2025年九年级数学中考一轮复习一次函数的应用解答题专题突破训练

2025年九年级数学中考一轮复习 一次函数的应用解答题专题突破训练 1．藁城宫灯是石家庄藁城著名的特色传统手工艺品，始于东汉、盛于隋唐，因进贡宫廷故名“宫灯”．以造型优美、易于保存等特点驰名中外，李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元，两商店售卖方式如下：    甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折卖． 设李老师购买宫灯的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为_______元； (2)求的函数表达式； (3)如果李老师购买数量不少于30个，去哪个商店比较合算，请说明理由． 2．一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬行，最后回到出发点．蚂蚁离出发点的距离s（单位：m）与时间t（单位：）之间的图象如图②所示．回答下列问题（π的值取3）： (1)花坛的半径是_______m，_______； (2)当时，求s与t之间的关系式； (3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了，且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变．请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离． 3．河南温县铁棍山药已有超过3000年的种植历史，它是四大怀药之一，具有很高的药用价值和食用价值．某超市代理的铁棍山药有普通包装和礼品包装两种，已知礼品包装比普通包装每件贵20元，且2件普通包装和1件礼品包装的进货价共140元． (1)分别求出每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价； (2)若某特产店计划购进山药共200件，且礼品包装的数量不多于普通包装数量的，则普通包装的山药最少购进多少件？ (3)若该特产店每件礼品包装的山药售价为75元，每件普通包装的山药售价为50元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店售完这批山药获得的利润最大，最大利润为多少元？ 4．春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 5．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 6．已知甲种肉类集装箱的进价为每箱200元，乙种肉类集装箱的进价为每箱180元，现某超市打算购进甲、乙两种肉类集装箱共100箱（甲、乙均购买），且进货资金不超过18080元． (1)最多可以购进甲种肉类集装箱多少箱？ (2)该超市共有哪几种购买方案？哪种购买方案最划算？ 7．赵明暑假到光雾山旅游，从地理课上知道山区气温会随着海拔高度的增加而下降，沿途他利用随身所带的登山表，测得以下数据： 海拔高度 400 500 600 700 … 气温（） 32 31.4 30.8 30.2 … (1)现以海拔高度为轴，气温为轴建立平面直角坐标系（如图），根据表中提供的数据描出各点； (2)已知与之间是一次函数关系，求出这个关系式； (3)若赵明到达光雾山山巅时，测得当时气温为，请求出这里的海拔高度． 8．河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共收入1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？ 9．一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了，沿原路仍以原速度返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离与行驶的时间之间的函数关系分别如图中折线和线段所示． (1)甲、乙两地相距 ，快车的行驶速度是 ，慢车的行驶速度是 ； (2)求图中点E的坐标，并解释点E的实际意义； (3)慢车出发多长时间后，两车相距？（请直接写出答案） 10．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是______，图中______； (2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？ 11．某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统计： 套餐时间 数量 收入 A套餐 B套餐 第一天 20次 10次 2800元 第二天 15次 20次 3350元 (1)求这两款套餐的单价； (2)A套餐的成本约为45元，B套餐的成本约为50元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应50个套餐，且A套餐的数量不少于B套餐数量的，求火锅店每天在这两种套餐上获得的最大利润． 12．【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 13．2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． (1)求关于的函数表达式； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 14．甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒） 变化的函数关系图象如图． (1)甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________： (2)当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； (3)直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温． 15．已知A，B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A，B两地出发，往返于A，B两地之间．下图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计） (1)在阅读下图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？ (2)试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考一轮复习一次函数的应用解答题专题突破训练》参考答案 1．