专题04 平面向量最值与范围问题4种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题04 平面向量最值与范围问题4种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量基本定理的最值问题 题型02平面向量的数量积的最值问题 题型03平面向量的模的最值问题 题型04平面向量夹角的最值问题 ( 题型01 ) 平面向量基本定理的最值问题 1．（2023春•库车市校级期中）在中，，，与相交于点，设，． （1）用，表示； （2）过点作直线分别与线段，交于点，，设，，求的最小值． 2．（2024春•天山区校级期中）在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•阿图什市校级期中）在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是 　　． ( 题型02 ) 平面向量的数量积的最值问题 （多选）4．（2024秋•塔城市校级期中）如图，在等腰梯形中，为腰的中点，，，是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点，则　　 A． B． C．的最小值为0 D．的最大值为 5．（2023春•天山区校级期中）中，，，是外接圆圆心，则的最大值为　　 A．0 B．1 C．3 D．5 6．（2024春•天山区校级期中）四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，为线段上一动点，则的最大值为　　 A．8 B．16 C． D．32 ( 题型03 ) 平面向量的模的最值问题 7．（2023春•米东区校级期中）已知向量，向量，，则的最大值，最小值分别是　　 A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0 8．（2016秋•库尔勒市校级月考）已知向量，，，则的最大值为　　 A．1 B． C．3 D．9 9．（2022秋•库尔勒市校级月考）已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为 　　． 10．（2022春•皮山县校级期中）已知向量，． （1）当时，求的值； （2）求的最大值． 11．（2024秋•阿克苏地区校级期中）平面内非零向量，，，有，，．且，则的最大值为 　　． 12．（2021秋•疏勒县校级期中）已知平面向量，满足，且与的夹角为，若，则的最小值为　　 A．1 B． C． D． ( 题型04 ) 平面向量夹角的最值问题 13．（2024春•图木舒克校级期中）已知向量，，，． （1）求； （2）若，求实数的值． （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 14．（2023春•新市区校级月考）已知平面向量，，． （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 15．（2022秋•伽师县期中）已知向量，，，，的夹角为，若存在实数，使得，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•石河子校级月考）已知空间中三点，，，，1，，，，． （1）若，，三点共线，求的值； （2）若，的夹角是钝角，求的取值范围． 17．（2022春•天山区校级期中）已知平面向量，，． （1）若，求 （2）若与夹角为锐角，求的取值范围． 1．（2024春•伊宁市期中）已知，，与的夹角为． （1）求在方向上的投影； （2）求的值； （3）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 2．（2023春•天山区校级期中）已知非零向量，满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．（2023春•天山区校级期中）已知，为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 4．（2022春•新市区校级期中）已知，，为坐标原点． （1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）当，时，求的取值范围． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量最值与范围问题4种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量基本定理的最值问题 题型02平面向量的数量积的最值问题 题型03平面向量的模的最值问题 题型04平面向量夹角的最值问题 ( 题型01 ) 平面向量基本定理的最值问题 1．（2023春•库车市校级期中）在中，，，与相交于点，设，． （1）用，表示； （2）过点作直线分别与线段，交于点，，设，，求的最小值． 【解析】（1），，三点共线，设， 即，，． ． 同理由，，三点共线可得：，其中，， 根据平面向量基本定理知：，， 解得，， ． （2）由，，三点共线，． 又由（1）知， ，， 故， ，当且仅当， 故的最小值为． 2．（2024春•天山区校级期中）在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】中，， 点满足， ， 整理可得， ，， ， 因为，，三点共线，所以，，，， ， 当且仅当时取“”，则的最小值为． 故选：． 3．（2022秋•阿图什市校级期中）在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是 　　． 【解析】因为，为上任一点， ， 由共线定理得，，， 则， 当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值是12． 故答案为：12． ( 题型02 ) 平面向量的数量积的最值问题 （多选）4．（2024秋•塔城市校级期中）如图，在等腰梯形中，为腰的中点，，，是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点，则　　 A． B． C．的最小值为0 D．的最大值为 【解析】已知在等腰梯形中，为腰的中点，，，是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点， 中，因为是的中点， 所以， 所以正确； 中，设， 则， 因为，，三点共线， 所以， 解得， 所以正确； 中，由，， 可得， 结合向量数量积的定义可知：等于的模与在方向上的投影的乘积， 易知当点位于点时，取得最小值， 最小值为， 所以错误； 当点为位于点时，取得最大值， 最大值为， 所以正确． 故选：． 5．（2023春•天山区校级期中）中，，，是外接圆圆心，则的最大值为　　 A．0 B．1 C．3 D．5 【解析】中，，是外接圆圆心，如图所示： 则， 又因为，所以，即外接圆的半径； 所以 ， 因为、不重合，所以向量与的夹角范围是，， 所以， 所以，即为的中点时，取得最大值为． 故选：． 6．（2024春•天山区校级期中）四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，为线段上一动点，则的最大值为　　 A．8 B．16 C． D．32 【解析】如图，以为原点建立平面直角坐标系， 则，，，，其中， 所以，， 则出， 因为，所以当时，取最大值16， 故选：． ( 题型03 ) 平面向量的模的最值问题 7．（2023春•米东区校级期中）已知向量，向量，，则的最大值，最小值分别是　　 A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0 【解析】由，，，可得，， 设，则 ， 因为， 所以的最大值为16，最小值为0， 即的最大值为4，最小值为0． 故选：． 8．（2016秋•库尔勒市校级月考）已知向量，，，则的最大值为　　 A．1 B． C．3 D．9 【解析】，当时，取得最大值9，的最大值为3 故选：． 9．（2022秋•库尔勒市校级月考）已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为 　　． 【解析】由题意、是单位向量，， 建立如图平面直角坐标系， 设，，，则， ，即， 故向量的终点在以为圆心，半径等于2的圆上， 所以的最大值为， 故答案为：． 10．（2022春•皮山县校级期中）已知向量，． （1）当时，求的值； （2）求的最大值． 【解析】（1）已知向量，， 则， 当时，； （2）由题意可得：，， 则， 又， 则， 则的最大值为2． 11．（2024秋•阿克苏地区校级期中）平面内非零向量，，，有，，．且，则的最大值为 　　． 【解析】平面内非零向量，，，有，，． 故可建立如图所示的坐标系， 则，， 设， 因为， ， 即表示以为圆心，2为半径的圆上的点， 因为， 故的最大值为：， 故答案为：7． 12．（2021秋•疏勒县校级期中）已知平面向量，满足，且与的夹角为，若，则的最小值为　　 A．1 B． C． D． 【解析】如图所示：设，，则，可令， 则 ，点在上， 则由与的夹角为，可得， 故当时，线段最短，最小，故的最小值为， 故选：． ( 题型04 ) 平面向量夹角的最值问题 13．（2024春•图木舒克校级期中）已知向量，，，． （1）求； （2）若，求实数的值． （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【解析】（1），，， ，，，，． （2），， 又， ，解得． （3）与的夹角是钝角， ，且， ，且，解得且， 故实数的取值范围为． 14．（2023春•新市区校级月考）已知平面向量，，． （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【解析】（1）， ，解得：或， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述：或10 （2）若共线，则，解得：或， 当时，，，此时同向； 当时，，，此时反向； 若与的夹角为锐角， 则，解得：且， 故的取值范围为，，． 15．（2022秋•伽师县期中）已知向量，，，，的夹角为，若存在实数，使得，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】， 则， ， 则， 故， ， 由题意可知，． 故选：． 16．（2023秋•石河子校级月考）已知空间中三点，，，，1，，，，． （1）若，，三点共线，求的值； （2）若，的夹角是钝角，求的取值范围． 【解析】（1）因为，，，，1，，，，， 所以，2，，，，， 若，，三点共线，则， 即，解得， 所以； （2）因为，的夹角是钝角， 所以，即， 解得且， 所以的取值范围是，，． 17．（2022春•天山区校级期中）已知平面向量，，． （1）若，求 （2）若与夹角为锐角，求的取值范围． 【解析】（1），，解得或． 当时，，，，． 当时，，，，． 综上，或． （2）与夹角为锐角，， ，解得． 又当时，， 的取值范围是，，． 1．（2024春•伊宁市期中）已知，，与的夹角为． （1）求在方向上的投影； （2）求的值； （3）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）在方向上的投影为； （2）， ， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得， 则实数的取值范围为，，． 2．（2023春•天山区校级期中）已知非零向量，满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】关于的方程有实根，即， 即， 又，所以，且，， 那么． 故选：． 3．（2023春•天山区校级期中）已知，为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】，为单位向量，且， 设，， ，且， ， 设，， ，， ， ， ，且， 的取值范围为． 故选：． 4．（2022春•新市区校级期中）已知，，为坐标原点． （1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）当，时，求的取值范围． 【解析】（1）根据题意，，， 则，， 若与的夹角为钝角， 则有，且， 解得且，即的取值范围为，，； （2）根据题意，， 则， 所以， 又，则， 即的取值范围是，． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$