上海市七下期中真题百题大通关（提升版）（范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形的有关概念）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版2024）

七下期中真题百题大通关（提升版） （范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形的有关概念） 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海·期中）已知，下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 3．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 4．（21-22七年级下·上海·期中）如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（21-22七年级下·上海静安·期中）两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1=30° ，则∠2的度数为（    ） A．150° B．30° C．30° 或150° D．无法确定 二、填空题 6．（22-23六年级下·上海虹口·期中）已知不等式组的解集为，则 ． 7．（22-23六年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 8．（23-24六年级下·上海长宁·期中）我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为 . 9．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 10．（20-21六年级下·上海宝山·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． 11．（20-21六年级下·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 12．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，，平分，，则 ． 13．（22-23七年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 14．（22-23七年级下·上海·期中）如图，直线被直线所截，如果，，那么度数为 ． 15．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为 ．(用含的代数式表示) 16．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 17．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，将沿折叠，点A落在点处，，再将绕点D顺时针旋转，旋转角为，当旋转至与的一边平行时，的度数为 ． 18．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，，，，的度数为 ． 19．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，一张长方形，，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，再将折叠成如图所示，若，则 ．    20．（23-24七年级下·上海闵行·期中）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中和的两个角的顶点重合在一起，若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时， 度． 21．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知与的两边分别平行，且比的3倍少，那么的度数是 ． 22．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图1，已知长方形纸带，，，°，点分别在边上，，如图2，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置．将纸带再折叠一次，使折痕经过点F， 且点落在线段上 ，这时的折痕和的夹角是 °．    23．（22-23七年级下·上海·期中）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知，则 度． 24．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是 ． 25．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）已知，如图，四边形中，，点E在线段上，为线段上一点，过点作，交直线于点．将沿翻折，使点的对应点落在线段上，当时，的度数是 ．    26．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）已知和的两边分别平行，若，则 ． 27．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．    28．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在梯形中，，点分别在边上，如果，，那么 ．    29．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知，平分，，那么 ．    30．（22-23七年级下·上海松江·期中）已知两个形状完全相同的直角三角形、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为 秒． 31．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知直线、交于点，，，则 ． 32．（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图，直线、相交于点O．已知，把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，当时，则α的度数是 °． 33．（21-22七年级下·上海·期中）已知直线，将一块含30°角的直角三角板（）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则∠2的度数是 ． 三、解答题 34．（22-23六年级下·上海虹口·期中）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“友好组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非友好组合”． 例如：是“友好组合” 分析：由，得 由，得 因为在范围内，所以是“友好组合” (1)请判断关于的组合是“友好组合”还是“非友好组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“非友好组合”．求的取值范围． 35．（22-23六年级下·上海虹口·期中）求不等式组的最小整数解． 36．（23-24六年级下·上海长宁·期中）求解不等式组：的正整数解． 37．（23-24六年级下·上海长宁·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 38．（23-24六年级下·上海·期中）一件商品售价为120元，如果按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．求商品成本价的范围． 39．（23-24六年级下·上海·期中）解关于x的不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来： 40．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）求不等式的最小整数解． 41．（23-24六年级下·上海宝山·期中）解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 42．（23-24六年级下·上海崇明·期中）一张试卷有50道选择题，答对一题得2分，不答或答错一题倒扣1分，若小明这张试卷得分超过75分，则他至少答对多少道题？ 43．（23-24六年级下·上海崇明·期中）解不等式：，并将解集表示在数轴上 44．（23-24六年级下·上海·期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 45．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）已知关于a的方程的解也是关于x的方程的解． (1)求a、b的值： (2)求出关于x的不等式的最大整数解． 46．（20-21六年级下·上海·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数． 47．（20-21六年级下·上海闵行·期中）（1）春天到了，万物复苏.张老师带领全班同学外出春游.他们来到浦江郊野公园划船.在准备坐船时发现，如果每条船正好坐6位同学，那么还少一条船；如果每条船正好坐9位同学，那么会多出一条船（张老师不坐），则原来准备租多少条船? （2）张老师带同学们划船结束后就来到纪念品商店，准备为同学们选购钥匙扣和纪念币作为礼物，张老师又发现，如果用380元可以买钥匙扣7件，纪念币8件；也可以用380元买钥匙扣10件，纪念币6件.那么钥匙扣和纪念币的售价分别是多少元? （3）随后张老师拿出920元交给班长，让班长去购买钥匙扣和纪念币，要求每位同学都要有一件礼物，并且纪念币的数量不少于钥匙扣的数量，那么班长共有多少种购买方案?请一一列出. 48．（20-21六年级下·上海宝山·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 49．（20-21六年级下·上海徐汇·期中）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：．    50．（20-21六年级下·上海奉贤·期中）已知，求的最大值和最小值． 51．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）解关于x的不等式组. 52．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）解不等式组：并求出它的整数解. 53．（20-21六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 54．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，A、B两点表示的数满足，其中，．请根据条件完成此题． (1)求a、b、c、d的值；（直接写出结果） __________，__________，___________，____________； (2)若A、B两点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以2个单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、C两点相遇？ (3)在（2）的条件下，A、B、C、D四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由． 55．（20-21六年级下·上海杨浦·期中）若关于x的不等式的解集是，求关于y的不等式的解集． 56．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，已知，，，请说明． 解：因为（已知）， 所以__________（内错角相等，两直线平行）， 所以（______________________）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以__________（______________________）， 所以_____（______________________）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（______________________）． 57．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 58．（22-23七年级下·上海·期中）如图，是直线，点B在直线上，且，说明的理由． 59．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 60．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D为上一点，，G为上一点，，，问和有怎样的位置关系，并加以说明． 61．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图：已知于C，于D，，试说明的理由． 解；因为，（已知）， 所以，（垂直的意义）， 又因为， （ ）， 所以，， 所以（ ）， 因为（已知）， 所以 （等量代换）， 所以（ ）， 因为与互补（已知）， 所以， 所以 （ ）． 所以（平行于同一条直线的两直线平行）． 62．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，已知平分交于点，若，求的度数． 63．（23-24七年级下·上海闵行·期中）闵行区今年实施了滨水步道的升级改造，某河道两岸安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．    (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光线会互相平行？请直接写出答案． 64．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 65．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，垂足分别为点D和点F，，请填写理由，说明． 解：因为，（已知）， 所以，（        ）， 所以（等量代换）． 所以（        ） 所以________________（        ）． 因为（已知）， 所以（        ） 所以（        ）． 66．