专题01 直角三角形（考题猜想，16大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（湘教版）

专题01 直角三角形（16大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用直角三角形的性质证明 · 题型二 构造含30°角的直角三角形并进行计算（易错） · 题型三 利用含30°角的直角三角形的性质进行证明 · 题型四 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 · 题型五 以弦图为背景的计算题（高频） · 题型六 勾股定理在非直角三角形中的应用 · 题型七 勾股定理在折叠中的应用（难点） · 题型八 勾股定理在最短路径问题中的应用（难点） · 题型九 勾股定理的应用（重点） · 题型十 勾股定理的证明 · 题型十一 利用勾股定理证明线段关系 · 题型十二 直角三角形全等的判定（高频） · 题型十三 直角三角形全等的综合运用（难点） · 题型十四 利用角平分线的性质求线段长 · 题型十五 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用（重点） · 题型十六 角平分线的实际运用 题型一 利用直角三角形的性质证明 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：平分． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知：在中，，． (1)如图1，是的中线． ①的面积是 ； ②已知：，交于点，，连接，求证：； (2)如图2，点为线段延长线上一点，过点作，过点作的垂线交于点，线段的延长线与线段的延长线交于点，是否存在点，使，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）小茗同学发现一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形．小茗把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图所示的“手拉手”图形中，和均为等腰直角三角形，，，，点在同一直线上，连接，为中边上的高． (1)求证：； (2)求的度数； (3)直接写出和之间的数量关系． 4．（22-23八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在中，，，E是的中点，求证：．    题型二 构造含 30°角的直角三角形并进行计算 5．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）在中，，，求的长度． 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，，是高，，求的长． 7．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积． 题型三 利用含 30°角的直角三角形的性质进行证明 8．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．利用上述结论解答下列问题：    (1)在直角中，，若，则　　　； (2)在直角中，，若D是的中点，连接，求证：． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 题型四 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 ． 12．（23-24九年级下·湖南永州·期中）如图，为了测量某大树的高度，现选取两个测量点A和B（点A，B，C在一条水平直线上），测得，．如果测得A，B两点的距离为m，那么大树高 ．    题型五 以弦图为背景的计算题 13．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 14．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 15．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么的值是 ． 题型六 勾股定理在非直角三角形中的应用 16．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 17．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）已知： 如图， 四边形中， 求四边形 的面积． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？ 题型七 勾股定理在折叠中的应用 19．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 20．（22-23八年级下·湖南常德·期中）如图，已知长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为 ．      21．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处． (1)试判断线段与的关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：． 题型八 勾股定理在最短路径问题中的应用 22．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ． 23．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，点是正方体的一个顶点，点是正方体一条棱的中点，已知正方体的棱长为3cm．一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 24．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 ． 题型九 勾股定理的应用 25．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）数学名著《九章算术》记载“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”意思是：如图，在边长为1丈的正方形水池正中央有一株芦苇，它高出水面1尺，若将芦苇拉向水池一边的中点，芦苇顶端恰好到达池边的水面，问水深和芦苇长分别是多少？（1丈尺）．设水深x尺，符合题意的方程为（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）一架长米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为米． (1)此时梯子顶端A距离地面多高？ (2)若梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足B是否也外移米？ 27．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）2023年 12月 18 日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目．如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为 于点C．为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点 B移至点D，此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）． (1)求该冰滑梯的高度； (2)求冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离（计算结果保留根号，图中假设C，B，D三点共线且A，C，B，D都在同一平面内，滑道 没有起伏，为平直的斜坡）． 28．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××    组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5.4米 … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到0.01）． 29．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺），大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．    (1)图中______尺，______尺； (2)求水池中水的深度． 30．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前有多高？ 41．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 42．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由． 43．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，有两条公路相交成角，沿公路方向离O点处有一所学校A，当重型卡车P沿道路方向行驶时，在以P为圆心，以内（包括）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路方向行驶的速度为，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． (1)求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． (2)求卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 题型十 勾股定理的证明 44．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 45．（22-23八年级下·湖南益阳·期中）观察，思考与验证    (1)如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式____________； (2)如图2所示，，且，，在同一直线上，试说明，； (3)伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程． 46．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在中，． (1)若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 题型十一 利用勾股定理证明线段关系 47．（22-23八年级下·湖南郴州·期中）（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边内部，有一点P，若，求证：． 证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形， ，，___________． ， ___________，即．    （2）类比延伸：如图②在等腰中，，内部有一点P，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明．    48．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，；斜边上的高．求证：．    题型十二 直角三角形全等的判定 49．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在的两边上分别取点A，B使得，一条直角边分别落在的两边上，连接，则判定的依据是（　　）    A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，能直接用“”判定的条件是（　　）    A．， B．， C．， D．， 51．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，，于，于，为上一点，．证明：． 题型十三 直角三角形全等的综合运用 52．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如图，相交于点O，．求证：． 53．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，，，于点，于点，求证：． 54．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 55．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，为角平分线的交点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型十四 利用角平分线的性质求线段长 56．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，的平分线交于点， 交于点，若，则（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 57．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（      ） A．3 B． C．4 D．6 58．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，，则的长为 ． 题型十五 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用 59．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，等边三角形与等边三角形，连接、，的延长线与交于点，连接，有以下四个结论：①；②平分；③；④；⑤．其中一定正确的结论是（    ）    A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 60．（22-23八年级下·湖南永州·期中）如图，A、B、C在同一条直线上，和均为等边三角形，、分别交、于点M、N，下列结论中：①，②，③，④，⑤平分，其中正确的有 ．（填序号）    61．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. (1)如图，于，于，求证：； (2)如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； (3)如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 62．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）综合与实践： 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的（几何原本）第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据：_______________； 类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由． 63．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)若 ，求的度数． (3)求证：平分； 题型十六 角平分线的实际运用 64．（21-22八年级下·湖南长沙·期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置 C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．以上说法都不正确 65．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（    ） A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处 C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处 $$专题01 直角三角形（16大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用直角三角形的性质证明 · 题型二 构造含30°角的直角三角形并进行计算（易错） · 题型三 利用含30°角的直角三角形的性质进行证明 · 题型四 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 · 题型五 以弦图为背景的计算题（高频） · 题型六 勾股定理在非直角三角形中的应用 · 题型七 勾股定理在折叠中的应用（难点） · 题型八 勾股定理在最短路径问题中的应用（难点） · 题型九 勾股定理的应用（重点） · 题型十 勾股定理的证明 · 题型十一 利用勾股定理证明线段关系 · 题型十二 直角三角形全等的判定（高频） · 题型十三 直角三角形全等的综合运用（难点） · 题型十四 利用角平分线的性质求线段长 · 题型十五 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用（重点） · 题型十六 角平分线的实际运用 题型一 利用直角三角形的性质证明 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以、为圆心，以大于的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，于点，直线就是所要作的边上的中垂线； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后求出，从而得到平分． 【详解】（1）解：如图所示，就是要求作的边上的中垂线； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 是边上的中垂线， ， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了尺规基本作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，难度不大，需熟练掌握． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知：在中，，． (1)如图1，是的中线． ①的面积是 ； ②已知：，交于点，，连接，求证：； (2)如图2，点为线段延长线上一点，过点作，过点作的垂线交于点，线段的延长线与线段的延长线交于点，是否存在点，使，若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①由是的中线，可得，最后根据三角形的面积公式求解即可； ②根据，可推出，证明，得到，证明，得到，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，设、交于点，证明，得到，，推出是的垂直平分线，得到，证明，得到，进而得，则，证明，得到，由，，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：① 是的中线，， ， ， 故答案为：； ② ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，设、交于点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂直的定义，解题的关键是证明三角形全等． 3．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）小茗同学发现一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形．小茗把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图所示的“手拉手”图形中，和均为等腰直角三角形，，，，点在同一直线上，连接，为中边上的高． (1)求证：； (2)求的度数； (3)直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由可得，再根据即可证明； （）由等腰直角三角形的性质可得，即得，再根据全等三角形的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解； （）由全都三角形的性质可得，由等于直接三角形的性质可得，即得，进而即可得到； 本题考查了等腰直角三角形的性质，全都三角形的判定和性质，直接三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 4．（22-23八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在中，，，E是的中点，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等边对等角得到．根据三角形外角性质得到．根据，得到，根据等边对等角得到，推出． 【详解】证明：∵，E是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形，等腰三角形，三角形外角等，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质． 题型二 构造含 30°角的直角三角形并进行计算 5．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）在中，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，含角的直角三角形的性质，根据题意求出各个角的度数，然后根据含角的直角三角形的性质求解是关键． 设，则，，求出三个角的度数，进而得知是含的直角三角形，从而即可解出的长度． 【详解】解：， 设，则，， ， 解得：， ，，， ， ． 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，，是高，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答． 【详解】解：∵， ， ∵是高， ， ， ， ． 7．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积． 【答案】9 【分析】根据旋转的性质得到，，所以是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴ ， 是等腰三角形，， 如图，过作于，则， ， 又， ， ． 题型三 利用含 30°角的直角三角形的性质进行证明 8．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．利用上述结论解答下列问题：    (1)在直角中，，若，则　　　； (2)在直角中，，若D是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质： （1）直接利用结论进行求解即可； （2）根据结论得到，进而推出为等边三角形，得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：4． （2）∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 题型四 含30°角的直角三角形的性质的实际应用 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了含角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．利用含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 故选：A． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 ． 【答案】60 【分析】本题考查含30度的直角直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F， ∵，， ∴，， ∴通过闸机的物体最大宽度为． 故答案为：60． 12．（23-24九年级下·湖南永州·期中）如图，为了测量某大树的高度，现选取两个测量点A和B（点A，B，C在一条水平直线上），测得，．如果测得A，B两点的距离为m，那么大树高 ．    【答案】m 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半；根据题意推出，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：m 题型五 以弦图为背景的计算题 13．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定④；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断①． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的面积为49， ∴，    ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得：，故④正确； ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，故②错误； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③正确； 由可得， 又∵， 两式相加得：， 整理得：， ，故①错误； 故正确的是③④． 故选：C． 14．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ，即①， ∵， ②， 得， ∴大正方形的面积， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，由题意可得，，，进而可得，再根据即可求解，正确根据图形的关系求得和的值是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， 由可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 故答案为：． 题型六 勾股定理在非直角三角形中的应用 16．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 17．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）已知： 如图， 四边形中， 求四边形 的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据题意求得，可得，故是直角三角形，据此即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∴是直角三角形 ∴ 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？ 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)3600元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形； （2）根据三角形的面积公式求得面积，进而即可求解． 【详解】（1）为直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 为直角三角形且 （2） 总费用为：元 答：将该绿化带铺满草坪需要元 题型七 勾股定理在折叠中的应用 19．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解． 连接，，由于，则，在和中由勾股定理求得的值． 【详解】解：设，则：， 连接，，    在中，， 在中，， ∵折叠， ， ， 即， 解得，即， 故选：B． 20．（22-23八年级下·湖南常德·期中）如图，已知长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为 ．      