(1)100 (2) (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）将代入，可以得到相应的y的值，从而可以得到甲商店一张会员卡的价格； （2）根据题目中的数据，可以写出的函数表达式； （3）先求出交点横坐标，再画出图象，然后结合图象解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，． 即甲商店一张会员卡的价格为100元， 故答案为： 100； （2）解：根据题意得， 即的函数表达式为：； （3）：当时，解得，如图， 当时，到乙商店购买比较合算； 当时，到两家商店购买一样合算； 当时，到甲商店购买比较合算．    2．(1)4，8 (2) (3) 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、圆的定义、待定系数法求正比例函数解析式、行程问题等知识点，读懂题目信息、理解蚂蚁的爬行轨迹是解题的关键． （1）根据圆上的点到圆心的距离等于半径可知S开始不变时的值即为花坛的半径，然后求出蚂蚁的速度，再根据时间、路程、速度计算即可求出a即可； （2）设，然后利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （3）根据蚂蚁吃食时离出发点的距离不变判断出蚂蚁在段，再求出蚂蚁从B爬到吃食时的时间，然后列式计算即可解答． 【详解】（1）解：由图可知，花坛的半径是4米， 蚂蚁的速度为米/分，． 故答案为：4，8． （2）解：设， ∵函数图象经过点， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵沿途只有一处食物， ∴蚂蚁只能在段吃食物，， ∴蚂蚁从B爬1分钟找到食物，， ∴蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离是． 3．(1)每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是元/件、元/件 (2)普通包装的山药最少购进件 (3)购进普通包装的山药件，购进礼品包的山药件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，根据题意列出方程，不等式和一次函数关系式是解题的关键． （1）设每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设普通包装的山药购进件，则礼品包的山药购进件，根据题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解． （3）设售完这批山药获得的利润为，购进普通包装的山药件，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：设每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是a元/件、b元/件，根据题意得， 解得： 答：每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是元/件、元/件； （2）解：设普通包装的山药购进件，则礼品包的山药购进件，根据题意得， 解得： 最小正整数解为 答：普通包装的山药最少购进件 （3）解：设售完这批山药获得的利润为，购进普通包装的山药件，根据题意得， ∵， 当时，取得最大值 答：购进普通包装的山药件，购进礼品包的山药件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为元 4．(1)，；， (2)当，甲合算 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据表格中两家公式给出的租车收费方式，可得出、与x之间的关系式； （2）求出当时x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，； ，． （2）解： 当， 解得：， ∴当时，选择甲公司合算． 5．(1)每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 (2)当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 6．(1)最多可以购进甲种肉类集装箱箱 (2)该超市有四种购买方案．该超市购买甲种肉类集装箱箱，购买乙种肉类集装箱箱，最划算 【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，一次函数的应用，根据题意列出不等式是解题的关键； （1）设该超市购买甲种肉类集装箱箱，则购买乙种肉类集装箱箱，根据购买非要不超出18080元列出不等式求解即可． （2）由（1）可得，根据题意越小，进货资金越少，即可求解． 【详解】（1）解：设该超市购买甲种肉类集装箱m箱，则购买乙种肉类集装箱箱， 由题意得：， 解得， 取最大正整数 答：最多可以购进甲种肉类集装箱箱； （2）∵，甲、乙均购买 ∴m和都是正整数， ∴该超市有四种购买方案． ∵甲种肉类集装箱的进价为每箱元，乙种肉类集装箱的进价为每箱元， 设进货资金为，则 ∴越小，进货资金越少， ∴当时，即该超市购买甲种肉类集装箱箱，购买乙种肉类集装箱箱，最划算． 7．(1)见解析 (2) (3)山巅的海拔为2500米． 【分析】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解． （1）找到表格中的对应点，利用描点法描点即可； （2）设解析式为，把点，分别代入利用待定系数方法可求得，，即； （3）气温为，求这里的海拔高度，其实就是求当时，米． 【详解】（1）解：描点： （2）解：设解析式为，把点，分别代入可得： 解得：，， 所以此一次函数关系式为：； （3）解：当时，有：， 解得：， 即山巅的海拔为2500米． 8．(1) (2)电商销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一次函数的应用，弄清题意，精准识图是解题的关键； （1）设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，利用二元一次方程组求出，即可求解； （2）求出当时，，设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，由销售额甲种水果的销售额乙种水果的销售额，再利用一次函数的性质，即可求解； 理解、的实际意义，找出等量关系式，能熟练利用一次函数的性质求解实际问题是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克， 则， 解得， ； （2）解：当时， ； 设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元， 则 ， ∵，， ∴当时，有最大值， 此时（千克）， 答：电商销售甲种水果80千克，乙种水果40千克时销售额达到最大． 