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 67．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知，，那么等于多少度？为什么？ 请将说理过程补充完整； 解：过点作， 得（ ）． 因为（已知），（已作）， 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补）， 所以 °（ ）， 即， 因为（已知）， 所以 °（等式性质）． 68．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知中，，，请说明的理由． 请将说理过程补充完整： 证明：因为（已知）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以（ ）． 所以（ ）． 69．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，是线段上的一点，已知，，且，试说明．（写出依据） 70．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 71．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知，是的角平分线，交于点，交的延长线于点，且，请说明的理由． 72．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，已知及点P．    (1)画出过点P且与平行的直线交于点C． (2)在第（1）题甚础上，直线交直线于点E．若直线与直线的夹角为35度，则的度数为____________． 73．（20-21七年级下·上海静安·期中）如图，已知点A与直线a、b相交于点O，试问，能否过点A作直线l，使得整个图形中，有且只有两个角能与构成同位角？若能，请画出所有情况并写出的同位角；若不能，请说明理由.    74．（20-21七年级下·上海静安·期中）已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．    (1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．    (2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由． 75．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由． （2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由． 76．（20-21七年级下·上海·期中）如图：，，是直线，B在直线上，E在直线上，，．说明与相等的理由． 解：因为（已知）， 所以___________//___________（　　）， 所以___________（　　）， 因为（已知）， 所以___________（等量代换）． 所以___________//___________（　　）， 所以（　　）， 因为（　　）， 所以（等量代换）．    77．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空：如图，    (1)过点A画出直线a的垂线，与直线a交于点C；过点B画出直线a的垂线，与直线b交于点D； (2)如果直线，那么线段、长度的大小关系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”连接），它们的长度都可以表示直线a、b之间的______． 78．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）完成下列证明： 已知：如图，直线与，分别相交于点A，D，与，分别相交于点H，G，，．求证：，．    证明：∵（已知） 又∵（____________） ∴（____________）（等量代换） ∴（____________） ∴（____________） 又∵ （已知） ∴（____________）（等量代换） ∴（____________）． 79．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知） 所以（____________） 因为（已知） 所以______（两直线平行，同旁内角互补） 所以（____________） 因为、分别是和的角平分线（已知） 所以，（____________） 所以______（等式性质） 因为（已知） 所以（两直线平行，内错角相等） 所以（____________） 所以（____________） 80．（22-23七年级下·上海普陀·期中）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了两盏激光探照灯如下图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．    (1)如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒， ①如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°；用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°． ②如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求的值． (2)如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？ 81．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知在中，为边上一点，，交边于点，且，，请说明的理由．    解：因为（已知）， 所以_________（__________________）． 即_________． 因为（已知）， 所以_________（两直线平行，同位角相等）． 因为（已知）， 所以_________（等量代换）． 所以（__________________）． 82．（22-23七年级下·上海松江·期中）填空，并把证明过程补充完整． 如图，已知中，、、分别是、、边上的点，点是线段上的点，且，求证：． 证明：点是线段上的点， ______， 已知， ______． 请补充证明过程，并写出过程依据 83．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） （______） （已知） （______） （______） 是的角平分线（已知） （______） （______） 84．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，，那么与平行吗？为什么？ 85．（21-22七年级下·上海松江·期中）（1）如图（1），当、、满足条件______时，有ABCD，并说明理由． （2）如图（2），当ABCD时，，，的关系是______． 86．（21-22七年级下·上海闵行·期中）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知） ∴________（等式性质） ∵（                 ） ∴__________________（等量代换） ∵平分（已知） ∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 87．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°． 88．（21-22七年级下·上海·期中）已知点C、P、D在同一直线上，∠BAP＝72°，∠APD＝108°，且∠1＝∠2，试说明∠E＝∠F的理由． 89．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠F＝∠G，为什么？ 解：因为∠BAE+∠AED＝180°（已知）， 所以AB∥CD （ ） 所以∠BAE＝∠AEC（ ） 因为∠1＝∠2（ ） 而∠BAE＝∠FAE+∠1，∠AEC＝∠GEA+∠2， 所以∠FAE＝∠GEA （ ） 所以AF∥EG （ ） 所以∠F＝∠G（ ） 90．（21-22七年级下·上海·期中）已知，AB∥CD∥EF，且CB平分∠ABF，CF平分∠BEF，请说明BC⊥CF的理由． 解：∵AB∥E（已知） ∴∠　 　+∠　 　＝　 　． ∵CB平分∠ABF（已知） ∴∠1＝∠ABF 同理，∠4＝∠BEF ∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝　 　． 又∵AB∥CD（已知） ∴∠1＝∠2　 　 同理，∠3＝∠4 ∴∠1+∠4＝∠2+∠3　 　 ∴∠2+∠3＝90°（等量代换） 即∠BCF＝90° ∴BC⊥CF　 　． 91．（21-22七年级下·上海·期中）阅读并填空：如图，在△ABC中，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，且DP∥AC，PE∥AB．试说明∠DPE＝∠BAC的理由． 解：因为DP∥AC（已知）， 所以∠　 　＝∠　 　（　 　）． 因为PE∥AB（已知）， 所以∠　 　＝∠　 　（　 　） 所以∠DPE＝∠BAC（等量代换）． 92．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2，请说明：∠A＝∠C． 解：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知） ∴　 　（角平分线的定义） ∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠ADC（　 　） ∴∠3＝∠1 又∵∠1＝∠2（已知） ∴　 　（等量代换） ∴　 　（　 　） ∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠A＝∠C（　 　） 93．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知∠AED＝∠C，∠1+∠2＝180°．请说明∠BEC＝∠FGC． 解：因为∠AED＝∠C（已知）， 所以　 　　 　（　 　）， 得∠1＝∠3（　 　）． 又∠1+∠2＝180°（已知）， 得∠3+∠2＝180（　 　）． 所以　 　　 　（　 　）． 所以∠BEC＝∠FGC（　 　）． 94．（20-21七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，且求的度数． 解：因为（已知） 且（________________） 所以=（________________） 所以∥AB（内错角相等，两直线平行） （请完成以下说理过程） 95．（20-21七年级下·上海·期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为（旋转角，请探究下列问题： (1)如图2，当旋转角满足时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由； (2)如图3，当旋转角满足时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由； (3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数． 96．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，已知点D、E、F分别在ABC的边AB、AC、BC上，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，请说明∠DEC+∠C= 180°的理由 97．（23-24七年级下·上海·期中）已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 98．（20-21七年级下·上海静安·期中）“光线”，即光，光直行，就一点视之，则放射如线，故云． (1)光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线CD，根据光学知识有，，请判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．    (2)结合光线、舞美等效果可以打造不一样的视觉体验，如图2，直线E上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点A．点C以/秒和/秒的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t，若不存在，请说明理由．    99．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）将两块直角三角板(即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点O按图1方式叠放在一起．绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒，若旋转时间为t秒，请回答下列问题∶    (1)当时，直线与的位置关系是_______当时，（如图2及其简化图），的度数为________（用含的代数式表示） (2)当边时，t的值是_______． (3)当边时，求t的值． 100．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． (1)如图，平分，若，求的度数． (2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七下期中真题百题大通关（提升版） （范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形的有关概念） 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海·期中）已知，下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式性质的应用，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．根据解不等式的性质将不等式变形，从而选出正确的选项． 【详解】A、，故A错误； B、当时，，故B错误 C、两边同乘，不等号要改变方向，即，故C正确； D、，故D错误； 故选：C． 2．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 3．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】过C作，过M作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过C作，过M作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 4．（21-22七年级下·上海·期中）如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意； （2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意； （3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意； （4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系． 5．（21-22七年级下·上海静安·期中）两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1=30° ，则∠2的度数为（    ） A．150° B．30° C．30° 或150° D．无法确定 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立． 【详解】解：因为两条直线的位置关系不明确， 所以无法判断∠1和∠2大小关系， 即∠2为不能确定． 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是明确两直线平行时，同旁内角互补的性质． 二、填空题 6．（22-23六年级下·上海虹口·期中）已知不等式组的解集为，则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组的解集，再根据已知的解集可建立关于的方程，解方程可得的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 7．（22-23六年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是． 故答案为：． 8．（23-24六年级下·上海长宁·期中）我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为 . 【答案】或 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查方程和不等式，分为和两种情况化简方程解题即可． 【详解】解：当时，即时，，解得； 当时，即时，，解得； 故答案为：或. 9．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的定义、有理数的减法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 10．（20-21六年级下·上海宝山·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先求得不等式的解集，再根据不等式组有解，求解即可． 【详解】解：由不等式可得：，解得 ∵不等式组有解， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了不等式组的求解，已知不等式的解集求参数，解题的关键是正确求得不等式的解集． 11．（20-21六年级下·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组有5个整数解， ∴， 解得，， ， 移项合并得，， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 综上，， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，，平分，，则 ． 【答案】108 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平分，，即可得出，，求出，即可求解． 【详解】解：∵ 平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：108． 13．（22-23七年级下·上海·期中）如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间距离处处相等得到，则，得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（22-23七年级下·上海·期中）如图，直线被直线所截，如果，，那么度数为 ． 【答案】 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角的性质，利用邻补角的性质求出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出即可，掌握平行线的判定和性质是题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为 ．(用含的代数式表示) 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，分别过作，过作，过作，再根据平行线的性质和角的和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴． 设，则， ∵平分， ∴， 设， ∴， 过作，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 16．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，直线m、n被直线l所截，已知 那么 【答案】/105度 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，由得到，由，得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，将沿折叠，点A落在点处，，再将绕点D顺时针旋转，旋转角为，当旋转至与的一边平行时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先求出图1中，再分图2和图3两种情况，根据平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，由折叠的性质可得， ∴； 如图2所示，当时，则， ∴； 如图3所示，当时，则， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 18．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，，，，的度数为 ． 【答案】/135度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质得出的度数，再根据可知， 把，代入求出的值， 进而可得出结论，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 19．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，一张长方形，，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，再将折叠成如图所示，若，则 ．    【答案】/70度 【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行同旁内角互补、折叠问题 【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，根据折叠的性质求出，，，根据邻补角定义求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．熟记平行线的性质、折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置， ∴，， ∵由翻折而成，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·上海闵行·期中）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中和的两个角的顶点重合在一起，若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时， 度． 【答案】75或105/105或75 【知识点】垂线的定义理解、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平面内角的运算等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．根据题意作出图形，分两种情况讨论并求解即可． 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论： ①如下图，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∴； ②如下图，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：75或105． 21．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知与的两边分别平行，且比的3倍少，那么的度数是 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是分情况讨论，正确画出图形，避免遗漏．根据题意，画出不同的图形进行分情况讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如下图， ∵与的两边分别平行， ∴，， ∴， 又∵， 解得； ②如下图， ∵与的两边分别平行， ∴，， ∴， 又∵， 解得． 故答案为：或． 22．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图1，已知长方形纸带，，，°，点分别在边上，，如图2，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置．将纸带再折叠一次，使折痕经过点F， 且点落在线段上 ，这时的折痕和的夹角是 °．    【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键．由折叠得，，根据，得到，由折叠的性质得到，再根据求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，    由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（22-23七年级下·上海·期中）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知，则 度． 【答案】/76度 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键．根据平行线的性质可得，，再结合折线的性质可得，即可得到的度数． 【详解】解：如图 由折叠的性质可得∶ 故答案为∶． 24．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、与余角、补角有关的计算 【分析】首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． 【详解】解：如图，    设，， ，与的平分线交于点， ，，，， 过点作，过点作， ， ， ，，，， ，， 的余角等于的补角， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 25．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）已知，如图，四边形中，，点E在线段上，为线段上一点，过点作，交直线于点．将沿翻折，使点的对应点落在线段上，当时，的度数是 ．    【答案】/65度 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】由对折的性质及求出，再和前面方法一样用互余计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 由折叠有，， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行线的性质与判定及余角，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 26．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）已知和的两边分别平行，若，则 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】分两种情况，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图1，和的两边，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图2，和的两边，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 27．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．    【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等 【分析】过点作，，根据平行线的性质，可得，，，继而可得． 【详解】解：如图，过点作，过作   ， ， ， 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键． 28．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在梯形中，，点分别在边上，如果，，那么 ．    【答案】1.8 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】连接，由平行线的性质可知，点，，到的距离相等，可得，，进而可求得答案． 【详解】解：连接，    ∵， ∴点，，到的距离相等， ∴，， ∴， 故答案为：1.8． 【点睛】本题考查平行线的之间的距离，掌握平行线之间的距离相等是解决问题的关键． 29．（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知，平分，，那么 ．    