专题03 一元二次方程实际问题（8题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题03 一元二次方程实际问题 题型概览 题型01传播问题 题型02增长率问题 题型03与图形有关的问题 题型04数字问题 题型05 营销问题 题型06 动态几何问题 题型07 行程问题 题型08 其他问题 ( 题型01 ) 传播问题 1．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 2．(22-23八下·浙江舟山金衢山五校联考·期中)为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 3．(22-23九上·浙江台州椒江区·期末)一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 4．(22-23八下·浙江绍兴柯桥区联盟·期中)新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为 ． 5．(21-22九上·浙江台州书生中学·期中)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，设每个支干长出的小分支数目为x个，请列出方程 ． ( 题型02 ) 增长率问题 1．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)为推进节能减排，创建低碳绿色城市，学校计划植一批樟树，第一个月植树100棵，第三个月植树400棵，设植树月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)《2024年春节联欢晚会》节目统计，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 4．(23-24八下·浙江杭州拱墅区杭州观成实验学校·期中)我校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%.设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（    ） A． B． C． D． 5．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)某超市一月份的营业额为250万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，到三月底，这三个月总营业额为910万元．设营业额的月平均增长率为x，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·浙江台州白云学校·期中)根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某品牌奶茶店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶定价如下： 满杯杨梅（不含芝士） 19元/杯 芝士杨梅（含芝士） 21元/杯 素材2 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定 8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知奶茶的成本为9元/杯，经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 7．(23-24八下·浙江金华东阳横店镇四校联考·期中)根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 8．(23-24八下·浙江杭州拱墅区青春中学·期中)据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． (1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； (2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 9．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中) 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车． 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务 若按此月平均增长率，从几月份开始，该品牌销售量会超过月份销售量的两倍？ 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 10．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 11．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ (2)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (3)该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润． ( 题型03 ) 与图形有关的问题 1．(22-23八·浙江温州第十二中学·期中)对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)如图，一张长宽比为的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，一张等腰直角三角形纸片，已知，先裁剪出①号长方形，然后在剩余的大纸片三角形中剪出②号长方形，且满足，当①号长方形的面积为时，则②号长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（    ） A．8 B．5 C．2.5 D． 5．(21-22九上·福建福州华伦中学·期末)如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．(24-25八上·浙江杭州滨江区竺可桢教育集团滨文中学·期中)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为 ． 7．(24-25九上·浙江临海·期中)小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为 ； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ． 8．(22-23八下·浙江杭州翠苑中学·期中)用一条长的绳子围成一个面积为的长方形．设长方形的长为，则可列方程为 ． 9．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    10．(23-24八下·浙江宁波第七中学·期中)如图，有5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，则每个小矩形的长为 ． 11．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 12．(23-24八下·浙江湖州南浔区八校联考·期中)某校八年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计无盖长方体纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 问题解决 任务1 设剪去的小正方形边长为，请用含的代数式表示折成的无盖长方体纸盒的侧面积． 任务2 若用上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积为，试求出此时纸盒的体积． 任务3 探究按上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积能否到达？若能，请求出此时剪去的小正方形边长；若不能，请说明理由． 13．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.           素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元           问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ ( 题型04 ) 数字问题 1．(22-23八下·浙江杭州西湖区公益中学（公办）·期中)读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． ( 题型0 5 )营销问题 1．(22-23八·浙江瑞安安阳实验中学·期中)电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 2．(21-22八下·浙江宁波北仑区·期中)某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．(21-22八下·浙江温州部分校·期中)温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ 　 ） A． B． C． D． 4．(22-23八下·浙江杭州文理中学·期中)某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 5．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)某老牌造车企业为实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使新能源汽车项目的生产规模不断扩大，该企业9月，10月一共生产新能源汽车95000辆，其中10月份新能源汽车产量是9月份的倍少4000辆．