专题02 平面向量的数量积及其应用（含坐标）6种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题02 平面向量的数量积及其应用（含坐标） 6种常考题型总结 题型概览 题型01向量数量积的运算 题型02向量数量积的最值 题型03向量的模 题型04向量的垂直问题 题型05向量的夹角问题 题型06投影向量问题 ( 题型01 ) 向量数量积的运算 1．（2024春•博湖县校级期中）在边长为2的正方形中，为的中点，则　　 A．1 B．3 C．4 D．6 2．（2024秋•莎车县期中）已知，2，，，，，，1，，若为的中点，则等于　　 A． B． C．2 D．6 3．（2022秋•新疆期中）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径，小圆半径，点在大圆上，过点作小圆的切线，切点分别是，，则　　 A． B． C．4 D．5 4．（2024春•克州期中）已知向量，，且两向量夹角为，则　　 A．18 B．9 C． D． 5．（2024春•伊宁市期中）如图，在中，已知，，，点是边的中点，且，直线与相交于点，则　　． ( 题型0 2 ) 向量数量积的最值 6．（2023春•库车市校级期中）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为 　　． 7．（2022春•天山区校级期中）已知是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为 　　． ( 题型0 3 ) 向量的模 9．（2024春•天山区校级期中）已知向量，的夹角为，且，，则　　 A．1 B．3 C． D． 9．（2023春•塔城市校级期中）已知向量，的夹角为，，，则　　． 10．（2023秋•策勒县校级期中）已知、、均为单位向量，，，则　　 A．4 B． C．2 D． 11．（2023春•巴楚县校级期中）已知向量，的夹角为，，，则　　 A．2 B．3 C．6 D．12 12．（2023春•天山区校级期中）已知向量，，若，则　　 A．3 B． C． D． 13．（2024春•米东区校级期中）向量，，且，则实数　　． ( 题型0 4 ) 向量的垂直问题 14．（2024春•图木舒克校级期中）已知，，、的夹角，若，则　　． 15．（2023春•巴楚县校级期中）已知平面向量与垂直，则的值是　　 A． B． C．12 D． 16．（2021春•沙依巴克区校级期中）向量，，，且，则实数　　 A．3 B． C．7 D． 17．（2023秋•英吉沙县校级期中）若向量，，且，则实数的取值集合为　　 A． B． C． D． 18．（2023春•图木舒克校级期中）已知向量，，且，则　　． ( 题型0 5 ) 向量的夹角问题 19．（2024春•天山区校级期中）若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为　　 A． B． C． D． 20．（2024春•克州期中）已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求的值． 21．（2022秋•霍尔果斯市校级期中）已知向量，，设，的夹角为，则　　 A． B． C． D． 22．（2023春•米东区校级期中）已知，，且与垂直，则与的夹角是　　 A． B． C． D． 23．（2022春•新市区校级期中）非零向量满足，则与的夹角是　　 A． B． C． D． 24．（2022春•天山区校级期中）已知平面向量与，若，，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 25．（2022春•天山区校级期中）已知向量，的夹角为，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 26．（2022春•天山区校级期中）已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于　　 A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 投影向量问题 27．（2024春•喀什市期中）已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 28．（2024春•克州期中）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量 　　． 29．（2024春•天山区校级期中）已知，，，，则向量在向量上的投影向量为 　　（用坐标表示）． 30．（2024春•天山区校级期中）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 　　． 31．（2023春•天山区校级期中）已知，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 32．（2023春•库车市校级期中）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量为 　　． 1．（2024春•伊宁市期中）已知，，与的夹角为． （1）求在方向上的投影； （2）求的值； （3）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 2．（2024春•喀什市期中）已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求； （3）与的夹角的余弦值． 3．（2024春•天山区校级期中）如图，在四边形中，，，． （1）求的值； （2）若，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，是线段上的动点，且，求的最小值． 4．（2023春•天山区校级期中）已知是的中线，，，，则的最小值是 　　． 5．