2025年北师大版九年级数学中考一轮复习专题：三角形（证明与计算）

2025年北师大版九年级数学中考一轮复习专题： 三角形（证明与计算） 1．如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． (1)旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． (2)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (3)连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 2．综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，请求出此时的长． 3．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论，如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，过点O作的平行线，交于点E． 猜想证明： (1)“笃学”小组发现，请你证明这一结论； (2)如图2，“勤思”小组在图1中的菱形下方作菱形，其中，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)将图2中的菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），若，对角线，当，所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出点到的距离． 4．阅读下列材料，完成相应任务． 面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”． 例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径． 在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？ 情形1：特例研究 已知等边三角形的边长为2， 当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________． 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________． 情形2：一般研究 ①当面径经过三角形的一个顶点时． 已知：如图3，已知． 求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积． 小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； ②当面径不经过三角形的顶点时． 已知：如图4，已知． 求作：直线m，使直线m平分的面积． 小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求） 5．在边长为的正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． (1)如图，直接写出与的数量关系； (2)如图，当点运动到的中点时，连接，求的值； (3)如图，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转得到，连接，，若，求的值． 6．如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求，的长． 7．【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧． 【探究与证明】 如图1，若点M与点A重合，与相交于点P （1）若，求的长； （2）求证：； 【应用拓展】 （3）如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G． 请写出线段与线段的数量关系．并说明理由． 8．如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证： ； (2)连接，． ①求菱形的周长； ②若，求的长． 9．如图1，在中，，，，动点P和Q分别从点A和点C同时出发，点P沿着方向以每秒的速度运动，点Q沿着的路线以每秒的速度运动，点P运动的时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． (1)的长为______； (2)如图2，当点D和点C重合时，求的长； (3)①在图3中尺规作图，作的平分线和边相交于点E；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②当点D在射线上时，求t的值； (4)如图4，当点D恰好落在边上时，直接写出t的值和点在内部的时长． 10．如图1，在矩形中，，，把沿线段向右平移，点，的对应点分别是，，与相交于点（如图2）. (1)观察：图2中与的数量关系是________________； (2)迁移：如图3，在平移过程中，连接，沿着将进行翻折，得对应. ①若四边形为正方形，则的长度为_______________； ②设，求，两点之间的距离； (3)拓展：如图4，当点与点重合时，得到，再把绕点旋转，得到，；连接，请求出的长度. 11．（1）【操作发现】如图1，将边长为的正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为． ①的度数为______；②若点是边的中点，则的值为______； （2）【拓展探究】如图2，在（1）的条件下，连接分别交折痕、于， ①线段、和有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； ②如图3，若点为边的三等分点，连接，求线段的长． 12．问题提出：（1）如图①，在菱形中，，，点E是上一点，且，过点E的直线与交于点F．若平分菱形的面积，求四边形的周长； 问题解决：（2）某生物研究所在一块矩形草地上进行生物体的样本采样和研究工作，如图②，在矩形草地中，，，现规划在草地上区域内搭建帐篷，顶点P在矩形内，且，为了提升工作效率，过点P的直线l将矩形的面积平分为两部分，左侧为研究区，右侧为采样区，且P到，的距离相等，直线l分别交，于点M，N，是否存在满足要求的点M，N，若存在，求出此时，的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，P，M，N，C，D在同一平面内） 13．如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N． (1)当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，则的长为 ； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． (2)若，连接，求面积的最大值与最小值之差． 14．【发现问题】如图1，是等边三角形，点在边上，连接，以为边向下作等边三角形，连接． （1）判断和的位置关系，并说明理由． （2）探究和的数量关系． 【问题拓展】 （3）如图2，是等边三角形，点在边上，点在边上，连接，以为边向下作等边三角形（点在线段下方），连接．探究和的数量关系． （4）如图3，在菱形中，，，点为的中点，点为线段延长线上一点，连接交于点，以为边向上作等边三角形，连接．