精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学校2025届高三第二次模拟考试数学试题

哈六中2025届高三第二次模拟考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解分式不等式与一元二次不等式得集合，再根据集合的交集运算即可. 【详解】由可得，所以， 由可得，所以， 则. 故选：C. 2. 若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则，计算出，可得，所以的虚部为. 【详解】，， ， 所以的虚部为. 故选：A. 3. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【详解】由，得， 又，则， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最大. 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用两角和与差的正弦公式，结合已知条件即可求解. 【详解】 ，即 故选：D. 5. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义代入计算可得，再由数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】由向量在向量上的投影向量为可得， 即，又，所以， 所以. 故选：C 6. 定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件分析函数的单调性和奇偶性，不等式等价变形可得，解不等式可得结果. 【详解】由题意得，的定义域为， ∵，∴为奇函数， ∵，且在上为减函数， ∴在上为增函数. ∵，∴， ∴，解得，即的取值范围为. 故选：B. 7. 已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干的条件即可求得满足的轨迹方程为圆，再利用距离最小即四点共线时，即可求得最小值. 【详解】 因为，动点满足， 设，则，两边同时平方整理得：， 即点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆； 因为点在直线上的投影为， 又抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故, 故 当且仅当四点共线时，取得最小值， 最小值为, 故. 故选：D 8. 如图所示，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时，之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，结合等腰三角形性质求出，利用周期求出， 再由勾股定理求出，根据图象过点即可得解. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，在平面内作轴，轴交于点， 连接，则是二面角的平面角，即， 则，由轴垂直于，平面， 得轴垂直于平面，又轴，则平面，而平面，因此， 又函数的周期，即， 由勾股定理得，即，解得， 而函数的图象过点，则，即， 又，且0在的递减区间内，所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知随机变量，，则 B. 根据小概率值的独立性检验推断两个分类变量与是否有关联，经计算，可以推断两个变量有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05 C. 一个袋子中有大小和质地完全相同的6个球（标号为1，2，3，4，5，6），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到标号小于4的球”，事件“第二次摸到标号小于4的球”，则与相互独立 D. 甲、乙两组数据，甲组有8个数据，平均数为210，方差为1，乙组有12个数据，平均数为200，方差为1，则甲乙两组数据组成的总样本的方差为25 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项分布及正态分布求出概率判断A；利用独立性检验判断B；利用相互独立事件的概率公式判断C；利用分层抽样的方差公式计算判断D. 【详解】对于A，由随机变量，得，由，得，A错误； 对于B，由独立性检验知，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，甲乙两组数据组成的总样本的平均数为， 因此甲乙两组数据组成的总样本的方差为，D正确. 故选：BD 10. 已知平行四边形中，为直线上的一列点，连接交于，点满足，其中数列的首项为1，数列满足，数列的前项和为，实数满足对恒成立（ ） A. 是等比数列 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的三点共线可得，再由递推公式即可判断AB，结合裂项相消法代入计算，即可求得，从而判断CD. 【详解】 由可得 因为三点共线，所以，即， 即，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，所以，故AB正确； 又， 所以 ，故C错误； 由实数满足对恒成立，即， 且，，所以， 则，所以，故D正确； 故选：ABD 11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ） A. 函数在无数个点处的曲率为1 B. 函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同 C. 函数的曲率恒为1 D. 若函数在与处的曲率半径相同，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义结合导函数二次求导可得A正确；根据新定义结合导函数二次求导以及偶函数的性质可得B错误；根据新定义结合导函数二次求导可得C正确；根据新定义结合导函数二次求导，再利用换元法结合基本不等式可得D正确. 【详解】对于A，已知，则，， 根据曲率函数，可得 当，时，，，此时， 所以函数在无数个点处的曲率为1，故A正确； 对于B，对于，，， 则，因为，所以为偶函数， 所以曲线在点与点处的弯曲程度相同，故B错误； 对于C，，， 则函数的曲率，故C正确； 对于D，，， 则函数的曲率半径，， 依题意，，则，即， 设，，则， 则，则， 整理得， 而，则， 所以，解得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是______. 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项. 【详解】因为二项式系数和， 因此， 又， 令，常数项为. 故答案为：240. 13. 已知椭圆的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合椭圆方程，整理可得离心率． 【详解】根据题意可得， 设，则， 所以，， 因为直线，的斜率之积为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以，即， 所以， 所以， 所以，即 所以离心率， 故答案为：． 14. 已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据四棱柱的性质可得点的轨迹是以为轴的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线，分析点在各平面的轨迹，计算轨迹长度可得结果. 【详解】∵，直线与所成的角为， ∴直线与所成的角为， ∴点的轨迹是以为轴（其中为顶点），母线与轴所成角为的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线． 如图，在线段和上分别取点，使得，连接， ∵在四棱柱中，底面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴，故， ∴点在四边形与四边形上的运动轨迹为线段和，且. 当在四边形上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点在四边形上运动的轨迹长度为， 综上得，点的轨迹长度为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）已知是边上的点，，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解即可； （2）先根据面积公式列式得出，最后应用基本不等式计算求解最小值即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得， 而，所以. 【小问2详解】 如图： 由，得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 16. 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求五面体的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取棱的中点G，连接， 易证四边形为平行四边形，则， 因为，所以，所以． 因为四边形是矩形，所以． 因为，平面，且，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理与矩形可得线线垂直，利用线面垂直的判定与面面垂直的判定，可得答案； （2）将图形分割为三棱柱与四棱锥，利用三棱柱与四棱锥的体积公式，可得答案； （3）由题意建立坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取棱的中点O，连接． 因为，所以，． 因为平面平面，平面平面，所以平面． 取棱的中点H，连接， 则． 【小问3详解】 取棱的中点M，连接，易证两两垂直， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，则，． 设平面的法向量为，则 令，得． 平面的一个法向量为． 设平面与平面所成的角为，则． 17. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）若为的极值点，求的单调区间和最大值； （2）是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；最大值为 （2）存在使得的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用为的极值点求得的值，进而可得函数的单调区间和最大值； （2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值． 【小问1详解】 ，， ， 若为的极值点， 则，得． ， 当时，，当时，， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 的极大值为，也即的最大值为． 【小问2详解】 ，， ①当时，在上单调递增， 的最大值是， 解得，舍去； ②当时，由，得， 当，即时， 时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又在上的最大值为， ， ； 当，即时，在上单调递增， ， 解得，舍去． 综上，存在使得的最大值为． 18. 已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，. （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）若，过双曲线 上一点 向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）证明：设，， 由（1）可得， 设 的中点为，则， 从而，即， 又双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 同理可得， 则 的中点为，故 与 的中点重合， 则，，即； （3）不存在，使得为定值，理由： 设过且与双曲线相切的直线方程为， 即，联立， 得， 由题意可知， 化简可得， 由题意可知，为方程的两个根， 则，， 故， 若为定值，则有，化简得，此时， 但此时， 故不存在，使得为定值． 【解析】 【分析】（1）联立方程组，利用判别式即可求解； （2）根据韦达定理和中点坐标公式得点，进而联立直线方程可得点，坐标，即可得 与 的中点重合，即可求解； （3）根据相切可利用判别式为0得，为方程的两个根，进而根据韦达定理化简，结合假设法即可求解． 【小问1详解】 联立，得， 由题意可得，，解得或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一．从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩．目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右．近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图． （1）经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（，，，均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.5 165 204 22 42 4 6448.3 2060 其中，． （2）运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究．一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占25%，存活天数为1的样本在全体样本中占20%． ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望． 附：， 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据散点图，确定更适合，再利用换元法，以及题中的数据，代入公式求回归方程； （2）①根据条件概率，以及地推关系，可证明数列是以首项，为公比的等比数列，再根据分段函数的形式列出解析式；②根据①的结果，列式，再利用错位相减法，即可求解． 【小问1详解】 由散点图可知，更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型， 令，所以， 因为，，，， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 ①由题可得，， 当时，， 又，即， 同理可得，当时，， 两式相减得， 即，， 因为， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列， 当时，， 所以； ② ， 令， 则， 两式相减得， ， 所以， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈六中2025届高三第二次模拟考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时，之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知随机变量，，则 B. 根据小概率值的独立性检验推断两个分类变量与是否有关联，经计算，可以推断两个变量有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05 C. 一个袋子中有大小和质地完全相同的6个球（标号为1，2，3，4，5，6），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到标号小于4的球”，事件“第二次摸到标号小于4的球”，则与相互独立 D. 甲、乙两组数据，甲组有8个数据，平均数为210，方差为1，乙组有12个数据，平均数为200，方差为1，则甲乙两组数据组成的总样本的方差为25 10. 已知平行四边形中，为直线上的一列点，连接交于，点满足，其中数列的首项为1，数列满足，数列的前项和为，实数满足对恒成立（ ） A. 是等比数列 B. C. D. 11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ） A. 函数在无数个点处的曲率为1 B. 函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同 C. 函数的曲率恒为1 D. 若函数在与处的曲率半径相同，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是______. 13. 已知椭圆的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 14. 已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）已知是边上的点，，，求的最小值. 16. 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求五面体的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）若为的极值点，求的单调区间和最大值； （2）是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，. （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）若，过双曲线 上一点 向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由. 19. 云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一．从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩．目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右．近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图． （1）经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（，，，均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.5 165 204 22 42 4 6448.3 2060 其中，． （2）运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究．一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占25%，存活天数为1的样本在全体样本中占20%． ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望． 附：， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $