专题03 空间向量与立体几何小题综合（4考点60题）（苏教版2019，江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题03 空间向量与立体几何小题综合（4考点60题） 题型概览 题型01空间向量及其运算 题型02空间角 题型03空间距离 题型04空间中点线面的位置关系 优选提升题 空间向量及其运算题型01 1．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)已知向量，且，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】根据空间向量平行的坐标表示即可得结果. 【详解】根据可得存在实数满足，即， 即可得，解得. 故选：D 2．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)已知向量，，则向量与的夹角为 【答案】 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】设向量与的夹角为， 则， 故. 故答案为： 3．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】江苏省海州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以设，即， 所以， 故选：B. 4．(23-24高二下·江苏扬州第一中学·期中)已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【来源】江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，结合投影向量公式进行求解即可. 【详解】由题意得，, ∴向量在向量上的投影向量为 ． 故答案为：. 5．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由题意可得直线的方向向量为与平面的法向量垂直，由向量垂直的坐标运算即可求解． 【详解】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直， 即， 解得． 故选：B． 6．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)（多选）已知空间向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【来源】江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由空间向量的数量积运算及模运算求解． 【详解】解：对于A项，，则，则与不平行，故A项错误； 对于B项，， 则， 则不成立，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确， 故选：CD 7．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)在三棱柱中，记，，，点P满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学情第一阶段学业质量监测数学试卷 【分析】利用空间向量的线性运算求出结果． 【详解】三棱柱中，记，，， 如图所示：    故 ． 故选：D． 8．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)已知向量，，共面，则实数t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【来源】江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】利用空间共面向量定理，设实数满足，列出方程组求解即可. 【详解】因为，，三向量共面， 所以存在实数，使得， 所以，解得， 故选：B. 9．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得. 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 10．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 11．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】首先求出，，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 12．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】因为，所以，， 则. 故选：D 13．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】取，，为基底，表示出，，再利用向量数量积的运算求解. 【详解】如图： 取，，为基底，则，， 所以. 又，. 所以. 故选：C 14．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据题意可知，结合空间向量数量积的坐标运算求解. 【详解】若，则， 可得，解得. 故选：D. 15．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 【答案】C 【来源】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 16．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 17．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为， ，有，则或，B选项错误； 对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线l与平面所成的角为，C选项正确； 对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，D选项错误. 故选：C. 18．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】 江苏省邳州市文华高级中学2023--2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果. 【详解】根据题意，， ，， 在上的投影向量可为 故选：A. 19．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷 【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确； 对于选项D：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故D正确； 故选：BCD. 20．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)（多选）下列给出的命题中正确的有（      ） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．三棱锥中，点P为平面ABC上的一点，且，则 C．已知，若共面，则实数 D．已知点，一直线过点，且一个方向向量为（，则点P到该直线的距离为 【答案】BCD 【来源】江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】对于A，利用共面向量基本定理即可判断；对于B，利用共面向量基本定理即可推得；对于C，利用共面向量基本定理的坐标式列出方程组求解即得；对于D，先算出直线的一个单位方向向量，利用点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】对于A，因是空间的一组基底，则不共面， 而，即三个向量为共面向量，故A错误； 对于B，因点P为平面ABC上的一点，且， 由共面向量基本定理可得，，即，故B正确； 对于C，由共面可知，存在，使得， 即，则有，解得，故C正确； 对于D，由该直线的一个方向向量为，则与之同方向的单位向量为， 直线过点，则 于是点到该直线的距离为，故D正确. 故选：BCD. 21．(23-24高二·江苏南京秦淮区·期中)（多选）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 【答案】ACD 【来源】江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学情第一阶段学业质量监测数学试卷 【分析】根据方向向量、向量模长、法向量，向量的数量积运算可逐一判断． 【详解】因为平面经过三点，，， 则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确； 线段的长度为，故B错； 又向量是平面的法向量，， 则，解得，则，故C正确； 又,1,， 则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确． 故选：ACD． 22．(23-24高二下·江苏扬州第一中学·期中)（多选）下列给出的命题正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【来源】江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】利用空间向量研究线面、面面关系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空间中四点共面的推论可判定D. 【详解】易知，则直线l与平面平行或在面内，故A错误； 易知，则，故B正确； 若不能作为基底， 则存在，使得， 整理得， 又是空间的一组基底，则，显然方程无解，假设不成立，故C正确； 由空间四点共面的推论可知：若，且时， 四点共面，所以D错误. 故选：BC 23．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若是空间的一组基底，且，则四点共面 C．若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 【答案】BC 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】对A：借助向量数量积的正负与夹角的关系即可得；对B：借助空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可得；对C：借助基底定义结合反证法即可得；对D：借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】对A：若，则向量的夹角是钝角或向量反向共线，故A错误； 对B：， 即有，故四点共面，故B正确； 对C：假设不是空间中的一个基底，则存在实数，使， 即，由向量是空间的一个基底，则向量不共面， 故不存在这样的实数，即是空间的一个基底，故C正确； 对D：设直线与平面所成角为，则， 由题意可得，， 则，故D错误. 故选：BC. 24．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【来源】江苏省宿迁地区2023-2024学年高二下学期期中调研测试数学试题 【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 25．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 【答案】 5 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用向量的线性运算，即可求得结果;再利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量的数量积运算，即可求出模长. 【详解】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 26．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】根据空间向量线性运算，得，，再计算. 【详解】 正四面体的棱长为1， ， 又点是的中点，， 又， . 故答案为：. 27．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)已知正方体的棱长为1，则在上的投影向量的模为 ． 【答案】/ 【来源】江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】建立空间直角坐标系，将投影向量的模转化为运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系， ，则， 则在上的投影向量的模为， 故答案为：.    28．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)（多选）下列给出的命题正确的是（    ） A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点为平面上的一点，为平面外的一点，且，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则 D．两个不重合的平面的法向量分别是，则 【答案】BD 【来源】江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】利用空间基底的含义可判断A的正误，利用四点共面的向量性质可判断B的正误，利用方向向量和法向量的数量积为0判断C的正误，利用两个平面的法向量垂直可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，即这三个向量共面， 故不是空间的一组基底，故A错误. 对于B，因为共面，为平面外的一点，故，故，故B正确. 对于C，因为，故或，故C错误. 对于D，因为，故，故，故D正确. 故选：BD. 29．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量 ． 【答案】1 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】根据数量积的定义和运算性质，即可求得答案. 【详解】设中点为，正方形的中心为. ∵ 且 又∵， ∴. 故答案为：1. 30．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．    【答案】2 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题 【分析】根据数量积的定义求出，再由空间向量线性运算得到，最后根据数量积的运算律及计算即可. 【详解】底面为菱形，，， ， 为棱的中点, ， ，解得. 故答案为：. 31．(23-24高二下·江苏扬州中学·期中)（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A．若，则的夹角是锐角 B．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 C．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【来源】江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据向量夹角的定义即可验证A选项；根据空间向量基本定理即可验证B选项；根据法向量与直线方向向量的夹角与直线方向向量和平面的夹角即可验证C选项；根据空间向量基本定理即可验证D选项； 【详解】若，的夹角可为0，所以不一定为锐角，故A错误； 由于，， 所以，所以A，B，C，D四点共面，故B正确； 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于， 则直线与平面所成的角等于，故C错误； 由题意得， 设， 所以，解得， 即在基底下的坐标为，故D正确； 故选：BD. 空间角题型02 32．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题 【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为． 故选：B 33．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则 ， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 34．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】根据线面角的向量公式，即可求解. 【详解】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为， 所以，所以. 故选：C 35．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由于平面平面且交线为，平面，， 所以平面，由于平面，所以， 由于，平面， 所以平面，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 由于，所以， ， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：B    36．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 【答案】C 【来源】江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】连接，交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，代入向量夹角公式，求出与平面夹角的正弦值，再由正弦函数的单调性，即可得到答案． 【详解】连接交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间直角坐标系， 由正四棱锥的棱长均为，点为的中点， 则,,,,,,， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，得， 设与平面所成的角为，线面角范围为大于等于下雨等于， 则，则， 故与平面不平行，且与平面所成的角小于． 故选：C． 37．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 38．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】将四面体嵌在长方体中，由题意可得长方体的长宽高的大小，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出直线，的方向向量的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，最后求出两条直线所成的角的余弦值． 【详解】将四面体放在如图所示的长方体中， 因为，， 设长方体的长，宽，高分别为，，， 则，可得，， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以的中点， 所以，， 所以， ，， 所以． 设直线，所成的角为，,， 所以,． 故选：A． 39．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得, 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 40．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)（多选）在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（    ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则到直线的距离 【答案】ACD 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】利用正方体的性质，可采用平移法来求判断是否共面以及求异面直线所成的角，可利用空间向量法来求两平面夹角的正弦值，可利用平面几何中的等面积法来求点到线的距离. 【详解】对于A，由于，而与显然是共面向量，所以与共面，故A正确； 对于B， 因为，所以异面直线与所成的角就是， 而在三角形中，由正方体和各面对角线长相等，可知它是等边三角形， 所以，即与夹角为，故B错误； 对于C， 如图建系：设正方体的边长为，可知：，，， 则设平面的法向量为 则，令，则， 即 而平面的法向量可以取轴方向上的单位向量 则， 即， 所以平面与平面夹角的正弦值为，故C正确； 对于D， 过点作的垂线，垂足为，由点为中心，可知为的中点， 由正方体可知平面，因为平面， 所以，因为正方体棱长为，所以，， 则由勾股定理得：， 解等腰三角形得：底边边上的高为，所以三角形面积为， 即点到直线的距离等于，故D正确； 故选：ACD. 41．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)（多选）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确. 【详解】由，则直线平面或，故错误； 由，则平面平面，故正确； 若，设平面和平面所成角为，且， 则， 所以平面所成锐二面角的大小为，故正确； 设直线与平面所成角为， 则，且， 所以直线与平面所成角的大小为，故正确. 故选：. 42．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)正方体的棱长为2，为的中点，则（    ） A． B．与所成角余弦值为 C．面与面所成角正弦值为 D．与面的距离为 【答案】AD 【来源】江苏省盐城市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题 【分析】本题建立空间直角坐标系，利用空间向量可解决线线垂直、异面直线所成的角的相关问题、二面角的相关问题，以及解决空间一点到面的距离问题. 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系 正方体的棱长为2，易求、、、、、、、、. 选项A：因为，，所以 所以，故A正确. 选项B：因为，，所以，设异面直线和所成的角为，则：，故B不正确. 选项C：易求平面的法向量. 设平面的法向量为，易求,， 由，令，则. 设平面与平面所成角为，则, ，即，故选项C不正确. 选项D：因为平面的法向量为，， 设到平面的距离为，向量与法向量的夹角为， 则：,故选项D正确. 故选：AD. 43．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)（多选）（多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ）    A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体存在外接球 D．此八面体的内切球表面积为 【答案】ACD 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期中考试试卷 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角判断AB；由判断C项；利用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D项． 【详解】连接交于点，连接，由正方形，得， 又八面体的每个面都是正三角形，则三点共线，且平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，， 对于A，，则， 所以异面直线与所成角大小为，A正确； 对于B，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 于是，又平面与平面所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，B错误； 对于C，因为，即为此八面体外接球的球心， 因此此八面体一定存在外接球，C正确； 对于D，设内切球的半径为，，八面体表面积 则八面体的体积为， 又八面体的体积为，因此，解得， 所以内切球的表面积为，D正确． 故选：ACD 【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：. 空间距离题型03 44．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)平行六面体中，所有棱长均为．则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【来源】江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】， 故 ， 即的长为. 故选：B. 45．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知点，记点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省盐城中学、南京二十九中联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】分别求出点M在x轴，y轴，z轴上的投影点的坐标，再借助空间两点间距离公式计算作答. 【详解】设点M在x轴上的投影点，则，而x轴的方向向量， 由得：，解得，则， 设点M在y轴上的投影点，则， 而y轴的方向向量， 由得：，解得，则， 设点M在z轴上的投影点，则，而z轴的方向向量， 由得：，解得，则， 所以. 故选：C 46．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 47．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【来源】江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】先得到向量的坐标，用点面距离的向量公式计算即可. 【详解】因为，且为平面的一个法向量， 则点到平面的距离为： ， 故答案为：. 48．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)如图，长方体的顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧，，，，若顶点B到平面的距离为2，顶点D到平面的距离为2，则顶点到平面的距离为 . 【答案】/ 【来源】江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量，利用距离公式即可求解. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由题意可得，解得， 所以顶点到平面的距离为. 故答案为：. 空间中点线面的位置关系题型04 49．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)在正方体中，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量计算其数量积即可得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则有、、、、 、、、， 故、、、、 、、， 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：C. 50．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)（多选）棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】江苏省海州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】建立适当空间直角坐标系后，表示出对应向量并逐项计算即可得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、、， 对A：，，故，故A正确； 对B：，，则，故B错误； 对C：，，则，故C错误； 对D：，，则，故D正确. 故选：AD. 51．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】 江苏省邳州市文华高级中学2023--2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】先设夹角，则,由即得解. 【详解】由题意知，． 设，则． 又，则，故． 故答案为： 52．(23-24高二下·江苏启东·期中)已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【来源】江苏省启东市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试卷 【分析】运用法向量求出坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可. 【详解】平面的一个法向量为，则，解得，故.，则， 则. 则平行四边形面积为. 故选：D. 53．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知点E是棱长都为2的正四棱锥的棱PC的中点，空间中一点M满足，其中x，y，，且．当最小时，有（    ） A．为等边三角形 B． C．EM与底面ABCD所成的角是 D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为 【答案】D 【来源】江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据共面向量的推论得到四点共面，再结合最小得到点的位置，然后根据正棱锥的性质判断AB选项；C选项，根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后求线面角即可；D选项，根据二面角的定义得到为二面角的平面角，根据四棱锥的特点得到为四棱锥外接球的球心，然后根据角的比值求体积即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以四点共面， 所以当为四边形的中心时，最小， 对于A：根据正棱锥的性质可得平面， 因为平面，所以，三角形为直角三角形，故A错； 对于B：在直角三角形中，，， 所以三角形为等腰直角三角形， 因为是的中点，所以，故B错； 对于C：因为平面，所以点在底面的投影落在上， 所以为直线与平面所成角， 因为三角形为等腰直角三角形，所以，故C错； 对于D：根据正棱锥的性质可得三角形为等腰三角形，，所以， 因为平面平面，所以为二面角的平面角， 因为， 所以为四棱锥外接球的球心，为直径， 所以四棱锥外接球被二面角所夹的几何体的体积为，故D正确. 故选：D. 54．(22-23高二下·江苏徐州高级中学·期中)三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是 . 【答案】 【来源】江苏省徐州高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 【分析】 取中点，连，，以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值取值范围． 【详解】 取中点，连接，， ．，，，且，， 是二面角的平面角， 以为原点，为轴，为轴， 过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，0，，，1，， 设二面角的平面角为，则， 连、，则，， ，， 设、的夹角为， 则， ，，, ,,则 ． 故答案为：    55．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、4，则的取值范围为 【答案】 【来源】江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用空间向量结合极化恒等式求解即可. 【详解】根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.    设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径， 设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合. 所以， 所以 ， 由P在长方体表面上运动，所以，故 所以，即. 故答案为： 56．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】取中点，中点，则平面，推导出，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】取中点，中点，则平面，, 所以，，， ，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，取， 得， 平面的法向量为，设二面角的平面角为， 所以， 故答案为： 57．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)（多选）棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．面 C．平面平面 D．当运动到点时，三棱锥的外接球的体积为 【答案】ABD 【来源】江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用锥体的体积公式可判断A；以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过空间向量法可判断B,C；运动到点，求出球心坐标，进而求得三棱锥的外接球的半径，即可求解D. 【详解】 对于A，因为平面,平面∥平面， 所以到平面的距离等于， 所以为定值，故A正确； 对于B，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，由题意可知，， 则 ， 设平面法向量为， 则，可取， 所以，且面， 所以面，故B正确； 对于C，由题， 所以，,， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 所以，, 即，， 令，则，， 所以， 所以平面与平面不垂直，故C错误； 对于D，当运动到点时，三棱锥即为三棱锥， 取线段的中点，连接， 由题意可知，根据几何体特征补成长方体，为该长方体的体对角线， 则外接球的球心在线段的中点， , 所以， 所以外接球的体积为，故D正确. 故选：ABD. 58．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷 【分析】建立空间坐标系，利用向量求解异面直线所成角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 不妨设，则，， , 设异面直线与所成角为，. 故选：C    59．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)如图，在平行六面体中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】先由平行六面体求出，接着由已知结合向量的数量积及其运算律求出即可求出. 【详解】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：A. 60．(22-23高二下·江苏南京金陵中学·期中)如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【来源】江苏省南京市金陵中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ; 所以, , ; 故，即，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面，又平面， 所以平面平面； 因为P是侧面内一点（含边界），平面AEF， 所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量与立体几何小题综合（4考点60题） 题型概览 题型01空间向量及其运算 题型02空间角 题型03空间距离 题型04空间中点线面的位置关系 优选提升题 空间向量及其运算题型01 1．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)已知向量，且，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 2．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)已知向量，，则向量与的夹角为 3．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 4．(23-24高二下·江苏扬州第一中学·期中)已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 5．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)（多选）已知空间向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)在三棱柱中，记，，，点P满足，则（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)已知向量，，共面，则实数t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 10．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 11．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 13．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 15．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)已知，，且，则的值为（ ） A．6 B． C．12 D．14 16．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 17．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 18．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高二下·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)（多选）下列给出的命题中正确的有（      ） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．三棱锥中，点P为平面ABC上的一点，且，则 C．已知，若共面，则实数 D．已知点，一直线过点，且一个方向向量为（，则点P到该直线的距离为 21．(23-24高二·江苏南京秦淮区·期中)（多选）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 22．(23-24高二下·江苏扬州第一中学·期中)（多选）下列给出的命题正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 23．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若是空间的一组基底，且，则四点共面 C．若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 24．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 25．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 26．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 27．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)已知正方体的棱长为1，则在上的投影向量的模为 ． 28．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)（多选）下列给出的命题正确的是（    ） A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点为平面上的一点，为平面外的一点，且，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则 D．两个不重合的平面的法向量分别是，则 29．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量 ． 30．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．    31．(23-24高二下·江苏扬州中学·期中)（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A．若，则的夹角是锐角 B．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 C．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 空间角题型02 32．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 33．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 34．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于（　　） A． B． C． D．或 35．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 36．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 37．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 38．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 39．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 40．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)（多选）在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（    ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则到直线的距离 41．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)（多选）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 42．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)正方体的棱长为2，为的中点，则（    ） A． B．与所成角余弦值为 C．面与面所成角正弦值为 D．与面的距离为 43．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)（多选）（多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ）    A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体存在外接球 D．此八面体的内切球表面积为 空间距离题型03 44．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)平行六面体中，所有棱长均为．则的长为（    ） A． B． C． D．5 45．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知点，记点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 46．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 47．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为 . 48．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)如图，长方体的顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧，，，，若顶点B到平面的距离为2，顶点D到平面的距离为2，则顶点到平面的距离为 . 空间中点线面的位置关系题型04 49．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)在正方体中，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 50．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)（多选）棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 51．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 . 52．(23-24高二下·江苏启东·期中)已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 53．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知点E是棱长都为2的正四棱锥的棱PC的中点，空间中一点M满足，其中x，y，，且．当最小时，有（    ） A．为等边三角形 B． C．EM与底面ABCD所成的角是 D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为 54．(22-23高二下·江苏徐州高级中学·期中)三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是 . 55．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、4，则的取值范围为 56．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为 . 57．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)（多选）棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．面 C．平面平面 D．当运动到点时，三棱锥的外接球的体积为 58．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 59．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)如图，在平行六面体中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 60．(22-23高二下·江苏南京金陵中学·期中)如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$