若时，请直接写出的长． 15．已知点是菱形边的中点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，使点的对应点落在线段上，边经过点． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．如图，在等边的，边上分别任取一点，，且，、相交于点． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)若的周长为，求出的最小值． 17．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的点，连接，，． (1)若是的中点． ①如图1，当时，求证：． ②如图2，当时，求的值． (2)如图3，延长，交于点，当，时，求证：． 18．如图，在中，，是边上的中线，于点E，，． (1)求的长； (2)求的值． 19．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 20．如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使．连接． (1)求证：； (2)过点作，交于点，连接，求证：是等边三角形． 参考答案 1．（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵与重合， ∴， ∴将绕点顺时针方向旋转时，， ∴是等腰三角形， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：第一种情况，如图所示，点在上时， ∴，，， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在延长线时， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：能，或，理由如下， 第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 由（1）可得，，， ∴设， ∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，点是中点， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴； 第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， ∵与重合， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， 过点作与点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，能构成以为直角边的，线段的长为或． 2．（1）解：四边形是菱形，理由如下， 将矩形纸片折叠，使点B落在点处， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：①； 理由：四边形是矩形， ，，，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ， ， 将矩形纸片折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为， ，， ， ， ， ； ②如图，点在线段上时，设与交于点G， 四边形是矩形， ， 由①知， ， ， ， 与是折叠图形中的对应角， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ； 如图，点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点H， ， ， ， ， ， ， 即， ， 同理可得， ， 解得， ； 综上所述，或． 3．（1）证明：在菱形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：四边形为矩形，理由如下： 证明：在菱形和菱形中， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （3）解：，，菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为M， ①点M在上时，连接，连接，交于点O，如图3， ∵四边形，是菱形， ∴， 则旋转后， ∵， ∴， ∴旋转角， ∵， ∴ ∵四边形是菱形，， ∴， ∴点落在上， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； ②点M在延长线上时， 同上可得：， ∴， ∴， ∴点落在延长线上， 此时， ∴在中，， 综上所述：点M在延长线上时，当，所在直线与所在直线互相垂直时，点到的距离为或． 4．解：操作实验：如图， 四边形为平行四边形， ， 和的高相同， 和的面积相同， 线段即为所求 ； 深入探究：情形1： 如图，当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，为等边三角形的“面径”时， 根据“面径”的定义可得， ，， ， ； 如图，当“面径”不经过等边三角形的顶点时，为等边三角形的“面径”时， , 根据第一空中的描述，可得等边三角形底边上的高为， ， 根据“面径”的定义可得， 那可使，则， 过点作， ，， , ， 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是， 故答案为：；（答案不唯一）； 情形2：①如图，作的垂直平分线，则可找到的中点，则即为所求， ②如图，作等腰直角三角形和等腰直角三角形， 再作， 则， ， ， 的面积比的面积为， 则线段即为所求． 5．（1）证明：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图，延长，交于点， 点是的中点， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 又，， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 6．（1）证明: ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵ ∴四边形为平行四边形； （2）解: 由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 即的长为． 7．（1）解：∵，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，点M与点A重合， ∴，， ∴； （2）证明：如图，作交延长线于点，则， ， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，作于， ， ∵为等腰直角三角形，点O为的中点，点D与点O重合， ∴，， 设，则， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 8．