) 【来源】江苏省无锡市运河实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）借助二项式系数的定义与组合数的计算公式计算即可得； （2）借助二项式的展开式的通项公式计算即可得； （3）设第项的系数绝对值最大，列出相应方程组，解出即可得. 【详解】（1）由题意可得，即，整理得， 解得或，又，故； （2）由，故对，有， 则， 令，则， 故展开式中的第6项的系数及常数项分别为：，； （3）设第项的系数绝对值最大， 则有，即， 即，解得， 又，故，即展开式中系数绝对值最大的项是第项. 10．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3． (1)求展开式中含有的项： (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】（1）根据题意结合二项式系数可求得，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解； （2）根据展开式的通项公式列出不等式求解即可得. 【详解】（1）由题意可得，即， 又，可解得， 对有，， 则， 即展开式中含有的项为； （2）令，即， 即，解得，又，故， 则，即展开式中系数最大项为. 11．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)在的展开式中，______． 给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求n的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 【答案】(1)，展开式常数项为 (2) 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）若选①利用二项式系数和公式先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选②利用二项式定理先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选③利用赋值法先求n，结合展开式通项公式可求常数项； （2）若选①利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数；若选②利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数；若选③利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数. 【详解】（1）若选①，易知，则，此时的常数项为； 若选②，易知，则，此时的常数项为； 若选③，令，则， 则，此时的常数项为； （2）由上可知不论选①②③，都有， 则问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项，易知该项为， 再求展开式中含的项，易知该项为， 所以展开式中含的项为，所以其系数为. 奇偶项系数问题题型03 12．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)设 . (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省海州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）借助二项式的展开式的通项公式计算即可得； （2）借助二项式的展开式的通项公式可去绝对值，再借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】（1）对，有， 则有， 即； （2）由，则，， 故， 令，可得，即， 令，有， 即， 即. 13．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)1 (2) (3) 【来源】江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）赋值法，令求解即可； （2）赋值法，令再结合（1）求解即可； （3）赋值法，令和求解即可. 【详解】（1）令，得，故. （2）令，得， 故. （3）令，得， 结合， 故. 14．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)若．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）利用赋值法求出结果； （2）去绝对值，再令即可． 【详解】（1）， 令，解得； 令，整理得， 故； （2）令可得， 的展开式通项为，则， 其中且， 当为偶数时，；当为奇数时，. 所以. 15．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)已知. (1)求； (2)求. 【答案】(1)1 (2) 【来源】江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）利用赋值法，令即可求解， （2）根据题意进行转化，然后在中令即可求解. 【详解】（1）令得，即； （2）等于的展开式的各个项系数的和， 令代入，则， 又，所以. 排列组合综合题型04 16．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)用0，1，2，3，4，5这6个数字，求： (1)组成没有重复数字的四位偶数的个数； (2)组成无重复数字且大于4000的自然数的个数． 【答案】(1)156 (2)1320 【来源】江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷 【分析】（1）利用两个计数原理结合排列知识可得答案； （2）利用排列知识结合两个计数原理可得答案. 【详解】（1）分为两类，第一类个位数是0时，前三位数共有排法； 第二类个位数是2或4时，千位数有4种选择，百位数和十位数共有种排法， 由分步计数原理可得共有个， 综上可得，没有重复数字的四位偶数的个数为. （2）四位数中千位数是4或5时，有个； 五位数有个，六位数有个， 所以无重复数字且大于4000的自然数的个数为1320个. 17．(23-24高二下·江苏连云港高级中学·期中)某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？ (1)甲乙两个景点至少选一个； (2)甲乙两个景点至多选一个； (3)甲乙两个景点必须选一个且只能选一个． 【答案】(1)13 (2)27 (3)12 【来源】江苏省连云港高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用间接法先计算都不去的方法，然后进行求解即可； （2）分类讨论2个景点都不去和只去一个进行计算即可； （3）利用分步乘法计数进行计算即可. 【详解】（1）甲、乙2个景点都不去有， 则甲乙2个景点至少选1个的选法有； （2）若甲、乙2个景点都不去有，甲、乙2个景点只去一个有， 则甲、乙2个景点至多选1个有种方法； （3）甲、乙2个景点必须选1个且只能选1个，有种方法． 18．(23-24高二下·江苏连云港厉庄高级中学·期中)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)全体排成一排，女生必须站在一起； (3)全体排成一排，男生互不相邻． 【答案】(1)2520 (2)576 (3)1440 【来源】江苏省连云港市厉庄高级中学2023-2024学年高二下学期期中数学检测试题 【分析】（1）从7人中选5人排成一排，利用排列数公式可求得结果； （2）利用捆绑法可得答案； （3）利用插空法可得答案． 【详解】（1）从3名男生、4名女生中选5人排成一排， 有不同的排列方法； （2）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，有种方法， 再将女生全排列，有种方法，所以共有种方法； （3）先排女生，有种方法， 再在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法， 所以共有种方法. 19．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，求: (1)可以组成多少个六位数? (2)可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个? 【答案】(1)600 (2)94 【来源】江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）运用特殊位置优先法考虑首位在全排即得； （2）考虑“至少有一个偶数数字”的反面情况“没有一个偶数数字”的方法数，再用可组成的三位数的总个数减去即得. 【详解】（1）先考虑首位数字，从1，2，3，4，5中任选一个，有5种选法；再将剩下的5个数字在剩下的5个数位上全排有种选法， 由分步乘法计数原理，可得六位数有个； （2）先考虑由数字0，1，2，3，4，5组成的三位数的个数，①考虑百位数字，有5种选法；②考虑十位和个位，有种选法， 由分步乘法计数原理，共有这样的三位数个； 再考虑“至少有一个偶数数字的三位数”的反面情况：“没有一个偶数数字的三位数”的个数为个， 故得至少有一个偶数数字的三位数有个. 20．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)甲组有3名男生．3名女生；乙组有4名男生，2名女生． (1)从这些学生中选出3人参加活动，至少有1名女生的不同选法有多少种？ (2)从甲、乙两组中各选出2名学生，选出的4人中恰有1名女生的不同选法有多少种？ (3)将这些学生排成两排，两组的女生站第一排，两组的男生站第二排，且同组学生均相邻，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1)185 (2)78 (3)6912 【来源】江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学情第一阶段学业质量监测数学试卷 【分析】（1）求得所有学生中选3人，减去没有女生的选法，即可求解； （2）分别计算女生来自甲、乙两组的选法，再利用分类加法计数原理求解即可； （3）根据捆绑法求解即可． 【详解】（1）从这些学生中选出3人参加活动有种选法， 没有女生有种， 则至少有1名女生的不同选法有种． （2）女生来自甲组有种选法， 女生来自乙组有种选法， 故选出的4人中恰有1名女生的不同选法有种． （3）两组的女生站第一排同组学生相邻有种排法， 两组的男生站第二排同组学生相邻有种排法， 共有种不同的排法． 21．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语、化学共7节课． (1)如果物理和历史不能排在一起，则有多少种不同的排法？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？ (3)如果历史，语文，数学必须相邻，体育排在物理后面（不一定相邻），共有多少种排法？ 【答案】(1)3600； (2)3720； (3)360. 【来源】江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】（1）利用不相邻排列问题列式计算即得. （2）不考虑限制条件的排列，去掉第一节排体育或最后一节排数学的排列即可. （3）利用相邻问题的排列，结合定序问题倍缩法列式计算即得. 【详解】（1）先排除物理、历史外的将其他5科，有种排法； 将物理，历史插入上述的每种排法形成的6个间隙中，有种排法， 所以物理，历史不能排在一起共有种排法. （2）不考虑条件限制，7节课共有种排法， 第一节排体育有种排法；最后一节排数学有种排法， 而第一节排体育，且最后一节排数学有种排法， 所以第一节不排体育，最后一节不排数学，有种排法. （3）数学、语文、历史视为一个整体，与其它4门课一起排列，有种排法，其中体育排在物理后面的占， 数学、语文、历史的排列有种， 所以满足条件的排法有种. 22．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)某校书法社共有社团成员12人，其中男社团成员7人，女社团成员5人，现从中选举产生1名社长和2名副社长. (1)若至多有1名男社团成员当选，求不同的当选方法总数； (2)若至少有1名男社团成员当选，求不同的当选方法总数； (3)若既要有男社团成员当选，又要有女社团成员当选，求不同的当选方法总数. 注：最后结果请以具体数字做答. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）分有1名男社团成员当选和没有男社团成员当选两种情况讨论即可得解； （2）分1名男社团成员当选，2名男社团成员当选，3名男社团成员当选三种情况讨论即可； （3）分1名男社团成员当选，2名男社团成员当选两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若有1名男社团成员当选，则不同的当选方法有种， 若没有男社团成员当选，则不同的当选方法有种， 所以至多有1名男社团成员当选，不同的当选方法总数为； （2）若有1名男社团成员当选，则不同的当选方法有种， 若有2名男社团成员当选，则不同的当选方法有种， 若有3名男社团成员当选，则不同的当选方法有种， 所以至少有1名男社团成员当选，不同的当选方法总数为种； （3）由（2）可知，不同的当选方法总数为. 23．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)（1）已知某中学召开会议，要求数学组的6名老师中至少有1人参加会议，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） （2）已知某中学需要选派6名老师去甲、乙、丙三所学校支教，每名老师只能去一所学校.若甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 【答案】（1）；（2） 【来源】江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）用排除法，6人参加或不参加会议的所有情形减去都不参加会议的1种情形即可得； （2）第一步选一人去甲校，第二步在剩下的5人中选2人去乙校，最后还有3人去丙校，按分步乘法原理计数可得． 【详解】（1）每人有参加或不参加会议两种状态，6人有种情形，其中都不参加会议的情形只有1种，因此所求方法数为； （2）按分步乘法原理计数，第一步选一人去甲校，第二步在剩下的5人中选2人去乙校，最后还有3人去丙校，总的方法数为． 24．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)共10个数字． (1)可组成多少个无重复数字的四位数； (2)可组成多少个无重复数字的五位偶数； (3)可组成多少个无重复数字的大于或等于30000的五位数； (4)在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【来源】江苏省宿迁地区2023-2024学年高二下学期期中调研测试数学试题 【分析】（1）0不能排在首位，其他任意排即可求解； （2）分0在首位和0不在首位两种情况，满足末位是偶数即可； （3）大于或等于30000的五位数，首位从3，4，5，6，7，8，9任选一个，其它的任意排即可； （4）首先确定比50000大的数，然后确定比50000大比50124小的只有50123，即可求解. 【详解】（1）先选1个数字排在首位，其它任意排，故有个； （2）当0在末位时，有个， 当0不在末位时，从2，4，6，8，选一个放在末位，故有个， 故五位偶数共有个； （3）大于或等于30000的五位数，首位从3，4，5，6，7，8，9任选一个，其它的任意排， 故有个； （4）比50000大的数，故有个， 比50000大比50124小的有，前四位为5，0，1，2，最后一位为3，只有50123， 故在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第个. 25．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)身高各不相同的六位同学站成一排照相， (1)A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） (2)三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） 【答案】(1)480 (2)120 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）先排其余4人，再利用插空法分析运算； （2）先对人全排列，再根据部分定序问题运算求解. 【详解】（1）先排列除A与外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空， 利用插空法将A和插入5个空，有种方法， 所以共有种方法. （2）对6个人全排列有种方法，全排列有种方法， 则从左到右按高到矮的排列有种方法. 26．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 【答案】(1)30240； (2)14400； (3)2880； (4)21600. 【来源】 江苏省邳州市文华高级中学2023--2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用特殊元素优先原则，利用排列列式计算即得. （2）利用插空法求解不相邻问题. （3）利用捆绑法求解相邻问题. （4）利用排除法列式计算即得. 【详解】（1）中间6个位置取1个让甲站，余下7个位置让另7个人站， 所以不同排法种数是. （2）排除甲､乙､丙三位同学的5名同学，再在每一种排法的6个间隙中插入甲､乙､丙， 所以不同排法种数是. （3）分别视甲乙、丙丁为一个整体，与其余4名同学作全排列，再分别对甲乙、丙丁作排列， 所以不同排法种数是. （4）求出8个人的全排列，去掉甲乙相邻、乙丙相邻的排列法，再补上乙在甲丙中间的3人相邻的排列， 所以不同排法种数是. 27．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 【答案】(1)60 (2)51 (3)36 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）将所有的偶数分为首位即最高位和末尾数均为偶数的数以及首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数两类，先依次排首位和末尾，再排剩下中间三位数即可得解 （2）1或2排在首位的数较小，所以先求1或2排在首位的数的个数，再找出3在首位的接下来的三个数即可得解. （3）先将数字2和3捆绑在一起作为一个整体，相当于现有4个数字在排列，根据最高位不为0，其余任意排即可求解. 【详解】（1）由题在组成的五位数中，所有的偶数有两类： 第一类是首位即最高位和末尾数均为偶数的数共有个， 第二类是首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数共有个， 所以在组成的五位数中，所有偶数的个数有. （2）1或2排在首位的数共有个， 则接下来按从小到大排列的数是， 所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第51个. （3）将数字2和3捆绑在一起作为一个整体， 根据最高位不为0可得在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有个. 28．(23-24高二下·江苏南京第一中学·期中)晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. (1)2个舞蹈节目不相邻； (2)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 【答案】(1)3600 (2)3456 【来源】江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用插空法，先排非舞蹈节目，然后将2个舞蹈节目插到6个空中，再利用分步乘法原理可求得结果； （2）前3个节目共三种情况：一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，再利用分类加法原理求解. 