专题06 四边形模型（中点四边形、十字架模型、垂美四边形模型、对角互补模型、梯子模型）-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（山东专用）

专题06 四边形模型 （中点四边形、十字架模型、垂美四边形模型、 对角互补模型、梯子模型） 目录 模型解读 1 模型一 中点四边形 2 模型二 十字架模型 3 模型三 垂美四边形模型 3 模型四 对角互补模型 4 模型五 梯子模型 4 真题导航 5 模型一 中点四边形 5 模型二 十字架模型 9 模型三 垂美四边形模型 18 模型四 对角互补模型 24 模型五 梯子模型 35 模考精练 39 中点四边形 连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。根据三角形中位线定理，任意四边形的中点四边形都是平行四边形 。若原四边形的对角线相等，其中点四边形是菱形；若原四边形的对角线互相垂直，其中点四边形是矩形；若原四边形的对角线既相等又互相垂直，其中点四边形是正方形。 十字架模型 十字架模型常出现在正方形中，当两条互相垂直的线段（一般是直线或射线）在正方形内或与正方形边相交时， 通过构造全等三角形等方法来解决线段长度、面积等问题。例如在正方形ABCD中，分别在正方形的边上，可利用正方形的性质和直角条件证明相关三角形全等，进而得出线段之间的数量关系。 垂美四边形模型 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。其性质有：垂美四边形的两组对边的平方和相等。即若四边ABCD中, 则, 该性质可通过勾股定理进行证明。在解决一些涉及线段长度计算、四边形形状判定等问题时会用到。 对角互补模型 当四边形的一组对角互补时，就构成了对角互补模型。常见的有含与角的四边形、含两个直角的四边形等情况。一般通过作辅助线（如作垂线、构造全等或相似三角形等），利用角的关系和三角函数等知识来解决线段长度、角度大小以及面积等问题。 梯子模型 梯子模型通常是指在平行四边形或梯形中，一组平行线段（类似梯子的横档）与另外两条相交线段（类似梯子的侧边）所构成的图形关系。在解决这类问题时，常利用相似三角形的性质，如对应边成比例、对应角相等来求解线段长度、比例关系等。 掌握这些四边形模型，能帮助我们更高效地分析和解决与四边形相关的几何问题，梳理解题思路，提升解题能力。 模型一 中点四边形 如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形． 1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形． 2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形． 类型 图形 结论 矩形的中点四边形 四边形是菱形 菱形的中点四边形 四边形是矩形 正方形的中点四边形 四边形是正方形 模型二 十字架模型 正方形内部，，求证． 正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直．无论怎么变，只要垂直，十字架就会相等． 模型三 垂美四边形模型 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则①.② 模型四 对角互补模型 已知：，则． 对角互补，邻边相等的四边形是一个天然的旋转模型，旋转的角度为相等的边的夹角． 拓展，已知，则：，． 模型五 梯子模型 如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，则：O，Q，C三点共线时，取得最大值． 梯子滑动求最值，要把梯子中点取，两条线段相加得结果． 模型一 中点四边形 【典例】1．顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（   ） A．对角线互相垂直的四边形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．四边形的边的中点分别为点，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的性质可得，则，由此即可得． 【详解】解：如图，四边形的边的中点分别为点， 由三角形的中位线定理得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是对角线互相垂直的四边形， 故选：A． 【典例】2．如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，从而可得，再证出四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定即可得． 【详解】解：由题意得：点分别是的中点， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则需要， 又∵，， ∴要使，则需要， 故选：D． 【典例】3．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可． 本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：点 E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 但与不一定互相平分，故选项C不符合题意； A．， ， 四边形为菱形，故本选项不符合题意； B．时，， 则四边形为矩形，故本选项不符合题意； D．当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，故本选项不符合题意； 故选：D． 【典例】4．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 模型二 十字架模型 【典例】1．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解题的关键． 【典例】2．如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（    ） A．2 B．2 C．6 D．5 【答案】D 【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，设AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再证明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根据S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可 【详解】解：作FH⊥AB于H，交AE于P，则四边形ADFH是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO． 设AG=GE=x，则BG=3-x， 在Rt△BGE中， ∵BE2+BG2=GE2， ∴12+(3-x)2=x2， ∴x=． 在Rt△ABE中， ∵AB2+BE2=AE2， ∴32+12=AE2， ∴AE=． ∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF， ∴∠HAP=∠OFP， ∵四边形ADFH是矩形， ∴AB=AD=HF． 在△ABE和△FHG中， ， ∴△ABE≌△FHG， ∴FG=AE=， ∴S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF = = = = =5． 故选D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 【典例】3．如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    【答案】5 【分析】由正方形中“十字架”模型的解法可知，过点作于，可证()，可得，由勾股定理可求，再由“对角形互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，   ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， () ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键． 【典例】4．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，点分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形为正方形，可得，推得，由，可得，可证即可； （2）、为、中点，可得为的中位线，可证，，由点、、、分别是、、、的中点，可得是的中位线，为的中位线，为的中位线，可证，，，，，，可证四边形为平行四边形．再证四边形为菱形，最后证即可； （3）延长交于点，由对称性可得，，，由勾股定理可求，可得，设，在中，，解得，在中，可求． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：四边形为正方形，理由如下： ∵、为、中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵点、、、分别是、、、的中点， ∴是的中位线，为的中位线，为的中位线，， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． （3）解：延长交于点， 由对称性可知，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键． 【典例】5．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）根据正方形的性质得AB=BC，，用SAS证明，得，根据三角形内角和定理和等量代换即可得； （2）过点B作，交AN于点H，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS证明，得，根据角平分线性质得，则是等腰直角三角形，用SAS证明，得AH=CN，在中，根据勾股定理即可得； 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC，， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点B作，交AN于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AC，， ∵， ， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴, ∴， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵AN平分， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴BH=BN， 在和中， ∴（SAS）， ∴AH=CN， 在中，根据勾股定理 ， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 模型三 垂美四边形模型 【典例】1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 【典例】2．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解． 本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∵E是的中点， ， ∴。 故选：A． 【典例】3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 【典例】4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【典例】5．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长． 【答案】（1）①③；（2）结论：AD2+BC2=AB2+CD2．证明见解析；（3） 【分析】（1）根据垂美四边形的定义判断即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理得出AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论； （3）先由SAS证明△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，进而证出CE⊥BG，再根据勾股定理、结合（2）的结论计算，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵正方形，菱形的对角线互相垂直， ∴正方形，菱形是垂美四边形， 故答案为：①③． （2）结论：AD2+BC2=AB2+CD2． 理由：∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2． （3）连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， ∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG=∠AEC， 又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴CG2+BE2=CB2+GE2， ∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°， ∴AC==8， ∴CG=，BE=， ∴GE2=CG2+BE2-CB2=292， ∴GE=． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，垂美四边形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，并熟练运用及全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的判定等知识点． 模型四 对角互补模型 【典例】1．如图，在四边形中，于，则的长为    【答案】 【分析】过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题； 【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示， ∵， ， ∴≌ ， ， ， 即， ， 故答案为．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【典例】2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为 ． 【答案】4+4． 【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD+DC，代入求出即可． 【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图： 由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN， ∵∠BAC＝∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABD+∠ABE＝180°， ∴E，B，M三点共线， ∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAM＝∠MAN， 在△AEM和△ANM中， ， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴MN＝ME， ∴MN＝CN+BM， ∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4， ∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4， 故答案为4+4． 【点睛】此题主要考查利用三角形全等的性质和解直角三角形，进行等量转换，关键是做辅助线. 【典例】3．如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝ ． 【答案】4． 【分析】将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积，根据等边△AEC面积特征可求解AC长． 【详解】解：将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE． ∵四边形内角和360°， ∴∠D+∠ABC＝180°． ∴∠ABE+∠ABC＝180°， ∴E、B、C三点共线． 根据旋转性质可知∠EAC＝60度，AE＝AC， ∴△AEC是等边三角形． 四边形ABCD面积等于△AEC面积， 等边△AEC面积 ， 解得AC＝4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ACD进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解． 【典例】4．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 【典例】5．感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由． 应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是． 【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证； 探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得，则有，最后问题可求解． 【详解】感知：，理由如下： ∵，， ∴，即， ∵平分， ∴； 探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示： ∵平分， ∴DE=DF， ∵，， ∴∠B=∠DCF， ∴△DEB≌△DFC（AAS）， ∴； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG， ∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 【典例】6．【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，则他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 模型五 梯子模型 【典例】1．如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解得，在中，由勾股定理解得BM的值，再由三角形三边关系解得，据此解题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【典例】2．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是 ①2－2；②2＋2；③2－2；④＋2 【答案】② 【分析】取AB中点E，连接OE、DE、OD，求出OE和DE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE． 【详解】取AB中点E，连接OE、DE、OD， ∵∠MON=90°， ∴OE=AB=2． 在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE=2． 在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD， ∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE=2+2． 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题． 【典例】3．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【详解】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【典例】4．如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值． 【答案】见解析 【分析】根据三角形三边关系和勾股定理判定即可； 【详解】如图． 在中，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴当O，Q，C三点共线，取得最大值，，即； 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 【典例】5．如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答： （1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？ （2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？ 【答案】（1）CE是15米；（2）AE有5米． 【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，由于梯子长度不变，在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长，从而得出答案； （2）由AE＝AC﹣EC即可求得结果． 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中， AB＝25米，BC＝15米， ∴AC＝＝20（米）， 在Rt△CDE中， ∵DE＝AB＝25米，CD＝BC+BD＝15+5＝20（米）， ∴EC＝＝15（米）， 答：梯子滑动后，梯子的高度CE是15米； （2）由（1）知，AC＝20米，EC＝15米， 则AE＝AC﹣EC＝20﹣15＝5（米）． 答：梯子顶端A下落的长度AE有5米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出AC及EC的长是解题关键． 1．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若MN＝4，则线段CN的长是 ． 【答案】3 【分析】过点M作MH⊥CD于点H．连接DE，结合题意可知MN垂直平分DE，先通过证明△MHN≅△DCE得出DE＝MN＝，然后利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△ENC中利用勾股定理求出DN，最后进一步求出CN即可. 【详解】 如图所示，过点M作MH⊥CD于点H．连接DE． 根据题意可知MN垂直平分DE，易证得：∠EDC＝∠NMH，MH＝AD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴MH＝AD＝CD， ∵∠MHN＝∠C＝90°， ∴△MHN≅△DCE（ASA）， ∴DE＝MN＝， 在Rt△DEC中，， 设DN＝EN＝，则CN＝， 在Rt△ENC中，， ∴， 解得：， ∴CN＝， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方形性质和全等三角形性质与判定及勾股定理的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 2．如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（    ） A． B．25 C．20 D．15 【答案】D 【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得，可求出S△BQF=25，再证明△ABE≌△BCF（SAS），△BGE∽△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN⊥AB交AB于N，可证明△ANG∽△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解． 【详解】解：将沿翻折得到， PF=FC，∠PFB=∠CFB， 四边形是正方形 ∠FPB=90°，CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF， ∴∠ABF=∠PFB， ∴QF=QB， ∵PF=FC=，PB =AB=2， 在Rt△BPQ中，， ∴， ∴QB=， ∴S△BQF=， ∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠AEB=∠BFC， 又∵∠EBG=∠CBF， ∴△BGE∽△BCF， ， ∵CF=，BC=2， ∴BF=5， ∴GE=，BG=2， 过点G作GN⊥AB交AB于N， ∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°， ∴△ANG∽△ABE， ∴ ∵GA=AE-GE = ∴GN= ∴S△BQG=×QB×GN==10， ∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质是解题的关键． 3．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解． 【详解】解：连接BP，取CD的中点M，连接PM， 由折叠可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG， 在Rt△BCG中，P是CG的中点， ∴BP＝PG＝GC， ∵Q是GH的中点， ∴QG＝GH， ∴△GPQ的周长＝PQ+QG+PG＝PM+GH+PB＝PM+PB+CD， ∵CD＝3， ∴△GPQ的周长＝PM+PB+， 当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小， 在Rt△BCM中，BM＝， ∴△GPQ的周长的最小值为. 故选B． 【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 4．如图，在中，，，点在上，点在上，，连接，，，垂足为．证明：． 【答案】见解析 【分析】如图，延长到点，使，连接、，根据四边形的内角和和邻补角互补可得，进而可根据SAS证明，可得，，进一步即可求得，然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论． 