专题01 直角三角形（考点清单，知识导图+4个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（湘教版）

清单01 直角三角形（4个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 1.直角三角形的两个锐角互余。 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30° 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 清单02 直角三角形的性质和判定（II） 1.勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 2.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 3.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 清单03 直角三角形全等的判定 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).清单04 角平分线的性质 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 【考点题型一】利用直角三角形的性质（Ⅰ）计算（） 【例1】如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，，是的一条高线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（　　）    A． B． C． D． 【变式1-2】直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是 ． 【变式1-3】.如图，在中， ， ， 于点 ， 若 ，求的长． 【考点题型二】利用直角三角形的性质（Ⅰ）证明（） 【例2】已知：如图，在中，，是上的一点，延长到，连接交边于，使得．求证：是等腰三角形． 【变式2-1】如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【变式2-2】在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． (1)如图，若，，求的度数； (2)试探求与的数量关系； (3)如图，若平分，于点，求证：． 【考点题型三】用勾股定理解三角形（） 【例3】如图有一个，其中的长为15厘米，以为边向外做正方形，如果正方形的面积为64平方厘米，则的长为 厘米． 【变式3-1】．如图，在中，，，，，求的长． 【变式3-2】如图，在中，，垂足为． (1)若记为，为，直接写出___________； (2)若，，求的长度． 【考点题型四】勾股定理与网格问题（） 【例4】如图，在边长为的小正方形网格中，位置如图所示，则点到线段的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在的网格中，有一个格点，若每个小正方形的边长为1，则的边上的高为（　　） A． B． C． D．1 【变式4-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，求证：． 【变式4-3】如图，在由边长为的小正方形组成的的网格中，四边形的顶点均在格点上． (1)通过计算判断的形状； (2)求点到的距离． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题（） 【例5】如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，，，为线段上的一个动点，为边上的一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】.如图，已知中，，，．将沿折叠，使点A与点B重合，连接．则的周长 ． 【变式5-3】.如图，在中，，．沿直线将三角形折叠，使点A落在边上的点处；再将三角形沿直线折叠，使点与点重合，若折痕与相交于点，，求的长． 【变式5-4】.在中，，点D是线段上的一动点（不含点C），连接，将沿翻折．点C的对应点为E． (1)如图1．当点E在边上时，求线段的长； (2)在右侧取点F，使，且，连接，交于点H． ①如图2，当时，求证：； ②当为等腰三角形时，求线段的长． 【考点题型六】勾股定理的证明方法（） 【例6】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图②是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； (2)用这个图形证明勾股定理． 【变式6-2】综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【变式6-3】在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论． 【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理； （2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证； 【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接． ①当点D在线段上运动，且时，求的长； ②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【考点题型七】勾股定理的应用（） 【例7】古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】箭袋，即“箭壶”，是用于携带箭矢的容器，其由来可以追溯到石器时代，现有一圆柱形箭袋，其内部底面直径是，内壁高，若箭，则箭在箭袋外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的距离为， (1)求梯子顶端B与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的底端B也向后滑动吗？请通过计算解答． 【变式7-3】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【变式7-4】如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【变式7-5】如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且． (1)求A，B两村之间的距离． (2)求点C到直线l的距离． (3)为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【变式7-6】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【变式7-7】某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【变式7-8】如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【变式7-9】如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【考点题型八】利用勾股定理的逆定理求解（） 【例8】如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 【变式8-1】.如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式8-2】.如图，在中，，点，分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)求证：是等腰三角形． 【变式8-3】．如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点D，使边的长为，求菜园的面积大了多少． 【考点题型九】勾股定理逆定理的拓展问题（） 【例9】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【变式9-1】.