9．(1)600，100，50 (2)，点E的实际意义为快车行驶时，与慢车在距离甲地处相遇 (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）通过图象获取信息，利用路程除以时间求出速度即可； （2）求出的解析式，联立求出点的坐标，根据交点表示相遇，解释点的实际意义即可； （3）分快车到达乙地和从乙地返回，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：甲、乙两地相距， 快车的速度为：； 慢车的速度为：； 故答案为：600，100，50； （2）∵快车到达乙地后停留了，沿原路仍以原速度返回甲地， ∴点，即：， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴； ∵慢车的速度为， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴，实际意义为快车行驶时，与慢车在距离甲地处相遇； （3）①当快车到达乙地之前：，解得：； ②当快车从乙地返回时，，解得：或； 答：慢车出发或或后，两车相距． 10．(1)70，300 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键． （1）利用时间、速度、路程之间的关系求解； （2）利用待定系数法求解； （3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为， 甲车行驶的速度是， ∴A、C两地的距离为：， 故答案为：70；300； （2）解：由图可知E，F的坐标分别为，， 设线段所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意知，A、C两地的距离为：， 乙车行驶的速度为：， C、B两地的距离为：， A、B两地的距离为：， 设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍， 分两种情况，当甲乙相遇前时： ， 解得； 当甲乙相遇后时： ， 解得； 综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍． 11．(1)套餐销售单价为元，套餐销售单价为元 (2)元 【分析】（1）设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设售出套餐个，总利润为w元，根据题意得出，然后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元， 根据题意，得 解得 答∶A套餐销售单价为元，套餐销售单价为元； （2）设售出套餐个，总利润为w元， 则 套餐的数量不少于套餐数量的，即， ，， 随的增大而减小，为正整数， 当时，最大，的最大值为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组、不等式以及一次函数关系式是解题的关键． 12．问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元 问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价； 问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元； 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买个B种书架， ∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ， 解得：， ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元， ， 即， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架． 13．(1) (2)该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可分用水量在13立方米以内和超过13立方米，然后分别列出函数关系式即可； （2）根据（1）中函数关系式可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：当时，则； 当时，则有； 综上所述：关于的函数表达式为； （2）解：由（1）可知：当时，则，解得：； 当时，则，解得：； ∴（立方米）； 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． 14．(1)20；80；1 (2) (3)当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 加热到，温度将恒定保温， 甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 （2）解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． （3）解：∵甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 15．(1)骑车人共休息2次，总共骑行；骑车人与客车总共相遇8次 (2)经过，骑车人与客车第2次相遇 【分析】本题考查了一次函数的应用：通过表格当中的信息是解题关键；根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．此题比较复杂，首先是正确理解题意，这要求仔细观察图象，从图象中得到需要的信息，关键知道它们走的方向不同．此外还用到了待定系数法求函数解析式． （1）看图可知，折线图中有两段水平的线，故休息了两次，得到休息时间，则可计算出骑行事件，再根据汽车的速度可得汽车每两个小时进行一次来回，即每小时与骑车人相遇一次； （2）根据题意，客车一小时行驶45千米，故它的图象是两小时一个来回．从左向右看，两条折线的第二个交点就是它们第二次相遇．求出的函数解析式就可以了，找到特殊点和用待定系数法可求出． 【详解】（1）解：依题意得：骑车人共休息2次；骑车人总共骑行千米， 客车以45千米/时的速度匀速行驶， 客车行驶完全程的时间为小时 骑车人与客车总共相遇次； （2）解：已知如图：设直线所表示的函数解析式为． 把，分别代入， 得， 解得， 直线所表示的函数解析式为， 把代入，得， ． 答：时骑车人与客车第二次相遇． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$