专题02 一元二次方程的概念和解法（11题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题02 一元二次方程的概念和解法 题型概览 题型01 一元二次方程的定义 题型02一元二次方程的一般形式 题型03一元二次方程的解 题型04一元二次方程的解法--直接开平方法 题型05 配方法的应用 题型06 一元二次方程的解法--配方法 题型07 元二次方程的解法--公式法 题型08 一元二次方程的解法--因式分解法 题型09一元二次方程的解法--换元法 题型10 判断根的情况 题型11 根据根的情况求参数 SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的定义 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．(21-22八下·浙江宁波奉化区等三县·期末)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．(22-23八下·浙江宁波镇海区中兴中学·期中)下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的一般形式 5．(24-25九上·浙江临海·期中)把方程 化成一般式 ，则正确的是（   ） A． ， B． ， C． ， D． ， 6．(21-22八下·浙江杭州丰潭中学·期中)关于x的一元二次方程 有一个根是1，则m的值是（    ） A．－2 B．2 C．0 D． 7．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)一元二次方程 的常数项是 ． 8．(22-23八下·浙江杭州建德城东实验学校·期中)把关于 的方程 化成一般式是 ，其中常数项是 ． 9．(21-22八下·浙江温州龙港·期中)写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程： ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解 1．(23-24八下·浙江杭州文华中学·期中)关于 的一元二次方程 有一个根为0，则 的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．(23-24八下·浙江宁波宁海县西片·期中)在欧几里得的《几何原本》中，形如 的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画 ，使 ， ， ，再在斜边 上截取 ，连接 ，图中哪条线段的长是一元二次方程 的一个正根（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 4(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)若关于x的方程 的一个根为3，则m的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 5．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)已知一元二次方程 的一个根是2，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．(22-23八下·浙江宁波鄞州区鄞州实验中学·期中)已知一元二次方程 有一个根为1，则k的值为（　　） A．4 B．5 C． D． 7．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)已知一元二次方程 的一根为 ，则a的值为 ． 8．(24-25八下·浙江杭州·期中)已知 是一元二次方程 的一个实数根，求 的值为 ． 9．(24-25九上·浙江临海·期中)已知关于 的方程 的一个根是2，则 的值是 ． 10．(22-23八下·浙江温州瓯海区·期中)若 是一元二次方程 的一个根，则 的值是 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--直接开平方法 1．(23-24八下·浙江杭州保俶塔实验学校·期中)关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 2．(23-24八下·浙江杭州西湖区云城中学·期中)若一元二次方程 的两根分别是 与 ，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 3．(22-23八下·浙江杭州江干区笕桥实验中学·期中)用下列哪种方法解方程 最合适（   ） A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法 4．(22-23八·浙江温州第十二中学·期中)关于 的一元二次方程 的一个根是1，则 的值是（    ） A．4 B．2或 C．4或 D． 5．．(23-24八下·浙江杭州西溪中学·期中)一元二次方程 的解为： ． 6．(23-24八下·浙江金东实验中学教育集团·期中)对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号 表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程 的解为 ． 7．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)解方程 (1) (2) 8．(24-25九上·浙江临海·期中)解方程： (1) ； (2) ． 9．(22-23八下·浙江杭州翠苑中学·期中)解一元二次方程： (1) ； (2) ． 10．(23-24八下·浙江宁波宁海县西片·期中)解方程： (1) ； (2) ． 11．(23-24八下·浙江宁波第七中学·期中)解方程： (1) (2) SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--配方法 1．(21-22八下·浙江杭州萧山区城区·期中)用配方法解方程 时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)用配方法解一元二次方程 时，若原方程变形为 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)用配方法解方程 ，下列配方正确的是(　　) A． B． C． D． 4．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)一元二次方程 配方后可化为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)一元二次方程 配方后变形为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24八下·浙江杭州西湖区云城中学·期中)用配方法将方程 变形为 ，则 ． 8．(22-23八·浙江温州第二中学·期中)若用配方法解方程 时，将其配方为 的形式，则 ． 9．(23-24八下·浙江杭州文晖实验学校·期中)解方程： (1) ； (2) ． 10．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)解方程： (1) ； (2) ． 11．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)解下列方程： (1) ； (2) ． 12．(22-23八下·浙江宁波镇海区中兴中学·期中)用适当的方法解下列方程： (1) ； (2) ． 13．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)解方程： (1) (2) SHAPE \* MERGEFORMAT 配方法的应用 1．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)无论x取任何实数，代数式 都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)代数式 的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 3．(22-23八下·浙江杭州滨江区杭州闻涛中学·期中)一元二次方程 （a，b，c为常数，且 ）的两个根分别为 则下列命题判断正确的是（　　） ①若 ，则 也是方程 的一个根． ②若x2也为方程 和方程 的一个根，则 一定为零． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 4．(22-23八下·浙江宁波江北区·期末)用配方法解一元二次方程 时，原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 5．(22-23九上·浙江杭州西湖区保俶塔实验学校·期中)下列各式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24八下·浙江宁波余姚浙江师范大学附属泗门实验中学·期中)新定义：关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，则代数式 的最小值是 ． 7．(23-24九上·浙江杭州西湖区杭州绿城育华学校·期中)已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值是 ． 8．(22-23八下·浙江宁波北仑区顾国和外国语学校·期中)解一元二次方程 ，配方得到 ，则 的值为 9．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式 的最小值． 解： ； ∵无论x取何实数，都有 ， ∴ ，即 的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出 的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式 都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形 中， ，若 ，则四边形 的面积S，S的最大值是 ．（提示： ） 10．(23-24八下·浙江绍兴诸暨暨阳初中教育共同体·期中)配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若 可配方成 （ 为常数），求 ， 的值； 探究问题：（2）已知 ，求 的值； （3）已知 （ 都是整数， 是常数），要使 的最小值为 ，试求出 的值． 11．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于 的多项式 ，由于 ，所以当 时，多项式 有最小值；多项式 ，由于 ，所以当 时，多项式 有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于 的二次多项式，当 时，该多项式有最值，就称该多项式关于 对称．例如 关于 对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式 关于 对称； (2)若关于 的多项式 关于 对称，则 ； (3)关于 的多项式 关于 对称，且最小值为3，求方程 的解． 12．(21-22八上·福建福州福州第十八中学·期末)请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式 +6x+5的最小值． +6x+5＝ +2•x•3+ ﹣ +5＝ ﹣4 ∵ ≥0 ∴当x＝﹣3时， +6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)x2+5x﹣1＝ +b，则ab的值是_______． (2)求证：无论x取何值，代数式 的值都是正数； (3)若代数式2 +kx+7的最小值为2，求k的值． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--公式法 1．(23-24八下·浙江温州安阳实验中学·期中)已知 是方程 和方程 的一个实数根，则方程 一定有实数根（   ） A． B． C． D． 2．(22-23八下·浙江宁波新城第一实验学校·期中)对于一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则 ； ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； ③若 是方程 的一个根，则一定有 成立； ④若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 3．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)已知 是一个关于x的完全平方式，则常数 ． 4．(2023·浙江省丽水市·)如图，分别以 为边长作正方形，已知 且满足 ， ．    （1）若 ，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为 ，图2四边形 的面积为 ，则图2阴影部分的面积是 ． 5．(21-22八下·浙江杭州萧山区城区·期中)对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的有 ． ①若b＝2 ，则此方程一定有两个相等的实数根； ②若此方程有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根； ③若a﹣b+c＝0，则此方程一定有两个不等的实数根； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2； 6．(21-22八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)解下列一元二次方程： (1) ； (2) ． 7．(23-24八下·浙江杭州明珠实验学校·期中)已知：关于x的一元二次方程 ． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若 的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值． 8．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)解下列方程： (1) ． (2) ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--因式分解法 1．(22-23九上·浙江台州临海东塍镇中学·期中)解方程 ，最合适的方法是（    ） A．直接开平方法 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法 2．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根 ，则下列成立的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)对于一元二次方程 ，下列说法： 若 ，则 ； 若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； 若 是方程 的一个根，则一定有 成立； 其中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．．(22-23七下·浙江杭州西湖区翠苑中学·期中)已知关于 ， 的二元一次方程组 ，（ 为实数） ①当 与 互为相反数时， ； ② 的值与k无关； ③若 ，则解为 ； ④若 ， ，且 ，则 或 ． 以上说法正确的是 （填写序号）． 5．(23-24八下·浙江金华南苑中学·期中)若方程 （ 为常数）的一个解是 ，则另一个解 ． 6．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)已知关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根 ， ，其中 ，则 ，若 ， 为常数，则 的值为 ． 7．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程 的一个根，则这个三角形的周长是 ． 8．(24-25九上·浙江宁波鄞州区·)解方程： ． 9．(24-25九上·浙江台州和合联盟·期中)解方程： (1) ； (2) ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--换元法 1．(22-23八下·浙江湖州长兴县·期中)已知实数x，y满足 ，则 的值是（    ） A．1或 B． 或2 C．2 D．1 2．(23-24八下·浙江宁波宁海县西片·期中)已知 ，则 的值是 ． 3．(22-23八·浙江温州第十二中学·期中)已知方程 的根为 ， ，则方程 的根是 ． 4．(22-23八上·四川乐山中区·期末)若 ，则 ． 5．(21-22九上·浙江台州温岭五校·期中)阅读下面的材料，回答问题：解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 ，那么 ，于是原方程可变为 （1），解得 ， ，当 时， ， ；当 时， ， ； 原方程有四个根： ， ， ， ．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)试用上述方法解方程： ，得原方程的解为 ___________． (2)解方程 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 判断根的情况 1．(22-23八下·浙江宁波镇海区中兴中学·期中)在平面直角坐标系中，若直线 不经过第四象限，则关于x的方程 的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 2．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)关于x的一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若 ，则方程没有实数根； ③若n是方程 的一个根，则 ； ④若 是方程 的一个根，则 是方程 的一个根． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④ 3．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)一元二次方程 的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 4．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)已知一元二次方程 ， ， ，其中a，b，c是正实数，且满足 ．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为 ， ， ，则下列说法一定正确的是（   ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 5．(23-24八下·浙江杭州采荷中学·期中)对于代数式 （ ，a，b，c为常数），下列说法正确的是（   ） ①若 ，则 有两个相等的实数根； ②存在三个实数 ，使得 ； ③若 与方程 的解相同，则 ． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．(22-23八·期中押题预测卷（2）（考试范围：第1-4章）-·期中)下列关于一元二次方程 的命题中，真命题有 （填序号） ①若 ，则 ；②若方程 两根为1和2，则 ；③若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有实根． 7．(22-23八下·浙江绍兴绍初教育集团·期中)下列给出的四个命题： ①若方程 两根为－1和2，则 ； ②若 ，则 ； ③ ； ④若方程 的两个实根中有且只有一个根为 ，那么 ， ． 其中是真命题的是 ． 8．(22-23八下·浙江杭州拱墅区拱宸中学·期中)关于x的一元二次方程 ；给出下列说法：①若 ，则方程必有实数根；②若 ，则方程必有两个不相等的实数根；③若 ，则方程有两个不相等的实数根；④若 ，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是 ． 9．对于代数式 （ ，a，b，c为常数）①若 ，则 有两个相等的实数根；②存在三个实数 ，使得 ；③若 与方程 的解相同，则 ，以上说法正确的是 ． 10．(22-23八下·浙江杭州翠苑中学·期中)已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为 ， ，且 ， ， 分别是一个直角三角形的三边长，求 的值． 11．(23-24九上·浙江台州路桥区路桥区第二中学·期中)已知关于 的方程 （ 为常数）． (1)求证：不论 为何值，该方程总有实数根． (2)若该方程有一个根是4，求 的值． 12．(21-22八下·浙江杭州杭州外国语学校·期中)对于任意一个三位数 ，如果 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如： ，因为 ，所以169是“喜鹊数”． (1)已知一个 “喜鹊数” （ ，其中 为正整数），请直接写出 ，b， 所满足的关系式____________判断241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”______ (2)利用（1）中“喜鹊数” 中的 构造两个一元二次方程 ①与 ②，若 是方程①的一个根， 是方程②的一个根，求 与 满足的关系式： (3)在（2）中条件下，且 ，求满足条件的所有 的值． 13．(22-23八下·浙江宁波镇海区镇海蛟川书院等四校·)定义：若一元二次方程 满足 ．则称此方程为“蛟龙”方程． (1)当 时，判断此时“蛟龙”方程 解的情况，并说明理由． (2)若“蛟龙”方程 有两个相等的实数根，请解出此方程． 14．(22-23八下·浙江杭州上城区杭州中学·期中)如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b， 是 和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程称为“勾股一元二次方程”．    请解决下列问题： (1)当 时，写出一个满足条件的“勾股一元二次方程”； (2)求证：关于 的“勾股一元二次方程” 必有实数根； (3)若 是“勾股一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求 面积． 15．(22-23八下·浙江绍兴绍初教育集团·期中)已知有关于x的一元二次方程 ． (1)求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为 ，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值． SHAPE \* MERGEFORMAT 根据根的情况求参数 1．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是 ． 2．(2024·四川省成都市·)定义：在平面直角坐标系 中，若点 满足 ，则称点 为“积和点”．例如： ， 就是“积和点”．若直线 上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 3．(23-24八下·浙江宁波宁海县西片·期中)若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的值范围是 ． 4．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ． 5．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为 ． 1．(22-23八下·浙江温州鹿城区温州外国语学校·期中)已知关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则方程 有一个根是（ ） A． B． C． D． 2．若 是方程 的一个根，设 ，则下列关于M与N的关系正确的为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·月考)把方程 化成 的形式，则 的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 4．(22-23八下·浙江绍兴嵊州三界镇蒋镇学校·期中)用配方法解一元二次方程x2+4x+1=0，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 5．(22-23八下·浙江宁波鄞州区东吴、咸祥镇中学等八校·期中)将方程 通过配方转化为 的形式，下列结果中正确的是（  ） A． B． C． D． 6．(21-22八下·浙江宁波第七中学·期中)对于任意实数k，关于x的方程 的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 7．(22-23八下·浙江宁波新城第一实验学校·期中)对于一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则 ； ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； ③若 是方程 的一个根，则一定有 成立； ④若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 8．(22-23八下·浙江温州星汇教育集团·期中)若 是一元二次方程 的一个根，则判别式 与平方式 的大小关系式（    ） A． B． C． D．不能确定 9．(23-24八下·浙江杭州萧山区萧山区红垦学校·期中)若关于x的方程 有实数根，则实数k 的取值范围是（   ） A． B． C． 且 D． 且 10．(23-24九下·浙江宁波鄞州区第二实验学校·期中)若使函数 的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（    ） A． B． C． D． 11．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)已知关于x的一元二次方程： （其中p、q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 ． ① 必是方程 的根； ② 可能是方程 的根； ③方程 必有实数根； ④若 为方程 的两个根，则方程 的根为 和 ． 12．(22-23八上·浙江金华东阳吴宁联盟·期中)如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂部分构成一个直角三角形，且，起重管可以通过拉伸进行上下调整，现将起重从水平位置调整至位置，使货物E到达位置（挂绳的长度不变且始终与地面垂直），测得货物E升高了24米，且到塔身的距离缩短了16米，． （1）点到的距离的长为 米； （2）的长为 米． 13．(20-21八下·浙江绍兴元培中学·期中)若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为 ． 14．(22-23八·浙江温州第十二中学·期中)根据以下材料，完成题目． 材料一：数学家欧拉为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（，为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中，，，为实数．且，）有如下运算法则 材料三：关于的一元二次方程（，，为实数且a≠0）如果没有实数根，那么它有两个虚数根，求根公式为． 解答以下问题： (1)填空：化简________，________； (2)关于的一元二次方程有一个根是，其中，是实数，求的值； (3)已知关于的一元二次方程无实数根，且为正整数，求该方程的虚数根． 15．(23-24八下·浙江杭州萧山区萧山区红垦学校·期中)（1）关于 的方程，下列解法完全正确的是__________． 甲 乙 两边同时除以 得到． 移项得， ， ， ． 丙 丁 整理得， ， ， ， ． 整理得， 配方得， ， ， ． （2）选择合适的方法解方程 16．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称； (2)若关于的多项式关于对称，则 ； (3)关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 17．(22-23八下·浙江宁波鄞州区·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．    18．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值； (2)若方程有两个相等的实数根，求的值． 19．(22-23八下·浙江金华义乌雪峰中学·期中)已知关于的方程． (1)当方程的一个根为时，求的值． (2)求证：无论取何值，这个方程总有实数根． (3)若等腰的一腰长，另两边恰好是这个方程的两个根，求的面积． 20．(23-24八下·浙江杭州西溪中学·期中)发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 题型11 2 / 5 $$ 专题02 一元二次方程的概念和解法 题型概览 题型01 一元二次方程的定义 题型02一元二次方程的一般形式 题型03一元二次方程的解 题型04一元二次方程的解法--直接开平方法 题型05 配方法的应用 题型06 一元二次方程的解法--配方法 题型07 元二次方程的解法--公式法 题型08 一元二次方程的解法--因式分解法 题型09一元二次方程的解法--换元法 题型10 判断根的情况 题型11 根据根的情况求参数 SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的定义 1．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B． 含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C． 是一元二次方程，故选项符合题意； D． 是分式方程，故选项不符合题意． 故选：C． 2．(21-22八下·浙江宁波奉化区等三县·期末)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市奉化区等三县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、 ，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B、 ，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、 ，含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项不符合题意； D、 ，分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．(22-23八下·浙江宁波镇海区中兴中学·期中)下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省宁波市镇海区中兴中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、 是一元二次方程，符合题意； B、 含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、 未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、 不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 4．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省杭州市上城区钱学森学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、 是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、 是一元二次方程，故本选项符合题意； C、 化简后为 是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、 是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的一般形式 5．