在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式9-2】.定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【变式9-3】.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【考点题型十】求最短路径（） 【例10】如图，正方体的棱长长为，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【变式10-2】如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【变式10-4】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【考点题型十一】直角三角形全等的判定（） 【例11】已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．① D．①②③ 【变式11-1】.小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【变式11-2】.如图，在中，，，为边延长线上的一点，点在上，且．求证：． 【变式11-3】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【考点题型十二】直角三角形全等的综合运用（） 【例12】在中，，分别是边，边上的点，作于点，于点，连接，若，． (1)求证：； (2)若，的面积为6，求的面积． 【变式12-1】.如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【变式12-2】如图，已知，，．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合． 【变式12-3】如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在 ； 中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 【考点题型十三】利用角平分线的性质求解（） 【例13】如图，四边形中，，，，若平分，则与之间的距离是 ． 【变式13-1】如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为 ． 【变式13-2】.在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 【变式13-3】河南省邓州市腰店镇把雨伞产业作为乡村振兴主导产业，着力打造“雨伞小镇”，让一把小雨伞成为撑起群众美好生活的“幸福伞”．如图是一把纸伞及其示意图，伞不管是张开还是收拢，伞骨，伞圈能沿着伞柄上下滑动． (1)求证：平分． (2)当伞完全张开时，当伞完全收拢时，滑到，求伞从完全张开到收拢伞圈滑过的距离． 【考点题型十四】 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用（） 【例14】如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：①是的平分线；②；③判定的依据是“”；④．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式14-1】.如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    【变式14-2】.如图：，，，， (1)图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【变式14-3】.如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 【变式14-4】已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 【考点题型十五】与直角三角形有关的新定义问题（） 【例15】【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，则”． 【材料2】定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为_______； (2)如图2，已知，分别以，为边向外作等边与等边，线段、交于点P，连接AP，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【变式15-1】.过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”． (1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是__________（只填写序号）； ①直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形 (2)如图，在中，，，过点作射线，若为的“友好分割线”，求的度数； (3)如图，中，为边上的高，，，，为的中点，过点作直线交边于点，作，，垂足为．若射线为的“友好分割线”，求的最大值． 【变式15-2】问题背景：如图1，在和中，，当时，我们称 和互为“M三角形”，的边上的高叫做的“M高”，点A叫做“M中心”． (1)特例研究：在图2中，和互为“M三角形”， 是的“M高”．当时，写出与之间的数量关系，并给出证明． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给出证明． (3)迁移应用：如图3，在四边形中，， ，四边形的内部是否存在点P，使得与互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 直角三角形（4个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 1.直角三角形的两个锐角互余。 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30° 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 清单02 直角三角形的性质和判定（II） 1.勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 2.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 3.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 清单03 直角三角形全等的判定 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).清单04 角平分线的性质 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 【考点题型一】利用直角三角形的性质（Ⅰ）计算（） 【例1】如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，求出的长是解题的关键．给图形注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图，根据题意得：，， ， ， ， 即这棵树在折断前的高度是6米． 故选：． 【变式1-1】如图，在中，，，是的一条高线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解题的关键是掌握相关知识．作关于的对称点，过作于，交于，则的长度即为的最小值，根据直角三角形的性质得到，根据已知条件得到，推出，于是得到． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过作于，交于，   ， 的长度即为的最小值， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 故选：C． 【变式1-2】直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，熟练掌握互余的概念是解决问题的关键． 根据直角三角形两个锐角互余可知另一个锐角为即可 【详解】解：直角三角形两个锐角互余， 当直角三角形的一个锐角是时，则它的另一个锐角是， 故答案为： 【变式1-3】.如图，在中， ， ， 于点 ， 若 ，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 先后利用直角三角形的性质求出和长即可． 【详解】解： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型二】利用直角三角形的性质（Ⅰ）证明（） 【例2】已知：如图，在中，，是上的一点，延长到，连接交边于，使得．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，由条件可得到，，可得到，继而推出，即可得证．掌握等角对等边是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式2-1】如图，点分别在上，连接，于点，．    (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角相等是解题的关键； （1）根据垂直的定义和直角三角形特征可得，再通过等量代换即可求出； （2）根据同角的余角相等可得，再通过等量代换可得，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-2】在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． (1)如图，若，，求的度数； (2)试探求与的数量关系； (3)如图，若平分，于点，求证：． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和，三角形的外角，等边对等角，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理以及三角形的外角，角的和差关系进行求解即可； （）在中，设，，则，结合，则，，又，则，最后由三角形外角性质和角度和差即可求解； （）由，则，设，则，又平分，所以，然后求出，则，最后由含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与的数量关系是：， 理由如下：在中，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【考点题型三】用勾股定理解三角形（） 【例3】如图有一个，其中的长为15厘米，以为边向外做正方形，如果正方形的面积为64平方厘米，则的长为 厘米． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出正方形的边长，得出厘米，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：正方形的面积为64平方厘米， 正方形的边长为（厘米）， （厘米）， 在中，（厘米）， 的长为17厘米． 故答案为：17． 【变式3-1】．如图，在中，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键．由三角形内角和定理得到，则，再根据三角形外角的性质，得出，从而得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【变式3-2】如图，在中，，垂足为． (1)若记为，为，直接写出___________； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用勾股定理求出，再利用三角形的面积即可求解； （）由已知可得，再分别在、和中利用勾股定理可得，据此即可求解； 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， 在中，，即， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得． 【考点题型四】勾股定理与网格问题（） 【例4】如图，在边长为的小正方形网格中，位置如图所示，则点到线段的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题以网格背景考查勾股定理、三角形面积计算公式．求出的面积、边的长，再利用三角形面积公式列方程求解即可．熟练利用面积法是解题的关键． 【详解】解：设点到线段的距离等于， ∵小正方形的边长为 ∴， ， ∵，即， ∴， ∴点到线段的距离为． 故选：D． 【变式4-1】如图，在的网格中，有一个格点，若每个小正方形的边长为1，则的边上的高为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理与网格问题是解题的关键． 由勾股定理可得，由图可知边上的高，再结合边上的高，可得边上的高，于是得解． 【详解】解：由勾股定理可得： ， 由图可知： 边上的高， 又边上的高， 边上的高， 故选：． 【变式4-2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，关键是判定三角形全等的条件时，计算三组边对应相等时不要出错．根据网格图中，每个小正方形的边长为1，得到两个三角形的每条边长，从而得到两三角形对应边相等，得到两三角形全等，根据全等三角形的性质，对应角相等，即可得到结果． 【详解】证明：如图，每个小正方形的边长均为1， 在和中， ∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，在由边长为的小正方形组成的的网格中，四边形的顶点均在格点上． (1)通过计算判断的形状； (2)求点到的距离． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理以及等面积法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得，，， ， ，即是直角三角形； （2）解：设点到的距离为， 则， ，即， 点到的距离为． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题（） 【例5】如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， ∵将沿折叠，点B落在处，与交于E， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 【变式5-1】如图，在中，，，为线段上的一个动点，为边上的一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．由翻折得，，推出是等腰直角三角形，求得，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折得，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 解得， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-2】.如图，已知中，，，．将沿折叠，使点A与点B重合，连接．则的周长 ． 【答案】/ 【分析】设，利用勾股定理可得，可得，结合折叠的性质可说明、是等边三角形，可得，根据所对的直角边等于斜边的一半可得，从而求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，使点与点重合， ∴垂直平分， 设，则：， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴的周长为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质．根据题意灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式5-3】.如图，在中，，．沿直线将三角形折叠，使点A落在边上的点处；再将三角形沿直线折叠，使点与点重合，若折痕与相交于点，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的折叠问题和勾股定理，求出是直角三角形是解题的关键．根据折叠的性质，可知，，，，利用三角形内角和等于，得到，从而可以在中利用勾股定理求出的长，进而求出答案． 