精品解析：河南省郑州市中原区2024-2025学年九年级下学期第一次联考数学试题试卷

郑州市中原区2024－2025学年九年级下学期联考试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破1300亿斤（注：1斤＝0.5千克），为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“1300亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两个学校统计男女生人数，分别绘制了扇形统计图（如图），下列说法正确是（ ） A. 甲校男生人数比乙校的男生人数多 B. 甲、乙两个学校的人数一样多 C. 乙校的女生人数比甲校的女生人数多 D. 甲校的男女生人数一样多 5. 如图所示，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比7大的整数：_______． 12. 鱼缸里饲养两种鱼，种鱼的生长温度的范围是，种鱼的生长温度的范围是，那么鱼缸里的温度应该控制在 ______ 范围内 13. 小明笔袋里有两支红笔和两支黑笔（支笔的款式相同），上课做笔记时，他随机从笔袋中抽出两支笔，刚好是一红一黑的概率是_________． 14. 如图，是的直径，与相切于点，的延长线交直线于点，连接，．若，，则的长度是 ____． 15. 在矩形 中，，E 为线段的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A 的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点C 的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点 F 运动的距离为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 中小学午餐配送是郑州教育的“暖心服务”工程． 某校午餐原来由甲公司配送，为了提高饭菜质量，新学期午餐由乙公司配送． 学生会为了解用餐学生对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况，组织学生对两家公司的饭菜质量进行分数评价（满分为10分）． 学生会随机抽取了10位学生的评价分数： 学生A 学生B 学生C 学生D 学生E 学生F 学生G 学生H 学生I 学生J 甲公司 7 6 7 6 9 7 9 8 10 9 乙公司 6 5 8 7 8 8 8 9 8 10 学生会同学在进行数据分析时首先计算了各公司得分的平均数：甲公司分；乙公司分． （1）为了能够更加全面、客观地对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况进行评价，你认为还需要了解中位数、众数、方差中的哪些统计量？请至少选择一个你认为合适的统计量进行数据分析． （2）根据前面工作，你认为用餐学生对哪家公司的饭菜质量更加满意，为什么？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）请用无刻度的直尺和圆规过点B作轴，交于点D（保留作图痕迹，不写作法），若点P是直线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 19. 请你完成命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程．） 20. 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% (1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式. (2)什么情况下，两家商场收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 21. 如图，是等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，交于点． （1）线段与的数量关系是___________． （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）请在图中连接，则四边形一定是菱形吗？为什么？ 22. “诗圣”杜甫出生在郑州巩义市笔架山下的窑洞里，窑洞是黄土高原、黄河中游特有的民居形式．如图，某窑洞口的底部为矩形，上部为抛物线．已知底部矩形的长为4米，宽为2米，窑洞口的最高点P离地面的距离为4米． （1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出P点的坐标 ． （2）求（1）中所建坐标系中抛物线的表达式． （3）若在窑洞口的上部安装一个矩形窗户（窗户的边框忽略不计），使得点A，B在底部矩形的边上，点C，D在抛物线上，且，那么这个窗户的宽为多少米？ 23. （1）【观察发现】如图1，在的正方形网格中，点为格点，交于点M．为了求的度数，我们可以向右平移线段，使得点B与点D重合，点A的对应点为点E，连接，则的度数为 ； （2）【探究迁移】如图2，正方形的边上有一动点E，以为边向外作正方形，连接交于点与交于点P，请仅就图2的情形解决以下问题： ①将线段向左平移，使得点C与点B重合，此时，点G的对应点H落在边上，连接，求证：； ②求的度数． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若为边的三等分点，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市中原区2024－2025学年九年级下学期联考试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最小的数为， 故选：A． 2. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从物体上面看到的图形即可解答，注意能看到的线用实线，看不到的线用虚线． 【详解】解：从物体上面看到的图形是：   故选：． 3. 中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破1300亿斤（注：1斤＝0.5千克），为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“1300亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据“1300亿”用科学记数法表示为； 故选：A． 4. 甲、乙两个学校统计男女生人数，分别绘制了扇形统计图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 甲校的男生人数比乙校的男生人数多 B. 甲、乙两个学校的人数一样多 C. 乙校的女生人数比甲校的女生人数多 D. 甲校的男女生人数一样多 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形统计图的特点和反应的数量之间的关系，男从甲校的扇形统计图中，可以看男生、女生各占甲校总人数的50%因此甲校的男女生人数一样多是正确的，其它选项都是不正确的． 【详解】解：从甲校的扇形统计图中，可以看出男生、女生各占甲校总人数的50%，因此甲校的男女生人数一样多是正确的， 不知道甲、乙两校的总人数，依靠男、女生所占的百分比，不能判断各校男女人数的多少，A、B、C均不正确 故选：D． 【点睛】考查扇形统计图反应的是各个部分所占整体的百分比，当总体不确定时，所占百分比的多少不能判断各个部分所表示数量的多少，要切实理解这一本质，是解答此类问题的关键． 5. 如图所示，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键．根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出． 【详解】解：，， ， 直线， ． 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式，根据以上知识进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 8. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示： ∵它是一个轴对称图形， ∴m， ，即， 房顶A离地面的高度为， 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键． 9. 如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】从图2看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解． 【详解】解：从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线， 则圆的半径为， 当时，， ∴是直角三角形，且， 则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示， 此时，走过的角度为，则走过的弧长为， ∴点P的运动速度是 ， 当时，，即是等边三角形， ∴， ∴， 此时点P走过的弧长为：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比7大的整数：_______． 【答案】8（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较．根据题意直接写出比7大的整数即可，答案不唯一． 【详解】解：∵比7大的整数可以为8， 故答案为：8（答案不唯一）． 12. 鱼缸里饲养两种鱼，种鱼的生长温度的范围是，种鱼的生长温度的范围是，那么鱼缸里的温度应该控制在 ______ 范围内 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，求不等式组解集的公共部分即可． 【详解】解：由题意，解得：20≤x≤25， 故答案为：20≤x≤25． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解． 13. 小明笔袋里有两支红笔和两支黑笔（支笔的款式相同），上课做笔记时，他随机从笔袋中抽出两支笔，刚好是一红一黑的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图求概率，根据题意正确画树状图是关键．画树状图得出所有等可能的结果数和抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种所有等可能的结果，其中抽出两支笔刚好是一红一黑的结果有种， ∴抽出两支笔刚好是一红一黑的概率为， 故答案为：． 14. 如图，是的直径，与相切于点，的延长线交直线于点，连接，．若，，则的长度是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键； 连接，根据圆周角定理和切线性质证得，求出，进而利用锐角三角函数计算求解即可． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 的长度为， 故答案为：． 15. 在矩形 中，，E 为线段的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A 的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点C 的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点 F 运动的距离为________． 【答案】3 或 【解析】 【分析】分点落在对角线上和点落在对角线上两种情况，分别进行讨论求解，即可得出结果． 【详解】分两种情况： ①当点落在对角线上时，连接，如下图所示： 将矩形沿折叠，点C 的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上， , ∵点E 为线段的中点， , ∴， 又∵， ，即, ， ∴， 是中点 点是的中点， 在矩形中，, , , 点运动的距离为3； ②当点落在对角线上时，作于， 则，四边形为矩形， 如图2所示： 在矩形中，，, ， ∵， ， , ， , 四边形为矩形， , , 点运动的距离为； 综上所述：点运动的距离为3或； 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、平行线的性质、三角函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，熟记翻折变换的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和分式的混合运算．熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，分式混合运算法则是解决问题的关键． （1）根据特殊角的正弦值，零指数幂和绝对值化简； （2）先计算括号内异分母减法，再将除法变为乘法，根据分式乘法法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）． ． 17. 中小学午餐配送是郑州教育的“暖心服务”工程． 某校午餐原来由甲公司配送，为了提高饭菜质量，新学期午餐由乙公司配送． 学生会为了解用餐学生对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况，组织学生对两家公司的饭菜质量进行分数评价（满分为10分）． 学生会随机抽取了10位学生的评价分数： 学生A 学生B 学生C 学生D 学生E 学生F 学生G 学生H 学生I 学生J 甲公司 7 6 7 6 9 7 9 8 10 9 乙公司 6 5 8 7 8 8 8 9 8 10 学生会同学在进行数据分析时首先计算了各公司得分的平均数：甲公司分；乙公司分． （1）为了能够更加全面、客观地对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况进行评价，你认为还需要了解中位数、众数、方差中的哪些统计量？请至少选择一个你认为合适的统计量进行数据分析． （2）根据前面的工作，你认为用餐学生对哪家公司的饭菜质量更加满意，为什么？ 【答案】（1）见解析 （2）用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了利用中位线、众数、平均数和方差做决策，解题的关键是理解中位线、众数、平均数和方差的意义； （1）根据题目中给出的数据可以求出方差，然后根据方差的意义进行判断即可； （2）通过比较平均数，可以判断出用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意． 【小问1详解】 解：还需要了解方差，甲公式方差： ， 乙公司的方差： ∵， ∴甲公司配送饭菜的满意情况波动更小； 【小问2详解】 解：∵， ∴用餐学生对甲公司饭菜质量更加满意． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）请用无刻度的直尺和圆规过点B作轴，交于点D（保留作图痕迹，不写作法），若点P是直线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为： （2） （3）图见解析，或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到作图、一次函数的反比例函数的性质、解不等式等，难度不大． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象，即可求解； （3）作即可作图；由，则，即可求解． 【小问1详解】 将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：， 则，， 即反比例函数的表达式为：， 则点， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： 解得：， 即一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 观察函数图象知，不等式的解集为：； 【小问3详解】 作图见如图： 设点， ∵，则， 解得： 即点或． 