精品解析：广东省佛山市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次教学质量检测数学试题

佛山一中2024-2025学年第二学期高一级第一次教学质量检测试题 数学 命题人：谭泳轩、冯智颖、霍健祖 审题人：程生根 2025年3月 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间150分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 第一部分 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知平行四边形ABCD，点E是CD中点，点F满足，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 设均单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（ ） A. 8分钟 B. 10分钟 C. 12分钟 D. 14分钟 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，若，则的最小值为( ) A 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 平行向量就是共线向量 B. 方向相反的向量就是相反向量 C. 与同向，且，则 D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 为函数的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小值是 11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 若， 则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则取值范围是 第二部分 非选择题（92分） 三、填空题.（本题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则________． 13. 如图，A，B和C，D分别为函数（，）图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD的面积为，直线AD过点，则__________． 14. 定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________，__________. 四、解答题. 15. 函数的一个对称中心是． （1）求并用“五点法”画出函数在上的简图. x 0 （2）求函数的单调递减区间、对称轴； 16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 17. 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为. （1）请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； （2）2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 18. （1）证明：； （2）设； ①求的最小正周期； ②，恒成立，求a的取值范围. 19 已知函数 （1）若函数图象的两相邻对称轴相距， ①求的解析式； ②求函数在上的最值. （2）若函数在上恰有9个零点，求的整数值，并求出这9个零点之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山一中2024-2025学年第二学期高一级第一次教学质量检测试题 数学 命题人：谭泳轩、冯智颖、霍健祖 审题人：程生根 2025年3月 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间150分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 第一部分 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】， 故选：B 2. 已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量之间的大小关系，进行代换得到答案. 【详解】由于，,,由于点E是CD的中点， 所以，，，故， 故选：B. 3. 设均单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对两边平方，代入已知条件，再开方可得答案. 【详解】因为均为单位向量，则，且， 所以 . 故选：B. 4. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量，的夹角为，且，， 所以在方向上的投影向量为 ， 故选：C 5. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 6. 如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（ ） A. 8分钟 B. 10分钟 C. 12分钟 D. 14分钟 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可得此人相对于地面高度与时间的关系是，再令求出的范围即可得出. 【详解】设时间为时，此人相对于地面的高度为， 则由题可得当时，， 在时间时，此人转过的角为， 此时此人相对于地面的高度， 令，则， 所以，解得， 故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是得出高度与时间的关系，再解三角函数不等式即可. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用差角的正弦公式化简给定等式得，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，， 则，所以. 故选：A 8. 在锐角中，若，则的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中正确有（ ） A. 平行向量就是共线向量 B. 方向相反的向量就是相反向量 C. 与同向，且，则 D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平行向量和相等相反向量的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A选项，平行向量就是共线向量，A对； 对于B选项，相反向量就是方向相反且长度相等的向量，B错； 对于C选项，任何两个向量都不能比较大小，C错； 对于D选项，“两个向量平行”推不出 “这两个向量相等”， 另一方面，“两个向量相等”推的出“这两个向量平行”， 所以，两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D对. 故选：AD． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 为函数的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用三角函数的二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的性质逐一分析选项. 【详解】根据二倍角公式可得，. 则. 所以的周期，选项A正确； 令（），解得（）. 当时，，此时， 所以为函数的一个对称中心，选项B正确； ，则，则， 则函数在上单调递减，选项C错误； 因为正弦函数的值域为，所以的最小值为， 则的最小值为，选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确有（ ） A. 的最小正周期是 B. 若， 则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A，根据中心对称即可求值，知B正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C，结合已知单调区间得出范围后判断D. 【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以， 所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误； 对于B，因为，所以的图像关于点对称， 所以，故B正确； 对于C，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，因为，所以， 又，所以，所以， 即满足条件的有且仅有1个，故C正确； 对于D，由题意可知为单调递减区间的子集， 所以，其中，解得，， 当时，，当时，， 故的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 第二部分 非选择题（92分） 三、填空题.（本题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，根据向量平行可得结果. 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴，解得. 故答案为：. 13. 如图，A，B和C，D分别为函数（，）图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD的面积为，直线AD过点，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据四边形ABCD的面积得到方程，求出，代入，求出，得到函数解析式，计算出 【详解】因为四边形ABCD的面积为，且（T为的最小正周期）， ，梯形ABCD的高为2，所以，解得， 即． 又直线AD过点，由图象对称性可得的图象过点， 即，即． 又，所以，故． 故． 故答案为： 14. 定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________，__________. 【答案】 ①. 2 ②. 4 【解析】 【分析】根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可. 【详解】解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故. 因为， 所以.故. 故答案为：； 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题. 四、解答题. 15. 函数的一个对称中心是． （1）求并用“五点法”画出函数在上的简图. x 0 （2）求函数的单调递减区间、对称轴； 【答案】（1），作图见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由可求得的值，列表作图可得结果. （2）根据函数的解析式，利用整体代入法可得结果. 【小问1详解】 由题意得，，故， ∴， ∵，∴，故， 五点法作图如下： 在上的简图如下： 【小问2详解】 由，得， ∴函数单调递减区间. 由得， ∴函数的对称轴为直线. 16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据A，E，C三点共线，得，即可列等量关系求解， （2）根据坐标运算即可求解， （3）根据向量相等即可列方程求解. 【小问1详解】 ． 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 即，得． 因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得； 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设，则． 因为，所以，解得， 即点A的坐标为． 17. 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为. （1）请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； （2）2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 【答案】（1）， （2）不开空调 【解析】 【分析】（1）根据已知条件代入点计算求参即可得出解析式； （2）应用已知代入求值即可判断. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，代入点 可得，所以， 所以， ； 【小问2详解】 当. 所以不开空调. 18. （1）证明：； （2）设； ①求的最小正周期； ②，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用和差角的正弦公式推理得证. （2）①利用（1）的结论化简函数，进而求出周期；②利用①的结论，结合二倍角公式变形不等式，再换元并分离参数，借助基本不等式求出范围. 【详解】（1），， 两式相减得， 所以. （2）①依题意， ， 所以的最小正周期为. ②由①得， 依题意，，令，则， 于是，恒成立， 而当时，，当且仅当，即时取等号， 因此．则，所以的取值范围是． 19. 已知函数 （1）若函数图象的两相邻对称轴相距， ①求的解析式； ②求函数在上的最值. （2）若函数在上恰有9个零点，求的整数值，并求出这9个零点之和. 【答案】（1）①；②最小值；最大值1； （2）， 【解析】 【分析】（1）①根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，利用两相邻对称轴间距离为半个周期可得结果. ②根据得，结合正弦函数的性质可得结果. （2）设可得，根据在区间上的根的个数可求得的范围，结合与的关系可得结果. 【小问1详解】 ①由题意得，， 设函数的最小正周期为， ∵函数图象的相邻两对称轴间的距离为，∴，可得． ∴. ②∵，∴， 当，即时，函数有最小值为， 当，即时，函数有最大值为， ∴函数在上的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 设，由得，， 由得，， 问题转化为方程在上恰有9个根， ∴，解得， ∵为整数，∴，故， 由，得，，， ∴， 设函数在上的9个零点分别为， 由得，，即， ∴， 综上得，， 这9个零点之和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $