专题07 解三角形的最值问题6种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题07 解三角形的最值问题6种常考题型总结 题型概览 题型01求角的最值 题型02求边的最值 题型03求参数的最值 题型04求面积的最值 题型05求周长的最值 题型06与三角函数的综合最值问题 ( 题型01 ) 求角的最值 1．（2024春•巴楚县校级期中）已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是 　　． 2．（2022秋•洛浦县期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求证：； （2）求角的最大值． 3．（2022春•天山区校级期中）在中，． （1）求； （2）若的内切圆半径，求的最小值． 4．（2022秋•霍尔果斯市校级期中）已知在中，，，分别为角，，的对边，，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 5．（2022春•天山区校级期中）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是　　 A．角一定为锐角 B． C． D．的最小值为 ( 题型02 ) 求边的最值 6．（2019春•新市区校级期中）在中，，，，若这个三角形只有一解，则的取值范围是　　． 7．（2023春•沙依巴克区校级期中）在中，厘米，厘米，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2020春•米东区校级期中）若锐角中，，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 9．（2022春•天山区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，则的最小值为　　 A． B．1 C． D． 10．（2022春•天山区校级期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，且． （1）求的大小； （2）若，求的取值范围． 11．（2024春•伊宁市期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知为的面积且． （1）若，求外接圆的半径； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 12．（2024春•天山区校级期中）已知是边上一点，且，，，则的最大值为　　． 13．（2024春•天山区校级期中）在①，，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：△的内角，，的对边分别为，，，且_____． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 14．（2021秋•柯坪县校级期中）已知顶点的直角坐标分别为，，． （1）若，求的值； （2）若是钝角，求的取值范围． ( 题型0 3 ) 求参数的最值 15．（2022秋•塔城市校级期中）古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知，为圆的内接四边形的两条对角线，且，若，则实数的最小值为 　　． ( 题型0 4 ) 求面积的最值 16．（2020春•昌吉市期中）已知，，分别为内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 17．（2022春•米东区校级期中）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角，，所对的边分别为，，，则的面积．已知在中，，，则面积的最大值为　　 A． B． C． D． 18．（2022秋•霍尔果斯市校级期中）记的内角、，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若点在边上，，且，求面积的最大值． 19．（2023春•伊州区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，则面积的最小值是 　　． 20．（2023春•天山区校级期中）已知锐角中角，，所对的边分别为，，，若的面积，且，则的最大值为　　 A．6 B．4 C．2 D．1 21．（2016春•天山区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 22．（2021秋•泽普县校级期中）已知的内角，，所对的边分别为，，若，且内切圆面积为，则面积的最小值为　　 A． B． C． D． 23．（2022春•天山区校级期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，它的面积等于，且，则　　，的面积的取值范围是　　． 24．（2021春•沙湾县校级期中）的内角、、的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． ( 题型0 5 ) 求周长的最值 25．（2023秋•英吉沙县期中）的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，点在上，且，当的周长取得最大值时，求的长． 26．（2023春•伊州区校级期中）已知，中，角，，所对的边为，，． （1）求的单调递增区间； （2）若，，求周长的取值范围． 27．（2023春•伊犁州期中）在锐角中，角，，所对边的分别为，，，已知边长，，则　　；周长的取值范围为 　　． ( 题型0 6 ) 与三角函数的综合最值问题 28．（2021春•乌苏市校级期中）设的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 29．（2024春•天山区校级期中）在中，，从条件①；条件②． 两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题． （1）若，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 30．（2021春•乌苏市校级期中）在中，三个内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）求的最大值． （多选）31．（2024春•米东区校级期中）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，的三角形有两解，则的取值范围为 32．（2024春•天山区校级期中）在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，，且，则的取值范围是 　　． 33．（2023春•柯坪县校级期中）在如图所示的平面四边形中，，，记，的面积分别为，，则的最大值为 　　． 34．（2022春•米东区校级期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，，且． （1）若，，求； （2）若，求的最大值． （多选）35．（2024春•伊宁市期中）已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是　　 A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 36．（2023春•昌吉市校级期中）在中，角，和所对的边长为，和，面积为，且为钝角，的取值范围是　　 A． B． C． D． 37．（2022秋•塔城市校级期中）在平面五边形中，已知，，，，，． （1）当时，求； （2）当五边形的面积时，求的取值范围． 38．（2023春•天山区校级期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为的外接圆，若、分别切于点、，求的最小值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解三角形的最值问题6种常考题型总结 题型概览 题型01求角的最值 题型02求边的最值 题型03求参数的最值 题型04求面积的最值 题型05求周长的最值 题型06与三角函数的综合最值问题 ( 题型01 ) 求角的最值 1．（2024春•巴楚县校级期中）已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是 　　． 【解析】4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，所有可能的长度组合为：①2，3，4；②3，4，6， 当长度分别为2，3，4时，该三角形最小内角的余弦值为； 当长度分别为3，4，6时，该三角形最小内角的余弦值为， 该三角形最小内角的余弦值可以是或． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2022秋•洛浦县期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求证：； （2）求角的最大值． 【解析】（1）证明：， 由正弦定理得：， ， 由正弦定理得：． （2）， 又， ， ，， 角的最大值为． 3．（2022春•天山区校级期中）在中，． （1）求； （2）若的内切圆半径，求的最小值． 【解析】（1）在中，， 整理得：， ， ， ， ， ， ， 由于， ， 解得， （2）令，， 由， ， ， 由余弦定理可得， ， ， ， ，当且仅当时取等号， ， ， ，（舍去）， 的最小值为 4．（2022秋•霍尔果斯市校级期中）已知在中，，，分别为角，，的对边，，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】，， 则且，解得， 在中，， 令， 则，， 故， 当且仅当，即，即时，等号成立． 故选：． （多选）5．（2022春•天山区校级期中）若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是　　 A．角一定为锐角 B． C． D．的最小值为 【解析】， ，即， ， 又，一定为钝角，即选项错误； 由余弦定理知，， 化简得，，即选项正确； ， ，即选项正确； ， 为钝角，，， ，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，即选项错误． 故选：． ( 题型02 ) 求边的最值 6．（2019春•新市区校级期中）在中，，，，若这个三角形只有一解，则的取值范围是　　． 【解析】如图所示， 根据题意，得该三角形一定是直角三角形或钝角三角形． 当时，则； 当时，则； 当时，，则， 故答案为：或． 7．（2023春•沙依巴克区校级期中）在中，厘米，厘米，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】如图， ，，则， 以为圆心，为半径画圆弧，要使有两个解，则圆弧和边应该有两个交点， 故且，即， 解得． 故选：． 8．（2020春•米东区校级期中）若锐角中，，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【解析】因为锐角中，若所以 由正弦定理可得， ， ， ． 故选：． 9．（2022春•天山区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，则的最小值为　　 A． B．1 C． D． 【解析】因为， 又， 所以，可得， 因为， 所以， 又余弦定理可得，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为1． 故选：． 10．（2022春•天山区校级期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，且． （1）求的大小； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 由正弦定理得，， 故， 由为三角形内角得； （2）由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以，． 11．（2024春•伊宁市期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知为的面积且． （1）若，求外接圆的半径； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）， ， 即， 所以，因为，故， 又，，； （2）由（1）可知，， ，，，， ， 为锐角三角形，，，，， 设，则， 时，． 12．（2024春•天山区校级期中）已知是边上一点，且，，，则的最大值为　　． 【解析】设，则， 由余弦定理得， 所以，① 由， 得， 得，② 由①②消去得，（当且仅当时取等号） 所以， 所以， 所以， 即的最大值为． 故答案为：． 13．（2024春•天山区校级期中）在①，，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：△的内角，，的对边分别为，，，且_____． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）若选 ①，依题意，， 由正弦定理，可得， 则， 即， 整理得， 因，则有， 又，故； 若选 ②，， 因为， 代入可得， 整理得， 即， 因，则有， 由正弦定理，可得， 又，故得， 因为，则； 若选 ③，由， 展开整理得：， 由正弦定理，可得， 再由余弦定理，， 又，故． （2）由（1）得，因， 由正弦定理，可得， 则，， 则， 因，则，故， 即的范围是． 14．（2021秋•柯坪县校级期中）已知顶点的直角坐标分别为，，． （1）若，求的值； （2）若是钝角，求的取值范围． 【解析】解（1）解法一：时，，， ， ． 解法二： 若，则，， 设是边的中点，则，，． ． （2），， 若为钝角，则 ．且， 不共线， ．且 解得． 所以的取值范围为． ( 题型0 3 ) 求参数的最值 15．（2022秋•塔城市校级期中）古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知，为圆的内接四边形的两条对角线，且，若，则实数的最小值为 　　． 【解析】根据圆内接四边形的性质可知；，， 所以， 即， 在中，， 故， 由题意可知：， 则， 所以， 故， 当且仅当时等号取得， 又， 所以， 则， 则实数的最小值为， 故答案为：． ( 题型0 4 ) 求面积的最值 16．（2020春•昌吉市期中）已知，，分别为内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 【解析】（1）， 由正弦定理可得：， 在中，， ， ， ． （2）由余弦定理得， ， ， ，当且仅当时取等号， ， 即面积的最大值为． 17．（2022春•米东区校级期中）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角，，所对的边分别为，，，则的面积．已知在中，，，则面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 又因为， 所以， 所以，（当且仅当时取等号）， 所以． 所以面积的最大值为． 故选：． 18．（2022秋•霍尔果斯市校级期中）记的内角、，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若点在边上，，且，求面积的最大值． 【解析】（1）由已知，得， 根据正弦定理，得， 即， 由于，，所以，为锐角，所以． （2）由，得，则， 所以， 所以，， 则， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以． 即面积的最大值为． 19．（2023春•伊州区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，则面积的最小值是 　　． 【解析】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， ，可得， ， 由，可得， 因为， 所以，所以， 又由余弦定理有， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 故， 故面积的最小值是， 故答案为：． 20．（2023春•天山区校级期中）已知锐角中角，，所对的边分别为，，，若的面积，且，则的最大值为　　 A．6 B．4 C．2 D．1 【解析】因为， 所以， 由题意可知为锐角，， 因为， 由余弦定理得，， 整理得， 解得（负值舍去）， 由余弦定理得，，当且仅当时取等号， 所以， 则，即的最大值为2． 故选：． 21．（2016春•天山区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 【解析】（1）在中，， ，即， 又，， ． （2），即，，． ， 的面积，时取等号） ． 22．（2021秋•泽普县校级期中）已知的内角，，所对的边分别为，，若，且内切圆面积为，则面积的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】，，，， 可得：，， ． 设内切圆的半径为． 内切圆面积为，，解得． ， 由余弦定理可得：， ， ， 解得，当且仅当取等号． 则面积的最小值， 故选：． 23．（2022春•天山区校级期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，它的面积等于，且，则　　，的面积的取值范围是　　． 【解析】由余弦定理，又， 则，可得， 又，联立可得，，可得， 因为， 所以，可得， 所以， 因为由正弦定理可得，，代入，可得， 可得， 由为锐角三角形，则，，，， 则，， 可得，，可得，． 故答案为：，，． 24．（2021春•沙湾县校级期中）的内角、、的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】（1），即为， 可得， ， ， 若，可得，不成立， ， 由，可得； （2）若为锐角三角形，且， 由余弦定理可得， 由三角形为锐角三角形，可得且，且， 解得， 可得面积，． ( 题型0 5 ) 求周长的最值 25．（2023秋•英吉沙县期中）的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，点在上，且，当的周长取得最大值时，求的长． 【解析】（1）， ， 整理可得，， ， ， 又， ； （2）由（1）及，知， ，从而， ，当且仅当时取等号，即的周长取得最大值，此时， ， ， 又， ， ． 26．（2023春•伊州区校级期中）已知，中，角，，所对的边为，，． （1）求的单调递增区间； （2）若，，求周长的取值范围． 