19. 请你完成命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据提示画出图形，由等腰三角形的性质得出，再根据角平分线的定义得出，利用ASA可证明，即可得． 【详解】已知：中，，，分别，的角平分线． 求证：，即等腰三角形的两底角的平分线相等 证明：∵， ∴， ∵，分别，的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，即等腰三角形两底角的平分线相等． 20. 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% (1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式. (2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】（1）y1=4500x+1500；y2=4800x；（2）答案见解析；（3）从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）①若甲商场购买更优惠，可得不等式4500x+1500＜4800x，解此不等式，即可求得答案； ②若乙商场购买更优惠，可得不等式4500x+1500＞4800x，解此不等式，即可求得答案； ③若两家商场收费相同，可得方程4500x+1500=4800x，解此方程，即可求得答案； （3）根据题意列出函数解析式，再根据增减性即可进行解答． 【详解】解：（1）y1=6000+（1-25%）×6000（x-1）=4500x+1500； y2=（1-20%）×6000x=4800x； （2）设学校购买x台电脑， 若到甲商场购买更优惠，则： 4500x+1500＜4800x， 解得：x＞5， 即当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠； 若到乙商场购买更优惠，则： 4500x+1500＞4800x， 解得：x＜5， 即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠； 若两家商场收费相同，则： 4500x+1500=4800x， 解得：x=5， 即当购买5台时，两家商场的收费相同； （3）w=50a+（10-a）60=600-10a， 当a取最大时，费用最小， ∵甲商场只有4台， ∴a取4，W=600-40=560， 即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式实际应用问题，涉及了不等式与方程的解法，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解． 21. 如图，是等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，交于点． （1）线段与的数量关系是___________． （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）请在图中连接，则四边形一定是菱形吗？为什么？ 【答案】（1） （2），理由见解答过程 （3）四边形是菱形，原因见解析 【解析】 【分析】（1）由平移的性质得，又因为它们都是等边三角形，所以可得，，根据等腰三角形的性质求出，可证，即得与之间的关系，由此得出与的数量关系； （2）由，，可得，故； （3）由是等边三角形，知，，根据将沿直线平移到位置，有，，可得，，故是等边三角形，从而，四边形是菱形． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， 将沿直线平移到位置， ，即是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 由（1）知，， ， ； 【小问3详解】 解：四边形一定是菱形， 理由：如图所示： 是等边三角形， ，， 将沿直线平移到的位置， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及平移变换，等边三角形性质及判定，含角的直角三角形三边关系、菱形的判定等知识，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． 22. “诗圣”杜甫出生在郑州巩义市笔架山下的窑洞里，窑洞是黄土高原、黄河中游特有的民居形式．如图，某窑洞口的底部为矩形，上部为抛物线．已知底部矩形的长为4米，宽为2米，窑洞口的最高点P离地面的距离为4米． （1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出P点的坐标 ． （2）求（1）中所建坐标系中抛物线的表达式． （3）若在窑洞口的上部安装一个矩形窗户（窗户的边框忽略不计），使得点A，B在底部矩形的边上，点C，D在抛物线上，且，那么这个窗户的宽为多少米？ 【答案】（1）（答案不唯一） （2）（答案不唯一） （3）这个窗户的宽为米 【解析】 【分析】（1）以底部矩形的上边为水平轴，以矩形对边中点连线所在直线为纵轴建立平面直角坐标系，解答即可． （2）根据，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，代入确定a值即可． （3）根据前面建立的坐标系，结合，设，则点，代入抛物线中计算即可．本题考查了坐标系的建立，待定系数法求解析式，解方程，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【小问1详解】 以底部矩形的上边为水平轴，以矩形对边中点连线所在直线为纵轴建立平面直角坐标系，如下： ∵底部矩形的长为4米，宽为2米，窑洞口的最高点P离地面的距离为4米． ∴点P到x轴的距离为2米， 故点, 故答案：． 【小问2详解】 ∵抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问3详解】 建立的坐标系，如下： ∵， 设， 则点， 代入抛物线中 得， 解得（舍去） 故窗户的宽为米． 23. （1）【观察发现】如图1，在的正方形网格中，点为格点，交于点M．为了求的度数，我们可以向右平移线段，使得点B与点D重合，点A的对应点为点E，连接，则的度数为 ； （2）【探究迁移】如图2，正方形的边上有一动点E，以为边向外作正方形，连接交于点与交于点P，请仅就图2的情形解决以下问题： ①将线段向左平移，使得点C与点B重合，此时，点G的对应点H落在边上，连接，求证：； ②求的度数． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若为边的三等分点，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②；（3）或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，再由平行线的性质可得； （2）①由平移的性质可得，由正方形的性质得到，则，据此可证明；②由正方形的性质得到，证明，得到，，则，进而得到，由平移的性质可得，则； （3）证明，得到，再分当点E是靠近点D的三等分点时，当点E是靠近点C的三等分点时，根据进行求解即可． 【详解】解：（1）由网格的特点和勾股定理可得，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴； （2）①由平移性质可得， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，即； ②∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴； （3）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 当点E是靠近点D的三等分点时，则， ∴， ∴， ∴， ∵∥， ∴， ∴点M到PC的距离:点M到FG的距离=3: 2， ∴点M到PC的距离, ∴； 同理可得当点E是靠近点C的三等分点时，； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $