专题06 排列组合与二项式定理小题综合（4考点60题）（苏教版2019，江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题06 排列组合与二项式定理小题综合（4考点60题） 题型概览 题型01排列数、组合数的计算 题型02二项式定理 题型03排列组合综合 题型04整除和余数问题 优选提升题 排列数、组合数的计算题型01 1．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)化简：（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)若，则的值为（   ） A． B． C． D．或 3．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)若，则的值为（    ） A．54 B．55 C．164 D．165 4．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)若，则m的取值可能是（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 5．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)若，则的值为 ． 6．(23-24高二下·江苏镇江·期中)计算 . 7．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)可以表示为（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)可表示为（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中) 二项式定理题型02 11．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)的二项展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 12．(23-24高二下·江苏镇江·期中)的展开式中含项的系数为（    ） A．10 B．40 C．80 D．120 13．(23-24高二下·江苏启东·期中)在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．6 B．15 C．30 D．20 14．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知 的展开式中各项系数之和为27，则展开式中 项的系数为（   ） A． B．6 C．18 D．30 15．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)的展开式中，的系数为（    ） A． B．7 C．8 D．12 16．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)的展开式中的系数为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 17．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)（多选）对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有8项 B．展开式的各项系数之和为1 C．展开式中的常数项是112 D．展开式的各二项式系数之和为128 18．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．各项系数和为2187 B．第4项与第5项的系数相等 C．二项式系数最大为35 D．的项的系数为21 19．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)（多选）已知的展开式中第7项的二项式系数最大，则n的值可以为（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)（多选）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．第4项和第5项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256 C．有理项有2项 D．常数项为84 21．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)（多选）在的展开式中，下列说法正确的有（      ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1 C．有理项共3项 D．展开式没有常数项 22．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)（多选）已知，则（    ） A． B． C． D．这8个数中最大值为35 23．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)（多选）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1 C．系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 24．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则的值为 . 25．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)若的展开式中，仅第6项二项式系数最大，则n等于 ． 26．(23-24高二下·江苏徐州·期中)展开式中含项的系数是 ． 排列组合综合题型03 27．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)用四个数字组成没有重复数字的两位数，共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 28．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 29．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)某学校开设5门球类运动课程、4门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．30种 C．12种 D．11种 30．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)A同学准备五一假期从淮安到南京旅游，目前有两种方案可供选择，淮安东站到南京南站有8列高铁可供选择，淮安汽车站到南京汽车站有6辆大巴可供选择，请问该生有多少种方法去南京（   ） A．14种 B．48种 C．196种 D．2304种 31．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 32．(23-24高二下·江苏镇江·期中)某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（    ） A．60 B．180 C．240 D．300 33．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 34．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于15的概率是（    ） A． B． C． D． 35．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（   ）种. A．72 B．144 C．240 D．288 36．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)某班5名同学到甲、乙、丙三个社区参加志愿服务活动，每名同学只选1个社区，甲社区安排1名，乙社区安排2名，丙社区安排2名，则不同的安排方法共有（    ） A．180种 B．90种 C．60种 D．30种 37．(23-24高二下·江苏射阳中学·)中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类. 现有 4 名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购 1 种，则不同的选购方式有（    ） A．81 种 B．64 种 C．6 种 D．24 种 38．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（　　） A．360种 B．120种 C．60种 D．30种 39．(23-24高二下·江苏镇江·期中)以下运算结果为的是（    ） A．3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法 B．4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军） C．3块地种植4种不同的蔬菜的种法 D．4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数 40．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)正十二边形的对角线的条数是（    ） A．56 B．54 C．48 D．44 41．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)房间里有6盏电灯，分别由6个开关控制，至少开1盏灯用以照明，则不同的方法种数是（    ） A．31 B．32 C．63 D．64 42．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（    ） A．150 B．300 C．450 D．540 43．(23-24高二下·江苏启东·期中)学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，学生的节目有6个，教师的节目有2个，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，那么不同的排法数为（    ） A． B． C． D． 44．(23-24高二下·江苏启东·期中)2023年11月28日，中国空间站全貌高清图像首次公布.中国空间站设计寿命为10年，长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用.假设实验舱要在3周时间内开展五项实验，其中第一周安排2项实验，第二周和第三周至少各安排1项实验，､两项实验安排在同一周内，则不同的实验方案共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 45．(23-24高二下·江苏南通·期中)今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（    ） A． B． C． D． 46．(23-24高二下·江苏镇江·期中)某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（    ） A．15 B．18 C．22 D．26 47．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为 （用数字做答）. 48．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)将个相同的小球放入编号为的个盒子中，共有 种放法（数字作答） 49．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)某校在课后服务中开设了“球类”、“棋类”、“书法”、“绘画”“舞踩”等五项活动，若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为 ． 50．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)4个编号不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，有1个空盒或2个空盒子的方法共有 种. 51．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知，则 B．已知，则 C．4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 52．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)（多选）某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以区分，现安排专家发言顺序，则（    ） A．专家和专家发言中间必须间隔1个人，共有种排法 B．专家和专家发言不相邻，共有种排法 C．三位专家的发言必须相邻，共有720种排法 D．专家不第一个发言，专家不最后一个发言，共有种排法 53．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)（多选）在青华中学举行的课本剧大赛中，高二（16）班有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（   ） A．3名男生排在一起，有36种不同排法 B．2名女生不排在一起，有72种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 54．(23-24高二·江苏南京秦淮区·期中)（多选）甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山区学校参加支教活动，每个志愿者仅在一所学校支教，要求每所学校至少安排一名志愿者，则下列结论中正确的是（    ） A．共有72种安排方法 B．若甲被安排在A学校，则有12种安排方法 C．若A学校需要两名志愿者，则有12种安排方法 D．若甲、乙不能在同一所学校，则有30种安排方法 整除和余数问题题型04 55．(23-24高二下·江苏镇江·期中)的个位数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 56．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)今天是星期二，经过天后是星期（    ） A．三 B．四 C．五 D．六 57．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)被3除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 58．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)一个袋子中装有大小完全相同的3个红球、4个白球、3个黑球.若从袋中一次摸出4个球，则4个球共有2种颜色的概率为（    ） A． B． C． D． 59．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 60．