第十八章 平行四边形（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第十八章 平行四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）平行四边形一边的长是，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题3分）下列四个命题中，假命题是（   ） A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 5．（本题3分）如图，在矩形中，点在上，当是等腰直角三角形时，的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接．若，菱形的面积为12，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．（本题3分）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 8．（本题3分）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D． 9．（本题3分）如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（   ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．乙对，丙错 D．三人的说法都对 10．（本题3分）如图，在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为 ． 12．（本题3分）如图，是矩形纸片，翻折，使恰好落在上，设分别是落在上的两点，分别是折痕与的交点．连接，若，，则线段的长等于 ． 13．（本题3分）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 14．（本题3分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，为边上任意一点（不与点、重合），过点作，，垂足分别为、，若，，则 ． 15．（本题3分）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为 ． 16．（本题3分）如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：如果，那么，．；其中正确结论序号数是 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 18．（本题6分）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，平分，若，求的长度． 19．（本题6分）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． (1)求证： 四边形是菱形． (2)过点作，垂足为点，若，，求四边形的面积． 20．（本题8分）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F． (1)求证：． (2)连接，当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？证明你的结论． 21．（本题8分）在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，画等腰直角三角形，使其面积为； (2)在图②中，画矩形，使其面积为10； (3)在图③中，画平行四边形，使其面积为5（不包括正方形）． 22．（本题9分）如图，在四边形中，，，，，，点先以每秒2个单位长度的速度由向运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点以每秒2个单位长度的速度由向运动．点与点同时出发，当点到达终点时，点随之停止运动，设运动时间为秒 (1)直接写出的长是__________； (2)当点在线段上时，___________；当点在射线上时，____（用含的代数式表示） (3)连接，以中两个顶点和点、点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 23．（本题9分）综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 24．（本题10分）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，求的度数． 25．（本题10分）【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，邻角互补，即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（本题3分）平行四边形一边的长是，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系，根据平行四边形的对角线互相平分，结合三角形的三边关系进行判断即可，解题的关键是判断两条对角线长的一半的和与平行四边形的一边的大小关系． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 3．（本题3分）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意根据平行四边形判定定理逐一对选项进行判定即可． 【详解】解：能判定四边形是平行四边形的是，，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 故选：A． 4．（本题3分）下列四个命题中，假命题是（   ） A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】此题考查了中点四边形、特殊四边形的判定等知识．根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意； D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； 故选：C 5．（本题3分）如图，在矩形中，点在上，当是等腰直角三角形时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．由矩形得到，继而得到，而是等腰直角三角形，因此得到． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：B． 6．（本题3分）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接．若，菱形的面积为12，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，掌握三角形的中位线定理，能熟练利用菱形的性质进行求解是解题的关键．由三角形的中位线定理得，由菱形的面积得，即可求解； 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， ， ， ， 解得：， 故选：C． 7．（本题3分）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 8．（本题3分）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 9．（本题3分）如图，中，，，，是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点落在平面上处，射线与射线交于点． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（   ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．乙对，丙错 D．三人的说法都对 【答案】C 【分析】甲：如图所示，当时，证明可得结论； 乙：如图所示，当落在上时，点E和重合，证明四边相等即可； 丙：当点P靠近点C时，在四边形外部，此时，推出，即可判断． 【详解】解：甲：如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，故甲正确； 乙：如图所示，当落在AD上时，点E和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿AP翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故乙正确； 丙：如图所示， 当点P靠近点C时，在四边形外部，此时， ，故丙错误； 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．（本题3分）如图，在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ， ∵， ∴， ∴ 故⑤正确； 综上所述，其中正确的有①②④⑤，正确的个数是4． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据平行四边形的性质和角平分线的概念得到，过点B作交于点H，然后根据含角直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，进而得到，即可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 根据作图可得，平分， ∴， ∴， 如图所示，过点B作交于点H， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，尺规作角平分线，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 12．（本题3分）如图，是矩形纸片，翻折，使恰好落在上，设分别是落在上的两点，分别是折痕与的交点．连接，若，，则线段的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运算是关键． 根据矩形的性质，由勾股定理得到，根据折叠的性质得到，则，，设，则，在中由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， 故答案为： ． 13．（本题3分）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故答案为：①④． 14．