【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】根据平行线的性质得到，根据平分，得出，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 30．（22-23七年级下·上海松江·期中）已知两个形状完全相同的直角三角形、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为 秒． 【答案】1或2或5 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】分三种情形讨论：当时．当时．当时，分别求出即可解决问题． 【详解】解：，， ． 当时，如图中， ∵， ， 旋转时间． 如图中，当时， ∵当与重合时，，此时， 旋转时间． 当时，如图中， ∵， ， ∴， 旋转时间． 综上所述，旋转时间为或或时，恰有一边与平行． 故答案为：1或2或5． 【点睛】本题考查了平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 31．（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知直线、交于点，，，则 ． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】根据对顶角相等求出，根据垂直定义求出，代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直定义、对顶角相等、角的有关计算等知识点，能求出和的度数是解此题的关键． 32．（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图，直线、相交于点O．已知，把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，当时，则α的度数是 °． 【答案】/度 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】先利用对顶角相等得到，再计算出，然后根据和，得到和都在的同侧，最后计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 即射线绕点O逆时针旋转到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，对顶角相等，解题关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 33．（21-22七年级下·上海·期中）已知直线，将一块含30°角的直角三角板（）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则∠2的度数是 ． 【答案】40° 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】过点B作BD∥a，根据平行线的判定及平行线的性质得到∠1=∠ABD，∠2=∠CBD，从而求出度数即可． 【详解】解：如图，过点B作BD∥a， ∴∠1=∠ABD， ∵∠1=20°， ∴∠ABD=20°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°， ∵a∥b， ∴BD∥b， ∴∠2=∠DBC=40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 34．（22-23六年级下·上海虹口·期中）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“友好组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非友好组合”． 例如：是“友好组合” 分析：由，得 由，得 因为在范围内，所以是“友好组合” (1)请判断关于的组合是“友好组合”还是“非友好组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“非友好组合”．求的取值范围． 【答案】(1)是“友好组合”，理由见解析 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式、解一元一次方程，关键是对“友好组合”与“非友好组合”的理解． （1）先求方程的解，再解不等式，根据“友好组合”和“非友好组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“非友好组合”的定义求a的取值范围． 【详解】（1）解：关于的组合是“友好组合”，理由如下： ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． ∵在范围内， ∴组合是“友好组合”； （2）解方程， 去分母，得， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵关于x的组合是“非友好组合， ∴， 解得：． 35．（22-23六年级下·上海虹口·期中）求不等式组的最小整数解． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得： ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 36．（23-24六年级下·上海长宁·期中）求解不等式组：的正整数解． 【答案】，， 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解的求法，先解不等式组的解集，再找出正整数解即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴正整数解为，，． 37．（23-24六年级下·上海长宁·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键． 先求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上，注意端点是实心． 【详解】解： ． 在数轴上表示为： 38．（23-24六年级下·上海·期中）一件商品售价为120元，如果按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．求商品成本价的范围． 【答案】大于等于90元且小于等于120元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，设商品成本价为x元，根据“按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．”列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：设商品成本价为x元， 则 解得， 答：商品成本价的范围为大于等于90元且小于等于120元． 39．（23-24六年级下·上海·期中）解关于x的不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来： 【答案】，数轴见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示解集，求出每个不等式的解集，表示在数轴上，写出解集的公共部分即可. 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 把解集在数轴上表示出来如下： ∴原不等式组的解集为 40．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）求不等式的最小整数解． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解集，再根据不等式的解集即可求解，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的最小整数解为． 41．（23-24六年级下·上海宝山·期中）解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 42．（23-24六年级下·上海崇明·期中）一张试卷有50道选择题，答对一题得2分，不答或答错一题倒扣1分，若小明这张试卷得分超过75分，则他至少答对多少道题？ 【答案】他至少答对了42题 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了由实际问题列出不等式，就是把实际问题转化为数学问题，通过不等式求解可使实际问题变得较为简单．设他答对了x道题，则由题意得：，求出不等式的解即可． 【详解】解：设他答对了x道题， ， ， ∵取整数 ∴他至少答对了42题． 43．（23-24六年级下·上海崇明·期中）解不等式：，并将解集表示在数轴上 【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及数轴表示不等式，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则进行运算后，即可画出数轴． 【详解】 解： ， ∴可作出数轴为： 44．（23-24六年级下·上海·期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组组的解集为，数轴表示见解析． 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，原不等式组组的解为， 在数轴上表述如图所示： ． 45．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）已知关于a的方程的解也是关于x的方程的解． (1)求a、b的值： (2)求出关于x的不等式的最大整数解． 【答案】(1)， (2)满足不等式的最大整数解是4 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、方程的解 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）先求出方程的解，再将把代入方程并求解，即得b的值； （2）将，代入不等式中，通过去分母、移项、合并同类项、两边同除以一次项系数，即得答案． 【详解】（1）对于方程， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 把代入方程，得， ， 解得 ； （2）当，时，原不等式化为， 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， ， 关于x的不等式的最大整数解是4． 46．（20-21六年级下·上海·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数． 【答案】63或54或45或36或27或18 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】设个位上的数字为，则十位上的数字为，根据题意列出不等式组并求解，然后确定满足条件的数字即可． 【详解】解：设个位上的数字为，则十位上的数字为， ∵为十位上的数字，且该两位数小于等于63， ∴， 根据题意，可列不等式组， 解得， 又∵为正整数， ∴， 当，即个位数字为3时，十位上的数字为，即两位数为63； 当，即个位数字为4时，十位上的数字为，即两位数为54； 当，即个位数字为5时，十位上的数字为，即两位数为45； 当，即个位数字为6时，十位上的数字为，即两位数为36； 当，即个位数字为7时，十位上的数字为，即两位数为27； 当，即个位数字为8时，十位上的数字为，即两位数为18． 综上所述：该两位数为63或54或45或36或27或18． 【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解题关键． 47．（20-21六年级下·上海闵行·期中）（1）春天到了，万物复苏.张老师带领全班同学外出春游.他们来到浦江郊野公园划船.在准备坐船时发现，如果每条船正好坐6位同学，那么还少一条船；如果每条船正好坐9位同学，那么会多出一条船（张老师不坐），则原来准备租多少条船? （2）张老师带同学们划船结束后就来到纪念品商店，准备为同学们选购钥匙扣和纪念币作为礼物，张老师又发现，如果用380元可以买钥匙扣7件，纪念币8件；也可以用380元买钥匙扣10件，纪念币6件.那么钥匙扣和纪念币的售价分别是多少元? （3）随后张老师拿出920元交给班长，让班长去购买钥匙扣和纪念币，要求每位同学都要有一件礼物，并且纪念币的数量不少于钥匙扣的数量，那么班长共有多少种购买方案?请一一列出. 【答案】（1）原来准备租条船 （2）钥匙扣和纪念币的售价分别是元和元 （3）共有三种购买方案，分别为：纪念币件，钥匙扣件；纪念币件，钥匙扣件；纪念币件，钥匙扣件； 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设原来准备租条船，利用“坐6位同学，那么还少一条船；如果每条船正好坐9位同学，那么会多出一条船”列方程解题； （2）设钥匙扣和纪念币的售价分别是元和元，根据“380元可以买钥匙扣7件，纪念币8件；也可以用380元买钥匙扣10件，纪念币6件”列方程组解题； （3）设纪念币的数量购买件，则根据题意列出不等式组解题即可. 【详解】解：（1）解：设原来准备租条船， 则， 解得：， 答：原来准备租条船. （2）解：设钥匙扣和纪念币的售价分别是元和元， 则，解得 答：钥匙扣和纪念币的售价分别是元和元. （3）设纪念币的数量购买件， 学生数为人， ∴，解得：， ∵为整数， ∴可以取，共三种购买方案， 购买方案①纪念币件，钥匙扣件； 购买方案②纪念币件，钥匙扣件； 购买方案③纪念币件，钥匙扣件. 【点睛】本题考查一元一次方程，二元一次方程组，不等式组解应用题，找准数量关系列方程或不等式是解题的关键. 48．（20-21六年级下·上海宝山·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，详见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】先去括号、移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得到不等式的解集，再用数轴表示解集． 【详解】， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 用数轴表示为：    【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 49．（20-21六年级下·上海徐汇·期中）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：．    