【详解】证明：如图，延长到点，使，连接、， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的内角和、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键． 5．如图，一架长为5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC=3米． （1）求BC的长； （2）如果梯子的顶端B沿墙向下滑动2米，问梯子的底端A向外移动了多少米？ 【答案】（1）的长为4米；（2）梯子的底端A向外移动了米 【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长； （2）根据及（1）中的答案求得的长，进而利用勾股定理得出答案即可． 【详解】解：（1）一架长5米的梯子，顶端靠在墙上，梯子底端到墙的距离米， ， 答：的长为4米； （2）∵，， ∴， ， ∴， 答：梯子的底端A向外移动了米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 6．如图，一架米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，，那么梯足将向外移多少米？ 【答案】梯足向外移动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．在直角三角形中，已知,，，根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知，即可求得的长度，根据即可求得的长度． 【详解】解：在直角中，已知,，， 则， ， 在直角中，，且为斜边， ， 梯足向外移动了． 7．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【分析】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可． 【详解】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． 8．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究、、、之间的数量关系； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．若AB=3，AC=2，求线段GE的长． 【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析；（2）AB2+CD2=AD2+BC2，证明见解析；（3）EG=． 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】解：（1）如图，四边形ABCD是垂美四边形； 理由如下： 连接AC、BD交于点E， ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想结论：AB2+CD2=AD2+BC2， 证明：在四边形ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2=AO2+BO2+OD2+OC2， ∴AB2+CD2=AD2+BC2； （3）如图3，连接CG，BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG=∠AEC， ∵∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠BMN=90°， ∴∠BNC=90°，即BG⊥CE， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得：EG2+BC2=CG2+BE2， ∵AC=2，AB=3， ∴BC=，CG=2，BE=3， ∴EG2=CG2+BE2-BC2=8+18-5=21， ∴EG=． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 9．问题探究 （1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度． 【答案】（1）115°；（2）S四边形ABCD=18；（3）对角线BD的长度为米． 【分析】（1）利用外角的性质可求解； （2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积； （2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形内角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长BC交AD于E， ∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC， ∴∠BCD=∠A+∠ABC +∠D =45°+30°+40°=115°， 故答案为：115°； （2）延长DC，使得CE=AD，连接BE， 在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠BCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠BCE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE， ∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE， ∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，   ∵BD=BE=6，∠DBE=90°， ∴S△BDE=×BE×BD=18， ∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18； （4）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD， ∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°， ∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA， ∴△BFD是等边三角形， ∴BF=BD=DF， ∵∠ADC=30°， ∴∠ADB+∠BDC=30°， ∴∠BFA+∠ADB=30°， ∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°， ∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°， ∴∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠FAD=90°， ∴DF=， ∴BD=(米)． 答：对角线BD的长度为米． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键． 10．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明； （2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立； ②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解； （3）①当N、F在边上时，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，同理可证，求出，设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可求出的长．当N、F在的延长线上时，同理可求出的长 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）①作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作于点L，    同理可证四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，    同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形模型 （中点四边形、十字架模型、垂美四边形模型、 对角互补模型、梯子模型） 目录 模型解读 1 模型一 中点四边形 2 模型二 十字架模型 3 模型三 垂美四边形模型 3 模型四 对角互补模型 4 模型五 梯子模型 4 真题导航 5 模型一 中点四边形 5 模型二 十字架模型 6 模型三 垂美四边形模型 8 模型四 对角互补模型 9 模型五 梯子模型 11 模考精练 13 中点四边形 连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。根据三角形中位线定理，任意四边形的中点四边形都是平行四边形 。若原四边形的对角线相等，其中点四边形是菱形；若原四边形的对角线互相垂直，其中点四边形是矩形；若原四边形的对角线既相等又互相垂直，其中点四边形是正方形。 十字架模型 十字架模型常出现在正方形中，当两条互相垂直的线段（一般是直线或射线）在正方形内或与正方形边相交时， 通过构造全等三角形等方法来解决线段长度、面积等问题。例如在正方形ABCD中，分别在正方形的边上，可利用正方形的性质和直角条件证明相关三角形全等，进而得出线段之间的数量关系。 垂美四边形模型 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。其性质有：垂美四边形的两组对边的平方和相等。即若四边ABCD中, 则, 该性质可通过勾股定理进行证明。在解决一些涉及线段长度计算、四边形形状判定等问题时会用到。 对角互补模型 当四边形的一组对角互补时，就构成了对角互补模型。常见的有含与角的四边形、含两个直角的四边形等情况。一般通过作辅助线（如作垂线、构造全等或相似三角形等），利用角的关系和三角函数等知识来解决线段长度、角度大小以及面积等问题。 梯子模型 梯子模型通常是指在平行四边形或梯形中，一组平行线段（类似梯子的横档）与另外两条相交线段（类似梯子的侧边）所构成的图形关系。在解决这类问题时，常利用相似三角形的性质，如对应边成比例、对应角相等来求解线段长度、比例关系等。 掌握这些四边形模型，能帮助我们更高效地分析和解决与四边形相关的几何问题，梳理解题思路，提升解题能力。 模型一 中点四边形 如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形． 1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形． 2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形． 类型 图形 结论 矩形的中点四边形 四边形是菱形 菱形的中点四边形 四边形是矩形 正方形的中点四边形 四边形是正方形 模型二 十字架模型 正方形内部，，求证． 正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直．无论怎么变，只要垂直，十字架就会相等． 模型三 垂美四边形模型 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则①.② 模型四 对角互补模型 已知：，则． 对角互补，邻边相等的四边形是一个天然的旋转模型，旋转的角度为相等的边的夹角． 拓展，已知，则：，． 模型五 梯子模型 如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，则：O，Q，C三点共线时，取得最大值． 梯子滑动求最值，要把梯子中点取，两条线段相加得结果． 模型一 中点四边形 【典例】1．顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（   ） A．对角线互相垂直的四边形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．矩形 【典例】2．如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【典例】3．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 【典例】4．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 模型二 十字架模型 【典例】1．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【典例】2．如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（    ） A．2 B．2 C．6 D．5 【典例】3．如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    【典例】4．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，点分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【典例】5．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN； 模型三 垂美四边形模型 【典例】1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【典例】2．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【典例】3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【典例】4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例】5．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长． 模型四 对角互补模型 【典例】1．如图，在四边形中，于，则的长为    【典例】2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为 ． 【典例】3．如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝ ． 【典例】4．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【典例】5．感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由． 应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 【典例】6．【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，则他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 模型五 梯子模型 【典例】1．如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 【典例】2．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是 ①2－2；②2＋2；③2－2；④＋2 【典例】3．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【典例】4．如图所示，线段的两端在坐标轴上滑动，，AB的中点为Q，连接，求证：O，Q，C三点共线时，取得最大值． 【典例】5．如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答： （1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？ （2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？ 1．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若MN＝4，则线段CN的长是 ． 2．如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（    ） A． B．25 C．20 D．15 3．如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，点在上，点在上，，连接，，，垂足为．证明：． 5．如图，一架长为5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC=3米． （1）求BC的长； （2）如果梯子的顶端B沿墙向下滑动2米，问梯子的底端A向外移动了多少米？ 6．如图，一架米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，，那么梯足将向外移多少米？ 7．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 8．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究、、、之间的数量关系； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．若AB=3，AC=2，求线段GE的长． 9．问题探究 （1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度． 10．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$