专题11 空间几何体的夹角和距离问题4种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题11 空间几何体的夹角和距离问题4种常考题型总结 题型概览 题型01点到平面的距离 题型02异面直线所成角 题型03直线与平面所成角 题型04二面角 ( 题型01 ) 点到平面的距离 1．（2024春•天山区校级期中）如图，表面积为的球面上有四点，，，，是等边三角形，球心到平面的距离为3，若平面平面，则三棱锥体积的最大值为 　　． 【解析】设球的半径为，由球的表面积为，得，即， 设的中心为，则，，则， 棱锥的底面积， 欲使其体积最大，应有到平面的距离取最大值， 又平面平面， 在平面上的射影落在直线上，而， 点到直线的距离为， 则到平面的距离的最大值为， 三棱锥体积的最大值为． 故答案为：． 2．（2023秋•且末县校级期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：分别连接，，，， 在菱形中，，则，又， △为正三角形，， 为中点，， 棱柱为直棱柱，平面平面， 且平面平面，在面内， 平面， ，分别为，中点，为△的中位线 ，且． 又为中点，且，，且， ，，四边形为平行四边形， ，所以平面，又平面， 平面平面． （2）由（1）知平面，平面，， ，，，底面为菱形，为中点， ，， ， 设点到平面的距离为， 根据题意有， ， 解得， 点到平面的距离为． 3．（2022春•天山区校级期末）在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为 　　． 【解析】平面，垂足为点，连接，， ，， 平面，平面， ，同理， 是四边形外接圆的直径， 取的中点，即是四边形外接圆的圆心， 作平面，则， 过的中点作的垂线，交于点，则， ， 是三棱锥外接球的球心， ，，， ， ，即底面外接圆的直径是2， ，， ． 故答案为：． 4．（2022•乌苏市校级开学）三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：、分别为、的中点， ， 平面，平面， 平面． （2）证明：，为的中点，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面，平面平面． （3）解：且，，， ． ， ，， ，设点到平面的距离为， ， ， 即点到平面的距离为． ( 题型02 ) 异面直线所成角 5．（2022秋•米东区校级期中）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，如图， 设底面正方形的中心为，连接， 由正方体的结构特征可知，，则为直线与所成的角， 又由平面，平面，则有， 在中，，则，即直线与所成的角为， 故选：． 6．（2023春•喀什市校级期中）如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为　　 A． B． C． D． 【解析】连接，底面是正方形，则，几何体是正方体，可知 ，， 平面， 平面， ， 异面直线、所成角是． 故选：． 7．（2022秋•塔城市校级期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若，都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】连接，， 则， 则异面直线与所成角的平面角为（或其补角）， 设， 由题意可得：，， 则， 故选：． 8．（2023春•喀什市校级期中）如图，在正方体中，侧面对角线、上分别有两点、，且． （1）求证：平面； （2）若、分别为、中点，求异面直线与所成的角． 【解析】（1）证明：过点、分别作的平行线分别交、于点、，连接， ，故，同理可得， 易知，又因为，所以，故， 因为，故， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 因此平面． （2）、分别为、中点， 连接，，，，则，， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 又△为正三角形，则， 即异面直线与所成的角为． 9．（2022秋•塔城市校级期中）如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，为的中点，则在原几何体中，异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】因几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，于是得原几何体是正三棱锥， 其中，，两两垂直，且，取中点，连接，，如图， 因为的中点，则有，因此，是异面直线与所成角或其补角， 令，则，中，， 正中，，于是有：，即， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 10．（2022秋•新疆期中）如图，圆锥的轴截面是正三角形，为底面圆的圆心，为的中点，点在底面圆的圆周上，且是等腰直角三角形，则直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】取的中点， 由为的中点， 则， 则直线与所成的角为（或其补角）， 不妨设， 又圆锥的轴截面是正三角形，为底面圆的圆心，为的中点，点在底面圆的圆周上，且是等腰直角三角形， 则，，， 在中，由余弦定理可得， 即直线与所成角的余弦值为， 故选：． ( 题型03 ) 直线与平面所成角 11．（2024秋•英吉沙县期中）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为　　 A．1 B． C． D． 【解析】如图所示，连接， 因为平面， 所以是直线与平面所成角， 设正方体棱长为1，则， 所以． 故选：． 12．