（本题3分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，为边上任意一点（不与点、重合），过点作，，垂足分别为、，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，连接，由勾股定理得出，由矩形的性质得出，，，由可求得答案．掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质．过点P作于点G，交于点F，作于点H，则四边形是矩形，所以，，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案． 【详解】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与重合且与重合时，取得最小值4， 故答案为：4． 16．（本题3分）如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：如果，那么，．；其中正确结论序号数是 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、尺规作图，根据尺规作图可知是的垂直平分线，根据菱形的四条边都相等可知，根据线段垂直平分线的性质可知，从而可知是等边三角形，根据等边三角形的性质、菱形的性质进行判断 即可． 【详解】解：如下图所示，连接， 由尺规作图可知是的垂直平分线，且点在直线上， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 故正确； 由可知， ， 是的垂直平分线，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， 故正确； 由菱形的性质可知，， ， 故错误； ，，， ， ， ， 故正确． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质： （1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴， ∵，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 18．（本题6分）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，平分，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键． 19．（本题6分）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． (1)求证： 四边形是菱形． (2)过点作，垂足为点，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，求出，，根据等腰三角形的判定得出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）先求出的长，进而即可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 20．（本题8分）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F． (1)求证：． (2)连接，当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形为正方形．理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质和垂直平分线的性质得到条件即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，由得到四边形是菱形，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ 在和中 ∴ （2）当时，四边形为正方形．理由如下： 由（1）知， ∴ 四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形 ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ 菱形是正方形 【点睛】此题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． 21．（本题8分）在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，画等腰直角三角形，使其面积为； (2)在图②中，画矩形，使其面积为10； (3)在图③中，画平行四边形，使其面积为5（不包括正方形）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图，网格与勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出，结合面积为这个条件得且，即可作答． （2）结合网格特征，得，，，则矩形的面积为， （3）根据网格特征，得四边形是平行四边形，运用割补法得出平行四边形的面积为5，即可作答． 【详解】（1）解：等腰直角三角形如图所示： （2）解：矩形如图所示： （3）解：平行四边形如图所示： 22．（本题9分）如图，在四边形中，，，，，，点先以每秒2个单位长度的速度由向运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点以每秒2个单位长度的速度由向运动．点与点同时出发，当点到达终点时，点随之停止运动，设运动时间为秒 (1)直接写出的长是__________； (2)当点在线段上时，___________；当点在射线上时，____（用含的代数式表示） (3)连接，以中两个顶点和点、点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)10 (2)； (3)或或 【分析】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． （1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）当时，则，当时，则，当时，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，D点作于E， ∵，， ∴四边形为矩形，则， ∴， 中，； （2）解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，，； 故答案为：，；，； （3）如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或或． 23．（本题9分）综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】（1）4；（2）；（3）①；②或6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求出答案； （2）连接，设，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，再利用勾股定理得到，即可求出答案； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，即可得到答案； ②分当时，当时，两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）是由沿翻折所得到的图形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）连接，设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得， ； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小， 设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ； ②当时， 是由沿翻折所得到的图形， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，点在上时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或6． 24．（本题10分）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）连接，证明，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可解答； （3）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再证明即可求得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）解：如图，连接， ， ， 根据（1）中可得， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 则， 在中，， 即可得， 解得， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， 点是的中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 在中，， ， ， 根据（1）中可得， ， ， ． 25．（本题10分）【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）①；②；③；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题． （1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； ②由四边形是菱形，得，，，在中，由，得到，即可得到结果； ③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，．证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是正方形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）； 证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，． ， 四边形是平行四边形， ，． ， 在和中， ， ； ，， 设，，则，． 在中，， 在中，， ． 在中，， ． ； （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$