【答案】在数轴上表示不等式组的解集见解析， 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定其公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 在数轴上表示不等式的解集如下：    ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键． 50．（20-21六年级下·上海奉贤·期中）已知，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为3，最小值为0 【知识点】求一个数的绝对值、求不等式组的解集 【分析】分别解不等式得出不等式组的解集，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 解①得：； 解②得：； 故不等式组的解集为：， 当时，最大值为3； 当时，最小值为0． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组以及绝对值的性质，正确得出的取值范围是解题关键． 51．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）解关于x的不等式组. 【答案】当时，,当时， 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别解2个不等式，根据的符号，求得不等式的解集，进而求得不等式组的解集 【详解】解：解不等式 移项得， 合并同类项得， ∴ 当时，， 当时， 当时，为任意数 解不等式 ∴ ∴ 即，则 当时，， 当时，， ∴当时，,当时，． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分类讨论是解题的关键． 52．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）解不等式组：并求出它的整数解. 【答案】，整数解为 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】分别求得不等式的解集，然后求公共部分，根据解集求得整数解，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：，整数解为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 53．（20-21六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、不等式的性质 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 54．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，A、B两点表示的数满足，其中，．请根据条件完成此题． (1)求a、b、c、d的值；（直接写出结果） __________，__________，___________，____________； (2)若A、B两点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以2个单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、C两点相遇？ (3)在（2）的条件下，A、B、C、D四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】绝对值方程、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题 【分析】（1）根据非负数的性质，及相反数的定义，可得出a、b、c、d的值； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）分两种情况，①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，②点A、点B均在点D的右边，然后分别表示出的长度，建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：或． ∵是方程的两根且， ∴， ∵， ∴， 可得：； （2）解：， 当点A、C相遇时：， 解得； （3）解：经时间时，A的值为：，B的值为：，C的值为：的值为：， ①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边， 则， 解得：， ， 由题意得：， 解得：， 满足； ②点、点均在点的右边， 此时，解得：， ， 由题意得，， 解得：， 满足； 综上，存在，当时间或4秒时，B与C的距离是A与D的距离的4倍． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，涉及了非负数的性质，相反数的定义，以及数轴上的动点问题的计算，解答本题关键是表示出运动后四个点的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大． 55．（20-21六年级下·上海杨浦·期中）若关于x的不等式的解集是，求关于y的不等式的解集． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】由不等式可得，且；由于不等式的解集是，故有，将其代入不等式中，确定出，即可求得该不等式的解集． 【详解】解：不等式系数化1得，且， ∵该不等式的解集为是， ∴， ∴， 由题意：，， 两不等式相加得：，即； 由得：， ∵， ∴， ∴，即； ，， 关于的不等式就是： ， ， ∵， ，     ． 【点睛】此题考查的是解一元一次不等式．利用已知条件得到关于a，b的关系式，确定是解题的关键与难点． 56．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，已知，，，请说明． 解：因为（已知）， 所以__________（内错角相等，两直线平行）， 所以（______________________）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以__________（______________________）， 所以_____（______________________）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（______________________）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 按照所给证明思路，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 即． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 即， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，；两直线平行，内错角相等；，；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行． 57．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；；②30 (3)不发生变化， 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）①根据路程速度时间即可求出； ②若，则，又，所以，所以，进而求解； （3）设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：60． （2）解：①设灯转动秒， 则，， 故答案为：；． ②若，则， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：30． （3）解：不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， 而， ， ， 即． 58．（22-23七年级下·上海·期中）如图，是直线，点B在直线上，且，说明的理由． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及对顶角相等等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先证明，得，再证明，则，得，然后由对顶角相等即可得出结论． 【详解】证明：如图，设与交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 59．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质可求出，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用（1）的结论可得：，然后利用同角的余角相等可得：，即可解答； （3）利用（1）的结论可得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 由（1）可得：， ； （3）解：由（1）可得：，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 60．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D为上一点，，G为上一点，，，问和有怎样的位置关系，并加以说明． 【答案】，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定和性质是解题的关键； 根据同角的补角相等求出，在证，则，等量代换求出，即可判定 ，得，根据，即可求出结论． 【详解】 解：，理由如下： ，， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， ． 61．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图：已知于C，于D，，试说明的理由． 解；因为，（已知）， 所以，（垂直的意义）， 又因为， （ ）， 所以，， 所以（ ）， 因为（已知）， 所以 （等量代换）， 所以（ ）， 因为与互补（已知）， 所以， 所以 （ ）． 所以（平行于同一条直线的两直线平行）． 【答案】三角形内角和定理；等角的余角相等；内错角相等；，同旁内角互补 【知识点】根据平行线判定与性质证明、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键； 根据平行线的判定，余角的性质以及平行公理进行判断填空即可． 【详解】解：因为，（已知）， 所以，（垂直的意义）， 又因为， （三角形内角和定理）， ，， 所以（等角的余角相等）， 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 因为与互补（已知）， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 所以（平行于同一条直线的两直线平行）． 故答案为：三角形内角和定理；等角的余角相等；内错角相等；，同旁内角互补． 62．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，已知平分交于点，若，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数、角平分线的计算、利用邻补角求角度，由平行线的性质得出，利用邻补角得出，由角平分线的定义得出，最后由平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， ， ， ． 63．（23-24七年级下·上海闵行·期中）闵行区今年实施了滨水步道的升级改造，某河道两岸安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．    (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光线会互相平行？请直接写出答案． 【答案】(1)， (2) (3)15秒或82.5秒 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、其他问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由非负数的性质即可得出结果； （2）如图1，过点作，可得，设两灯转动时间为秒，则，，根据角的和差关系得到关于的方程，解方程即可求解； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯射线到达之前；②在灯射线到达之后；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，； （2）解：如图，过点作，     ， ， 设两灯转动时间为秒，则，， ， ，， ， ， 解得， ， ； （3）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①如图，     ， ， ， ， ， 在灯射线到达之前，由题意得：， 解得：； ②如图，       ， ， ， ， ， 在灯射线到达之后，由题意得：， 解得：． 综上所述，灯转动15秒或秒时，两灯的光束互相平行． 64．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3： 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、图形类规律探索 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的公理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和公理 根据平行线的性质和公理即可解答 【详解】解：问题1： ，理由如下： 过点P作，如图所示： ， ， 又， ， ， ； 问题2：过点Q作如图所示： ，， ， 由问题1结论可知：， ， ， ， ； 问题3： 过点作如图所示： , 同理可得：， 故答案为： 65．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，垂足分别为点D和点F，，请填写理由，说明． 解：因为，（已知）， 所以，（        ）， 所以（等量代换）． 所以（        ） 所以________________（        ）． 因为（已知）， 所以（        ） 所以（        ）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行； 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可． 