精品解析：山西省大同市阳高县第四中学校2024-2025学年高一3月月考数学试题

阳高四中2024—2025学年第二学期高一三月月考 数学试卷 本试卷共4 页 满分：150分 考试用时：120分钟 一 、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若O,A,B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 A. B. C. D. 2. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 3 已知向量，若，则实数（ ） A 1 B. C. D. 4. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. ABC是锐角三角形 B. ABC是直角三角形 C. ABC是钝角三角形 D. ABC的形状不确定 6. 向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7. 在中，，则角（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ） A 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法错误的是（ ） A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则不是共线向量 D. 若，则一定存在实数，使得 10. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. 当时，，可以作为基底， B. 若与的夹角为，则或9 C. 若，则 D. 若，则 11. 的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 角A的最大值为 D. 面积的最小值为 三、填空题:本题包括3小题，每小题5分，共15分. 12. 河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_______m/s． 13. 若单位向量，满足，则向量与的夹角为______． 14. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 四 、解答题:本题包括5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 在中角、、所对边、、满足，，，求的值. 16. 已知向量，． （1）求的坐标及； （2）若与共线，求实数的值． 17. 已知向量，满足，，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数的值； 18. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 19. △ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的周长的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阳高四中2024—2025学年第二学期高一三月月考 数学试卷 本试卷共4 页 满分：150分 考试用时：120分钟 一 、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若O,A,B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的线性运算求解判断即可. 【详解】由平面向量的线性运算可知, . 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量的减法运算,属于基础题型. 2. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解； 【详解】解：向量，， ， 解得， 故选：D 4. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案. 【详解】 因为，所以 由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：A. 5. 在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. ABC是锐角三角形 B. ABC是直角三角形 C. ABC是钝角三角形 D. ABC的形状不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理判断. 【详解】解：因为， 所以， 所以角是钝角， 所以 ABC是钝角三角形， 故选：C 6. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义求在方向上的投影向量. 【详解】因为，，则， 所以在方向上投影向量为． 故选：C 7. 在中，，则角（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理变形求解即得. 【详解】由正弦定理，，则，因，则或，因，故,即两解均符合题意. 故选：D. 8. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得的三个角的大小及边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】解：如图，作出，由题意可知， 海里，，则， 因为， 所以海里， 即B，C两点间的距离是海里. 故选：C. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法错误的是（ ） A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则不是共线向量 D. 若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由方向可判断A，由相等向量概念可判断B，由共线向量的概念可判断C，由且时，可判断D； 【详解】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 10. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. 当时，，可以作为基底， B. 若与的夹角为，则或9 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件可得，证明向量，共线，结合基底的定义判断A，结合向量夹角公式列方程求，判断B，根据向量垂直的坐标表示列方程求，判断C，结合向量线性运算坐标公式求，根据向量模的坐标公式列方程求，判断D. 【详解】对于A，由，可得，所以， 所以，故，不能作为基底，A错误； 对于B，， ，或， 经检验，都满足方程，故B正确 对于C，若，则，，故C正确； 对于D，， ，.， 解得或， 经检验可得或都是方程的解，故D错误； 故选：BC 11. 的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 角A最大值为 D. 面积的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由平面向量的数量积计算可得A，由余弦定理可得B，由基本不等式及余弦定理可判断C，结合条件可得，由项判定的范围即可. 【详解】由，故A正确； 由余弦定理结合A项可得，故B正确； 由上结合基本不等式及余弦定理有 故，而，单调递减，所以由， 当且仅当时取得最大值，故C正确； 由上可得，又，所以，故D错误. 故选：ABC 三、填空题:本题包括3小题，每小题5分，共15分. 12. 河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_______m/s． 【答案】 【解析】 【分析】“垂直于河岸方向10m/s的速度”是实际的速度，在数学中相当是和向量．“河水的流速为2m/s”是其中一个分向量，静水速度是另一个分向量．即10是和向量，是对角线，另外两个分向量是平行四边形的边长为2的边与对角线垂直，求另一边就是本题的静水速度． 【详解】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向， 河水速度v2=2m/s平行于河岸； 静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸． ∴静水速度v1=m/s． 故答案为． 【点睛】本题考查小船静水速度的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的加法法则的合理运用． 13. 若单位向量，满足，则向量与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可得，即可求解. 【详解】由可得， 故，故， 由于，故， 故答案为：. 14. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 四 、解答题:本题包括5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 在中角、、所对边、、满足，，，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合余弦定理化角为边，解方程可求结论. 【详解】由得， 所以， 所以， 又，， 所以， 所以或（舍） 16. 已知向量，． （1）求的坐标及； （2）若与共线，求实数的值． 【答案】（1） （2）1或 【解析】 【分析】（1）由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解. （2）由向量平行的充要条件列出方程即可得解. 【小问1详解】 由题意，，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意与平行， 所以当且仅当，化简得， 解得，即实数的值为1或-1. 17. 已知向量，满足，，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数的值； 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义以及运算律即可求解. （2）由数量积的定义以及运算律即可列方程求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因，所以， 即， 也即， 所以，解得. 18. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，结合三点共线可得，列方程组求参数即可； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可； （3）根据平行四边形中的坐标表示列方程组求解即可. 小问1详解】 因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在实数使得，即， 又因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 若，，则. 【小问3详解】 由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得， 设，则，由（2）得， 所以，解得， 所以. 19. △ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的周长的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边及余弦定理即可求解； （2）由数量积可求出，结合（1）可求出，进而可知△ABC的周长. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 因为，所以，即，所以， 由（1）知，所以 又，所以，解得， 所以△ABC的周长为， 所以△ABC的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$