(24-25九上·浙江临海·期中)把方程 化成一般式 ，则正确的是（   ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【来源】浙江省临海市2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案． 【详解】解：将 去括号得 ； 移项得 ∴ ， ． 故选：B． 6．(21-22八下·浙江杭州丰潭中学·期中)关于x的一元二次方程 有一个根是1，则m的值是（    ） A．－2 B．2 C．0 D． 【答案】A 【来源】浙江省杭州市丰潭中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据方程解的定义，将 代入求解，再结合一元二次方程定义确定 即可得出结论． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 是关于x的一元二次方程， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， 关于x的一元二次方程 有一个根是1， ，化简得 ，解得 ， 综上所述： ， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键． 7．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)一元二次方程 的常数项是 ． 【答案】1 【来源】浙江省杭州市余杭区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是 （ 为常数）．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：一元二次方程 的常数项是1， 故答案为：1． 8．(22-23八下·浙江杭州建德城东实验学校·期中)把关于 的方程 化成一般式是 ，其中常数项是 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市建德市城东实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为 ，其中 为常数项，由此即可得出答案． 【详解】解：将关于 的方程 化成一般式是 ，其中常数项是 ， 故答案为： ， ． 9．(21-22八下·浙江温州龙港·期中)写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程： ． 【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一） 【来源】浙江省温州市龙港市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据一元二次方程的定义及一元二次方程解的概念即可完成． 【详解】∵一个二次项系数为1 ∴设所写的一元二次方程为 ∵方程有一个根为2 ∴ ∴c=2 ∴这个方程是x2-3x+2=0 但由于一次项系数还可以取其它任意实数，故所写的满足条件的方程不唯一 故答案为：x2-3x+2=0(答案不唯一) 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念及一元二次方程的解，利用已知可以写一个关于x的一元二次方程，可以先确定一次项，常数项待定，将x=2代入可确定常数项，即可得到一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解 1．(23-24八下·浙江杭州文华中学·期中)关于 的一元二次方程 有一个根为0，则 的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【来源】浙江省杭州市文华中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，将 代入原方程计算即可得到答案． 【详解】解：∵0是方程的根， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 2．(23-24八下·浙江宁波宁海县西片·期中)在欧几里得的《几何原本》中，形如 的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画 ，使 ， ， ，再在斜边 上截取 ，连接 ，图中哪条线段的长是一元二次方程 的一个正根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省宁波市宁海县西片2023-2024学年八年级下学期4月期中联考数学试题 【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键． 设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，整理得： ，即可得到结论． 【详解】解：线段 的长是一元二次方程 的一个正根，理由如下： 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 整理得： ， 线段 的长是一元二次方程 的一个正根． 故选：A． 3．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【答案】D 【来源】浙江省温州市新希望学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把 代入 ，得 ，然后把所求式子化为 代入计算即可作答． 【详解】解：∵ 是关于 的方程 的一个根， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 4(23-24八下·浙江温州洞头区·期中)若关于x的方程 的一个根为3，则m的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将 代入 ，解关于m的方程即可． 【详解】解：将 代入 ，得： ， 解得 ， 故选C． 5．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)已知一元二次方程 的一个根是2，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【来源】浙江省杭州市余杭区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把 代入 ，得出 ，解出m的值，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程 的一个根是2， ∴把 代入 ， 得 ， 解得 故选：C 6．(22-23八下·浙江宁波鄞州区鄞州实验中学·期中)已知一元二次方程 有一个根为1，则k的值为（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【来源】浙江省宁波市鄞州区鄞州实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】将 代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值． 【详解】解：将 代入原方程得： ， 解得： ， ∴k的值为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 7．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)已知一元二次方程 的一根为 ，则a的值为 ． 【答案】 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程进行计算求解．把 代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把 代入 ，得 ， 解得 ． 故答案为：7． 8．(24-25八下·浙江杭州·期中)已知 是一元二次方程 的一个实数根，求 的值为 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市2024-2025学年下学期八年级数学期中模拟测试卷 【分析】本题主要考查一元二次方程的解．由题意易得 ，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得： ，即 ， ∴ ； 故答案为： ． 9．(24-25九上·浙江临海·期中)已知关于 的方程 的一个根是2，则 的值是 ． 【答案】5 【来源】浙江省临海市2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把 代入 得到关于 的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于 的方程 的一个根是2， ∴ ， 解得： ， 故答案为：5． 10．(22-23八下·浙江温州瓯海区·期中)若 是一元二次方程 的一个根，则 的值是 ． 【答案】2024 【来源】浙江省温州市瓯海区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将 代入原方程，可得出 ，再将其代入 中，即可求出结论． 【详解】解：将 代入原方程得： ， ， ． 故答案为：2024． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--直接开平方法 1．(23-24八下·浙江杭州保俶塔实验学校·期中)关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【来源】浙江省杭州市保俶塔实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，把 代入方程得 ，然后解方程即可，解题的关键是熟记方程的解和熟练掌握解一元二次方程． 【详解】解：把 代入方程 ，得 ， 解得 ， 故选： ． 2．(23-24八下·浙江杭州西湖区云城中学·期中)若一元二次方程 的两根分别是 与 ，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【来源】浙江省杭州市西湖区云城中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程 的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程 的两根互为相反数， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 故选：C． 3．(22-23八下·浙江杭州江干区笕桥实验中学·期中)用下列哪种方法解方程 最合适（   ） A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法 【答案】B 【来源】浙江省杭州市江干区笕桥实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】由于方程可变形为 ，所以用直接开平方法解方程最合适． 【详解】解： ， ， ， 所以 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程：根据方程特点选择合适的方法解方程是解决问题的关键． 4．(22-23八·浙江温州第十二中学·期中)关于 的一元二次方程 的一个根是1，则 的值是（    ） A．4 B．2或 C．4或 D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市第十二中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】将方程的根代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵ 的一个根是1， ∴ ， 解得： ， 故选C． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是将根代入列式求解． 5．．(23-24八下·浙江杭州西溪中学·期中)一元二次方程 的解为： ． 【答案】 ， 【来源】浙江省杭州市西溪中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程 直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为： ， ． 6．(23-24八下·浙江金东实验中学教育集团·期中)对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号 表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程 的解为 ． 【答案】 或 【来源】浙江省金东实验中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，当 时，则 ，当 时，则 ，两种情况分别解方程即可得到答案． 【详解】解：当 时，则 ，即 ， 解得 或 （舍去）； 当 时，则 ，即 ， 解得 或 （舍去）； 综上所述，方程 的解为 或 ， 故答案为： 或 ． 7．(21-22八下·浙江宁波宁海县北片·期中)解方程 (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【来源】浙江省宁波市宁海县北片2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程方程的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用直接开方法运算求解即可； （2）利用求根公式 进行求解即可． 【详解】（1） 解： ∴ ， （2） 解：由式子可得： ， ， ∴ ∴ ∴ ， 8．(24-25九上·浙江临海·期中)解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【来源】浙江省临海市2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程整理，利用完全平方公式配方，利用配方法解一元二次方程即可得； （2）利用直接开平方法解一元二次方程即可得． 【详解】（1）解： ， 整理得 ， 配方得 ，即 ， 开方得 ， 所以方程的解为 ， ； （2）解： ， 开方得 ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 所以方程的解为 ， ． 9．(22-23八下·浙江杭州翠苑中学·期中)解一元二次方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【来源】浙江省杭州市翠苑中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查一元二次方程的解法，其中涉及直接开方法、公式法等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）方程变形为 ，根据公式法即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴ ， 即： 或 ， ∴ ， ． （2）解： ，即： ， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ， 则： ， ． 10．(23-24八下·浙江宁波宁海县西片·期中)解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【来源】浙江省宁波市宁海县西片2023-2024学年八年级下学期4月期中联考数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）采用因式分解法作答即可； （2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答． 【详解】（1） ， 方程左边分解因式，得 所以 或 ， 解得 ， ； （2） ， 开平方，得 ，或 ， 解得 ， ． 11．(23-24八下·浙江宁波第七中学·期中)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省宁波市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ 解得： （2）解： ∴ ∴ 解得： ， SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--配方法 1．(21-22八下·浙江杭州萧山区城区·期中)用配方法解方程 时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省杭州市萧山区城区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 首先把常数项移到等号右边，然后方程两边都加上一次项系数的一半的平方，配方即可． 【详解】解：移项，得 ， 配方， ， 则 ． 故选：B． 2．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)用配方法解一元二次方程 时，若原方程变形为 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可． 【详解】解：配方法为： ， ， ， ， ∵当原方程变形为 时， ， ， ∴ ． 故选：A． 3．(23-24八下·浙江宁波北仑区北仑区小浃江中学·期中)用配方法解方程 ，下列配方正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省宁波市北仑区北仑区小浃江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解． 【详解】解： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 4．(23-24八下·浙江温州乐清山海联盟·期中)用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州市乐清山海联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．先根据等式的性质移项，再方程两边都加9，即可得出答案． 【详解】解： ， 移项，得 ， 配方，得 ， ． 故选：D 5．(23-24八下·浙江初中名校发展共同体·期中)一元二次方程 配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】 浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： ， ∴ 即 ， 故选：B． 6．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)一元二次方程 配方后变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州市第十二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ， 故选：D 7．(23-24八下·浙江杭州西湖区云城中学·期中)用配方法将方程 变形为 ，则 ． 【答案】6 【来源】浙江省杭州市西湖区云城中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为：6． 8．(22-23八·浙江温州第二中学·期中)若用配方法解方程 时，将其配方为 的形式，则 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市第二中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】根据配方法进行计算即可求解． 【详解】解： ∴ 即 ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 9．(23-24八下·浙江杭州文晖实验学校·期中)解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【来源】浙江省杭州市文晖实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： 或 ， 10．(24-25八上·浙江湖州安吉蓝润天使外国语实验学校·期中)解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省湖州市安吉蓝润天使外国语实验学校2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试卷 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，也考查了配方法． （1）利用因式分解法把方程转化为 或 ，然后解一次方程即可； （2）利用配方法得到 ，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解： 或 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）解： EMBED Equation.DSMT4 ． 11．(22-23八下·浙江宁波余姚实验学校·期中)解下列方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【来源】浙江省宁波市余姚实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， ∴ 或 ， 解得： 或 ， ∴原方程的解为： ， ； （2）解： ， ， ∴ 或 ， 解得： 或 ， ∴原方程的解为： ， ． 12．(22-23八下·浙江宁波镇海区中兴中学·期中)用适当的方法解下列方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省宁波市镇海区中兴中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 13．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【来源】浙江省宁波市慈溪市凤湖初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴ 或 解得 ， ； （2） 解得 ， ． SHAPE \* MERGEFORMAT 配方法的应用 1．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)无论x取任何实数，代数式 都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省杭州市萧山城区8校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵ ，且无论x取任何实数，代数式 都有意义， ∴ ， ∴ ． 故选：A 2．(23-24八下·浙江宁波慈溪凤湖初级中学·期中)代数式 的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】A 【来源】浙江省宁波市慈溪市凤湖初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为 ，即可获得答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴代数式 的值恒为正数． 故选：A． 3．(22-23八下·浙江杭州滨江区杭州闻涛中学·期中)一元二次方程 （a，b，c为常数，且 ）的两个根分别为 则下列命题判断正确的是（　　） ①若 ，则 也是方程 的一个根． ②若x2也为方程 和方程 的一个根，则 一定为零． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 【答案】D 【来源】浙江省杭州市滨江区杭州闻涛中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，配方法方应用，先利用方程的解的含义可判断①，把 代入 ， 和方程 ，三个方程再相加，结合配方法可判断②． 【详解】解：①把 代入 ， 得 ， 得 ， 故 也是方程 的一个根．符合题意； ②把 代入 ， 和方程 ， 三个方程再相加， 得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ．故②符合题意； 故选：D． 4．(22-23八下·浙江宁波江北区·期末)用配方法解一元二次方程 时，原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市江北区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题 【分析】根据 ，配方得 ，然后作答即可． 【详解】解： ，配方得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程． 5．(22-23九上·浙江杭州西湖区保俶塔实验学校·期中)下列各式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题 【分析】根据分式的除法即可判断A；根据平方差公式即可判断B；根据配方法即可判断C；根据分式的减法即可判断D． 【详解】解：A、 ，变形错误，不符合题意； B、 ，变形正确，符合题意； C、 ，变形错误，不符合题意； D、 ，变形错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式的除法，分式的减法，平方差公式和配方法，熟知相关知识是解题的关键． 6．(23-24八下·浙江宁波余姚浙江师范大学附属泗门实验中学·期中)新定义：关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，则代数式 的最小值是 ． 【答案】2020 【来源】浙江省宁波市余姚市浙江师范大学附属泗门实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于 与 的方程组，求出方程组的解得到 与 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解： 与 是“同族二次方程”， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 ， ， 则代数式 的最小值是2020． 故答案为：2020． 7．(23-24九上·浙江杭州西湖区杭州绿城育华学校·期中)已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值是 ． 【答案】3 【来源】浙江省杭州市西湖区杭州绿城育华学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】此题考查了代数式的变式与二次函数最值，解题的关键是由题意得 ，代入代数式 可得 ，由此可知代数式 的最小值是3． 【详解】解： ， ， ， ， ， 当 时，代数式 有最小值等于3， 故答案为：3． 8．(22-23八下·浙江宁波北仑区顾国和外国语学校·期中)解一元二次方程 ，配方得到 ，则 的值为 【答案】2 【来源】浙江省宁波市北仑区顾国和外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】先移项，再将左侧变形为完全平方形式． 【详解】解： ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 故 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 9．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式 的最小值． 解： ； ∵无论x取何实数，都有 ， ∴ ，即 的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出 的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式 都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形 中， ，若 ，则四边形 的面积S，S的最大值是 ．（提示： ） 【答案】（1） ；（2）见解析；（3）50 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到 即可求解； （3）根据 ，得到 ，设 ，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ； 故答案为：1； （2） ∵ ， ∴ ， ∴无论x取何实数，二次根式 都有意义； （3）设 ， 交于点O，如下图所示， ∵ ， ∴ ， 设 ，则 , ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 的面积最大值为50． 10．(23-24八下·浙江绍兴诸暨暨阳初中教育共同体·期中)配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若 可配方成 （ 为常数），求 ， 的值； 探究问题：（2）已知 ，求 的值； （3）已知 （ 都是整数， 是常数），要使 的最小值为 ，试求出 的值． 【答案】（ ） ， ；（ ） ；（ ） ． 【来源】浙江省绍兴市诸暨市暨阳初中教育共同体2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（ ）把 写成 的形式，然后 与二次项和一次项组成完全平方式，从而分解因式，从而求出 ， 的值即可； （ ）把 写成 的形式，然后把 分给含有 的项， 分给含有 的项，进行分解因式，根据偶次方的非负性，求出 ， ，从而求出答案即可； （ ）把已知等式的右边进行平方，组成两个完全平方式，然后根据偶次方的非负性和s的最小值，列出关于 的方程，解方程即可； 本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ， ； （2） ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， 解得： ， ， ∴ ； （3）∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ，（��、��都是整数，��是常数）， 的最小值为 ， ∴ ， 时，s取最小值为2 ∴ ，解得： ． 11．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于 的多项式 ，由于 ，所以当 时，多项式 有最小值；多项式 ，由于 ，所以当 时，多项式 有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于 的二次多项式，当 时，该多项式有最值，就称该多项式关于 对称．例如 关于 对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式 关于 对称； (2)若关于 的多项式 关于 对称，则 ； (3)关于 的多项式 关于 对称，且最小值为3，求方程 的解． 【答案】(1) (2)4 (3) 【来源】浙江省J12共同体联盟校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为 ，根据 得到当 ，即 时，多项式 有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为 ，进而得到当 ，即 时，多项式 有最小值，据此可得答案； （3）利用配方法把原多项式变形为 ，进而得到当 ，即 时，多项式 有最小值，最小值为 ，则 ，解方程求出a、c，进而解方程 可得答案； 【详解】（1）解： ， ∵ ， ∴ ， ∴当 ，即 时，多项式 有最小值， ∴多项式 关于 对称， 故答案为： ； （2）解： ， 同理可得当 ，即 时，多项式 有最小值， ∴关于 的多项式 关于 对称， 又∵关于 的多项式 关于 对称， ∴ ， 故答案为：4； （3）解： ， 同理可得当 ，即 时，多项式 有最小值，最小值为 ， ∵关于 的多项式 关于 对称，且最小值为3， ∴ ， ∴ ， ∴方程 即为方程 ， ∴ ， 解得 ． 12．(21-22八上·福建福州福州第十八中学·期末)请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式 +6x+5的最小值． +6x+5＝ +2•x•3+ ﹣ +5＝ ﹣4 ∵ ≥0 ∴当x＝﹣3时， +6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)x2+5x﹣1＝ +b，则ab的值是_______． (2)求证：无论x取何值，代数式 的值都是正数； (3)若代数式2 +kx+7的最小值为2，求k的值． 