(23-24高二下·江苏镇江·期中)（多选）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 排列组合与二项式定理小题综合（4考点60题） 题型概览 题型01排列数、组合数的计算 题型02二项式定理 题型03排列组合综合 题型04整除和余数问题 优选提升题 排列数、组合数的计算题型01 1．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用组合数性质化简，再利用组合数计算公式计算即得. 【详解】. 故选：B. 2．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)若，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【来源】江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由组合数的性质求解． 【详解】依题意，则或， 得或， 故选：D 3．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)若，则的值为（    ） A．54 B．55 C．164 D．165 【答案】C 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由组合数的性质计算可得，结合计算即可得解. 【详解】由，故或，故， 则 . 故选：C. 4．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)若，则m的取值可能是（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】AD 【来源】江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】由组合数性质建方程求解可得. 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：AD 5．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)若，则的值为 ． 【答案】6或8 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由组合数公式的性质即可直接求得答案. 【详解】因为，所以或，其中， 解得或，经检验符合题意， 故答案为：或. 6．(23-24高二下·江苏镇江·期中)计算 . 【答案】21 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用排列数公式、组合数公式计算即得. 【详解】. 故答案为：21 7．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：D 8．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)用0，1，2，…，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学情第一阶段学业质量监测数学试卷 【分析】先排百位上的数字，再排其他位置上的数字，利用排列数公式求解即可． 【详解】先排百位有种排法， 再排十位和个位，有种排法， 故组成无重复数字的三位数的个数是个． 故选：C． 9．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】根据排列数公式判断即可. 【详解】因为，且， 所以. 故选：B 10．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中) 【答案】 【来源】江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据阶乘的概念与运算性质，计算即可求解. 【详解】由题意知， . 故答案为： 二项式定理题型02 11．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)的二项展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式可得结果； 【详解】的二项展开式的通项公式， 令， 的系数为， 故选：C. 12．(23-24高二下·江苏镇江·期中)的展开式中含项的系数为（    ） A．10 B．40 C．80 D．120 【答案】C 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】直接由二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理可知，的展开式中含项的系数为. 故选：C. 13．(23-24高二下·江苏启东·期中)在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．6 B．15 C．30 D．20 【答案】B 【来源】江苏省启东市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试卷 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的展开式中，含的项的系数为. 故选：B. 14．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知 的展开式中各项系数之和为27，则展开式中 项的系数为（   ） A． B．6 C．18 D．30 【答案】C 【来源】江苏省如皋中学2023-2024学年高二下学期教学质量调研（二）数学试题 【分析】先根据系数和为27求出参数，再结合二项式定理即可求解. 【详解】由题意，解得， 所以展开式中 项的系数为. 故选：C. 15．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)的展开式中，的系数为（    ） A． B．7 C．8 D．12 【答案】B 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期中考试试卷 【分析】根据题意 ，利用二项式的展开式的通项公式，以及组合数的计算公式，即可求解． 【详解】由二项式的展开式， 可得展开式中的系数为. 故选：B. 16．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)的展开式中的系数为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】先求得的展开式的通项为，进而求得展开式中项，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 则展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 故选：B. 17．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)（多选）对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有8项 B．展开式的各项系数之和为1 C．展开式中的常数项是112 D．展开式的各二项式系数之和为128 【答案】BC 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用二项式定理的性质，赋值法，通项公式，以及二项式系数和的公式，即可判断选项. 【详解】A.，则展开式有9项，故A错误； B.令，则展开式的各项系数之和为，故B正确； C.通项公式， 令，得，所以常数项为，故C正确； D. 展开式的各二项式系数之和为，故D错误. 故选：BC 18．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．各项系数和为2187 B．