【详解】（1）先排非舞蹈节目，有种排法， 将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法， 故由分步乘法原理可知共有种排法. （2）前3个节目共三种情况： 一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法， 另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法， 最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，有种排法， 故由分类加法原理可知共有种排法. 29．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)有3名女生4名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的种数， (1)全体排成一行，其中4名男生互不相邻； (2)全体排成一行，其中甲、乙中间有且只有1人； (3)全体排成前后两排，前排3人，后排4人，且后排至少2个男生 【答案】(1) (2) (3) 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】（1）不相邻问题借助插空法计算即可得； （2）先选出一人放入甲乙中间后使用捆绑法即可得； （3）分别计算后排有2个男生、3个男生、4个男生的情况即可得. 【详解】（1）先排3名女生，共种排法，再将4名男生分别插入3名女生形成的四个空中， 有种排法，故共有种排法； （2）先从剩下的5人中选出一人放入甲乙中间，有种排法， 结合甲乙的顺序与剩余4人一起排，则共有种排法； （3）后排2个男生的话共有种，后排3个男生的话共有种， 后排4个男生的话共有种， 故共有种排法. 30．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：（用数字表示） (1)4人均来之不同学校有多少种安排； (2)4人中有男有女有多少种安排； (3)若4人已经选出请分别解答下列两个问题 ①4名同学不相邻； ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧. 【答案】(1)240 (2)465 (3)①144；②432 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，由分步计数原理计算可得答案； （2）先计算全部的排法，排除其中只有男生和女生的排法，用间接法分析可得答案； （3）①根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，由分步计数原理计算可得答案；②6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况，由间接法分析可得答案. 【详解】（1）根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，有种安排方法； （2）根据题意，在12人中选出4人，有种排法，其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种, 则4人中有男有女有种， （3）根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，则有种安排方法； ②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况即可，有种排法. 31．(23-24高二下·江苏扬州第一中学·期中)（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】；； 【来源】江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）利用捆绑法计算即可； （2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可； （3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可. 【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法； （2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况， 若是3,1,1,1分组，则有种， 若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法； （3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出， 有种派法； 若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生， 有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生， 此时派法有种， ②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种， 合计288种方法； 综上共有种派法. 32．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)已知. (1)当时，记的展开式中的系数为，求的值 (2)当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值. 【答案】(1)46 (2) 【来源】江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）应用赋值法求得所有系数之和，再求出可得； （2）由二项式定理得，然后求出项的系数，结合二次函数知识得最小值及的值. 【详解】（1）由题意. ，                                       ，                        所以； （2）由已知，，         所以的系数为 ，                                        易知时，取得最小值. 33．(23-24高二下·江苏启东·期中)在以下两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答. ①所有项的系数之和与二项式系数之和的比为； ②前三项的二项式系数之和为22. 问题：在的展开式中，__________. (1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)证明见解析 (2)，. 【来源】江苏省启东市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试卷 【分析】两问都是先求出，后运用通项公式解题即可. 【详解】（1）若选①，令，则所有项的系数和为； 二项式系数之和为. 因为展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为， 所以，解得. 故. 若是常数项，则，得， 故展开式没有常数项； 若选②，因为前三项的二项式系数之和为22， 所以， 整理得，解得. 故. 若是常数项，则，得， 故展开式中没有常数项. （2）由（1）得，. 是有理项，当且仅当为整数. 又因为，所以. 故展开式中有3个有理项，分别为，. 34．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)在二项式的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同， (1)求所有偶数项的二项式系数的和； (2)求各项系数绝对值之和． (3)若记，求展开式中中取最大项时的值． 【答案】(1)256 (2) (3)3 【来源】江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）写出展开式的通项，依题意，即可求出，再根据所有偶数项的二项式系数的和为计算可得； （2）二项式的各项系数绝对值之和与的各项系数和相等，再令即可得解； （3）由，即可得到，，再设出不等式组，即可求出. 【详解】（1）二项式展开式的通项为（且）， 依题意可得，， 所以，则所有偶数项的二项式系数的和为； （2）二项式的各项系数绝对值之和与的各项系数和相等， 所以的各项系数绝对值之和为； （3）由题可得 ， 所以，， 显然要使最大，为奇数时是正值，为偶数时是负值． 令，， ，解得， 所以当时，是展开式中系数的绝对值最大的项，也是系数最大的项， 综上所述展开式中中取最大项时． 35．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)已知展开式的各二项式系数和为512，且． (1)求；（结果保留指数幂形式） (2)求的值； (3)求证：能被6整除． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用赋值法，求解系数的和； （2）利用换元，将展开式转化为，再求前的系数； （3）首先变形为，再根据展开式的特点，证明整除问题. 【详解】（1）由题意可知，，得， ， 令，得，令，得， 所以； （2）令，得， 则， 则； （3）， ， 其中每一项都能被整除， 所以能被6整除. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 排列组合与二项式定理大题综合（4考点35题） 题型概览 题型01排列数、组合数的计算 题型02二项式定理 题型03奇偶项系数问题 题型04排列组合综合 优选提升题 排列数、组合数的计算题型01 1．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)求值（用数字表示） (1) (2) (3) 2．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)（1）求值: （2）解方程： 二项式定理题型02 3．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 4．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数的绝对值最大的项为第几项． 5．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的系数之和． 6．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1 (1)求展开式中含的项； (2)求展开式中系数最大的项． 7．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)（1）求展开式中的常数项； （2）已知，，的展开式中含项的系数为，含项的系数为，求的近似值.（精确到0.01） 8．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数. (1)若的所有项的二项式系数的和为64，求展开式的常数项； (2)若展开式中第2项系数为12，求的展开式中的系数. 9．(23-24高二下·江苏无锡运河实验学校·期中)在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍． (1)求的值； (2)求的展开式中的第6项的系数及常数项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项？ 10．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3． (1)求展开式中含有的项： (2)求展开式中系数最大项． 11．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)在的展开式中，______． 给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求n的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 奇偶项系数问题题型03 12．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)设 . (1)求的值； (2)求的值. 13．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 14．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)若．求： (1)； (2)． 15．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)已知. (1)求； (2)求. 排列组合综合题型04 16．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)用0，1，2，3，4，5这6个数字，求： (1)组成没有重复数字的四位偶数的个数； (2)组成无重复数字且大于4000的自然数的个数． 17．(23-24高二下·江苏连云港高级中学·期中)某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？ (1)甲乙两个景点至少选一个； (2)甲乙两个景点至多选一个； (3)甲乙两个景点必须选一个且只能选一个． 18．(23-24高二下·江苏连云港厉庄高级中学·期中)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)全体排成一排，女生必须站在一起； (3)全体排成一排，男生互不相邻． 19．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，求: (1)可以组成多少个六位数? (2)可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个? 20．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)甲组有3名男生．3名女生；乙组有4名男生，2名女生． (1)从这些学生中选出3人参加活动，至少有1名女生的不同选法有多少种？ (2)从甲、乙两组中各选出2名学生，选出的4人中恰有1名女生的不同选法有多少种？ (3)将这些学生排成两排，两组的女生站第一排，两组的男生站第二排，且同组学生均相邻，共有多少种不同的排法？ 21．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语、化学共7节课． (1)如果物理和历史不能排在一起，则有多少种不同的排法？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？ (3)如果历史，语文，数学必须相邻，体育排在物理后面（不一定相邻），共有多少种排法？ 22．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)某校书法社共有社团成员12人，其中男社团成员7人，女社团成员5人，现从中选举产生1名社长和2名副社长. (1)若至多有1名男社团成员当选，求不同的当选方法总数； (2)若至少有1名男社团成员当选，求不同的当选方法总数； (3)若既要有男社团成员当选，又要有女社团成员当选，求不同的当选方法总数. 注：最后结果请以具体数字做答. 23．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)（1）已知某中学召开会议，要求数学组的6名老师中至少有1人参加会议，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） （2）已知某中学需要选派6名老师去甲、乙、丙三所学校支教，每名老师只能去一所学校.若甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答） 24．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)共10个数字． (1)可组成多少个无重复数字的四位数； (2)可组成多少个无重复数字的五位偶数； (3)可组成多少个无重复数字的大于或等于30000的五位数； (4)在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几． 25．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)身高各不相同的六位同学站成一排照相， (1)A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） (2)三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） 26．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 27．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 28．(23-24高二下·江苏南京第一中学·期中)晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. (1)2个舞蹈节目不相邻； (2)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 29．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)有3名女生4名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的种数， (1)全体排成一行，其中4名男生互不相邻； (2)全体排成一行，其中甲、乙中间有且只有1人； (3)全体排成前后两排，前排3人，后排4人，且后排至少2个男生 30．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：（用数字表示） (1)4人均来之不同学校有多少种安排； (2)4人中有男有女有多少种安排； (3)若4人已经选出请分别解答下列两个问题 ①4名同学不相邻； ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧. 31．(23-24高二下·江苏扬州第一中学·期中)（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 32．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)已知. (1)当时，记的展开式中的系数为，求的值 (2)当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值. 33．(23-24高二下·江苏启东·期中)在以下两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答. ①所有项的系数之和与二项式系数之和的比为； ②前三项的二项式系数之和为22. 问题：在的展开式中，__________. (1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项. 34．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)在二项式的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同， (1)求所有偶数项的二项式系数的和； (2)求各项系数绝对值之和． (3)若记，求展开式中中取最大项时的值． 35．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)已知展开式的各二项式系数和为512，且． (1)求；（结果保留指数幂形式） (2)求的值； (3)求证：能被6整除． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$