【解析】（1）， ， ， ， 令，，可得，， 的单调递增区间是：，，， （2）若，则， 由为三角形内角可得，，可得，， 可得，解得， 当时，， 由余弦定理可得，， 当且仅当时取等号， 解可得，， 又， 故． 27．（2023春•伊犁州期中）在锐角中，角，，所对边的分别为，，，已知边长，，则　　；周长的取值范围为 　　． 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 所以，可化为， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，可得， 因为， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得：， 由正弦定理得：，所以，， 所以周长， 因为， 所以， 所以， 所以，所以． 即周长的范围为，． 故容案为：，，． ( 题型0 6 ) 与三角函数的综合最值问题 28．（2021春•乌苏市校级期中）设的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理化简，得：， 整理得：，即， 由余弦定理得， 为三角形内角， ． （2）由（1）得，即， 则 ， ， ，，，， ，． 29．（2024春•天山区校级期中）在中，，从条件①；条件②． 两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题． （1）若，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）选条件①，，， 又，，而，故； 选条件②，，， 即，，又，故； 在中，当时， 由余弦定理得：， 即，（负值舍去）， 所以； （2）由题设及（1）可知：， 故由正弦定理得： ， ，（当且仅当时等号成立）， 即； 综上，的面积为的取值范围是． 30．（2021春•乌苏市校级期中）在中，三个内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）求的最大值． 【解析】（1）在中，， 又，则； （2）由（1）知，，则， 所以，， 则， 由， 所以，， 当时，取最大值，此时， 所以的最大值为． （多选）31．（2024春•米东区校级期中）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，的三角形有两解，则的取值范围为 【解析】对于，因为，由正弦定理可得，所以，正确； 对于，由余弦定理，可知为钝角，正确； 对于，因为，所以，即，所以或， 即为等腰三角形或直角三角形，不正确； 对于，因为三角形有两解，所以，即的取值范围为，正确． 故选：． 32．（2024春•天山区校级期中）在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，，且，则的取值范围是 　　． 【解析】由正弦定理和正弦二倍角公式可得， 因为，所以， 可得， 因为，所以， 所以，， 由，可得， 所以，， 由正弦定理得． 故答案为：． 33．（2023春•柯坪县校级期中）在如图所示的平面四边形中，，，记，的面积分别为，，则的最大值为 　　． 【解析】在中利用余弦定理，得， 在中利用余弦定理，得， ，整理得， ，， ， 根据二次函数的性质，可知： 当时，． 故答案为：． 34．（2022春•米东区校级期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，，且． （1）若，，求； （2）若，求的最大值． 【解析】（1）由， 可得：， 所以， 又且， 所以， 所以， 由正弦定理可知：， 所以，解得， 所以或； （2）设中点为，则，可得， 在中，， 在中，， 因为， 所以， 所以， 由（1）知：，， 因为， 又 （当且仅当时取等号）， 所以，即当且仅当时取得最大值6． （多选）35．（2024春•伊宁市期中）已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是　　 A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 【解析】选项，因为，由正弦定理可得：， 所以有， 整理可得， 所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故错误； 选项，若为锐角三角形，所以， 所以， 由正弦函数在单调递增，则， 故正确． 选项，如图，若有两解，则， 所以，则的取值范围是，故正确． 选项，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得， 即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故正确． 故选：． 36．（2023春•昌吉市校级期中）在中，角，和所对的边长为，和，面积为，且为钝角，的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可得，， ， ， ，解得，， 由正弦定理可得，， ，且， ，且为钝角， ， 故的取值范围是． 故选：． 37．（2022秋•塔城市校级期中）在平面五边形中，已知，，，，，． （1）当时，求； （2）当五边形的面积时，求的取值范围． 【解析】（1）连结，在中，，， 由余弦定理可得，， 所以， 同时可得， 又由五边形内角和可求得， 所以，进而可得四边形为等腰梯形， 过点作于，可求得， 进而． （2）， 又，所以， 设边长为，则， 化简整理得，解得，或， 又，， 所以的取值范围是． 38．（2023春•天山区校级期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为的外接圆，若、分别切于点、，求的最小值． 【解析】（1）已知，由正弦定理， 得，又， 所以，即， 可得或，因为，， 所以，则，即． （2）由（1）可知为直角三角形，若， 则， 所以，即，则， 在中，，，， 所以， 令， 又因为， 所以，所以， 令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减，所以， 所以的取值范围为． （3）的外接圆的半径，设， 则，， 所以， 而，， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$