【详解】解：由折叠可知，，，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ． 【变式5-4】.在中，，点D是线段上的一动点（不含点C），连接，将沿翻折．点C的对应点为E． (1)如图1．当点E在边上时，求线段的长； (2)在右侧取点F，使，且，连接，交于点H． ①如图2，当时，求证：； ②当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或 【分析】（1）利用勾股定理求出，再由翻折变换的性质即可求得答案； （2）①由翻折得，再证得，可得，即可证得结论； ②根据点D是线段上的一动点(不含点C)，可得，分两种情况：当时，当时，分别求得线段的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由翻折得： ∴当点E在边上时，； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由上知：， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当时，过点F作于点G，过点E作于点K，过点F作于点M，连接，交于点L， 同上可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折知：垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ∵， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得； 当时，过点F作于点G， ∵， ∴， ∴当时， ∴， ∴点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点重合，如图： ∴， ∴点共线， 由翻折得：， ∴此时， ∴ 此时， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 综上：当为等腰三角形时，线段的长为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难度较大，解题的关键在于把握折叠的不变性和全等三角形的运用． 【考点题型六】勾股定理的证明方法（） 【例6】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 【变式6-1】如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图②是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； (2)用这个图形证明勾股定理． 【答案】(1)见解析，梯形 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理． （1）由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为； （2）此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理 【详解】（1）解：如图所示，是梯形； （2）证明：由图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积 从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即， ∴ 整理得：． 【变式6-2】综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【答案】(1)见解析； (2)； (3)①②． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是： （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 【变式6-3】在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论． 【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理； （2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证； 【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接． ①当点D在线段上运动，且时，求的长； ②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）①；②的长为或6 【分析】本题考查勾股定理的证明，以及勾股定理的灵活运用，解答时涉及列代数式，等式变形，熟练运用数形结合思想，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）将正方形的面积表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即可用含a、b、c的代数式表示出大正方形的面积；根据同一个图形用不同方法表示出其面积，面积不变即可得到等式； （2）梯形的面积为，也可表示为，可得，再化解即可； （3）①在中，由勾股定理得．再由，可得．在中，由勾股定理得； ②分为当点D在线段上，且点恰好落在射线上，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上，这两种情况结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）图2中大正方形的面积为，也可用几个三角形和正方形的面积表示为, 故答案为：；； （2）验证：∵梯形的面积为，也可表示为， ∴， 整理得； （3）①在中，由勾股定理得． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得； ②如图，当点D在线段上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴，． 设， ∴． 在中，， 即， ∴， 即的长为； 如图2，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴． 设， ∴． 在中，， 即， ∴，即的长为6． 综上，的长为或6 【考点题型七】勾股定理的应用（） 【例7】古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形”是解决此题的关键，设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 故选：C ． 【变式7-1】箭袋，即“箭壶”，是用于携带箭矢的容器，其由来可以追溯到石器时代，现有一圆柱形箭袋，其内部底面直径是，内壁高，若箭，则箭在箭袋外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意求出箭在箭袋外面部分的长度范围是解题关键．根据箭在箭袋内竖直放置和倾斜放置，分别求出箭在箭袋外面部分的长度，即可得到答案． 【详解】解：当箭在箭袋内竖直放置时，箭在箭袋外面部分的长度为 当箭在箭袋内倾斜放置时，箭在箭袋外面部分的长度为， 所以箭在箭袋外面部分的长度在之间， 则箭在箭袋外面部分的长度可能是， 故选：C． 【变式7-2】如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的距离为， (1)求梯子顶端B与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的底端B也向后滑动吗？请通过计算解答． 【答案】(1)； (2)否，向后滑动． 【分析】本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意直接利用勾股定理求解即可； （2）由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中， （2）解：在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的底端B不是向后滑动． 