（2022春•沙湾县校级期末）直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】直三棱柱中，面； ，又，是的中点； ，； 平面；连接，由（1）平面； 则即为直线与面所成角；设， 在直角△中，，，； 即直线与面所成角的正弦值为． 故选：． 13．（2022春•新和县校级期末）已知长方体的底面是边长为8的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于　　 A． B． C． D． 【解析】如图示： 连接交于点，连接，易证平面． 所以为与对角面所成的角， 于是， 故选：． 14．（2022春•天山区校级期末）如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：设，连接，， 因为，分别为，的中点，则，， 因为为的中点， 所以，且， 所以，， 则四边形为平行四边形， 故，因为平面，平面， 故平面； （2）证明：因为，，， 所以，即， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，又平面， 故； （3）解：因为，， 又，，平面， 故平面， 连接，则为在平面内的射影， 所以为与平面所成的角， 因为，，且， 所以， 在△中，， 所以，则， 所以， 故， 所以直线与平面所成角的余弦值为． ( 题型04 ) 二面角 15．（2024春•克州期中）已知大小为的二面角棱上有两点、，，，，，若，，，则的长为　　 A．22 B．40 C． D． 【解析】过作且，连接、，则四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形， 因为，即，而， 则是二面角的平面角，即， 因为，即为正三角形，所以， 因为，即，，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以在中，，所以． 故选：． 16．（2024春•焉耆县校级期末）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则　　 A．棱台的高为 B．棱台的表面积为 C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 【解析】对于：将正三棱台补形为正三棱锥， 过点作平面，交平面于点， 故即为棱台的高， 因为上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6， 所以，故正三棱锥为正四面体， 取的中点，连接，，则，，三点共线，且，， ，， 由勾股定理得， 由相似可知，棱台的高为三棱锥的高的一半，即，错误； 对于，， 其中等腰梯形与等腰梯形，等腰梯形的面积相等， 均等于， 故棱台的表面积为，正确； 对于为棱台的侧棱与底面所成角的平面角， 其中，错误； 对于即为棱台的侧面与底面所成二面角的平面角， 故，错误． 故选：． 17．（2022春•疏勒县校级期末）如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点，点的距离为，此时二面角的平面角为　　 A． B． C． D． 【解析】由梯形，．，易求得，，， 所以，所以， 取的中点，连接，过点作，过点作交于，连接， 所以四边形是矩形，所以， 又，，为二面角的平面角， 又，面，面，所以面， ，面，面，所以， 又，，点，点的距离为，所以求得， ，，为的中点，所以， 在中，由，所以为直角三角形，且． 二面角的平面角为． 故选：． 18．（2021春•水磨沟区校级期末）如图，已知三棱锥中，，，，则二面角的平面角的大小为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，取的中点，连接，，由可得平面，二面角的平面角是． 在中，，同理，在中，，， 二面角的平面角的大小为． 故选：． （多选）1．（2024秋•莎车县期中）已知正方体，则　　 A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为 【解析】如图， 连接，由，，得四边形为平行四边形， 可得，，直线与所成的角为，故正确； ，，，平面，而平面， ，即直线与所成的角为，故正确； 设，连接，可得平面，即为直线与平面所成的角， ，直线与平面所成的角为，故错误； 底面，为直线与平面所成的角为，故正确． 故选：． 2．（2021秋•库尔勒市校级期中）长方体中，，，，则异面直线与所成角余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】作出长方体，如图所示， 因为，且， 则四边形为平行四边形， 故， 所以为异面直线与所成的角， 在△中，， ， ， 由余弦定理可得，， 故异面直线与所成角余弦值为． 故选：． 3．（2023春•天山区校级期中）在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，平面过点，且平面平面，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为 　　． 【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，取，的中点分别为，，连接，，，，，如图所示，则， 所以，所以异面直线与所成的角为或其补角， 又因为，，所以，， 所以，所以． 故答案为：． 4．（2024春•天山区校级期末）如图，直四棱柱中，底面为矩形，且． （1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线到平面的距离． 【解析】（1）因为在直四棱柱中，底面为矩形， 所以直四棱柱是长方体， 则平面， 所以即为直线与平面所成的角， 因为， 所以在中，，， 故， 即直线与平面所成的角为； （2）由（1）知直四棱柱是长方体， 因为平面， 所以为△在平面内的投影，设二面角的平面角为， 长方体中，， ，， 所以，， 因为二面角的平面角为锐角， 所以； （3）由于，， 故四边形是平行四边形， 故， 而平面，平面， 故平面， 则点到平面的距离即为直线到平面的距离， 而， 故， 设点到平面的距离为， 则，即， 解得． 即直线到平面的距离为． 5．（2020春•昌吉市期末）已知六棱锥的底面是正六边形，平面，．则下列命题中正确的有　　 ①平面平面； ②； ③直线与所成角的余弦值为； ④直线与平面所成的角为； ⑤平面． A．①④ B．①③④ C．②③⑤ D．①②④⑤ 【解析】平面，，在正六边形中，，，平面，且面，平面平面，故①成立； 与在平面的射影不垂直，②不成立； ，直线与所成角为，在中，，，③成立． 在中，，，故④成立． 平面，平面平面，直线平面也不成立，即⑤不成立． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 空间几何体的夹角和距离问题4种常考题型总结 题型概览 题型01点到平面的距离 题型02异面直线所成角 题型03直线与平面所成角 题型04二面角 ( 题型01 ) 点到平面的距离 1．（2024春•天山区校级期中）如图，表面积为的球面上有四点，，，，是等边三角形，球心到平面的距离为3，若平面平面，则三棱锥体积的最大值为 　　． 2．（2023秋•且末县校级期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 3．（2022春•天山区校级期末）在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为 　　． 4．（2022•乌苏市校级开学）三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离． ( 题型02 ) 异面直线所成角 5．（2022秋•米东区校级期中）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　 A． B． C． D． 6．（2023春•喀什市校级期中）如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为　　 A． B． C． D． 7．（2022秋•塔城市校级期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若，都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 8．（2023春•喀什市校级期中）如图，在正方体中，侧面对角线、上分别有两点、，且． （1）求证：平面； （2）若、分别为、中点，求异面直线与所成的角． 9．（2022秋•塔城市校级期中）如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，为的中点，则在原几何体中，异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 10．（2022秋•新疆期中）如图，圆锥的轴截面是正三角形，为底面圆的圆心，为的中点，点在底面圆的圆周上，且是等腰直角三角形，则直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． ( 题型03 ) 直线与平面所成角 11．（2024秋•英吉沙县期中）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为　　 A．1 B． C． D． 12．（2022春•沙湾县校级期末）直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 13．（2022春•新和县校级期末）已知长方体的底面是边长为8的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于　　 A． B． C． D． 14．（2022春•天山区校级期末）如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的余弦值． ( 题型04 ) 二面角 15．（2024春•克州期中）已知大小为的二面角棱上有两点、，，，，，若，，，则的长为　　 A．22 B．40 C． D． 16．（2024春•焉耆县校级期末）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则　　 A．棱台的高为 B．棱台的表面积为 C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 17．（2022春•疏勒县校级期末）如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点，点的距离为，此时二面角的平面角为　　 A． B． C． D． 18．（2021春•水磨沟区校级期末）如图，已知三棱锥中，，，，则二面角的平面角的大小为　　 A． B． C． D． （多选）1．（2024秋•莎车县期中）已知正方体，则　　 A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为 2．（2021秋•库尔勒市校级期中）长方体中，，，，则异面直线与所成角余弦值为　　 A． B． C． D． 3．（2023春•天山区校级期中）在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，平面过点，且平面平面，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为 　　． 4．（2024春•天山区校级期末）如图，直四棱柱中，底面为矩形，且． （1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线到平面的距离． 5．（2020春•昌吉市期末）已知六棱锥的底面是正六边形，平面，．则下列命题中正确的有　　 ①平面平面； ②； ③直线与所成角的余弦值为； ④直线与平面所成的角为； ⑤平面． A．①④ B．①③④ C．②③⑤ D．①②④⑤ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$