【答案】(1) ； (2)见解析； (3) 【来源】福建省福州市福州第十八中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出a与b的值，再相乘即可； （2）先进行配方，然后根据偶次方的非负性求出代数式的取值范围即可； （3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k的值即可． 【详解】（1）解： 解得a= ，b=- ， ∴ab=- ． （2）                            ∵ ， ∴ ，                          ∴代数式 的值都是正数； （3）                          ∵ ， ∴代数式 有最小值为 ． ∵代数式 的最小值为2， ∴ ． 解得：k= ． 【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--公式法 1．(23-24八下·浙江温州安阳实验中学·期中)已知 是方程 和方程 的一个实数根，则方程 一定有实数根（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市安阳实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知， ， ，则 ，即 ，可求 ，则 ，即 ，公式法解方程，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ∴ ，即 ， 解得， ，即 ， ∴ ，即 ， 解得， ， ， ∴方程 一定有实数根 ， 故选：B． 2．(22-23八下·浙江宁波新城第一实验学校·期中)对于一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则 ； ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； ③若 是方程 的一个根，则一定有 成立； ④若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 【答案】A 【来源】浙江省宁波市新城第一实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中 有两个实数根、 有两个不相等的实数根、 无解，以及求根公式 和等式的性质逐个排除即可． 【详解】解：①若 ，即 ， 则 是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知： ， 故①正确； ②∵方程 有两个不相等的实根， ∴ ， ∴ ， 又∵方程 的判别式为 ， ∴ ， ∴方程 有两个不相等的实数根， 故②正确； ③ 是方程 的一个根， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ，即有两种可能性， 故③错误； ④若 是一元二次方程 的根， ∴根据求根公式得： 或 ， ∴ 或 ， ∴ ， 故④正确． 故选：A． 3．(23-24八下·浙江杭州余杭区·期中)已知 是一个关于x的完全平方式，则常数 ． 【答案】 【来源】浙江省杭州市余杭区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了完全平方式及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断得出 ，然后解方程即可得出结果． 【详解】解：∵ 是一个关于x的完全平方式， ∴ ∴ ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 4．(2023·浙江省丽水市·)如图，分别以 为边长作正方形，已知 且满足 ， ．    （1）若 ，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为 ，图2四边形 的面积为 ，则图2阴影部分的面积是 ． 【答案】 【来源】2023年浙江省丽水市中考数学真题 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意，解方程组得出 ，根据题意得出 ，进而得出 ，根据图2阴影部分的面积为 ，代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是 ， 故答案为： ． （2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形 的面积为 ， ∴ ， ，即 ∴ （负值舍去） ∵ ， ． 解得： ∵ ① ∴ ， ∴ ， ∴ ② 联立①②解得： （ 为负数舍去）或 ∴ ， 图2阴影部分的面积是 故答案为： ． 【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 5．(21-22八下·浙江杭州萧山区城区·期中)对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的有 ． ①若b＝2 ，则此方程一定有两个相等的实数根； ②若此方程有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根； ③若a﹣b+c＝0，则此方程一定有两个不等的实数根； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2； 【答案】①②④ 【来源】浙江省杭州市萧山区城区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】①由b=2 可得b2=4ac，再根据根的判别式的意义即可作出判断； ②方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则Δ=b2-4ac＞0，判断方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于0即可； ③由a-b+c=0得：b=a+c，所以b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，故方程有实数根，但不一定有两个实数根； ④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，即方程有实根，判别式△≥0，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断． 【详解】解：①若b=2 ，等式两边平方得b2=4ac，即b2-4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2-4ac＞0， 方程x2-bx+ac=0中根的判别式也是b2-4ac＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若a-b+c=0，则b=a+c，方程ax2+bx+c=0中根的判别式Δ=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0， 故方程有实数根，但不一定有两个不等的实数根； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0= ， 把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2-4ac=（2ax0+b）2， 综上所述其中正确的①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2-4ac=（2ax0+b）2． 总结：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 6．(21-22八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)解下列一元二次方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， （2） ∴ ， 则 或 ， 解得 ， 7．(23-24八下·浙江杭州明珠实验学校·期中)已知：关于x的一元二次方程 ． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若 的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12或3 【来源】浙江省杭州市明珠实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，勾股定理，公式法解一元二次方程． （1）先计算出 ，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为 ， ，然后分类讨论，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明： EMBED Equation.DSMT4 ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程 的解为 ，即 ， ， ， 不可能是斜边长度， 当 是斜边长度时， ，解得 ， 当5是斜边长度时， ， 解得 或 （舍弃负数值）， 综合上述， 的值为12或3． 8．(23-24八下·浙江杭州钱塘区养正实验学校·期中)解下列方程： (1) ． (2) ． 【答案】(1) ； (2) 【来源】浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程整理后运用公式法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可 【详解】（1）解： ∵ ∴ ， ∴ ； （2）解： ， ， ， 解得， SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--因式分解法 1．(22-23九上·浙江台州临海东塍镇中学·期中)解方程 ，最合适的方法是（    ） A．直接开平方法 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法 【答案】C 【来源】浙江省台州市临海市东塍镇中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，观察所给方程的结构特点解答即可． 【详解】解： ， 提取公因式 ，得 ，用因式分解法， 故选：C． 2．(23-24八下·浙江杭州十三中教育集团（总校）·期中)关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根 ，则下列成立的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】A 【来源】浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，先根据根的判别式推出 ，则 ，进而可得原方程为 ，解得 ，求出 ，再根据 的符号与 的符号关系进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴原方程为 ， 解得 ， ∴ 若 ，则 ，即 ，则 ，故A正确，符合题意； 若 ，则 ，即 ，故B、D错误，不符合题意； 若 ，则 不一定成立，则 不一定成立，故C错误，不符合题意； 3．(23-24八下·浙江杭州萧山城区8校联考·期中)对于一元二次方程 ，下列说法： 若 ，则 ； 若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； 若 是方程 的一个根，则一定有 成立； 其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省杭州市萧山城区8校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．①根据 ，可用 ， 表示 ，进而得出 的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将 代入讨论即可． 【详解】解： ， ， ， ，故①正确． 方程 有两个不相等的实根， ，即 ． 又 ，且 ， ，则方程 有两个不相等的实根．故②正确． 是方程 的一个根， ，即 ， 或 ．故③错误． 故选：C． 4．．(22-23七下·浙江杭州西湖区翠苑中学·期中)已知关于 ， 的二元一次方程组 ，（ 为实数） ①当 与 互为相反数时， ； ② 的值与k无关； ③若 ，则解为 ； ④若 ， ，且 ，则 或 ． 以上说法正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【来源】浙江省杭州市西湖区翠苑中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】①先根据相反数的定义得出 ，代入二元一次方程组，解方程组即可判断①不正确；②根据方程组求出 ，即可判断②正确；③根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方得出 ，根据方程组求出 ，即可列出方程 ，解方程求出 的值，即可判断③正确；④根据同底数幂的除法与幂的乘方得出 ，根据方程组求出 ，即可得出方程 ，解方程求出 的值即可判断④正确． 【详解】解：①若 与 互为相反数时，则 ， 将其代入二元一次方程组 得： ， 解得： ，故①不正确； ②由题可知： ， 可得： ， ∴ 的值与k无关，故②正确； ③∵ ， ∴ ， ∴ ， 由题可知： ， 即 ， 可得； ， 解得： ，故③正确； ④∵ ， ，且 ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 由题可知： ， 即 ， 将 ， 代入 得出方程： ， 解得： 或 ，故④正确， 综上，正确的有②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了相反数的定义，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，解二元一次方程组，解一元二次方程，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 5．(23-24八下·浙江金华南苑中学·期中)若方程 （ 为常数）的一个解是 ，则另一个解 ． 【答案】2 【来源】浙江省金华市南苑中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，根据题意将 代入方程求出c的值，再利用因式分解法求解方程即可． 【详解】解： 方程 （ 为常数）的一个解是 ， ， ， 方程 ， ， 或 ， ， ， 则另一个解 ， 故答案为：2． 6．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)已知关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根 ， ，其中 ，则 ，若 ， 为常数，则 的值为 ． 【答案】 16 【来源】浙江省温州市新希望学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的非负性，解方程得出 ， ，根据 ，得出 ，根据 ，得出 ， ；根据 ，得出 ，根据非负数的性质得出 ，求出b的值即可． 【详解】解： ， 方程可变为： ， ∴ 或 ， 解得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， 故答案为： ；16． 7．(23-24八下·浙江杭州上城区钱学森学校·期中)已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程 的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】20 【来源】浙江省杭州市上城区钱学森学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查解一元二次方程及三角形的三边关系，利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可． 【详解】 因式分解得： 解得： ∵ ∴ 舍去 ∴这个三角形的周长是 故答案为：20 ． 8．(24-25九上·浙江宁波鄞州区·)解方程： ． 【答案】 ， 【来源】浙江省宁波市鄞州区2024-2025学年上学期第二次阶段测试九年级数学试题 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程整理得 ，然后将方程左边进行因式分解，继而转化为 或 ，求解即可．根据具体情况灵活选用适当的方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， 解得： ， ． 