第4项与第5项的系数相等 C．二项式系数最大为35 D．的项的系数为21 【答案】AC 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】根据题意，利用二项展开式的性质，展开式的通项，以及二项式系数与项的系数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，令，可得，即展开式各项系数和为，所以A正确； 对于B中，二项式展开式的通项为， 可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为， 所以展开式的第4项和第5项的系数不相等，所以B不正确； 对于C中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大， 二项式系数的最大值为，所以C正确； 对于D中，由二项式展开式的通项为， 可得的项的系数为，所以D错误. 故选：AC. 19．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)（多选）已知的展开式中第7项的二项式系数最大，则n的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】当为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大． 【详解】第7项的二项式系数最大， 当为偶数时， ， ， 当为奇数时，或， 解得：或． 故选：BCD． 20．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)（多选）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．第4项和第5项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256 C．有理项有2项 D．常数项为84 【答案】BD 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用二项式定理的性质，对四个选项逐项分析可得答案． 【详解】∵第4项的二项式系数为,第5项的二项式系数为不相等，A错误； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，为28＝256，B正确； 设其通项为Tr+1，则，． 当时，Tr+1为有理项，C错误； 当r＝6时，为常数项，T7＝＝＝84，D正确． 故选：BD． 21．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)（多选）在的展开式中，下列说法正确的有（      ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1 C．有理项共3项 D．展开式没有常数项 【答案】ABD 【来源】江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用二项式系数和为判断A，令计算出所有项的系数，即可判断B，写出展开式的通项，即可判断C，D. 【详解】选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确； 选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确； 选项C：二项式的展开式的通项为（且）， 当时，，二项式的展开式的第一项为有理项， 当时，，二项式的展开式的第三项为有理项， 当时，，二项式的展开式的第五项为有理项， 当时，，二项式的展开式的第七项为有理项， 所以有理项有项，故C错误， 选项D：由C知二项式的展开式的通项为（且）， 令得，所以展开式没有常数项，故D正确； 故选：ABD 22．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)（多选）已知，则（    ） A． B． C． D．这8个数中最大值为35 【答案】ACD 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】由，则，可判断A；令， ，求出，可判断B；令，结合令的结果，可判断C；由分别是二项式系数，即可判断D. 【详解】由， 则结合已知，，故A正确； 令，则， 令，则，① 则，故B错误； 令，则，② 则由①②得，故C正确； 因为分别是二项式系数， 则最大值为，即，故D正确. 故选：ACD. 23．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)（多选）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1 C．系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 【答案】AD 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】先根据展开式的项数确定的值，根据二项式系数的性质判断A的真假，令可得所有项的系数和，判断B的真假，利用二项展开式的通项公式可判断CD的真假. 【详解】因为的展开式共有8项，所以. 所以所有项的二项式系数和为，故A正确； 对B：令，可得所有项的系数和为，故B错误； 因为二项展开式的通项公式为：. 对C：设，由，所以第3项的系数最大，故C错误； 对D：由为整数，且可得，的值可以为：，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：求数列的最大项，通常设最大，由确定的值即可. 24．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则的值为 . 【答案】8 【来源】江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据二项式定理的二项式系数的单调性和对称性特征即可解决． 【详解】若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，则． 故答案为：8. 25．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)若的展开式中，仅第6项二项式系数最大，则n等于 ． 【答案】10 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据二项式系数的最大值公式，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，即. 故答案为：10 26．(23-24高二下·江苏徐州·期中)展开式中含项的系数是 ． 【答案】800 【来源】江苏省徐州市2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】根据题意可知或，结合二项式定理分析求解. 【详解】因为或， 可知展开式中含项为， 所以展开式中含项的系数是800. 故答案为：800. 排列组合综合题型03 27．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)用四个数字组成没有重复数字的两位数，共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【来源】江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】用四个数字组成没有重复数字的两位数， 共有：个. 故选：D 28．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 【答案】C 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得. 