【详解】解：因为，（已知）， 所以，（ 垂直的定义）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为（已知）， 所以（同角的补角相等） 所以（内错角相等，两直线平行）． 66．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)或． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】（）．由已知可得，即得，即可得到； （）由，，可得，进而得到，即可得到，得到，即可求解； （）画出图形，分两种情况解答即可求解； 本题考查了角的和差，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示， 当时，， ∴， ∵， ∴； 如图所示， 当时，， ∵， ∴； 综上，当的度数为或时，， 故答案为：或． 67．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知，，那么等于多少度？为什么？ 请将说理过程补充完整； 解：过点作， 得（ ）． 因为（已知），（已作）， 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补）， 所以 °（ ）， 即， 因为（已知）， 所以 °（等式性质）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推理；；；等式的性质；． 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推理，掌握平行线的性质及平行公理的推理是解题的关键． 【详解】解：过点作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知），（已作）， 所以（平行公理的推理）， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式的性质）， 即， 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推理；；；等式的性质；． 68．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知中，，，请说明的理由． 请将说理过程补充完整： 证明：因为（已知）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以（ ）． 所以（ ）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由，可得，进而得到，即得到，即可得到，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 69．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，是线段上的一点，已知，，且，试说明．（写出依据） 【答案】见详解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、平角等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，易得，进而证明，结合题意可得，易得，可证明，再证明，然后可知，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可证明结论． 【详解】证明：如下图，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知条件）， ∴（等量代换）， ∵（已知条件）， ∴（垂直的定义）， ∴（平角的定义）， ∴（等量代换）， ∵（已知条件）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 70．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）①先求得的度数，即可得到的度数； ②先求得的度数，即可得到的度数； （2）依据，，即可得到与互补． （3）分5种情况求解：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时． 【详解】（1）①∵， ∴ ∴ 故答案为：． ②∵， ∴ ∴ 故答案为：． （2）． 理由如下： ∵，， ∴． ∵，， ∴ ∴． 故答案为：； （3）①当时， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴． ③当时， ∵， ∴， ∴； ④当时， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ⑤当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴∠， ∴ ∴． 故答案为：． 71．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）如图，已知，是的角平分线，交于点，交的延长线于点，且，请说明的理由． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出．根据平行线的性质得出，进而利用平行线的判定得出，进而解答即可． 【详解】（已知） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） 是的角平分线（已知） （角平分线的意义） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 72．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，已知及点P．    (1)画出过点P且与平行的直线交于点C． (2)在第（1）题甚础上，直线交直线于点E．若直线与直线的夹角为35度，则的度数为____________． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）分情况：当点E与点A在同侧，则，当点与点A在两侧，则，然后根据平行线的性质求出和即可． 【详解】（1）解：借助三角板和直尺，根据一落二靠三推四画的步骤，过点P画与AO平行的直线交OB于点C， 直线即为所求；    （2）解：当点E与点A在同侧，则， 如图，， ； 当点与点A在两侧，则， 如图，， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或．    【点睛】本题考查了平行线的性质和作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 73．（20-21七年级下·上海静安·期中）如图，已知点A与直线a、b相交于点O，试问，能否过点A作直线l，使得整个图形中，有且只有两个角能与构成同位角？若能，请画出所有情况并写出的同位角；若不能，请说明理由.    【答案】见详解 【知识点】画出直线、射线、线段、同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角的定义进行作图解答即可． 【详解】解：能，画出所有情况并写出的同位角，如下图所示：            图1、图2和图3中是和都是的同位角． 【点睛】本题考查了同位角的定义以及学生的作图能力，正确掌握同位角的定义是解题的关键． 74．（20-21七年级下·上海静安·期中）已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．    (1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．    (2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过点作，如图1，由得，由得，则，所以； （2）如图2，根据平行线的性质由得，根据三角形外角性质得，所以，即． 【详解】（1）．理由如下： 过点作，如图1， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，， ， 而， ， 即．    【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 75．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）（1）如图a所示，，且点E在射线与之间，请说明的理由． （2）现在如图b所示，仍有，但点E在与的上方．请尝试探索，，三者的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得到和，再根据等量代换得出结论； （2）过点E作，根据平行线的性质可得，，表示出，从而可得三者之间的关系． 【详解】解：（1）过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； 过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行线的性质，作出辅助线并熟记性质是解题的关键． 76．（20-21七年级下·上海·期中）如图：，，是直线，B在直线上，E在直线上，，．说明与相等的理由． 解：因为（已知）， 所以___________//___________（　　）， 所以___________（　　）， 因为（已知）， 所以___________（等量代换）． 所以___________//___________（　　）， 所以（　　）， 因为（　　）， 所以（等量代换）．    【答案】内错角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，对顶角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】利用平行线的判定定理，首先根据内错角相等，两直线平行，证得，然后利用平行线的性质以及等量代换，证得：，则，再利用平行线的性质以及等量代换即可证得． 【详解】解：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 因为（对顶角相等　）， 所以（等量代换）． 故答案为：内错角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，对顶角相等． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理以及判定定理，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 77．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空：如图，    (1)过点A画出直线a的垂线，与直线a交于点C；过点B画出直线a的垂线，与直线b交于点D； (2)如果直线，那么线段、长度的大小关系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”连接），它们的长度都可以表示直线a、b之间的______． 【答案】(1)见解析 (2)，距离 【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段 【分析】（1）将三角板的一条直角边和已知直线重合，然后平移三角板，让其另一条直角与点重合，过点和三角板的直角顶点作直线，就是已知直线的垂线，同理得出； （2）利用平行线之间的距离定义即可得出AC，BD之间的关系． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：， 根据平行线之间的距离定义可知， 由于， 故它们的长度都可以表示直线a、b之间的距离． 【点睛】点评：此题主要考查了过直线外一点作已知直线垂线以及平行线之间的距离性质，根据已知得出，是解题关键. 78．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）完成下列证明： 已知：如图，直线与，分别相交于点A，D，与，分别相交于点H，G，，．求证：，．    证明：∵（已知） 又∵（____________） ∴（____________）（等量代换） ∴（____________） ∴（____________） 又∵ （已知） ∴（____________）（等量代换） ∴（____________）． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】证明：∵（已知） 又∵（对顶角相等） ∴（）（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵ （已知） ∴（）（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 79．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知） 所以（____________） 因为（已知） 所以______（两直线平行，同旁内角互补） 所以（____________） 因为、分别是和的角平分线（已知） 所以，（____________） 所以______（等式性质） 因为（已知） 所以（两直线平行，内错角相等） 所以（____________） 所以（____________） 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）， ∵、分别是和的角平分线（已知）， ∴，（角平分线定义）， ∴（等式性质）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∴同位角相等，两直线平行）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 80．（22-23七年级下·上海普陀·期中）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了两盏激光探照灯如下图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．    (1)如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒， ①如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°；用含的代数式表示光线转动的角度，即_________°． ②如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求的值． (2)如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？ 