【变式7-3】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1)米 (2)小明需要后退约米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过作于点，则四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． （2）解：过作于点，则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， 答：小明需后退． 【变式7-4】如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【变式7-5】如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且． (1)求A，B两村之间的距离． (2)求点C到直线l的距离． (3)为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】(1)A，B两村之间的距离为米 (2)720米 (3)公路有危险而需要封锁，需要封锁的路段长度为米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由勾股定理即可求解； （2）过C作于D．先用等积法求出； （3）比较得到结论：段公路需要封锁．以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度． 【详解】（1）解：在中，米，米， （米）． 答：A，B两村之间的距离为米； （2）如图，过C作于D． ， （米）． （3）公路有危险而需要封锁．理由如下： 由于米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． 以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，， 米， （米），是等腰三角形， （米）， 则需要封锁的路段长度为米． 【变式7-6】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 【变式7-7】某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 【变式7-8】如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 【变式7-9】如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 答：监测点与监测点之间的距离为； （2）解：海港受台风影响， 理由：，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响， 以为圆心，长为半径画弧，交于，， 则时，正好影响港口， 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【考点题型八】利用勾股定理的逆定理求解（） 【例8】如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积． 【详解】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 【变式8-1】.如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，连接， 由勾股定理求得的值，再证明为直角三角形，得到，最后根据代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴为直角三角形， ∵，，， 根据勾股定理得：， 又∵，， ∴，， ， 为直角三角形， ， ∴． 【变式8-2】.如图，在中，，点，分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）利用等腰三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等进行证明即可． 【详解】（1）证明：， ． 是直角三角形，． ． （2）， ． ， ． ． ， ． ． 是等腰三角形． 【变式8-3】．如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点D，使边的长为，求菜园的面积大了多少． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2)菜园的面积扩大了 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，得出是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理可得，进而求出的差值即可． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： ，，， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， 即菜园的面积扩大了． 【考点题型九】勾股定理逆定理的拓展问题（） 【例9】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 【变式9-1】.在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【变式9-2】.定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 【变式9-3】.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 【考点题型十】求最短路径（） 【例10】如图，正方体的棱长长为，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用勾股定理计算得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 它爬行最短路程是， 故选：C． 【变式10-1】如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：A． 【变式10-2】如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体截面图、垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先分析出将裁剪后的几何体表面展开，可得是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点，易得当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短，且垂直平分线，利用勾股定理和直角三角形的性质解得，的值，即可获得答案． 【详解】解：将裁剪后的几何体表面展开，得到如图所示的图形（部分），是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点， 当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短， 此时，， ∴垂直平分线， 在中，， ∴，， 在 中，， ∴从顶点爬行到顶点的最短距离为． 故选：D． 【变式10-3】.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 【变式10-4】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2)绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握最短路的计算，勾股定理的计算方法是关键． （1）根据题意可得圆柱底面圆的周长为，由展开图可得即为最短路径，由勾股定理即可求解； （2）根据题意得到四边形是矩形，如图所示，过点作，四边形，是矩形，则，，设，则，在中由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：圆柱的底面半径为， ∴圆柱底面圆的周长为， 如图所示，即为最短路径，，， ∴， ∴最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示，过点作， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴绳索的长为． 