(说明：生产的新能源汽车全部销售出去)． (1)求9月，10月新能源汽车产量各是多少辆 (2)若10月份每辆新能源汽车的利润为1万元，11月份新能源汽车产量比上月增加，11月份每辆新能源汽车的利润比上月增加，则11月份新能源汽车总利润达到66000万元，求m的值． 6．(22-23九上·河南郑州郑州经济技术开发区·期末)一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 7．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日．我国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就．某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列A、B两款模型，A款模型比B款模型售价低20元，800元购买A款模型的数量与960元购买B款模型的数量相等．按定价销售一段时间后发现B款模型每天可以卖15件．为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件． (1)A、B两款模型每件售价分别是多少？ (2)为了使B款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B款模型的降价后的售价为多少元/件？ 8．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． (2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ (3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． ( 题型0 6 )动态几何问题 1．(22-23八下·浙江杭州西湖区西溪中学·期中)如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 2．(21-22八下·浙江温州鹿城区温州外国语学校·期中)在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 3．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． ( 题型0 7 )行程问题 1．(23-24八下·浙江宁波第十五中学·期中)《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 ( 题型0 8 )其他问题 2．(23-24八下·浙江绍兴诸暨·期中)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 3．(23-24八下·浙江杭州文华中学·期中)对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 4．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．(23-24八下·浙江宁波鄞州第二实验学校·期中)设关于的方程（是常数）的三个解是三条边的边长，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24八下·浙江宁波第十五中学·期中)下列一元二次方程两实数根的和为的是（    ） A． B． C． D． 7．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 8．(23-24八下·浙江温州安阳实验中学·期中)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C． D． 9．(23-24八下·浙江杭州文晖实验学校·期中)已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（   ） A． B． C．3 D．－3 10．(24-25八下·浙江杭州·期中)已知关于的一元二次方程的一个根是1，则此方程的另一根为 ． 11．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)一元二次方程的两根和为 ． 12．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)已知m，n是有理数，并且方程有一个根为，那么 ． 13．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)已知一元二次方程的解为，则的值为 ． 14．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)若关于x的一元二次方程的两根为，，当k取到最小整数时，此时代数式的值为 ． 15．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)在解方程时，小王看错了m，解得方程的根为6与；小李看错了n，解得方程的根为2与，则原方程的解为 ． 16．(22-23八下·浙江杭州文理中学·期中)已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 17．(23-24八下·浙江宁波慈溪中部区域·期中)十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 18．(23-24八下·浙江金华浦江县第五中学·期中)阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 19．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 20．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)关于的方程． (1)已知，异号，试说明此方程根的情况； (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 1．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 2．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型． 某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件． (1)求十一、十二这两个月的月平均增长率． (2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？ 3．(22-23八下·浙江杭州建德城东实验学校·期中)2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． (1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； (2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨0.5元，则每天的销售量就会减少5件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 4．(23-24八下·浙江杭州拱墅区杭州观成实验学校·期中)东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 5．(23-24八下·浙江杭州采荷中学·期中)根据以下素材，完成探索任务 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）请用含x的代数式表达出“路面造价费用”：______ （4）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 6．(22-23八下·浙江金华浦江县月泉中学·期中)某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元. (1)求樱桃的进价是每千克多少元？ (2)该水果店以相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价0.5元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加5千克.到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为880元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？ 7．(22-23八下·浙江金华义乌·期末)某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元． (1)若设售价每篮降价x元，则每天可销售__________篮．（用含x的代数式表示） (2)该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本） 8．(23-24八下·浙江杭州西湖区·期中)某人把元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是元，求这种存款的年利率（不计利息税） 9．(22-23八下·浙江杭州西湖区公益中学（公办）·期中)某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2880千克． (1)若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？ (2)2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？ 10．(22-23八下·浙江宁波宁海县北片·期中)为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株数构成一种函数关系每平方米种植株时，平均单株产量为千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克． (1)求关于的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得千克的产量？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程实际问题 题型概览 题型01传播问题 题型02增长率问题 题型03与图形有关的问题 题型04数字问题 题型05 营销问题 题型06 动态几何问题 题型07 行程问题 题型08 其他问题 ( 题型01 ) 传播问题 1．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省杭州市萧山城区8校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 2．(22-23八下·浙江舟山金衢山五校联考·期中)为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省舟山市金衢山五校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 3．(22-23九上·浙江台州椒江区·期末)一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省台州市椒江区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题 【分析】第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，由此可解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 则第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为， 因此． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． 4．(22-23八下·浙江绍兴柯桥区联盟·期中)新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为 ． 【答案】14 【来源】浙江省绍兴市柯桥区联盟2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】第一轮共感染人，第二轮共感染（人），根据经过两轮传染将会有人感染，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．(21-22九上·浙江台州书生中学·期中)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，设每个支干长出的小分支数目为x个，请列出方程 ． 【答案】 【来源】浙江省台州市书生中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题 【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有个分支，即可列方程 【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程 ( 题型02 ) 增长率问题 1．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省宁波市余姚实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的运用，掌握“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）成为解题的关键． 根据“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）”再结合题中数据列出方程即可． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x, 则2022的教育经费为：万元， 2023的教育经费为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 2．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)为推进节能减排，创建低碳绿色城市，学校计划植一批樟树，第一个月植树100棵，第三个月植树400棵，设植树月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】利用第三个月该植树棵数第一个月该校植树棵数该校植树棵数的年平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵第一个月植树100棵，第三个月植树400棵，设植树月平均增长率为x， ∴． 故选：B． 3．(23-24八下·浙江衢州兴华中学·期中)《2024年春节联欢晚会》节目统计，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省衢州市兴华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 4．(23-24八下·浙江杭州拱墅区杭州观成实验学校·期中)我校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%.设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省杭州市拱墅区杭州观成实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：． 故选：B 5．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)某超市一月份的营业额为250万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，到三月底，这三个月总营业额为910万元．设营业额的月平均增长率为x，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：一月份的营业额为250万元，平均每月增长率为， 二月份的营业额为， 三月份的营业额为， 可列方程为， 故选：D． 6．(24-25九上·浙江台州白云学校·期中)根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某品牌奶茶店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶定价如下： 满杯杨梅（不含芝士） 19元/杯 芝士杨梅（含芝士） 21元/杯 素材2 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定 8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知奶茶的成本为9元/杯，经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 【答案】任务1：奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2：应该降价4元 【来源】浙江省台州市白云学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得：， 解得：或（舍） 答：奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价4元． 7．(23-24八下·浙江金华东阳横店镇四校联考·期中)根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务一：平均增长率为；任务二：该零件的实际售价应定为50元 【来源】浙江省金华市东阳市横店镇四校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元． 8．(23-24八下·浙江杭州拱墅区青春中学·期中)据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． (1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； (2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【答案】(1)假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； (2)①元，②每件元 【来源】浙江省杭州市拱墅区青春中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，根据2023年“五一”假期，假期接待游客突破81万人次，再建立方程求解即可； （2）①由每件利润乘以销售量可得利润；②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得，，计算求解，然后判断即可． 【详解】（1）解：设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，则 ， ∴， 解得：，（舍去）， ∴假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； （2）①当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为； （元）， ②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， ∵，要让利给顾客， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 9．