【答案】/ 【分析】根据折叠可得，设，则，在中利用勾股定理可得，解可得BE的长，进而得到AE的长 【详解】解：根据折叠的性质有：，， 又∵，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 则． 则， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应相等的． 21．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处． (1)试判断线段与的关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：． 【答案】(1)垂直平分．理由见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得出结论； （2）由勾股定理可求出答案； （3）证出，由直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）垂直平分． 理由如下：将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 垂直平分． （2）四边形是长方形，， ， ， 又， 在中，， ， ， ， ． （3）证明：设，由折叠的性质可得， ，，． 又点是的中点， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ．， ， ， ． 题型八 勾股定理在最短路径问题中的应用 22．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由题可知，盒子底面对角线长为， 盒子的对角线长：， ∵细木棒长， 故细木棒露在盒外面的最短长度是：， 故答案为：4． 23．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，点是正方体的一个顶点，点是正方体一条棱的中点，已知正方体的棱长为3cm．一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】正方体侧面展开为长方形，由两种爬行的路线确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短和勾股定理可求出两种路径长，比较即可．本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图， 按图1的路线爬行， 按图1的路线爬行， ∵ 爬行的最短距离为． 故答案为：． 24．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题．将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 根据题意得：，， 在中，， 即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：20 题型九 勾股定理的应用 25．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）数学名著《九章算术》记载“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”意思是：如图，在边长为1丈的正方形水池正中央有一株芦苇，它高出水面1尺，若将芦苇拉向水池一边的中点，芦苇顶端恰好到达池边的水面，问水深和芦苇长分别是多少？（1丈尺）．设水深x尺，符合题意的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设水深x尺，则芦苇长尺，根据勾股定理，列出方程，即可． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺，根据题意得： ， 即． 故选：C 26．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）一架长米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为米． (1)此时梯子顶端A距离地面多高？ (2)若梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足B是否也外移米？ 【答案】(1)梯子顶端A距离地面有 (2)不是，梯足B外移了米． 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理，即分别求出和，求二者之差即可解答． 【详解】（1）根据题意得：，， ， 答：梯子顶端A距离地面有； （2）， ， ， ，， 梯足B外移了米． 27．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）2023年 12月 18 日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目．如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为 于点C．为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点 B移至点D，此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）． (1)求该冰滑梯的高度； (2)求冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离（计算结果保留根号，图中假设C，B，D三点共线且A，C，B，D都在同一平面内，滑道 没有起伏，为平直的斜坡）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． （1）根据含的直角三角形的性质可得即可求解； （2）运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ， ， 则该冰滑梯的高度为； （2）解：依题意得：， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 故冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离为． 28．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××    组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5.4米 … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到0.01）． 【答案】(1)14.08米 (2)五星红旗升起的速度不小于0.26米/秒且不大于0.29米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、有理数的混合运算，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）根据速度路程时间，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 由图2可得，在中，，即， 解得， 答：旗杆的高度为米． （2）解：96厘米米， （米）， （米/秒）， （米/秒）． 答：五星红旗升起的速度不小于米/秒且不大于米/秒． 29．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺），大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．    (1)图中______尺，______尺； (2)求水池中水的深度． 【答案】(1)1，5 (2)水深为12尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）根据题意即可求解； （2）设水深x尺，则芦苇尺，在中，根据勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺． 故答案为：1，5； （2）解：设水深x尺， 则芦苇尺， 在中，， 解得：， 答：水深为12尺． 30．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前有多高？ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答． 【详解】解：如图所示： ∵是直角三角形，，， ∴ 答：这棵大树在折断前高． 41．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 【答案】轮船继续向东航行没有触礁的危险 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 过点C作于点D，，海里，推出，则海里，再得出，则海里，根据勾股定理可得：（海里），即可得出结论． 【详解】解：过点C作于点D， 由题意可知，，海里， ∴， ∴， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∵， ∴轮船继续向东航行没有触礁的危险． 42．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由． 【答案】此车没有超速，详见解析 【分析】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质， 过点C作于点H．求出，得到，勾股定理求出，然后得到，，然后求出小车平均速度，然后比较求解即可． 【详解】解：过点C作于点H． ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴小车平均速度 而 ∴此车没有超速． 43．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，有两条公路相交成角，沿公路方向离O点处有一所学校A，当重型卡车P沿道路方向行驶时，在以P为圆心，以内（包括）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路方向行驶的速度为，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． (1)求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． (2)求卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【答案】(1) (2)24秒 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质： （1）作于D，求出的长，即可解决问题． （2）如图以A为圆心为半径画圆，交于B、C两点，求出的长，利用时间、路程、速度的关系计算即可． 【详解】（1）解：作于D， ∵， ∴， 即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离． （2）解：如图，以A为圆心为半径画圆，交于B、C两点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵卡车P沿道路方向行驶的速度为， ∴卡车经过的时间秒， 答：卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为24秒． 题型十 勾股定理的证明 44．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）2 【分析】本题考查了整式的运算，与几何图形有关的乘法公式；解题的关键是利用等积法得到相关公式并正确运用． （1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可； （2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可； （3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 长方形的面积为：． 45．（22-23八年级下·湖南益阳·期中）观察，思考与验证    (1)如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式____________； (2)如图2所示，，且，，在同一直线上，试说明，； (3)伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式； （2）先证明，利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角； （3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积． 【详解】（1）解：这个公式是完全平方公式：；理由如下： ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积， 又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积＋两个矩形的面积， ， ∴． 故答案为：． （2）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （3）证明；∵， ∴， ∴，即四边形是梯形， ∴四边形的面积， 整理得：． 【点睛】本题考查了勾股定理和用面积法证明代数恒等式，用面积法证明代数恒等式是常用的代数式变形，采用了数形结合的方式，直观易懂． 46．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在中，． (1)若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）如图1，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图2，过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，，，得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】（1）如图1，过作于， ，， ， ， 将沿折叠，使得点与点重合， ，， 设， ， ， ， 解得：， ； （2）如图2，过作于， ， ， ， 设，，， ， ，， ，， 联立方程组解得，（负值舍去）， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型十一 利用勾股定理证明线段关系 47．（22-23八年级下·湖南郴州·期中）（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边内部，有一点P，若，求证：． 证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形， ，，___________． ， ___________，即．    （2）类比延伸：如图②在等腰中，，内部有一点P，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】解：（1）证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形， ，，． ， ，即． （2）关系式为：；    证明如图②：将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查几何变换中的旋转变换，熟悉旋转变换的性质，并通过旋转构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键． 48．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，；斜边上的高．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据面积法得到，变形得到，则，再根据勾股定理得出，代入化简即可． 【详解】解：证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，分式的基本性质，解题的关键是利用面积法得出． 题型十二 直角三角形全等的判定 49．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在的两边上分别取点A，B使得，一条直角边分别落在的两边上，连接，则判定的依据是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】∵， ∴在与中， ， ∴． 故选：D． 50．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，能直接用“”判定的条件是（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，全等三角形的判定定理有“，，，”，直角三角形还有特殊的判定方法“”． 【详解】解：根据全等三角形的判定方法来解决，可以发现选项A不能判定； 选项B是“”； 选项C是“”； 选项D是“”； 故选：B． 51．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，，于，于，为上一点，．证明：． 【答案】见解析 【分析】根据已知得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：，， ． ，， ． ． 题型十三 直角三角形全等的综合运用 52．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如图，相交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先用证明，再用证明即可． 【详解】证明：， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在和中， ． 53．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，，，于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的判定，先由垂直得出，再由线段的和差关系即可得出，则可用证明，得到，即可得出结论． 【详解】证明:∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴在和中，， ． ∴， ∴． 54．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，图和理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形得，再由，得，即可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ； （2）解：，理由如下： 延长与交于点， ， ， ， ， ， ， ． 55．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，为角平分线的交点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，角平分线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质定理，三角形的内角和定理的运用是解题的关键． （1）根据为和的平分线，可得，，在中，，在中，根据三角形内角和定理即可求解； （2）连接，由角平分线的性质定理可证到三边的距离相等，由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：为和的平分线， ∴，， 在中，， ∴ ； （2）解：连接， ∵为角平分线的交点， ∴由角平分线的性质定理可证到三边的距离相等， ∴， ∴，即， 解得，． 题型十四 利用角平分线的性质求线段长 56．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，的平分线交于点， 交于点，若，则（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，根据角平分线得到，利用两直线平行，内错角相等得到，再根据等边对等角即可得． 【详解】的平分线交于点 与平行 是等腰三角形 故选：B． 57．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（      ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边距离相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 58．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，再代入求出即可． 【详解】解：∵，平分交于点D，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型十五 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用 59．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，等边三角形与等边三角形，连接、，的延长线与交于点，连接，有以下四个结论：①；②平分；③；④；⑤．其中一定正确的结论是（    ）    A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①根据等边三角形的性质证出，可得，从而得出①正确； ②过作于，过作于，由得出，由等角的补角相等得出，由可证，得到，由角平分线的判定定理得到平分，从而得出②正确； ③在上截取，使，求出即可得出，得出③正确； ④根据，，得出，从而得出，即可得出④错误； ⑤根据全等三角形的判定与性质得出，可得，即可求得，从而得出⑤正确． 【详解】①解：∵和是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴，①正确； ②解：过作于，延长，过作于，如图1. ∵ ∴ ∵， ∴ 在和中： ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴平分，②正确；    ③解：在上截取，使，如图2， ∵， ∴ ∵ ∴，③正确；    ⑤解：∵ 平分 ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ，⑤正确； ④解：∵， ∴，④错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线，构造全等三角形，是解答本题的关键． 60．（22-23八年级下·湖南永州·期中）如图，A、B、C在同一条直线上，和均为等边三角形，、分别交、于点M、N，下列结论中：①，②，③，④，⑤平分，其中正确的有 ．（填序号）    【答案】①③④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质以及三角形内角和定理，三角形的外角的性质得出，进而证明，即可判断①，继而证明，即可判断③，证明可判断②，由，得出，可得，即可判断④，作，，垂足分别为，由全等三角形的对应高相等可得，根据角平分线的判定即可判断⑤． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故②错误， ∵， ∴， ∴，故④正确； 作，，垂足分别为，    ∴， ∵， ∴由全等三角形的对应高相等可得：， 而，， ∴是的角平分线，故⑤正确； 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，角平分线的判定定理,三角形的外角性质，综合运用以上知识是解题的关键． 61．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. (1)如图，于，于，求证：； (2)如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； (3)如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找对应边、对应角之间的关系． 连接根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证结论成立； 过点作，，根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，利用可证，根据全等三角形的性质可得； 连接，过点作，，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可知、，从而可得，可得：． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， ，， ； （2）解：， 理由如下： 如下图所示，过点作，， ， ， ， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， 又，， ， 在和中 ，. ； （3）解：如下图所示，连接，过点作， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形，为底边， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 62．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）综合与实践： 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的（几何原本）第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据：_______________； 类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 63．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)若 ，求的度数． (3)求证：平分； 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定． （1）根据等边三角形的性质可证即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据，即可求解． （3）过点作交于点，过点作交于点，根据角平分线上的点到角两边距离相等证明即可． 【详解】（1）证明：∵等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，      ∴， ∴， ∴， ∵等边，等边， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴． （2）∵ 又∵ ∴又 ∴ （3）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点，      ∵（1）中已证， ∴ 又∵，， ∴， ∵，， ∴平分． 题型十六 角平分线的实际运用 64．（21-22八年级下·湖南长沙·期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置 C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．以上说法都不正确 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处． 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 65．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（    ） A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处 C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据题意知，超市应该是△ABC的内心，即该三角形的内角平分线的交点． 【详解】∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等， ∴该超市是△ABC的内心， ∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． $$