9．(24-25九上·浙江台州和合联盟·期中)解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， ； (2) ， ． 【来源】浙江省台州市和合联盟2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程； （2）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程． 【详解】（1）解： ， 则 ， 或 ， 解得： ， ； （2）解： ， 移项，得 ， 则 ， 或 ， 解得： ， ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法--换元法 1．(22-23八下·浙江湖州长兴县·期中)已知实数x，y满足 ，则 的值是（    ） A．1或 B． 或2 C．2 D．1 【答案】C 【来源】浙江省湖州市长兴县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】令 ，则 ，整理为 ，根据 ，即可得出答案． 【详解】解：令 ， ∵ ， ∴ ∴ ， ， ， ， ∴ 或 ， 解得： 或 （舍）， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是将 看做一个整体． 2．(23-24八下·浙江宁波宁海县西片·期中)已知 ，则 的值是 ． 【答案】2 【来源】浙江省宁波市宁海县西片2023-2024学年八年级下学期4月期中联考数学试题 【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设 ，则原方程转化为 ，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设 ，则原方程转化为 ， 所以 或 ， 所以 （舍去）或 ， 所以 ， 故答案为：2． 3．(22-23八·浙江温州第十二中学·期中)已知方程 的根为 ， ，则方程 的根是 ． 【答案】 ， 【来源】浙江省温州市第十二中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】设 ，可得 ，根据 的根为 ， ，可得 或 ，即可得到答案； 【详解】解：设 ，可得 ， ∵ 的根为 ， ， ∴ 或 ， 解得： ， ， 故答案为 ， ； 【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设 ，得到 ，结合方程 的根为 ， ． 4．(22-23八上·四川乐山中区·期末)若 ，则 ． 【答案】5 【来源】四川省乐山市市中区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题 【分析】设 ，把原方程化为关于 的一元二次方程，解方程求出 ，根据非负数的性质即可获得答案． 【详解】解：设 ，则原方程变形为 ， 即 ， 解得 ， ， ∵ ， ∴ ． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法以及非负数的性质，熟练掌握解一元二次方程的一般方法和步骤是解题的关键． 5．(21-22九上·浙江台州温岭五校·期中)阅读下面的材料，回答问题：解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 ，那么 ，于是原方程可变为 （1），解得 ， ，当 时， ， ；当 时， ， ； 原方程有四个根： ， ， ， ．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)试用上述方法解方程： ，得原方程的解为 ___________． (2)解方程 ． 【答案】(1) ， (2) 【来源】浙江省台州市温岭市五校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】（1）结合材料，利用 ，再换元，求出m的值，再代入求出x即可； （2）结合材料，利用 ，再换元，求出n的值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设 ，则原方程变为 ， 解得 ， ， 当 时， ，解得 ， 当 ， ，方程无解， 故原方程的解为 ， ， 故答案为： ， ． （2）解：设 ，则原方程变为 ， 解得 ， ， 当 时， ，解得 ， 当 时， ，即 ， ， 则方程无解， 故原方程的解为 ． 【点睛】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 判断根的情况 1．(22-23八下·浙江宁波镇海区中兴中学·期中)在平面直角坐标系中，若直线 不经过第四象限，则关于x的方程 的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【来源】浙江省宁波市镇海区中兴中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．由直线解析式求得 ，然后确定 的符号即可． 【详解】解： 直线 不经过第四象限， EMBED Equation.DSMT4 ， 关于 的方程 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 关于 的方程 有两个不相等的实数根． 故选：B． 2．(23-24八下·浙江杭州萧山区高桥初级中学·期中)关于x的一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若 ，则方程没有实数根； ③若n是方程 的一个根，则 ； ④若 是方程 的一个根，则 是方程 的一个根． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【来源】浙江省杭州市萧山区高桥初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，证明 ，即可判断①，证明 ，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到 ，则 或 ，即可判断③；由题意可得 ，即可判断④． 【详解】解：①对于方程 ， ， 若 ，则 ， 则 ， 即 ， ∴方程 一定有两个不相等的实数根；故选项正确； ②由①可知， ， 若 ，则 ，即 ，则 ， ∴ ， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程 的一个根，则 ，即 ， 则 或 ，即 或 ，故选项错误； ④若 是方程 的一个根， 则 ， ∵ ， ∴ 两边同除以 得， ， 即 ， ∴ 是方程 的一个根． 故④正确； 综上可知，①②④正确， 故选：D 3．(23-24八下·浙江温州新希望学校·期中)一元二次方程 的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【答案】B 【来源】浙江省温州市新希望学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题考查了根的判别式，掌握判别式是解题的关键．计算出方程的 进行判断即可，当 时，方程有两个实数根， 时，方程无实数根． 【详解】解： ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4．(23-24八下·浙江苍南县星海学校·期中)已知一元二次方程 ， ， ，其中a，b，c是正实数，且满足 ．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为 ， ， ，则下列说法一定正确的是（   ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答案】C 【来源】浙江省苍南县星海学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，正确记忆一元二次方程根的判别式的相关知识是解题关键． 由题意得 ， ，根据 、 判定出 、 的符号，再由 得 ，代入 即可确定判别式的符号，得出 的值，从而确定答案． 【详解】解：A、∵ ， ，∴ ， ，即 ， ，∵ ，∴ ，∵ ，无法确定 符号，∴ 的值无法确定，故此选项不符合题意； B、∵ ， ，∴ ， ，即 ， ，∴ ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，故此选项不符合题意； C、∵ ， ， ， ，即 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 而 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ；故此选项符合题意； D、∵ ， ，∴ ， ，即 ， ，∵ ，∴ ，∵ ，无法确定 的符号，∴ 的值无法确定，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．(23-24八下·浙江杭州采荷中学·期中)对于代数式 （ ，a，b，c为常数），下列说法正确的是（   ） ①若 ，则 有两个相等的实数根； ②存在三个实数 ，使得 ； ③若 与方程 的解相同，则 ． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【来源】浙江省杭州市采荷中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程，根据根的判别式判断①；根据一元二次方程 ( 为常数)最多有两个解判断②；将方程 的解代入 即可判断③． 【详解】解：① ， 方程 有两个相等的实数根． ①正确； ② 一元二次方程 （ 为常数）最多有两个解， ②错误； ③方程 的解为 ， 将 代入 得 ，即： ， 将 代入 得 ，即： ， ∴ ，则 ， 即： ③正确． 故选：B． 6．(22-23八·期中押题预测卷（2）（考试范围：第1-4章）-·期中)下列关于一元二次方程 的命题中，真命题有 （填序号） ①若 ，则 ；②若方程 两根为1和2，则 ；③若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有实根． 【答案】①②③ 【来源】期中押题预测卷（2）（考试范围：第1-4章）-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版） 【分析】把 代入判别式中得到 ，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到 ，则 ，可对②进行判断；利用方程 有两个不相等的实根得到 ，则 ，可对③进行判断． 【详解】解：∵ ，则 ， ∴ ，所以①正确； ∵方程 两根为1和2， ∴ 则c=2a， ∴ ，所以②正确； ∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根， ∴ ， ∴ ， ∴方程 必有两个实根，所以③正确． 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解答本题的关键． 7．(22-23八下·浙江绍兴绍初教育集团·期中)下列给出的四个命题： ①若方程 两根为－1和2，则 ； ②若 ，则 ； ③ ； ④若方程 的两个实根中有且只有一个根为 ，那么 ， ． 其中是真命题的是 ． 【答案】①②④ 【来源】浙江省绍兴市绍初教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得 ，即可判断；③根据二次根式意义运算即可；④利用根与系数的关系进行判断． 【详解】①若方程 两根为 和2， 则 ， 则 ， 即 ； 故①为真命题； ②∵ ， ∴ 或 ， ∴ ， ∴ ； 故②为真命题； ③∵ ， ∴ ， 故③为假命题； ④若方程 的两个实根中有且只有一个根为0， ∴两根之积为0， 那么 ， ， 故④为真命题； 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键． 8．(22-23八下·浙江杭州拱墅区拱宸中学·期中)关于x的一元二次方程 ；给出下列说法：①若 ，则方程必有实数根；②若 ，则方程必有两个不相等的实数根；③若 ，则方程有两个不相等的实数根；④若 ，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是 ． 【答案】①③/③① 【来源】浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】利用 可判断 ，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用 得到 ，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用 得到 ，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于 ，不能判断 与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断． 【详解】解：当 ，即 ，则 ，方程必有两个不相等的实数根，所以①符合题意； 当 ，即 ，则 ，方程必有两实数根，所以②不符合题意； 当 ，则 ，方程必有两个不相等的实数根，所以③符合题意； 当 时， 可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④不符合题意． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根． 9．对于代数式 （ ，a，b，c为常数）①若 ，则 有两个相等的实数根；②存在三个实数 ，使得 ；③若 与方程 的解相同，则 ，以上说法正确的是 ． 【答案】①③/③① 【来源】2022-2023学年第二学期浙江省丽水市缙云县缙云实验中学八年级期中考试数学试题 【分析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程 (k为常数)最多有两个解判断②；将方程 的解代入 即可判断③． 【详解】解：①∵ ∴方程 有两个相等的实数根． ∴①正确： ②∵一元二次方程 (k为常数)最多有两个解， ∴②错误； ③方程 的解为 ， 将 代入 得 ， ∴ ， ∴③正确． 综上，正确的有①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解． 10．(22-23八下·浙江杭州翠苑中学·期中)已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为 ， ，且 ， ， 分别是一个直角三角形的三边长，求 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 或 ． 【来源】浙江省杭州市翠苑中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（ ）利用根的判别式求出 即可； （ ）把原方程因式分解 ，求出方程的两个根 ， ，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题； 本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：原方程可变为 ， 则方程的两根为 ， ， ∴直角三角形三边为 ， ， ； 若 为直角三角形的斜边时，则： ， ∴ （负值已舍去）； 若 为直角三角形的斜边时，则： ， ∴ （负值已舍去）； 综上所述， 的值为 或 ． 11．(23-24九上·浙江台州路桥区路桥区第二中学·期中)已知关于 的方程 （ 为常数）． (1)求证：不论 为何值，该方程总有实数根． (2)若该方程有一个根是4，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】浙江省台州市路桥区路桥区第二中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】（1）证明方程的根的判别式 即可． （2）把 代入 ，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】（1）当 时， ， 解得 ， 当 时， 方程 ， ， ∴ ， ∴方程有两个实数根； ∴无论m取何值，方程总有实数根． （2）把 代入 ， 得 ， 解得 ． 12．(21-22八下·浙江杭州杭州外国语学校·期中)对于任意一个三位数 ，如果 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如： ，因为 ，所以169是“喜鹊数”． (1)已知一个 “喜鹊数” （ ，其中 为正整数），请直接写出 ，b， 所满足的关系式____________判断241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”______ (2)利用（1）中“喜鹊数” 中的 构造两个一元二次方程 ①与 ②，若 是方程①的一个根， 是方程②的一个根，求 与 满足的关系式： (3)在（2）中条件下，且 ，求满足条件的所有 的值． 【答案】(1) ，不是，121（答案不唯一） (2) (3)121，242，363，484 【来源】浙江省杭州市杭州外国语学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又 得出 ， ，求出 ， ，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ 是喜鹊数， ∴ ，即 ； ∵ ， ， ， ∴241不是喜鹊数； ∵ ， ∴121是喜鹊数， 故答案为： ，不是，121（答案不唯一） （2）解：∵ 是方程① 的一个根， 是方程② 的一个根， ∴ ， ， 将 ，两边同除以 得： ， 将m， 看成是方程 的两个根， ∵ ， ∴方程 有两个相等的实数根， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ； （3）解：∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484； 故答案为：121，242，363，484． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． 13．(22-23八下·浙江宁波镇海区镇海蛟川书院等四校·)定义：若一元二次方程 满足 ．则称此方程为“蛟龙”方程． (1)当 时，判断此时“蛟龙”方程 解的情况，并说明理由． (2)若“蛟龙”方程 有两个相等的实数根，请解出此方程． 【答案】(1)“蛟龙”方程 有两个不相等的实数根，理由见解析 (2) 或 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院等四校2022-2023学年八年级下学期6月联考数学试题 【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得 ，故△ ，当 时， ，根据判别式的意义即可得出结论； （2）根据“蛟龙”方程的定义得 ，根据判别式的意义得 ，求出 ，进而得到方程的解． 【详解】（1）解：“蛟龙”方程 有两个不相等的实数根， 理由如下： 一元二次方程 为“蛟龙”方程， ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， “蛟龙”方程 有两个不相等的实数根； （2）解: 方程 为“蛟龙”方程， ， 方程 有两个相等的实数根， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 或2， 当 时，方程为 ，解得 ； 当 时，方程为 ，解得 ． “蛟龙”方程 的解为0或 ． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难度不大． 14．(22-23八下·浙江杭州上城区杭州中学·期中)如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b， 是 和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程称为“勾股一元二次方程”．    请解决下列问题： (1)当 时，写出一个满足条件的“勾股一元二次方程”； (2)求证：关于 的“勾股一元二次方程” 必有实数根； (3)若 是“勾股一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求 面积． 【答案】(1) ； (2)见解析 (3) ． 【来源】浙江省杭州市上城区杭州中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式 的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 的值，根据完全平方公式求得 的值，从而可求得面积． 【详解】（1）解：当 ， ， 时，“勾股一元二次方程”为 ； （2）证明：根据题意，得 ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴“勾股一元二次方程” 必有实数根； （3）解：当 时，有 ，即 ， ∵四边形 的周长是 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 15．(22-23八下·浙江绍兴绍初教育集团·期中)已知有关于x的一元二次方程 ． (1)求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为 ，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值． 【答案】(1) ，方程有两个实数根 (2) ，方程的另一个解为1 (3) 或 ． 【来源】浙江省绍兴市绍初教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得 的取值范围，再计算 可判断方程根的情况； （2）把 代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 ， ∴ ， ∴ ； 而 ， ∴原方程方程有两个实数根． （2）∵方程有一个根为 ， ∴ ， 解得： ， ∴方程为： ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ， ∴方程的另一个解为1． （3）∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 解得： ， ， ∵方程的一个根是另一个根3倍， 当 时，解得： ，经检验符合题意； 当 时，解得： ，经检验符合题意； 综上： 或 ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，根据根的判别式判断方程的解的情况，一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键. SHAPE \* MERGEFORMAT 根据根的情况求参数 1．(23-24八下·浙江杭州文澜中学·期中)关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 且 【来源】浙江省杭州市文澜中学2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试题 【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，得 ，根据方程有两个实数根，得出 ，求出 的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 ， ∴ ，即 ， ∵方程有两个实数根， ∴ ， 解得： ， ∴ 的取值范围是 且 ， 故答案为： 且 ． 2．(2024·四川省成都市·)定义：在平面直角坐标系 中，若点 满足 ，则称点 为“积和点”．例如： ， 就是“积和点”．若直线 上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【来源】2024年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试 数学试题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线 上所有的点中唯一一个“积和点”为点 ，根据“积和点”定义可得 ，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【详解】解：设直线 上所有的点中唯一一个“积和点”为点 ，依题意得： ， 代入 得： ， 整理得： ， 由点 是唯一一个“积和点”可知： ，解得： ， ． 故答案为：0或4． 3．(23-24八下·浙江宁波宁海县西片·期中)若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的值范围是 ． 【答案】 且 【来源】浙江省宁波市宁海县西片2023-2024学年八年级下学期4月期中联考数学试题 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当 时，方程有实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零，结合根的判别式 ，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： ，且 ， 即 ， ， 且 ， 故答案为： 且 ． 4．(23-24八下·浙江温州苍南县·期中)关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ． 【答案】 【来源】浙江省温州市苍南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程： 有两个相等的实数根， ∴ 解得： ， 故答案为： ． 5．(23-24八下·浙江温州第十二中学·期中)若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】2 【来源】浙江省温州市第十二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据一元二次方程 有两个相等的实数根得到 即可得到答案； 【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ ， 解得： ， 故答案为：2． 1．(22-23八下·浙江温州鹿城区温州外国语学校·期中)已知关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则方程 有一个根是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市鹿城区温州外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】利用一元二次方程的解，可得出 ，在等式的两边同时除以 ，可得出 ，进而可得出方程 有一个根是 ． 【详解】 关于 的一元二次方程 有一个根是 ， ， 在等式的两边同时除以 得： ， 方程 有一个根是 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键． 2．若 是方程 的一个根，设 ，则下列关于M与N的关系正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】【新东方】初中数学20210622-023【初二下】 【分析】把 代入方程 得 ，作差法比较可得． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ，即 ， 则 ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是基础，利用作差法比较大小是解题的关键． 3．(23-24八下·浙江金华义乌稠州中学·月考)把方程 化成 的形式，则 的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 【答案】B 【来源】浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得 ， ，再代入求解即可． 【详解】解： ， 移项得， ， 配方得， ， 得， ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B． 4．(22-23八下·浙江绍兴嵊州三界镇蒋镇学校·期中)用配方法解一元二次方程x2+4x+1=0，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省绍兴市嵊州市三界镇蒋镇学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形即可得到结果． 【详解】解：方程变形得： ，     配方得： ，即 ．     故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键． 5．(22-23八下·浙江宁波鄞州区东吴、咸祥镇中学等八校·期中)将方程 通过配方转化为 的形式，下列结果中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省宁波市鄞州区东吴、咸祥镇中学等八校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上 ，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】 解： ， ， ， ． 故选 ． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 6．(21-22八下·浙江宁波第七中学·期中)对于任意实数k，关于x的方程 的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 【答案】B 【来源】浙江省宁波市第七中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】先计算根的判别式的值，得到 EMBED Equation.DSMT4 ，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵ ， ∴方程无实数根． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的根的关系，即当 > 0时，方程有两个不相等的实数根，当 = 0时，方程有两个相等的实数根，当 < 0时， 方程无实数根． 7．(22-23八下·浙江宁波新城第一实验学校·期中)对于一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则 ； ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； ③若 是方程 的一个根，则一定有 成立； ④若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 【答案】A 【来源】浙江省宁波市新城第一实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中 有两个实数根、 有两个不相等的实数根、 无解，以及求根公式 和等式的性质逐个排除即可． 【详解】解：①若 ，即 ， 则 是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知： ， 故①正确； ②∵方程 有两个不相等的实根， ∴ ， ∴ ， 又∵方程 的判别式为 ， ∴ ， ∴方程 有两个不相等的实数根， 故②正确； ③ 是方程 的一个根， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ，即有两种可能性， 故③错误； ④若 是一元二次方程 的根， ∴根据求根公式得： 或 ， ∴ 或 ， ∴ ， 故④正确． 故选：A． 8．(22-23八下·浙江温州星汇教育集团·期中)若 是一元二次方程 的一个根，则判别式 与平方式 的大小关系式（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【来源】浙江省温州市星汇教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】首先把 展开，然后把 带入方程 中得 ，再代入前面的展开式中即可得到 与 的关系． 【详解】解：把 带入方程 中， ∴ ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解与根的判别式的结合，熟练利用方程的根的定义以及完全平方公式是解题的关键． 9．(23-24八下·浙江杭州萧山区萧山区红垦学校·期中)若关于x的方程 有实数根，则实数k 的取值范围是（   ） A． B． C． 且 D． 且 【答案】A 【来源】浙江省杭州市萧山区萧山区红垦学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】此题主要考查方程有解的情况，解题的关键是根据题意分情况讨论． 根据题意分一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论即可求解． 【详解】当方程为一元二次方程时， ，且 ， 即 ， 解得； ， 故 且 ， 当方程为一元一次方程时， ，方程的根为 ， 综上，k的取值为 ， 故选：A． 10．(23-24九下·浙江宁波鄞州区第二实验学校·期中)若使函数 的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省宁波市鄞州区第二实验学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题 【分析】本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． 函数 的自变量 取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程 EMBED Equation.DSMT4 无解．即 ，即可解得 、 的关系． 【详解】解：∵函数 的自变量 取值范围是一切实数， ∴分母一定不等于0， ∴ 无解， 即 ， 解得： 或 ． 当 时，一定满足要求． 故选：A． 二、填空题 11．(23-24八下·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)已知关于x的一元二次方程： （其中p、q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 ． ① 必是方程 的根； ② 可能是方程 的根； ③方程 必有实数根； ④若 为方程 的两个根，则方程 的根为 和 ． 【答案】②③④ 【来源】浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式可得 ，分情况对①②③④进行判断，即可得出结果． 【详解】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根， ∴ 且 ， ∴ ， 当 ， 原方程为： ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 是方程 的根； 当 ，即 时， 原方程为： ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 是方程 的根； 综上， 不一定是方程 的根；故①错误，不符合题意； 当 时，则 ，即 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 符合题意， EMBED Equation.DSMT4 可能是方程 的根；故②正确，符合题意； 由①知，当 ， 是方程 的根， 方程 必有实数根，故③正确，符合题意； EMBED Equation.DSMT4 为方程 的两个根， 当 时，方程 为 ， 即 ， ， 方程 为 ， 即 ， ， ， 同理，当 时，方程 为 ， 即 ， ， 方程 为 ， 即 ， ， ， 综上，若 为方程 的两个根，则方程 的根为 和 ，故④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 12．(22-23八上·浙江金华东阳吴宁联盟·期中)如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂 部分构成一个直角三角形，且 ，起重管 可以通过拉伸 进行上下调整，现将起重 从水平位置调整至 位置，使货物E到达 位置（挂绳 的长度不变且始终与地面垂直），测得货物E升高了24米，且到塔身 的距离缩短了16米， ． （1）点 到 的距离 的长为 米； （2） 的长为 米． 【答案】 24 7 【来源】浙江省金华市东阳市吴宁联盟2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】（1）由平移的性质可得 货物E升高的高度，从而可得答案 米； （2）过点B作 于点M，由题意易得 ， ， 米，则由平行线间距离处处相等可得： ， ，设 米，则 米，然后根据勾股定理可得 的长，进而由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点B作 于点M， 由题意得： ， ， 米， 米， ∴由平行线间距离处处相等可得： ， ， 设 米，则 米， 在 中，由勾股定理得： ， 解得： ， ∴ 米， 米， 设 米， ∴ （米）， ∴ 米， 米， 在 中， ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 整理得： ， 解得： 或 （舍去）； 即 的长为7米， 故答案为：24，7． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，一元二次方程的解法，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13．(20-21八下·浙江绍兴元培中学·期中)若关于 的一元二次方程 有一根为2022，则一元二次方程 必有一根为 ． 【答案】 【来源】浙江省绍兴市元培中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题 【分析】对于一元二次方程 ，设 得到 ，利用 有一个根为 得到 ，从而可判断一元二次方程 必有一根为 ． 【详解】解∶由 得到 ，对于一元二次方程 ，设 ， 所以 ， 而关于 的一元二次方程 有一根为 ， 所以 有一个根为 ， 则 ， 解得 ， 所以一元二次方程 有一根为 ． 故答案为∶ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解.正确计算是解题的关键． 三、解答题 14．(22-23八·浙江温州第十二中学·期中)根据以下材料，完成题目． 材料一：数学家欧拉为了解决一元二次方程 在实数范围内无解的问题，引进虚数单位 ，规定 ．当 时，形如 （ ， 为实数）的数统称为虚数．比如 ， ， ．当 时， 为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数 ， （其中 ， ， ， 为实数．且 ， ）有如下运算法则 材料三：关于 的一元二次方程 （ ， ， 为实数且a≠0）如果没有实数根，那么它有两个虚数根，求根公式为 ． 解答以下问题： (1)填空：化简 ________， ________； (2)关于 的一元二次方程 有一个根是 ，其中 ， 是实数，求 的值； (3)已知关于 的一元二次方程 无实数根，且 为正整数，求该方程的虚数根． 【答案】(1)1， ； (2)0 (3) ， ； 【来源】浙江省温州市第十二中学2022-2023学年第二学期八年级期中考试数学试题 【分析】（1）根据 ， 代入求解即可得到答案； （2）将方程的根代入列式，结合 ， 是实数，求出m，n即可得到答案； （3）根据无实数根列不等式求出k，代入虚根公式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：1， ； （2）解：∵一元二次方程 有一个根是 ， ∴ ， 即 ， ∵ ， 是实数， ∴ ， 解得： ， ， ∴ ； （3）解：∵方程 无实数根， ∴ ， 解得： ， ∵且 为正整数， ∴ ， 即： ， ∵一元二次方程有两个虚数根，求根公式为 ， ∴ ， ∴方程的虚数根为 ， ； 【点睛】本题主要考查了新定义虚数，求一元二次方程的虚数根，解题的关键是读懂题目中的虚数定义及虚数根的求根公式． 15．(23-24八下·浙江杭州萧山区萧山区红垦学校·期中)（1）关于 的方程 ，下列解法完全正确的是__________． 甲 乙 两边同时除以 得到 ． 移项得 ， ， ， ． 丙 丁 整理得 ， ， ， ， ． 整理得 ， 配方得 ， ， ， ． （2）选择合适的方法解方程 【答案】（1）丁；（2） 【来源】浙江省杭州市萧山区萧山区红垦学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）对甲、乙、丙、丁的解题的过程进行判断，然后作答即可； （2）利用因式分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：由题意知，丁的解法完全正确， 故答案为：丁； （2）解： ， ， ∴ 或 ， 解得， ． 16．(23-24八下·浙江J12共同体联盟校·期中)小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于 的多项式 ，由于 ，所以当 时，多项式 有最小值；多项式 ，由于 ，所以当 时，多项式 有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于 的二次多项式，当 时，该多项式有最值，就称该多项式关于 对称．例如 关于 对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式 关于 对称； (2)若关于 的多项式 关于 对称，则 ； (3)关于 的多项式 关于 对称，且最小值为3，求方程 的解． 【答案】(1) (2)4 (3) 【来源】浙江省J12共同体联盟校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为 ，根据 得到当 ，即 时，多项式 有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为 ，进而得到当 ，即 时，多项式 有最小值，据此可得答案； （3）利用配方法把原多项式变形为 ，进而得到当 ，即 时，多项式 有最小值，最小值为 ，则 ，解方程求出a、c，进而解方程 可得答案； 【详解】（1）解： ， ∵ ， ∴ ， ∴当 ，即 时，多项式 有最小值， ∴多项式 关于 对称， 故答案为： ； （2）解： ， 同理可得当 ，即 时，多项式 有最小值， ∴关于 的多项式 关于 对称， 又∵关于 的多项式 关于 对称， ∴ ， 故答案为：4； （3）解： ， 同理可得当 ，即 时，多项式 有最小值，最小值为 ， ∵关于 的多项式 关于 对称，且最小值为3， ∴ ， ∴ ， ∴方程 即为方程 ， ∴ ， 解得 ． 17．(22-23八下·浙江宁波鄞州区·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用 例如：已知 可取任何实数，试求二次三项式 的最小值． 解： ； 无论 取何实数，都有 ， ，即 的最小值为 ． 【尝试应用】（1）请直接写出 的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论 取何实数，二次根式 都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形 中， ，若 ，求四边形 的面积最大值．    【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 【来源】浙江省宁波市鄞州区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）利用配方法把 变形为 ，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值； （2）利用配方法得到 ，则可判断 ，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论 取何实数，二次根式 都有意义； （3）利用三角形面积公式得到四边形 的面积 ，由于 ，则四边形 的面积 ，利用配方法得到四边形 的面积 ，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】解：（1） ， 无论 取何实数，都有 ， ，即 的最小值为 ； 故答案为： ； （2） ， ， ， 无论 取何实数，二次根式 都有意义； （3） ， 四边形 的面积 ， ， ， 四边形 的面积 ， 当 ，四边形 的面积最大，最大值为 ． 【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值． 18．(22-23八下·浙江温州永嘉县崇德实验学校·期中)关于 的一元二次方程 ． (1)若方程有一个根为 ，求 的值； (2)若方程有两个相等的实数根，求 的值． 【答案】(1) (2) 【来源】浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程解的概念以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程解的概念以及根的判别式是解答本题的关键． （1）将 代入方程即可解出 的值； （2）根据方程有两个相等的实数根得到 ，解出 的值即可． 【详解】（1）解：将 代入方程 ，得 ， 解得： ； （2）解； 方程有两个相等的实数根， ， 解得： ． 19．(22-23八下·浙江金华义乌雪峰中学·期中)已知关于 的方程 ． (1)当方程的一个根为 时，求 的值． (2)求证：无论 取何值，这个方程总有实数根． (3)若等腰 的一腰长 ，另两边 恰好是这个方程的两个根，求 的面积． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【来源】浙江省金华市义乌市雪峰中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）把 代入 得到关于m的方程，解这个方程即可求解； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 ，由此即可得出结论； （3）将 代入原方程可求出 值，代入 值解方程即可求出 、 的长度，再根据三角形的三边关系得到等腰 三边长，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理求出三角形底边的高，即可由三角形的面积关系求解． 【详解】（1）解：把 代入 ，得 解得： ， （2）证明： EMBED Equation.DSMT4 ， 无论 取何值，这个方程总有实数根； （3）解：将 代入原方程，得： ， 解得： ， 原方程为 ， 解得： ， ． 、6、6能组成三角形， 该等腰三角形的三边长为 、6、6， 如图，在等腰 中，设 ， ， 过点A作 于D， ∵ ， ， ∴ ， ， 在 中，由勾股定理，得 ， ∴ 的面积 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是牢记“当 时，方程有实数根”求出等腰 三边的长． 20．(23-24八下·浙江杭州西溪中学·期中)发现思考：已知等腰三角形 的两边分别是方程 的两个根，求等腰三角形 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解： ． ， ， ． ， ① ． ② ， ． ③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． ④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． ⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形 的一腰和底边的长是关于 的方程 的两个实数根． ① 时，求 的周长； ②当 为等边三角形时，求 的值． 【答案】(1)⑤；2，2，5不能构成三角形 (2)①当 时， 的周长为 ；②当 为等边三角形时， 的值为1． 【来源】浙江省杭州市西溪中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把 的值代入方程，解方程得到 ， ，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形； （2）解：①当 时，方程为 ， ， ， 当 为腰时， ， EMBED Equation.DSMT4 、 、 不能构成三角形； 当 为腰时，等腰三角形的三边为 、 、 ， 此时 的周长为 ， 答：当 时， 的周长为 ； ②若 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， △ ， ， 答：当 为等边三角形时， 的值为1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 题型11 1 / 1 $$