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中) 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车． 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务 若按此月平均增长率，从几月份开始，该品牌销售量会超过月份销售量的两倍？ 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】任务1：月份到月份的月平均增长率为；任务：从月份开始，销售量会超过月的两倍；任务：下调后每辆汽车的售价为万元． 【来源】浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设月份到月份的月平均增长率为，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； （2）计算出月份销售量即可； （3）设降价元．根据题意列方程，进而问题可求解； 【详解】（1）解：设月份到月份的月平均增长率为． 可得方程，解得（舍）， 所以月份到月份的月平均增长率为． （2）解：月份销售量为，从月份开始，销售量会超过月的两倍 （3）解：设降价元．可得方程，解得，因为“此次销售要尽量让利于顾客”，所以， （万元）， ∴下调后每辆汽车的售价为万元． 10．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【答案】(1) (2)应该再增加3个工厂． 【来源】 浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了列一元二次方程求解即可； （2）设应该再增加m个工厂，根据每季度生产汽车27万辆，列一元二次列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x； 解得：（舍），， （2）解：设应该再增加m个工厂， （舍）， 答：应该再增加3个工厂． 11．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ (2)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (3)该商场月份销售量为件，月和月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为件，求该季度的总利润． 【答案】(1)元 (2)元 (3)元 【来源】浙江省杭州市萧山城区8校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建列方程是关键． （1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． （3）列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到元． 【详解】（1）解：由题意，得 元． 答：降价前商场每月销售该商品的利润是元； （2）解：设每件商品应降价元，由题意，得， 化简为 解得， ∵要更有利于减少库存， ∴ 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元 （3）解：由题意，得 化简为 解得（舍） ∴月件，每件利润元；月件，每件利润元；月件，每件利润元 ∴总利润为元． ( 题型03 ) 与图形有关的问题 1．(22-23八·浙江温州第十二中学·期中)对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市第十二中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)如图，一张长宽比为的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州市新希望学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题意设这张长方形纸板的长为，宽为，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设这张长方形纸板的长为，宽为，根据题意可得： ． 故选：D． 3．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)如图，一张等腰直角三角形纸片，已知，先裁剪出①号长方形，然后在剩余的大纸片三角形中剪出②号长方形，且满足，当①号长方形的面积为时，则②号长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形，关键是设，由矩形的面积公式得到，求出的值，从而求出长方形的面积．由条件判定是等腰直角三角形，设，得到，，，，，由长方形面积公式得到，求出或（舍去），即可求出长方形的面积． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， 四边形，是长方形， ，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， 设 ， ， ∴， ，， ， ， 长方形的面积， 或（舍去）， 长方形的面积． 故选：C． 4．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（    ） A．8 B．5 C．2.5 D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市乐清山海联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可． 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 5．(21-22九上·福建福州华伦中学·期末)如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【来源】福建省福州华伦中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽米，小路的面积一个长32宽的矩形面积一个长20宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽米， 则． ． 故选：D． 6．(24-25八上·浙江杭州滨江区竺可桢教育集团滨文中学·期中)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为 ． 【答案】3 【来源】浙江省杭州市滨江区竺可桢教育集团滨文中学2024--2025学年八年级上学期期中考数学试卷 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到和的等量关系是解题的关键．根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差1，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解． 【详解】解：设图中直角三角形的边长分别为、， ∵图中大、小正方形的面积为13和1，则大、小正方形的边长为、， 则、满足， ，代入 解得， ， 故较长的直角边为3， 故答案为：3． 7．(24-25九上·浙江临海·期中)小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为 ； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ． 【答案】 6 【来源】浙江省临海市2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用 （1）设，则，根据围成的菜园面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）根据围成面积比大的菜园，可列出关于a的一元二次不等式，解之可得出a的取值范围，结合墙可利用的最大长度为，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当围成的菜园面积为时，的长为， 故答案为：6； （2）根据题意得：， 即， 解得：， 又∵墙可利用的最大长度为， ∴， ∴a的范围为． 故答案为：． 8．(22-23八下·浙江杭州翠苑中学·期中)用一条长的绳子围成一个面积为的长方形．设长方形的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市翠苑中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用周长用表示出长方形的宽是解题的关键．根据长方形的周长可以用表示宽的值为，然后根据面积公式即可列出方程． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 依题意得：． 故答案为：． 9．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【答案】 【来源】浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 10．(23-24八下·浙江宁波第七中学·期中)如图，有5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，则每个小矩形的长为 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形建立方程是解题的关键．设小矩形的长为x，根据“阴影部分的面积为16”列出方程求解． 【详解】解：设小矩形的长为x， 根据题意，得， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 11．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 【答案】(1)生态园垂直于墙的边长为6米； (2)生态园的面积不能达到153平方米，理由见解析 【来源】浙江省宁波市余姚实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，正确列出一元二次方程并灵活运用根的判别式成为解题的关键． （1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为153平方米，可列出关于y的一元二次方程，再根据根的判别式，可得出原方程没有实数根，即可完成判断． 【详解】（1）解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：生态园垂直于墙的边长为6米； （2）解：生态园的面积不能达到153平方米，理由如下： 假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即生态园的面积不能达到153平方米． 12．(23-24八下·浙江湖州南浔区八校联考·期中)某校八年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计无盖长方体纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 问题解决 任务1 设剪去的小正方形边长为，请用含的代数式表示折成的无盖长方体纸盒的侧面积． 任务2 若用上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积为，试求出此时纸盒的体积． 任务3 探究按上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积能否到达？若能，请求出此时剪去的小正方形边长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：或；任务3：不能，理由见解析 【来源】浙江省湖州市南浔区八校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用 任务1：根据长方形的长乘以宽，即可求解； 任务2：根据侧面积为，进而解方程，求得边长，根据长方体的体积公式进行计算即可求解； 任务3：根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：任务1： 任务2：由题意得 解得 当时， 当时， 任务3：不能，当时，可得 整理得 因为 所以不能达到． 13．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.           素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元           问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 【答案】（1） （2）路面设置的宽度符合要求 （3）每平方米草莓平均利润下调40元 【来源】浙江省宁波市北仑区北仑区小浃江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）根据“道路宽度不超过米，且不小于米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，平方米草莓， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元 ( 题型04 ) 数字问题 1．(22-23八下·浙江杭州西湖区公益中学（公办）·期中)读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省杭州市西湖区公益中学（公办）2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为， 根据题意，可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正确列出方程． ( 题型0 5 )营销问题 1．(22-23八·浙江瑞安安阳实验中学·期中)电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省瑞安市安阳实验中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人，根据“电影院拟一日票房收入为18000元”列方程即可． 【详解】解：设需要增加开放x个放映厅，则每个放映厅的人数为人， 依题意得， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出每个放映厅的人数是解题关键． 2．(21-22八下·浙江宁波北仑区·期中)某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省宁波市北仑区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，利用每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克， 依题意得：． 故选：D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．(21-22八下·浙江温州部分校·期中)温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市部分校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为（3-x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，利用超市每天销售瓯柑获得的利润=每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=（3-x）元， 平均每天的销售量为（50+10x）千克， 依题意得：（3-x）（50+10x）=120． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．(22-23八下·浙江杭州文理中学·期中)某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 【答案】(1)50，8 (2)5或25元 (3)该电风扇每天销售利润不能达到2000元，理由见解答 【来源】浙江省杭州市文理中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△时，方程无实数根”． （1）利用降价后每台电风扇的利润降价前每台电风扇的利润降低的价格，即可求出降价后每台电风扇的利润，利用平均每天可多出售电风扇的台数，即可求出平均每天可多出售电风扇的台数； （2）设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 【详解】（1）解：根据题意得：当每台电风扇降价10元时，每台的利润为（元）， 平均每天多售出（台）， 故答案为：50，8； （2）解：设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得， 整理得， 解得，， 答：每台需要降价5或25元； （3）解：该电风扇每天销售利润不能达到2000元， 理由如下： 假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 5．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)某老牌造车企业为实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使新能源汽车项目的生产规模不断扩大，该企业9月，10月一共生产新能源汽车95000辆，其中10月份新能源汽车产量是9月份的倍少4000辆．(说明：生产的新能源汽车全部销售出去)． (1)求9月，10月新能源汽车产量各是多少辆 (2)若10月份每辆新能源汽车的利润为1万元，11月份新能源汽车产量比上月增加，11月份每辆新能源汽车的利润比上月增加，则11月份新能源汽车总利润达到66000万元，求m的值． 【答案】(1)9月新能源汽车的产量为45000辆，10月新能源汽车的产量为50000辆； (2)m的值为20． 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设9月新能源汽车的产量为x辆，则10月新能源汽车的产量为辆，根据该厂9，10月共生产新能源汽车95000辆，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入中即可求出10月新能源汽车的产量； （2）利用月利润=每辆的利润×月产量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设9月新能源汽车的产量为x辆，则10月新能源汽车的产量为辆， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：9月新能源汽车的产量为45000辆，10月新能源汽车的产量为50000辆； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：m的值为20． 6．(22-23九上·河南郑州郑州经济技术开发区·期末)一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【来源】河南省郑州市郑州经济技术开发区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 7．