专题11 空间几何体的夹角和距离问题4种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题11 空间几何体的夹角和距离问题4种常考题型总结 题型概览 题型01点到平面的距离 题型02异面直线所成角 题型03直线与平面所成角 题型04二面角 ( 题型01 ) 点到平面的距离 1．（2022秋•射洪市校级期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点在底面圆周上，，为垂足． （1）求证：． （2）当直线与平面所成角的正切值为2时，求点到平面的距离． 【解析】证明：（1）证明：为圆的直径，， 又平面，平面，， 又，、平面，平面， 而平面，， 又，且，、平面， 平面， 又平面，； （2）由题意可知，平面， 为直线与平面所成角， ，， 设到平面的距离为，则有； 因为，，， 由余弦定理得， 则， 故， 由点向直线作垂线，垂足为， 平面，平面，所以， ，、平面，所以平面， 且， ，解得， 到平面的距离为． 2．（2021秋•四川期中）如图所示，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，是菱形，，且平面垂直平面，为中点． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：正方形，， 面面，面面，面， 面， 又面，， 是菱形，， △为等边三角形， 为中点，， 又，且，面， 面， 又面， 平面平面． （2）解：由（1）可知，面， 到平面的距离为， 由（1）知，面， 面，， 在中，， 在△中，， ，， 设点到平面的距离为， ， ， ， 故点到平面的距离为． 3．（2020秋•威远县校级期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：连接与交于，连接， 是菱形，为的中点， 又为的中点，， 平面，平面， 平面； （2）解：取中点，连接，， 四边形是菱形，，且， ，， 又，平面， 又平面，． 同理可证：，又， 平面，则平面平面， 又平面平面， 点到直线的距离即为点到平面的距离， 过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为， 为的中点，故点到平面的最大距离为1， 此时，为的中点，即， ， ． 4．（2020秋•仁寿县校级期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：由已知得，，， ，， 平面，平面，， ，平面， 平面，平面平面． （2）解：由（1）得平面，， ，， 设点到平面的距离为， ， ， ， 解得， 点到平面的距离为． 5．（2024秋•青羊区校级期中）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，在平面上的射影为，且在上，且，，，是的中点，四面体的体积为． （Ⅰ）求异面直线与所成的角余弦值； （Ⅱ）求点到平面的距离； （Ⅲ）若点是棱上一点，且，求的值． 【解析】由已知， ． 在平面内，过点作交于，连接，则（或其补角）就是异面直线与所成的角． 在△中，， 由余弦定理得，， 异面直线与所成的角的余弦值为． 平面，平面平面平面， 在平面内，过作，交延长线于，则平面的长就是点到平面的距离． ． 在△，，点到平面的距离为． 在平面内，过作，为垂足，连接， 又因为， 平面，． 由平面平面，平面； 由得：． ，由可得． 6．（2022秋•峨眉山市校级期中）已知三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，，，又知． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】证明：（1）得，因为底， 所以，（2分），所以面， 所以（3分） 因为，， 所以底（1分） 解：（2）作于点，连作， 因为平面，所以，，， 所以平面，（2分） 又面，所以，， 所以平面，（2分）△中，， 因为是中点，所以到面距离．（2分） ( 题型02 ) 异面直线所成角 7．（2024春•屏山县校级期中）正方体中，异面直线与所成角的大小为 ． 【解析】正方体中，， 则为异面直线与所成角， ． 故答案为：． 8．（2024春•射洪市校级期中）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 A． B． C． D． 【解析】解法一：，是直线与所成的角（或所成角的补角）， 设正方体的棱长为2， 则，，， ， ， 直线与所成的角为． 解法二：，直线与所成角为， 在正△中，是的平分线， ． 直线与所成的角为． 故选：． 9．（2024秋•巴州区校级期中）如图，正方体中，直线与所成角为 ． 【解析】连结，为正方体，且， 四边形为平行四边形，，则为两异面直线与所成角． 连结，正方体的所有面对角线相等，△为正三角形，所以． 故答案为． ( 题型03 ) 直线与平面所成角 10．（2023秋•青羊区校级期中）在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 【解析】设，则，， 平面， 的面积最大时，三棱锥的体积最大， 又， 当且仅当，即时取等号， ，是，的中点， ，， ， 设到平面的距离为， 由， ，，解得， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 故选：． 11．（2023秋•市中区校级期中）如图所示，矩形中，，，沿将△折起，使得点在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为． 【解析】如图2，作于，由题意，平面， ，即为直线与平面所成的角， 作于，连接，则平面， ，从而在图1中，、、三点共线， 在图1中，，， ，， 而，， 那么在图2中也有，从而， 故，即直线与平面所成的角为． 故答案为：． 12．（2024秋•渠县校级期中）已知正四棱柱的底面边长为2，． （1）求该四棱柱的体积； （2）若为线段的中点，求与平面所成角的正切值大小． 【解析】（1）根据题意可得：在△中， ， 所以该四棱柱的体积； （2）过作，垂足为点，连接， 可知平面， 则就是与平面所成的角， 又因为，是的中点， 则是△的中位线， 可知， 在△中，， 则， 所以与平面所成角的正切值为． 13．（2023春•渠县校级期中）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法中不正确的是 A．平面 B． C．直线与平面所成的角为 D．异面直线与所成的角为 【解析】在正方体中，取棱，中点，，连接，，， 因为，分别为，的中点， 则，， 因此四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以平面，正确； 因为平面，则，所以，正确； 显然平面，则是与平面所成的角，又，， 有，由于，所以直线与平面所成的角为，错误； 因为，，则是异面直线与所成的角，显然，正确． 故选：． 14．（2022秋•船山区校级期中）已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 【解析】如图所示：为中点，连接，，作于． 平面，平面， 故，，， 故平面，平面， 故，又，， 故平面，即即为直线与平面所成角． 设，则，， 故． 故选：． 15．（2022秋•青羊区校级期中）在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值是 A． B． C． D．1 【解析】设，又， 的面积为， 又，而， 易得到的距离为， 在以为轴以为半径的圆柱的母线所在直线上， 要使与平面所成角最大， 则必须垂直于柱的母线所在直线，且与圆柱母线相切于点， 设切点的半径为，则垂直于母线所在直线， 母线所在直线垂直于与半径所确定的平面， 又母线所在直线平行于轴， 垂直于平面，又平面， 平面平面， 与底面所成最大角为， 垂直于平面，， 即为平面内，且垂直于所在直线，垂足点为， 又，，， 易得，又， ，， ． 故直线与平面所成角的正切的最大值是． 故选：． 16．（2021春•涪城区校级期中）在三棱锥中，、、两两垂直，，，是的中点，则与平面所成的角的正切值为 A． B． C． D． 【解析】如图：在三棱锥中，、、两两垂直， 可知平面，过作，交于， 所以平面，连接，为与平面所成的角． 因为是的中点， 所以是的中点， 所以，，，， 可得， ． 故选：． 17．（2022秋•成华区校级期中）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：如图，连结，，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，， ，，， ，平面，， （2）如图，取中点，连结、，则四边形是平行四边形， 平面，，平行四边形是矩形， 由（1）得平面，则平面平面， 在平面上的射影在直线上， 连结，交于点，则是直线与平面所成角（或补角）， 设，则在△中，则， 为的中点，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． ( 题型04 ) 二面角 18．（2024秋•青羊区校级期中）如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度．甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（水库底面与水坝的交线）的距离和分别为和，的长为，甲乙之间拉紧的绳长为，则水库底面与水坝所成二面角的大小为 A． B． C． D． 【解析】过点作，且， 所以四边形为平行四边形，，且， 由题意知，，， 因为，， 所以，， 又， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为和分别为和， 在△中，，， 所以， 因为，，， 所以为库底与水坝所在水平面夹角的平面角，， 又，，所以． 故选：． 19．（2024秋•广安校级期中）如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 ． 【解析】，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段， ，，，，， 如图，在平面内过作且， 由，知为矩形，连接，， 由，则，又，且都在面内， 面，面，则， 由，，则， 由，，由题意知为二面角的平面角， 又，，， 二面角的大小为． 故答案为：． 20．（2023秋•市中区校级期中）如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为 A． B． C． D． 【解析】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以， 且，所以即为二面角的平面角，又，易得． 故选：． 21．（2022秋•恩阳区期中）正方体中，二面角的平面角的余弦值为 A． B． C． D． 【解析】连接，，记交点为，连接， 则，， 则是二面角的平面角， 不妨设正方体的棱长为1，则， 所以， 所以， 故选：． 22．（2017秋•射洪县校级期中）如图，在直三棱柱中，底面△是等边三角形，且，，则二面角的大小为 A． B． C． D． 【解析】如图， 取中点，连接，， 为正三角形，则， 三棱柱是直三棱柱， 平面，则， 又， 平面，则， 为二面角的平面角， 在等边三角形中，由，可得， 又， ． 即二面角的大小为． 故选：． 1．（2021秋•青羊区校级期中）攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为，宝顶到上檐平面的距离为，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为 A． B． C． D． 【解析】由题意，上檐平面的八边形如图所示， 其中，，且为的中点， 所以， 又， 解得，（舍， 又， 所以， 由题意可知，攒尖坡度为． 故选：． 2．（2024秋•威远县校级期中）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥为阳马，且，底面．若是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 【解析】四棱锥为阳马，且，底面．是线段上的点（不含端点）， 设与所成的角为，与底面所成的角为， 二面角的平面角为， ， ． 故选：． 3．（2023秋•乐山期中）如图，是夹在的二面角之间的一条线段，，，且直线与平面，分别成，的角，过作于，过作于．则的值为 A． B． C． D． 【解析】如图， 平面，，，，， 且直线与平面，分别成，的角， ，， 设，则，， 在△中，可得． 的值为． 故选：． 4．（2021秋•射洪市校级期中）如图，在棱长为1的正方体中，给出以下结论： ①直线与所成的角为； ②若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是； ③若，是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为． 其中，正确结论的是 ． 【解析】根据题意，依次分析3个结论： ①在△中，每条边都是，即为等边三角形，与所成角为， 又，直线与所成的角为，①正确； ②如图，由正方体可得平面平面，当点位于上，且使平面时，直线与平面所成角的正弦值最大为1， 当与重合时，连接交平面所得斜线最长，直线与平面所成角的正弦值最小等于， 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，，②正确； ③连接，，设到平面的距离为，则，到直线的距离为， 则四面体的体积，③正确． 综上：正确的命题是①②③； 故答案为：①②③． 5．（2022春•南充期中）在长方体中．，，是线段上的一动点，如下的四个命题中， （1）平面； （2）与平面所成角的正切值的最大值是； （3）的最小值为； （4）以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是． 真命题共有几个 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】对于（1），在长方体中，，且，，且， ，且， 平面，平面，平面， ，平面，平面， 平面， ，平面平面， 平面，平面，故（1）正确； 对于（2），平面，与平面所成角为， ，当时，与平面所成角的正切值最大， 由勾股定理得， 由等面积法得， 的最大值为，故（2）不正确； 对于（3），将△沿翻折与在同一平面，如下图， 在中，是直角， ，， 在△中，，， 由余弦定理得， 则为锐角，， ， 由余弦定理得， 此时，， 的最小值为，故（3）正确； 对于（4），设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点， 平面，平面，， ， 交线为以为圆心，1为半径的四分之一圆周，交线是，故（4）正确． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 空间几何体的夹角和距离问题4种常考题型总结 题型概览 题型01点到平面的距离 题型02异面直线所成角 题型03直线与平面所成角 题型04二面角 ( 题型01 ) 点到平面的距离 1．（2022秋•射洪市校级期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点在底面圆周上，，为垂足． （1）求证：． （2）当直线与平面所成角的正切值为2时，求点到平面的距离． 2．（2021秋•四川期中）如图所示，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，是菱形，，且平面垂直平面，为中点． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 3．（2020秋•威远县校级期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积． 4．（2020秋•仁寿县校级期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 5．（2024秋•青羊区校级期中）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，在平面上的射影为，且在上，且，，，是的中点，四面体的体积为． （Ⅰ）求异面直线与所成的角余弦值； （Ⅱ）求点到平面的距离； （Ⅲ）若点是棱上一点，且，求的值． 6．（2022秋•峨眉山市校级期中）已知三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，，，又知． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． ( 题型02 ) 异面直线所成角 7．（2024春•屏山县校级期中）正方体中，异面直线与所成角的大小为 ． 8．（2024春•射洪市校级期中）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 A． B． C． D． 9．（2024秋•巴州区校级期中）如图，正方体中，直线与所成角为 ． ( 题型03 ) 直线与平面所成角 10．（2023秋•青羊区校级期中）在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 11．（2023秋•市中区校级期中）如图所示，矩形中，，，沿将△折起，使得点在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为． 12．（2024秋•渠县校级期中）已知正四棱柱的底面边长为2，． （1）求该四棱柱的体积； （2）若为线段的中点，求与平面所成角的正切值大小． 13．（2023春•渠县校级期中）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法中不正确的是 A．平面 B． C．直线与平面所成的角为 D．异面直线与所成的角为 14．（2022秋•船山区校级期中）已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 15．（2022秋•青羊区校级期中）在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值是 A． B． C． D．1 16．（2021春•涪城区校级期中）在三棱锥中，、、两两垂直，，，是的中点，则与平面所成的角的正切值为 A． B． C． D． 17．（2022秋•成华区校级期中）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． ( 题型04 ) 二面角 18．（2024秋•青羊区校级期中）如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度．甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（水库底面与水坝的交线）的距离和分别为和，的长为，甲乙之间拉紧的绳长为，则水库底面与水坝所成二面角的大小为 A． B． C． D． 19．（2024秋•广安校级期中）如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 ． 20．（2023秋•市中区校级期中）如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为 A． B． C． D． 21．（2022秋•恩阳区期中）正方体中，二面角的平面角的余弦值为 A． B． C． D． 22．（2017秋•射洪县校级期中）如图，在直三棱柱中，底面△是等边三角形，且，，则二面角的大小为 A． B． C． D． 1．（2021秋•青羊区校级期中）攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为，宝顶到上檐平面的距离为，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为 A． B． C． D． 2．（2024秋•威远县校级期中）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥为阳马，且，底面．若是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 3．（2023秋•乐山期中）如图，是夹在的二面角之间的一条线段，，，且直线与平面，分别成，的角，过作于，过作于．则的值为 A． B． C． D． 4．（2021秋•射洪市校级期中）如图，在棱长为1的正方体中，给出以下结论： ①直线与所成的角为； ②若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是； ③若，是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为． 其中，正确结论的是 ． 5．（2022春•南充期中）在长方体中．，，是线段上的一动点，如下的四个命题中， （1）平面； （2）与平面所成角的正切值的最大值是； （3）的最小值为； （4）以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是． 真命题共有几个 A．1 B．2 C．3 D．4 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$