【答案】(1)①t，；② (2)光线旋转10秒或85秒时，与光线平行 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）①根据题意求出和即可； ②过点H作，根据平行线的性质得出，，得出，即，求出t的值即可； （2）分两种情况讨论，当秒时，当秒时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转， ∴；； 故答案为：t，； ②过点H作，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 解得． （2）解：设光线旋转时间为t秒， 当秒时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴时， ∴， 解得； 当秒时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 综上分析可知，光线旋转10秒或85秒时，与光线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，并注意进行分类讨论． 81．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知在中，为边上一点，，交边于点，且，，请说明的理由．    解：因为（已知）， 所以_________（__________________）． 即_________． 因为（已知）， 所以_________（两直线平行，同位角相等）． 因为（已知）， 所以_________（等量代换）． 所以（__________________）． 【答案】，等式性质，，， ，内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的判定和性质证明即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以∠DBC（等式性质）． 即∠DBF． 因为（已知）， 所以ABC（两直线平行，同位角相等）． 因为（已知） 所以DBF（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 82．（22-23七年级下·上海松江·期中）填空，并把证明过程补充完整． 如图，已知中，、、分别是、、边上的点，点是线段上的点，且，求证：． 证明：点是线段上的点， ______， 已知， ______． 请补充证明过程，并写出过程依据 【答案】邻补角定义；同角的补角相等；其余过程见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：点是线段上的点， 邻补角定义， (已知， 同角的补角相等， ， ， ， ， ， ． 故答案为：邻补角定义；同角的补角相等． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 83．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） （______） （已知） （______） （______） 是的角平分线（已知） （______） （______） 【答案】平角的定义；垂线的性质；等量代换；角平分线的定义；等量代换 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】根据垂线，角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：直线、相交于点，（已知） ，（平角的定义） ，（已知） ，（垂线的性质） ，（等量代换） 是的角平分线，（已知） ，（角平分线的定义） ，（等量代换） 故答案为：平角的定义，垂线的性质，等量代换，角平分线的定义，等量代换． 【点睛】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂线，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键． 84．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，，那么与平行吗？为什么？ 【答案】平行，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】分别利用平行线的性质和等量代换得到后即可利用内错角相等两直线平行得到两直线平行． 【详解】解：与平行．理由如下： 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，解题时首先根据平行线的性质得到角相等，然后根据等量代换得到两内错角相等，从而证得两直线平行． 85．（21-22七年级下·上海松江·期中）（1）如图（1），当、、满足条件______时，有ABCD，并说明理由． （2）如图（2），当ABCD时，，，的关系是______． 【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；理由见解析；（2）∠1+∠2-∠AEC=180°． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）如图，过点E作EFAB，根据平行线的判定和性质证明即可； （2）如图，过点E作EFAB，根据平行线的判定和性质证明即可． 【详解】解：（1）当∠A、∠C、∠AEC满足条件∠AEC=∠A+∠C时，有ABCD． 理由如下： 过点E作EFAB，如图： ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）， ∵∠AEC=∠A+∠C，∠AEC=∠1+∠2， ∴∠2=∠C， ∴EFCD（内错角相等，两直线平行）， ∵EFAB， ∴ABCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）； 故答案为：∠AEC=∠A+∠C； （2）当ABCD时，∠1，∠2，∠AEC的关系是∠1+∠2-∠AEC=180°， 理由如下： 过点E作EFAB，如图： ∴∠3+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵ABCD（已知）， ∴EFCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠FEC=∠2（两直线平行，内错角相等）， 即∠AEC+∠3=∠2， ∴∠3=∠2-∠AEC， ∴∠2-∠AEC+∠1=180°（等量代换）， 即∠1+∠2-∠AEC=180°． 故答案为：∠1+∠2-∠AEC=180°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质．能够正确的作辅助线并熟记平行线的判定和性质是解题的关键． 86．（21-22七年级下·上海闵行·期中）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知） ∴________（等式性质） ∵（                 ） ∴__________________（等量代换） ∵平分（已知） ∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 【答案】∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、对顶角相等 【分析】利用已知条件，进行推理即可． 【详解】解：∵∠COB＝90°，∠COF＝58°（已知）， ∴∠BOF＝∠COB−∠COF＝32°（等式性质）， ∵∠AOE＝∠FOB（对顶角相等）， ∴∠AOE＝32°（等量代换）， ∵OA平分∠DOE（已知） ∴∠AOE＝∠AOD（角平分线的意义）， ∴∠DOE＝64°（等量代换）． 故答案为：∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【点睛】本题考查的是证明的步骤和格式，解题的关键是熟练掌握对顶角相等、等量代换、角平分线的意义． 87．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°． 【答案】见解析 【知识点】平行公理的应用、内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】首先过点E作EMAB，过点F作FNCD，由：∠E＝∠F，∠1＝∠2，易证得∠MEF＝∠NFE，由平行线的判定，可得EMFN，继而可得ABEMFNCD，然后由平行线的性质，即可证得：∠ABH＋∠CHB＝180°． 【详解】证明：过点E作EMAB，过点F作FNCD， ∴∠2＝∠BEM，∠1＝∠HFN， ∵∠BEF＝∠EFH，∠1＝∠2， ∴∠BEF﹣∠BEM＝∠EFH﹣∠HFN， ∴∠MEF＝∠NFE， ∴EMFN， ∴ABEMFNCD， ∴∠ABH+∠CHB＝180°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是关键，注意数形结合思想的应用． 88．（21-22七年级下·上海·期中）已知点C、P、D在同一直线上，∠BAP＝72°，∠APD＝108°，且∠1＝∠2，试说明∠E＝∠F的理由． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BAP=∠APC，求出∠EAP=∠FPA，根据平行线的判定得出AE∥PF，根据平行线的性质得出即可． 【详解】解：理由是：∵∠BAP＝72°，∠APD＝108°， ∴∠BAP+∠APD＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠BAP＝∠APC， ∵∠1＝∠2， ∴∠EAP＝∠FPA， ∴AE∥PF， ∴∠E＝∠F． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 89．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠F＝∠G，为什么？ 解：因为∠BAE+∠AED＝180°（已知）， 所以AB∥CD （ ） 所以∠BAE＝∠AEC（ ） 因为∠1＝∠2（ ） 而∠BAE＝∠FAE+∠1，∠AEC＝∠GEA+∠2， 所以∠FAE＝∠GEA （ ） 所以AF∥EG （ ） 所以∠F＝∠G（ ） 【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；已知；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】先根据题意得出，故可得出，再由得出，进而可得出，据此可得出结论． 【详解】解：∵∠BAE+∠AED＝180°（ 已知  ）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠BAE＝∠AEC（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＝∠2（已知），∠BAE＝∠FAE+∠1，∠AEC＝∠GEA+∠2， ∴∠FAE＝∠GEA （等式的性质）， ∴AF∥EG（内错角相等，两直线平行）， ∴∠F＝∠G（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；已知；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 90．（21-22七年级下·上海·期中）已知，AB∥CD∥EF，且CB平分∠ABF，CF平分∠BEF，请说明BC⊥CF的理由． 解：∵AB∥E（已知） ∴∠　 　+∠　 　＝　 　． ∵CB平分∠ABF（已知） ∴∠1＝∠ABF 同理，∠4＝∠BEF ∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝　 　． 又∵AB∥CD（已知） ∴∠1＝∠2　 　 同理，∠3＝∠4 ∴∠1+∠4＝∠2+∠3　 　 ∴∠2+∠3＝90°（等量代换） 即∠BCF＝90° ∴BC⊥CF　 　． 【答案】ABF，BFE，180°，90°，两直线平行，内错角相等，等式的性质，垂直的定义． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质得到∠ABF+∠BFE=180°．由角平分线的定义得到∠1=∠ABF，∠4=∠BEF，根据平行线的性质得到∠1=∠2，同理，∠3=∠4，根据垂直的定义即可得到结论． 【详解】解：∵AB∥EF（已知） ∴∠ABF+∠BFE＝180°． ∵CB平分∠ABF（已知） ∴∠1＝∠ABF 同理，∠4＝∠BEF ∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝90°． 又∵AB∥CD （已知） ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， 同理，∠3＝∠4 ∴∠1+∠4＝∠2+∠3（等式的性质）， ∴∠2+∠3＝90°（等量代换） 即∠BCF＝90° ∴BC⊥CF（垂直的定义）． 故答案为：ABF，BFE，180°，90°，两直线平行，内错角相等，等式的性质，垂直的定义． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 91．（21-22七年级下·上海·期中）阅读并填空：如图，在△ABC中，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，且DP∥AC，PE∥AB．试说明∠DPE＝∠BAC的理由． 解：因为DP∥AC（已知）， 所以∠　 　＝∠　 　（　 　）． 因为PE∥AB（已知）， 所以∠　 　＝∠　 　（　 　） 所以∠DPE＝∠BAC（等量代换）． 【答案】BDP，BAC，两直线平行，同位角相等；DPE，BDP，两直线平行，内错角相等． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】先根据DP∥AC得出∠BDP=∠BAC，再由PE∥AB得出∠DPE=∠BDP，利用等量代换即可得出结论． 【详解】解：因为DP∥AC（已知）， 所以∠BDP＝∠BAC（两直线平行，同位角相等）． 因为PE∥AB（已知）， 所以∠DPE＝∠BDP（两直线平行，内错角相等）， 所以∠DPE＝∠BAC（等量代换）． 故答案为：BDP，BAC，两直线平行，同位角相等；DPE，BDP，两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 92．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2，请说明：∠A＝∠C． 