（1）证明：如图，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 点是的中点， ∴，， 点是的中点， ， ； （2）解：由（1）得，点是的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， 菱形的周长为； 如图，连接，记与交点为点， ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ∴， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ，， ， ． 9．（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：当点D和点C重合时，如图1，，，， 则由题意可得， 所以， 解得：， ∴； （3）解：①如图2所示，线段即为所求． ②当点D在射线上时，根据对称性，可知， ∵，， ∴，解得：； （4）解：当点D恰好落在边上时，过点Q作，垂足为点E，如图3． ∴， ∴． ∴， 设，则，． ∵，， ， ， ∴， ∴． 由，得，， 解得， ， 将代入，得， 解得：． 如图4，当点D落在上时， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得：． 所以点D在内部的时长为， 综上，t的值为，． 10．（1）解：四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 根据平移的性质可知：， ， 故答案为：； （2）解：①连接，交于， 如图，四边形为正方形， ，， ， ， ， 由平移知，， ∴四边形为平行四边形， ， 故答案为：； ②连接交于， 翻折得到， 和关于直线对称， 垂直平分， 在中，，， ， ； （3）解：当绕点逆时针旋转时， 如图，此时，， 根据勾股定理，， 如图，当绕点顺时针旋转时， 如图，此时，， 根据勾股定理，． 综上所述，的长为或． 11．解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ②∵点是边的中点， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）①如图所示，将绕点顺时针旋转，则点重合，线段与重合，点的对应点为，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴，且， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴四点共圆，如图所示， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵点为边的三等分点， ∴第一种情况，， 在中，， 在中，， ∴； 第二种情况，如图所示，， 同理，， ∴； 综上所述，点为边的三等分点，线段的长为或． 12．解：（1）连接，交于点O，过点A作于点G，过点E作于点H，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵平分菱形的面积， ∴经过菱形的中心， ∵菱形的中心为对角线的交点，菱形的对角线互相垂直平分， ∴点O为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长 ． （2）存在满足要求的点M，N，此时．理由： 连接，交于点O，过点B作于点E，过点P作于点F，延长，交于点G，如图， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵过点P的直线l将矩形的面积平分为两部分， ∴经过矩形的中心， 由（1）的方法可得：， ∵P到，的距离相等， ∴点P在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ， 四边形为矩形，， 四边形，四边形为矩形， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ． 综上，存在满足要求的点M，N，此时． 13．（1）①解：∵矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 故答案为：； ②解：如图，作的延长线于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 同理①，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 同理， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：解：如图，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，， 过点D作于点T，          由翻折可得：，， 由勾股定理得，， ∴， ∴在以为圆心为半径的劣弧上运动， ∵， ∴， 当点在上时，取得最小值为， ∴的最小值为， ∵， ∴当点与点D重合时，取得最大值为， 的最大值为， ∵， ∴面积的最大值与最小值之差为． 14．解：（1）． 理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， ． 又， ， ． （2）， ， ， 和的数量关系是． （3）如图，在边上截取，连接，可知为等边三角形， ． 为等边三角形， ，， ， ． 又， ， 和的数量关系为． （4） 如图，过点作，交于点． 在菱形中，，，点为的中点， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ． ∵ ∴ ∴ ， ∴ 是的中位线． ， ． 在等边三角形中，，， ． ， ． 又，， ， ． 15．（1）解：证明：菱形， ， 是的中点， 由旋转可知：， ，， 又， ， ； （2）由旋转可知：， ， ， 又， ， 设，在中，， ， ， ， 的长为． 16．（1）证明：是等边三角形， ，， ， ． （2）解：是等边三角形， ． ， ． ， ． 如图，过点作交于， ，， ，， ， ， ， ． （3）解：的周长为， ． 如图，以为边作等边三角形，连接， ，． ， ， 点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心，设与圆交点为，与交点为，即为的最小值． ，， 垂直平分， ， ． 在中， ， ，， ，即的最小值为3． 17．（1）证明：四边形是正方形， ，． 是的中点，， ， ， ． ， ， ， ． ②如图，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点． ，， ， ． ，， ． 设，． 在中，， ， ， ， ， 解得， ，， 在中，， ， ， ． ， ， ． （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点． 设，，， 在中，， ． ，， ， ， ， ，． 在中，， ， ， 整理可得， 解得：， ， ． ， ∴， ， ， ， ． 18．（1）解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 19．（1）解：在中， ∵，，， ∴． （2）解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在中， ∵， ∴， 解得． ∴． 20．（1）证明：是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， 四边形是平行四边形， ， 由(1)知， ， ， 为等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$