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日．我国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就．某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列A、B两款模型，A款模型比B款模型售价低20元，800元购买A款模型的数量与960元购买B款模型的数量相等．按定价销售一段时间后发现B款模型每天可以卖15件．为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件． (1)A、B两款模型每件售价分别是多少？ (2)为了使B款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B款模型的降价后的售价为多少元/件？ 【答案】(1)A模型每件售价100元，B模型每件售价120元 (2)95元 【来源】浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用， （1）根据800元购买A款模型的数量等于960元购买B款模型的数量列出分式方程，求出解即可； （2）根据销售量乘以单价等于销售额列出一元二次方程，根据让顾客得到实惠求出解即可． 【详解】（1）解：设A模型每件售价x元，根据题意，得 ∴     解得， 经检验：是方程的解，     ∴， 答:A模型每件售价100元，B模型每件售价120元； （2）解：设B模型每件下降元，根据题意，得 ∴，     解得，， ∵尽可能实惠，     ∴，     ∴， 答：实际售价应为95元． 8．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·期中)某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． (2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ (3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【答案】(1)30，1050 (2)每件衬衫应降价20元 (3)无法达到，理由见解析 【来源】浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答． （2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【详解】（1）根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）． 故答案为：30，1050； （2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （3）设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润无法达到 ( 题型0 6 )动态几何问题 1．(22-23八下·浙江杭州西湖区西溪中学·期中)如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 【答案】A 【来源】浙江省杭州市西湖区西溪中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴． ∴运动时间为1秒． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．(21-22八下·浙江温州鹿城区温州外国语学校·期中)在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 【答案】A 【来源】浙江省温州市鹿城区温州外国语学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间． 【详解】解：设点运动的时间为，则，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当到达点时两点同时停止运动， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【来源】浙江省温州市乐清山海联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （3）分两种情况，列出的方程可得出答案． 【详解】（1）过点作于点， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）在中， ，， ， ， Ⅰ．当四边形为平行四边形时，， ， ， Ⅱ．当四边形为平行四边形时，， ， ， 综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是， ， 解得， 舍去）， Ⅱ．当在边上时， ， 解得． 综上所述或时，平行四边形的面积为． ( 题型0 7 )行程问题 1．(23-24八下·浙江宁波第十五中学·期中)《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【来源】浙江省宁波市第十五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． ( 题型0 8 )其他问题 2．(23-24八下·浙江绍兴诸暨·期中)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【来源】浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 3．(23-24八下·浙江杭州文华中学·期中)对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【来源】浙江省杭州市文华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 4．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误， ③∵， ∴方程的根为， ∴，， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确． 故选：C． 5．(23-24八下·浙江宁波鄞州第二实验学校·期中)设关于的方程（是常数）的三个解是三条边的边长，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市鄞州第二实验学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了高次方程、根与系数的关系、因式分解及三角形的三边关系，根据题意，将化简为，故或，因为方程的三个解是三边长，利用方程的两根满足，结合即可求出范围． 【详解】 或 方程的三个解是三条边的边长 方程两根与满足 又 故选：B． 6．(23-24八下·浙江宁波第十五中学·期中)下列一元二次方程两实数根的和为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省宁波市第十五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A. ，，，故该选项不符合题意； B. ，，，故该选项不符合题意； C. ，，，故该选项符合题意； D. ，，，故该选项不符合题意； 故选：C． 7．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市第十二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，根据一元二次方程根与系数关系得到，根据两根在数轴上对应的点的距离为4得到，代入后即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：B 8．(23-24八下·浙江温州安阳实验中学·期中)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C． D． 【答案】A 【来源】浙江省温州市安阳实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能灵活运用根与系数的关系是本题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ， ∴， 故选：A． 9．(23-24八下·浙江杭州文晖实验学校·期中)已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（   ） A． B． C．3 D．－3 【答案】A 【来源】浙江省杭州市文晖实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；根据根与系数的关系求解即可 【详解】解：设方程的一个根为，方程的另一个根为， 由题意得，， ， 故选：A． 10．(24-25八下·浙江杭州·期中)已知关于的一元二次方程的一个根是1，则此方程的另一根为 ． 【答案】2 【来源】浙江省杭州市2024-2025学年下学期八年级数学期中模拟测试卷 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程，有两个实数根为，，则，是解题的关键． 设方程另一根为，根据题意，得，求解即可． 【详解】设方程另一根为，根据题意，得， 解得：， 故答案为：2． 11．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)一元二次方程的两根和为 ． 【答案】/ 【来源】浙江省宁波市余姚实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 12．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)已知m，n是有理数，并且方程有一个根为，那么 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市慈溪市凤湖初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为x根据根与系数的关系得到，然后结合题意得到， 求出m，n的值，进而求解即可． 【详解】解：∵方程有一个根为，设另一个根为x ∴， ∵m，n是有理数， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 13．(23-24八下·浙江温州实验中学·期中)已知一元二次方程的解为，则的值为 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两个之和，再将代入原方程，利用整体思想即可解决问题．本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的解为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)若关于x的一元二次方程的两根为，，当k取到最小整数时，此时代数式的值为 ． 【答案】/ 【来源】浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．也考查了根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围，可得，将代入方程得到，根据根与系数的关系得到即可． 【详解】解：方程有两个实数根， 根的判别式， 解得， 取到的最小整数为， 方程为， ． 故答案为：． 15．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)在解方程时，小王看错了m，解得方程的根为6与；小李看错了n，解得方程的根为2与，则原方程的解为 ． 【答案】， 【来源】浙江省苍南县星海学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，能够根据根与系数的关系求得没有看错的未知字母的值是解题的关键． 首先根据根与系数的关系求得m，n的值，再进一步解方程即可． 【详解】解：根据根与系数关系得 ，， 解得：，， ∴原方程为， ， 或， ∴，， 故答案为：，． 16．(22-23八下·浙江杭州文理中学·期中)已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 【答案】(1)，方程的另一个根为-1 (2)见解答 【来源】浙江省杭州市文理中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）先把代入一元二次方程可求得，则此时一元二次方程为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可； （2）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入一元二次方程得， 解得， 此时一元二次方程为， 设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为-1； （2）证明：，， 此方程总有两个实数根． 17．(23-24八下·浙江宁波慈溪中部区域·期中)十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)k的值为1 (2)①，；②猜想：当时，，证明见解析 【来源】浙江省宁波市慈溪市中部区域2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义； （1）根据根与系数的关系即可求出答案． （2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，，，根据一元二次方程的解的定义可得，进而求得； ②根据题意，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ 解得：， 由根与系数的关系可知∶， ，即， 整理得：， 解得： (舍去)， ， ∴k的值为1． （2）①由根的定义可知，， 又∵是一元二次方程的两个实数根， ， ②猜想：当时， 证明：因为为方程的根，所以有，等式两边都乘以，得 同理可得： 两式相加可得： 根据题意，，， ∴，且根据题意，因此， 所以当3时，有． 18．(23-24八下·浙江金华浦江县第五中学·期中)阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【来源】浙江省金华市浦江县第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意可得m，n是的两个根，则，，再把分解因式，再代入求值即可； 【详解】（1）解：∵一元二次方程两个根为， 则，． （2）解：∵实数m，n满足，，且， ∴m，n是方程两个不相等的实数根． ∴，， ∴； 19．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 20．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)关于的方程． (1)已知，异号，试说明此方程根的情况； (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 【答案】(1)理由见解析 (2)或 【来源】浙江省杭州市上城区钱学森学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程—因式分解法， （1）根据判别式公式得出，结合，异号，得到的正负情况，即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，把和用表示出来，代入方程，整理后，解之即可； 解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系，解一元二次方程的方法． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵，异号，，， ∴， ∴此方程有两个不等实数根； （2）∵关于的方程的根是，， ∴，， ∴，， ∵方程， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：或， ∴方程的根为或． 1．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【答案】(1) (2)应该再增加3个工厂． 【来源】 浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了列一元二次方程求解即可； （2）设应该再增加m个工厂，根据每季度生产汽车27万辆，列一元二次列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x； 解得：（舍），， （2）解：设应该再增加m个工厂， （舍）， 答：应该再增加3个工厂． 2．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型． 某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件． (1)求十一、十二这两个月的月平均增长率． (2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？ 【答案】(1)十一、十二这两个月的月平均增长率为 (2)每件模型应降价10元 【来源】浙江省J12共同体联盟校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，则十一月售出件，十二月售出件，再根据十二月售出400件列出方程求解即可； （2）设每件模型应降价m元，则每件模型的利润为元，销售量为件，再根据利润为9000元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：十一、十二这两个月的月平均增长率为； （2）解；设每件模型应降价m元， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：每件模型应降价10元． 3．(22-23八下·浙江杭州建德城东实验学校·期中)2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． (1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； (2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨0.5元，则每天的销售量就会减少5件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【答案】(1) (2)110元 【来源】浙江省杭州市建德市城东实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程式解此题的关键． （1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，由题意列出一元二次方程，解方程即可； （2）设每件商品的售价应该定为元，则每件商品的销售利润为元，则每天的销售量为（件），依据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为， 由题意可得，， 解得，（舍去）， 答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为． （2）解：设每件商品的售价应该定为元，则每件商品的销售利润为元， 每天的销售量为（件）， 依题意可得， 解得， ∵要使销量尽可能大， ∴， 答：每件商品的售价应该定为110元． 4．(23-24八下·浙江杭州拱墅区杭州观成实验学校·期中)东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 【答案】(1)米 (2)上涨元 【来源】浙江省杭州市拱墅区杭州观成实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 ，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元，根据“该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可． 【详解】（1）道路的宽为米, 由题意得： 整理得： 解得： (不合题意，舍去)， 答：道路的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元, 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让利于居民， ， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 5．(23-24八下·浙江杭州采荷中学·期中)根据以下素材，完成探索任务 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）请用含x的代数式表达出“路面造价费用”：______ （4）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）；（2）路面设置的宽度符合要求；（3）元；（4）可以达到预期 【来源】浙江省杭州市采荷中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 （1）由“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，可得出x的取值范围； （2）根据中间种植的面积是，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）根据总价单价面积，结合道路的路面造价是50元，即可求解； （4）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，根据“经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元； 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）根据题意得： ， 整理得： 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）由题意可得： （元）， 故答案为：元； （4） 化简得： 解得：（舍去） 所以可以达到预期． 6．(22-23八下·浙江金华浦江县月泉中学·期中)某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元. (1)求樱桃的进价是每千克多少元？ (2)该水果店以相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价0.5元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加5千克.到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为880元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？ 【答案】(1)10元 (2)18元或16元 【来源】浙江省金华市浦江县月泉中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）设樱桃的进价是每千克元，根据第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元列出方程． （2）设第二天樱桃的售价是每千克元，根据题意列出方程得到答案． 【详解】（1）解：设樱桃的进价是每千克元， 依题意得， 解得， 答：樱桃的进价是每千克元； （2）解：设第二天樱桃的售价是每千克元，则第二天的销量为 依题意得 整理得 即 解得 故第二天樱桃的售价是每千克18元或16元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程． 7．(22-23八下·浙江金华义乌·期末)某果农对自家桑葚进行直播销售，如果售价为每篮50元，则每天可卖出40篮．通过市场调查发现，若售价每篮降价2元，每天销量可增加10篮．综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于30元． (1)若设售价每篮降价x元，则每天可销售__________篮．（用含x的代数式表示） (2)该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为1200元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得2600元的利润？（利润销售额各项成本） 【答案】(1) (2)桑葚每篮售价为38元时，每天能获得2600元的利润 【来源】浙江省金华市义乌市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据题意列出对应的代数式即可； （2）根据利润销售额各项成本列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，设售价每篮降价x元，则每天可销售篮， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵每篮售价不低于30元，， ∴， ∴， ∴桑葚每篮售价为38元时，每天能获得2600元的利润． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，列代数式，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 8．(23-24八下·浙江杭州西湖区·期中)某人把元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是元，求这种存款的年利率（不计利息税） 【答案】定期一年的利率是 【来源】浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设定期一年的利率是，则存入一年后的利息和本金是，取出300后为，再根据再存一年得出方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：设定期一年的利率是， 根据题意得：一年时：， 取出300后剩：， 同理两年后是， 即方程为， 解得：，（不符合题意，故舍去）． 答：定期一年的利率是． 9．(22-23八下·浙江杭州西湖区公益中学（公办）·期中)某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2880千克． (1)若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？ (2)2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？ 【答案】(1) (2)20 【来源】浙江省杭州市西湖区公益中学（公办）2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）设2020年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x，第2021年脐橙平均亩产量为千克，第2022年脐橙平均亩产量为千克，据此列出方程求解即可； （2）设增加脐橙种植面积a亩，根据成本不变列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：脐橙平均亩产量的年增长率为； （2）解：设增加脐橙种植面积a亩． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去），． 答：该合作社增加脐橙的种植面积20亩时，才能保证脐橙种植的总成本保持不变． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 10．(22-23八下·浙江宁波宁海县北片·期中)为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株数构成一种函数关系每平方米种植株时，平均单株产量为千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克． (1)求关于的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得千克的产量？ 【答案】(1) (2)每平方米种植株时，能获得千克的产量 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克，即可得出结论； （2）根据单株产量每平方米种植的株数列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：每平方米种植的株数每增加株，单株产量减少千克， ， 答：关于的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：每平方米种植株时，能获得千克的产量． 【点睛】本题考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$