解：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知） ∴　 　（角平分线的定义） ∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠ADC（　 　） ∴∠3＝∠1 又∵∠1＝∠2（已知） ∴　 　（等量代换） ∴　 　（　 　） ∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠A＝∠C（　 　） 【答案】，等式的性质，∠2＝∠3，AB//CD，内错角相等，两直线平行，等角的补角相等． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】先根据角平分线的定义得出∠3=∠ADC，∠1=∠ABC，再由∠ABC=∠ADC得出∠3=∠1，根据∠1=∠2可得出∠2=∠3，故AB//CD，由平行线的性质可知∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°可得出结论． 【详解】解：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知）， ∴∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC （角平分线的定义）． ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠ADC（等式的性质）， ∴∠3＝∠1， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换 ）， ∴AB//CD（ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补 ）． ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠A＝∠C（等角的补角相等 ）． 故答案为：，等式的性质，∠2＝∠3，AB//CD，内错角相等，两直线平行，等角的补角相等． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的判定与性质是解答此题的关键． 93．（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知∠AED＝∠C，∠1+∠2＝180°．请说明∠BEC＝∠FGC． 解：因为∠AED＝∠C（已知）， 所以　 　　 　（　 　）， 得∠1＝∠3（　 　）． 又∠1+∠2＝180°（已知）， 得∠3+∠2＝180（　 　）． 所以　 　　 　（　 　）． 所以∠BEC＝∠FGC（　 　）． 【答案】DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，等量代换，FG，BE，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，同位角相等． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】由已知角相等，利用同位角相等两直线平行得到DE与BC平行，再由两直线平行内错角相等及等量代换得到同旁内角互补， 【详解】解：因为∠AED＝∠C（已知）， 所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， 得∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）． 又∠1+∠2＝180°（已知）， 得∠3+∠2＝180（等量代换）． 所以FG∥BE （同旁内角互补，两直线平行）． 所以∠BEC＝∠FGC（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，等量代换，FG，BE，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，同位角相等． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 94．（20-21七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，且求的度数． 解：因为（已知） 且（________________） 所以=（________________） 所以∥AB（内错角相等，两直线平行） （请完成以下说理过程） 【答案】平角的定义；同角的补角相等；见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】利用平行线的性质与判定求解即可． 【详解】解：因为（已知） 且（平角的定义） 所以（同角的补角相等） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键． 95．（20-21七年级下·上海·期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为（旋转角，请探究下列问题： (1)如图2，当旋转角满足时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由； (2)如图3，当旋转角满足时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由； (3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)∠BCD=∠ACE，理由见解析； (2)∠BCE-∠ACD=120°，理由见解析； (3)旋转角为60°或240°． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）结合图形，根据等边三角形及各角之间的数量关系即可得出结果； （2）结合图形利用各角之间的数量关系即可得出结果； （3）由平行线的性质进行分类讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：∠BCD=∠ACE，理由如下： ∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∠ACE+∠ACD=∠DCE=60°， ∴∠BCD=∠ACE； （2）∠BCE-∠ACD=120°，理由如下： ∵∠BCE=∠BCA+∠ACD+∠DCE， ∴∠BCE-∠ACD=∠BCA+∠DCE=120°； （3）∵DE∥BC， ∴①∠BCD=∠D=60°，边CD与边AC重合， 旋转角α=60°； ∴②∠BCD+∠D=180°， 旋转角α=180°+60°=240°， ∴当DE∥BC时，旋转角为60°或240°． 【点睛】题目主要考查角度之间的计算、平行线的性质等，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 96．（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，已知点D、E、F分别在ABC的边AB、AC、BC上，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，请说明∠DEC+∠C= 180°的理由 【答案】理由见详解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】由题意直接根据平行线的判定定理以及平行线的性质进行分析证明即可． 【详解】解：因为∠1+∠2=180º（已知） ∠2+∠DGE=180º（邻补角的意义） 所以∠1=∠DGE（同角的补角相等） 所以ABEG（内错角相等，两直线平行） 所以∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等） 因为∠3=∠B（已知 ） 所以∠B =∠ADE（等量代换） 所以DEBC（同位角相等，两直线平行） 所以∠DEC+∠C=180º（两直线平行，同旁内角互补） 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 97．（23-24七年级下·上海·期中）已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 【答案】(1) (2)秒或秒或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质和一元一次方程的解法，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． （1）求出旋转秒时，，，过作，根据平行线的性质求得，，进而得结论； （2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 【详解】（1）解：当旋转时间秒时，由已知得：，，如图1， 过作，则， ，， ， ， 故答案为：； （2）①设射线旋转的时间为秒； 第一次平行时，如图2， 则，， ，， ， 即， 解得：秒； ②第二次平行时，如图3，则，， ，， ， 即， 解得：秒； ③第三次平行时，如图4，则，， ，， ， 即， 解得：秒； 故答案为：15秒或63秒或135． 98．（20-21七年级下·上海静安·期中）“光线”，即光，光直行，就一点视之，则放射如线，故云． (1)光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线CD，根据光学知识有，，请判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．    (2)结合光线、舞美等效果可以打造不一样的视觉体验，如图2，直线E上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点A．点C以/秒和/秒的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t，若不存在，请说明理由．    【答案】(1)，理由见详解 (2)存在，为秒或秒时与平行，理由见详解 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、内错角相等两直线平行、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）如图可得，，可证，即可得证； （2）①、在的两侧时，可求，，由，即可求解；②、都在的右侧时，可求， 由，即可求解；③、都在的左侧时，可求，，由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，    由图的：， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：存在， ①如图，、在的两侧时，   ，， ， ， 要使，则需满足： ， ， 解得：， ， ， 故符合题意； ②如图，、都在的右侧时，   ，， ， ， 要使，则需满足： ， ， 解得：， ， ， 故符合题意； ③如图，、都在的左侧时，   ，， ， ， 要使，则需满足： ， ， 解得：， 而此时， 故此情况不存在； 综上所述：为秒或秒时与平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，掌握判定方法及性质是解题的关键． 99．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）将两块直角三角板(即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点O按图1方式叠放在一起．绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒，若旋转时间为t秒，请回答下列问题∶    (1)当时，直线与的位置关系是_______当时，（如图2及其简化图），的度数为________（用含的代数式表示） (2)当边时，t的值是_______． (3)当边时，求t的值． 【答案】(1)垂直，； (2)或； (3)为秒或秒． 【知识点】根据旋转的性质求解、根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】（1）求得的度数，即可求解； （2）分两种情况，利用平行线的性质，求出旋转角，即可求解； （3）分两种情况，利用平行线的性质，求出旋转角，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∴ 当时，，则 故答案为：垂直，； （2）如图3-1中，时，    ∴ ∴ ∴（秒）； 如图3-2中，当时    ∴ ∵ ∴ ∴（秒） 综上，满足条件的为秒或秒； 故答案为：或； （3）如图4-1中，当时，延长交于点，    ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（秒）； 如图4-2中，当时，设交于点，    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴（秒） 综上，满足条件的为秒或秒 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，与三角板有关的计算，解题的关键是掌握有关性质，学会利用分类讨论的思想求解问题． 100．（21-22七年级下·上海杨浦·期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． (1)如图，平分，若，求的度数． (2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)或，证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）首先作，根据平行线的性质，推得；然后根据，推得，据此求出的度数即可． （2）①首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可． ②首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可． 【详解】（1）解：如图，作， ， ，， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：①如图， ， ，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． ②如图， ， ，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 综上，可得 当在直线上运动（不与点重合）时，或． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$