【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有种排法， 再对甲乙“松绑”，有种排法， 由分步乘法计数原理可得，排队方案共有种. 故选：C. 29．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)某学校开设5门球类运动课程、4门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．30种 C．12种 D．11种 【答案】C 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用分类加法计数原理即可得结果. 【详解】根据分类加法计数原理可知不同的选法有种， 故选：. 30．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)A同学准备五一假期从淮安到南京旅游，目前有两种方案可供选择，淮安东站到南京南站有8列高铁可供选择，淮安汽车站到南京汽车站有6辆大巴可供选择，请问该生有多少种方法去南京（   ） A．14种 B．48种 C．196种 D．2304种 【答案】A 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】根据分类加法计数原理进行求解. 【详解】根据分类加法计数原理可得，该生有种方法. 故选：A 31．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】依题意由组合数公式计算可得. 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法． 故选：D． 32．(23-24高二下·江苏镇江·期中)某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（    ） A．60 B．180 C．240 D．300 【答案】C 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由不平均分组法或者直接由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】方法一（不平均分组）：由题意这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数为， 故所求为， 方法二：从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下的三人、三天进行全排列， 故所求为. 故选：C. 33．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【答案】D 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 34．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于15的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用组合数公式，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19，共8个，其中两个素数的和小于15的有 ，共8个， 所以其和小于15的概率为. 故选：A 35．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（   ）种. A．72 B．144 C．240 D．288 【答案】B 【来源】江苏省如皋中学2023-2024学年高二下学期教学质量调研（二）数学试题 【分析】由捆绑法、插空法以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意先将高一两名学生捆绑起来作为一个整体，再和高三的两名学生进行全排列共有， 此时已经形成了四个空，再将高二的两名学生插进去有， 所以满足题意的排法有种. 故选：B. 36．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)某班5名同学到甲、乙、丙三个社区参加志愿服务活动，每名同学只选1个社区，甲社区安排1名，乙社区安排2名，丙社区安排2名，则不同的安排方法共有（    ） A．180种 B．90种 C．60种 D．30种 【答案】D 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解. 【详解】由题意可知，不同的安排方法有. 故选：D 37．(23-24高二下·江苏射阳中学·)中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类. 现有 4 名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购 1 种，则不同的选购方式有（    ） A．81 种 B．64 种 C．6 种 D．24 种 【答案】A 【来源】江苏省射阳中学2023-2024学年高二下学期阶段测试2（5月）数学试题 【分析】根据分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意可知，每名学生选购灯笼的方法有3种，则不同的选购方式有种. 故选：A 38．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（　　） A．360种 B．120种 C．60种 D．30种 【答案】A 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】根据分组分配，结合排列组合即可求解. 【详解】依题意从6同学中选出1人安排到一个场馆有，再从剩余5人安排2人到一个场馆是，最后剩余3人安排到一个馆， 根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种． 故选：A． 39．(23-24高二下·江苏镇江·期中)以下运算结果为的是（    ） A．3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法 B．4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军） C．3块地种植4种不同的蔬菜的种法 D．4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数 【答案】D 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由分步乘法运算逐一验证即可求解. 【详解】对于A，3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法有种，故A错误； 对于B，4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军），共有种可能，故B错误； 对于C，3块地种植4种不同的蔬菜的种法有种，故C错误； 对于D，4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数有种，故D正确. 故选：D. 40．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)正十二边形的对角线的条数是（    ） A．56 B．54 C．48 D．44 【答案】B 【来源】江苏省泰州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由任意两点连线的条数，再排除边数可得. 【详解】任意两点连线的条数，再排除边数， 故正十二边形的对角线的条数是. 