【考点题型十一】直角三角形全等的判定（） 【例11】已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．① D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理 ；解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 利用定理得出，进而判断①成立；根据平行线的性质再结合三角形内角和及、与、的关系，判断②成立；根据已知条件，无法通过三角形全等判定方法得出与相关的三角形全等，判断③不成立． 【详解】∵于M， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴． ∵， ∴．，，． 在中，， ∴，结论②正确． ∵， ∴． ， 但无法判定，进而不能确定．结论③错误； 综上，正确的结论是①②， 故选A． 【变式11-1】.小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 【变式11-2】.如图，在中，，，为边延长线上的一点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意得到，，即可证明． 【详解】证明： ，为边延长线上的一点， ， ， ． 在和中，， ． 【变式11-3】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【考点题型十二】直角三角形全等的综合运用（） 【例12】在中，，分别是边，边上的点，作于点，于点，连接，若，． (1)求证：； (2)若，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到，然后证明，即可得到； （2）根据题意得到为的中线，推出，然后得到，求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ， ， ； （2）解：， 为等腰三角形， 由（1）知， ∴， 即为的平分线， 为的中线， ， 在中 ， ， ∵，， ， ， 为中线， ， 的面积为． 【变式12-1】.如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，由推出，再利用证明全等即可，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【变式12-2】如图，已知，，．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路径问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明即可； （）由，则，又，然后根据等腰三角形的性质即可求解； （） 延长交于点，由（）知，，，则，则，此时的值最小，再由点是直线上的动点，可得当的值最小时，点与点重合． 【详解】（1）证明: ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）证明： 延长交于点，    由（）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此时的值最小， ∵点是直线上的动点， ∴当的值最小时，点与点重合． 【变式12-3】如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在 ； 中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 【答案】(1)四边形的面积为； (2)选择作为条件，作为结论，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于，则，根据等腰三角形的性质得，然后证明，故有的面积的面积，从而，再求出的面积即可求解； （）分选择作为条件，作为结论和选择作为条件，作为结论，通过全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵的面积， ∴四边形的面积； （2）解：）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十三】利用角平分线的性质求解（） 【例13】如图，四边形中，，，，若平分，则与之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的定义和平行线的性质可推出，进而得到为等边三角形，然后利用三线合一以及勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 与之间的距离为． 故答案为：． 【变式13-1】如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了角平分线的性质，由角平分线的性质可知，根据线段的和差得出，熟记“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的关键． 【详解】解：平分，，， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【变式13-2】.在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是角平分线的判定、直角三角形的性质，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，，， ∴． 【变式13-3】河南省邓州市腰店镇把雨伞产业作为乡村振兴主导产业，着力打造“雨伞小镇”，让一把小雨伞成为撑起群众美好生活的“幸福伞”．如图是一把纸伞及其示意图，伞不管是张开还是收拢，伞骨，伞圈能沿着伞柄上下滑动． (1)求证：平分． (2)当伞完全张开时，当伞完全收拢时，滑到，求伞从完全张开到收拢伞圈滑过的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等边三角形三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用证明，得到，即可得到结论； （2）由角平分线的性质得到，可证明为等边三角形，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ， 平分； （2）解：，， ， ， 为等边三角形， ，    如图，当伞完全收拢时，点在上， 伞完全张开时， 点在伞完全张开时点位置， 点滑到点时，伞圈滑过的距离． 【考点题型十四】 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用（） 【例14】如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：①是的平分线；②；③判定的依据是“”；④．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了角的平分线的基本作图，三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握上述相关的知识是解题的关键． 根据作图判定是的平分线，结合，得到，，根据三角形外角性质可得；根据作图可知：的依据是“”；根据角平分线性质可得出边上任意一点到边和边上的距离都相等，结合三角形面积公式可得． 【详解】解：根据作图判定是的平分线，故①正确； 因为， 所以， 所以， 所以，故②正确； 根据作图可知：，， 因为， 所以，故③错误； 根据角平分线的性质可知：边上任意一点到边和边上的距离都相等， 所以与面积的比等于与的比． 因为，， 所以， 所以 所以，故④正确； 综上分析可知：正确的有3个． 故选：B． 【变式14-1】.如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．先根据角平分线的性质得，，进而可知，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵，分别为的两个外角平分线，，，， ∴，， ， 又∵，， 点在的平分线上． 【变式14-2】.如图：，，，， (1)图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）令与的交点为G，证明，得到，进而得出，即可得到结论； （2）过点作于点，于点，证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 令与的交点为G，如图， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【变式14-3】.如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，理由见解析；②证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，于点，根据等腰三角形的三线合一得，即可得出结论； （2）①证明，即可得出答案； ②过点H作于点J，于点K，证明，得到，再根据，利用角平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵于点M， ∴， ∴垂直平分； （2）解：①解：，理由如下： ∵， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴； ②证明：过点H作于点J，于点K， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【变式14-4】已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． （1）证明，即可解决问题； （2）要向证明是角平分线，就要想到用角平分线的判定，合理作出辅助线，进而证明即可； 【详解】（1）解：    ， 在与中， ， ； （2）解：过作，垂足分别为、 为的中点，， ， ， 又， ， 在与中， ， ， 又， ∴ 平分． 【考点题型十五】与直角三角形有关的新定义问题（） 【例15】【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，则”． 【材料2】定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为_______； (2)如图2，已知，分别以，为边向外作等边与等边，线段、交于点P，连接AP，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9； (2)见解析； (3)能，理由见解析． 【分析】本题是三角形综合题，考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据AAS证明得，从而点是三边垂直平分线的交点，延长AO交BC于点，根据角的性质求出即可求解； （2）作于于，设与交点为．根据SAS证明得，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以，为边向外作等边与等边，线段，交于一点，该点即为所求的点，证明，得，，从而可判断当D，K，Q，C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【详解】（1）是等边三角形， ， ． 点是等边的费马点， ， ， 同理可得 点是三边垂直平分线的交点， 延长交于点，如图1， ． ， ． ， ， 故答案为：9； （2）如图2，作于于，设与交点为． 与都是等边三角形 ． 又 ， ， ， ， 平分． 点是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站的位置． 证明如下：如图3，设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，． 与都是等边三角形 ． 当四点共线时，为最小值， 又， 这时． ， 点是的费马点 即当点是的费马点时，的值最小． 【变式15-1】.过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”． (1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是__________（只填写序号）； ①直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形 (2)如图，在中，，，过点作射线，若为的“友好分割线”，求的度数； (3)如图，中，为边上的高，，，，为的中点，过点作直线交边于点，作，，垂足为．若射线为的“友好分割线”，求的最大值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（）根据“友好分割线”的定义判断即可； （）分三种情形：①当时；②当时；③当时，分别画出图形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可求解； （）作于点，由“友好分割线”的定义可得，即得，再证明，推出，根据垂线段最短可得，，推出，即，据此即可求解． 【详解】（1）解：当三角形是直角三角形时，如图，，点为斜边的中点， 由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，, ∴和为等腰三角形， 即射线为直角的“友好分割线”， ∴直角三角形存在“友好分割线”，不合题意； 当三角形为顶角为的等腰三角形时，如图，存在“友好分割线”，不合题意； 当三角形为顶角为等边三角形,不存在“友好分割线”； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ③当时，， ∴； 综上，当为的“友好分割线”时，的度数为或或； （3）解：如图，作于点， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴不是等腰三角形， ∵为 的“友好分割线”， ∴和中至少有一个是等腰三角形， ∴是等腰三角形，且， ∵， ∴， ∵于， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴，， ∴， 即， ∴ ， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式15-2】问题背景：如图1，在和中，，当时，我们称 和互为“M三角形”，的边上的高叫做的“M高”，点A叫做“M中心”． (1)特例研究：在图2中，和互为“M三角形”， 是的“M高”．当时，写出与之间的数量关系，并给出证明． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给出证明． (3)迁移应用：如图3，在四边形中，， ，四边形的内部是否存在点P，使得与互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)存在，见解析， 【分析】（1）根据定义可得，，则 可证明，得到，再证明都是等腰直角三角形，得到，则； （2）过点A作于点F，由定义可得，，由三线合一定理可得，，则，据此证明，得到，则； （3）连接，作的垂直平分线交于点P，连接，证明，得到，，再证明为等边三角形，得到，，进一步证明为等边三角形，得到，，则，即可得到与互为“M三角形”过点P作于点H，则为的“M高”，在中，，则． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵和互为“M三角形”， ∴，， ∴， ∴， 又∵为的高，为等腰直角三角形， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 过点A作于点F， ∵和互为“M三角形”， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，作的垂直平分线交于点P，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵（线段垂直平分线的性质） ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴与互为“M三角形” 过点P作于点H，则为的“M高”， 在中，， ∴； ∴存在点P，使得与互为“M三角形”，此时的“M高”的长为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确理解“M三角形”的定义是解题的关键. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$