故选：B. 41．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)房间里有6盏电灯，分别由6个开关控制，至少开1盏灯用以照明，则不同的方法种数是（    ） A．31 B．32 C．63 D．64 【答案】C 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】使用间接法，计算出所有情况总数减去不开灯的情况总数即可得. 【详解】每盏灯都有开或不开两种情况，故共有种情况， 其中不开灯的情况共有1种， 则至少开1盏灯的情况有种. 故选：C. 42．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（    ） A．150 B．300 C．450 D．540 【答案】A 【来源】江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】先分组再分配，结合排列组合即可求解. 【详解】把5人分组有两类情况：和. 先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把三组人安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 故选：A. 43．(23-24高二下·江苏启东·期中)学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，学生的节目有6个，教师的节目有2个，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，那么不同的排法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省启东市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试卷 【分析】先排两个学生节目在最前最后，在中间六个位置排剩下节目即可. 【详解】先排两个学生节目在最前最后位置，然后排在中间六个位置排剩下节目，运用分步乘法原理，总排法数为. 故选：C． 44．(23-24高二下·江苏启东·期中)2023年11月28日，中国空间站全貌高清图像首次公布.中国空间站设计寿命为10年，长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用.假设实验舱要在3周时间内开展五项实验，其中第一周安排2项实验，第二周和第三周至少各安排1项实验，､两项实验安排在同一周内，则不同的实验方案共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【来源】江苏省启东市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试卷 【分析】运用分类加法和分步乘法原理，结合组合公式可解. 【详解】､两项实验安排在第一周，则不同的实验方案有； ､两项实验不安排在第一周，则不同的实验方案有； 则不同的实验方案共有种. 故选：B． 45．(23-24高二下·江苏南通·期中)今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题 【分析】对观看《飞驰人生2》的人数进行分类讨论，利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解. 【详解】分两种情况讨论： (1) 小帅和其中一个同学同时看《飞驰人生2》，另外两个看剩余三部电影中的两部，此时所求概率为：； (2)观看《飞驰人生2》只有小帅一人，只需要将剩余三人分成两组，再将这两组人分配给两部电影，此时所求概率为：； 综上，恰有两人看同一部影片的概率； 故选：B 46．(23-24高二下·江苏镇江·期中)某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（    ） A．15 B．18 C．22 D．26 【答案】D 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据给定条件，按甲是否是特等奖分类，再结合丙的情况利用倍分法列式计算即得. 【详解】甲是特等奖，不考虑丙的位置有种；甲不是特等奖，不考虑丙的位置有种； 而丙在丁和戊之间占，所以5人的奖项的所有可能的种数是. 故选：D 47．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为 （用数字做答）. 【答案】12 【来源】江苏省宿迁地区2023-2024学年高二下学期期中调研测试数学试题 【分析】不相邻问题借助插空法计算即可得. 【详解】先排2名女生，有种排法，借助插空法，共有3个空位，故3名男生有种排法， 共有种排法. 故答案为：12. 48．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)将个相同的小球放入编号为的个盒子中，共有 种放法（数字作答） 【答案】 【来源】江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】对放入盒子的个数分类讨论，结合组合数公式及分步、分类计数原理计算可得. 【详解】依题意，①放入一个盒子中，则有种放法； ②放入两个盒子中，首先选出两个盒子有种，个相同的小球分成两堆，有，两种方法， 若是，则放法只有一种，若是，则放法有种， 所以有种放法； ③放入三个盒子中，首先选出三个盒子有种，每个盒子给一个球，多出一个球有种放法，则有种放法； ④放入四个盒子中，则有种放法； 综上可得，一共有种放法. 故答案为： 49．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)某校在课后服务中开设了“球类”、“棋类”、“书法”、“绘画”“舞踩”等五项活动，若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为 ． 【答案】/ 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】可先求出“书法”和“绘画”这两项都被选上的概率，再利用对立事件相关知识可解． 【详解】甲同学准备从这五项活动中随机选三项，共有种选法， 设事件A＝“书法和绘画至多有一项被选中”，则＝“书法和绘画都被选中”， 则， 则． 故答案为：． 50．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)4个编号不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，有1个空盒或2个空盒子的方法共有 种. 【答案】228 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】将4个小球分为“”型，“”型，“”型进行求解． 【详解】将4个小球分为“”型，则有一个空盒的方法为：， 将4个小球分为“”型，则有二个空盒的方法为：， 将4个小球分为“”型，则有二个空盒的方法为：， 则总方法数为：， 故答案为： 51．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知，则 B．已知，则 C．4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【答案】ACD 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】根据排列数公式求判断A的真假；根据组合数的性质求判断B的真假；利用特殊元素优先法求符合条件的排列方法，判断C的真假；利用插空排列求符合条件的排列方法，判断D的真假. 【详解】对A：由，且，解得，故A正确； 对B：由或解得或，故B错误； 对C：先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故C正确； 对D：先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法， 故满足条件的排法有：种.故D正确. 故选：ACD 52．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)（多选）某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以区分，现安排专家发言顺序，则（    ） A．专家和专家发言中间必须间隔1个人，共有种排法 B．专家和专家发言不相邻，共有种排法 C．三位专家的发言必须相邻，共有720种排法 D．专家不第一个发言，专家不最后一个发言，共有种排法 【答案】BD 【来源】江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据插空法即可判断AB；根据捆绑法即可判断C；分成排在第一、排在除第一位和最后一位之外的某一位置两类情况分析即可判断D. 【详解】A：先排剩下的六人，有种，两人之间必须间隔一个人，有种，总共有种，故A错误； B：若不相邻，剩余6类排列方法为形成7个空， 则填入7个空的方法为，所以共有种排法，故B正确； C：先排列三位专家则有6种排列方法，三人形成整体与剩余5人再进行全排列， 则方法有种排列方法，所以共有种方法，故C错误； D：分成两类情况，一是排在第一，则此类情况下排法有种， 二是排在除第一位和最后一位之外的某一位置，有种方法， 则共有种排法，故D正确． 故选：BD． 53．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)（多选）在青华中学举行的课本剧大赛中，高二（16）班有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（   ） A．3名男生排在一起，有36种不同排法 B．2名女生不排在一起，有72种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 【答案】ABC 【来源】江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】结合排列数的方法依次求解． 【详解】对于A项，先让3名男生全排后再作为一个整体和2名女生做一个全排，共有种，故A项正确； 对于B项，先让3名男生全排后，形成4个空位让2名女生排入，共有种，故B项正确； 对于C项，先让2名女生全排后，形成3个空位让3名男生排入，共有种，故C项正确； 对于D项，先从三个男生种选出2人放在两端，再将剩下3人进行全排后放中间，共有，故D项错误， 故选：ABC 54．(23-24高二·江苏南京秦淮区·期中)（多选）甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山区学校参加支教活动，每个志愿者仅在一所学校支教，要求每所学校至少安排一名志愿者，则下列结论中正确的是（    ） A．共有72种安排方法 B．若甲被安排在A学校，则有12种安排方法 C．若A学校需要两名志愿者，则有12种安排方法 D．若甲、乙不能在同一所学校，则有30种安排方法 【答案】BCD 【来源】江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学情第一阶段学业质量监测数学试卷 【分析】由分类加法计数原理，结合分步乘法计数原理以及分组分配问题，结合间接法即可求解． 【详解】对于A，共有种安排方法，即A错误； 对于B，若甲被安排在学校，则有种安排方法，即B正确； 对于C，若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，即C正确； 对于D，若甲、乙不能在同一所学校，则有种安排方法，即D正确． 故选：BCD． 整除和余数问题题型04 55．(23-24高二下·江苏镇江·期中)的个位数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】A 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】因为， 而是10的倍数， 所以的个位数是. 故选：A. 56．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)今天是星期二，经过天后是星期（    ） A．三 B．四 C．五 D．六 【答案】A 【来源】江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】由，根据二项式定理计算即可求解. 【详解】一个星期的周期是7， 则 ， 即除以7余数是1， 即今天是星期二，经过天后是星期三． 故选：A 57．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)被3除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】利用二项式定理赋值化简，再将写成形式展开后可求余数. 【详解】由二项式定理得， 令得，①， 令得，②， ①②得，， 解得，， 由 ， 故被3除的余数为. 故选：B. 58．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)一个袋子中装有大小完全相同的3个红球、4个白球、3个黑球.若从袋中一次摸出4个球，则4个球共有2种颜色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】先将所求事件进行分类计数，再利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】依题意，从袋中一次摸出4个球，试验所含的基本事件有种， 而“4个球共有2种颜色”共有三类情况，①“摸到红球和白球”，有种， ②“摸到红球和黑球”，；③“摸到白球和黑球”，有种， 由分类加法计数原理可得“4个球共有2种颜色”的选法有： 种， 则4个球共有2种颜色的概率为. 故选：D. 59．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】D 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】利用二项式定理对化简，得到其除以10的余数，再结合给定条件逐个选项分析即可. 【详解】因为， 所以， 而， 故除以10余数为1，而，所以除以10余数为1， 对于A，除以10余数为4，故A错误， 对于B，除以10余数为3，故B错误， 对于C，除以10余数为2，故C错误， 对于D，除以10余数为1，故D正确. 故选：D 60．(23-24高二下·江苏镇江·期中)（多选）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 【答案】ABD 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】结合圆排列的定义结合捆绑法，插空法及特殊值法分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确； 对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确； 对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误； 对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确. 故选：ABD. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$