（2024春•图木舒克校级期中）已知向量，，，． （1）求； （2）若，求实数的值． （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 6．（2023春•天山区校级期中）已知平面向量，且． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量的数量积及其应用（含坐标） 6种常考题型总结 题型概览 题型01向量数量积的运算 题型02向量数量积的最值 题型03向量的模 题型04向量的垂直问题 题型05向量的夹角问题 题型06投影向量问题 ( 题型01 ) 向量数量积的运算 1．（2024春•博湖县校级期中）在边长为2的正方形中，为的中点，则　　 A．1 B．3 C．4 D．6 【解析】因为四边形是边长为2的正方形， 所以，， 由为的中点，可得， 所以 ． 故选：． 2．（2024秋•莎车县期中）已知，2，，，，，，1，，若为的中点，则等于　　 A． B． C．2 D．6 【解析】已知，2，，，，，，1，， 又为的中点， 则， 又， 则． 故选：． 3．（2022秋•新疆期中）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径，小圆半径，点在大圆上，过点作小圆的切线，切点分别是，，则　　 A． B． C．4 D．5 【解析】由题意得，， ，为切线，，，如图所示： 在中，， ， 又，， ， ， 故选：． 4．（2024春•克州期中）已知向量，，且两向量夹角为，则　　 A．18 B．9 C． D． 【解析】因为向量，，且两向量夹角为， 所以，． 故选：． 5．（2024春•伊宁市期中）如图，在中，已知，，，点是边的中点，且，直线与相交于点，则　　． 【解析】如图可知，， 是中点，， ，， 设，则， ，则， ，， ， 与不共线，，解得， ，， ． ． 故答案为：． ( 题型0 2 ) 向量数量积的最值 6．（2023春•库车市校级期中）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为 　　． 【解析】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 则，，， 设点坐标为，则，，， ， 当时，． 故答案为：． 7．（2022春•天山区校级期中）已知是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为 　　． 【解析】由三角形为边长为4的正三角形， 则， 又， 则 当时，的最小值为5， 故答案为：5． ( 题型0 3 ) 向量的模 9．（2024春•天山区校级期中）已知向量，的夹角为，且，，则　　 A．1 B．3 C． D． 【解析】，等式两边同时平方得， 又的夹角为，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以． 故选：． 9．（2023春•塔城市校级期中）已知向量，的夹角为，，，则　　． 【解析】由向量，的夹角为，，， 则， 则， 故答案为：． 10．（2023秋•策勒县校级期中）已知、、均为单位向量，，，则　　 A．4 B． C．2 D． 【解析】因为、、均为单位向量，，， 所以，， 所以， 因此． 故选：． 11．（2023春•巴楚县校级期中）已知向量，的夹角为，，，则　　 A．2 B．3 C．6 D．12 【解析】根据题意可得． 故选：． 12．（2023春•天山区校级期中）已知向量，，若，则　　 A．3 B． C． D． 【解析】向量，，， ，解得， ， ． 故选：． 13．（2024春•米东区校级期中）向量，，且，则实数　　． 【解析】因为，，且， 所以，即，解得． 故答案为： ( 题型0 4 ) 向量的垂直问题 14．（2024春•图木舒克校级期中）已知，，、的夹角，若，则　　． 【解析】，，、的夹角， 则， ， 则，即，解得． 故答案为：． 15．（2023春•巴楚县校级期中）已知平面向量与垂直，则的值是　　 A． B． C．12 D． 【解析】由题知，即，解得． 故选：． 16．（2021春•沙依巴克区校级期中）向量，，，且，则实数　　 A．3 B． C．7 D． 【解析】向量，，，且， ， 实数， 故选：． 17．（2023秋•英吉沙县校级期中）若向量，，且，则实数的取值集合为　　 A． B． C． D． 【解析】由得：； 当时，方程无实根； 当时，，解得：（舍或； 综上所述：实数的取值集合为． 故选：． 18．（2023春•图木舒克校级期中）已知向量，，且，则　　． 【解析】，， 所以， 解得． 故答案为：． ( 题型0 5 ) 向量的夹角问题 19．（2024春•天山区校级期中）若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】设向量的夹角为，，， ， 则， 均为单位向量， ，解得，解得． 故选：． 20．（2024春•克州期中）已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求的值． 【解析】（1）向量，，设求与夹角为，，， 则，故与夹角的余弦值为． （2）若，则， 求得． 21．（2022秋•霍尔果斯市校级期中）已知向量，，设，的夹角为，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以，，， 又，的夹角为，所以， 所以． 故选：． 22．（2023春•米东区校级期中）已知，，且与垂直，则与的夹角是　　 A． B． C． D． 【解析】与垂直， ， ， 化为，，， ． 故选：． 23．（2022春•新市区校级期中）非零向量满足，则与的夹角是　　 A． B． C． D． 【解析】非零向量满足， 利用平面向量的三角形法则及平行四边形法则可做如下图： 与的夹角为，为平行四边形的一条角平分线， 与的夹角为． 故选：． 24．（2022春•天山区校级期中）已知平面向量与，若，，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 又因为，， 所以， 解得， 又因为，， 所以与的夹角为． 故选：． 25．（2022春•天山区校级期中）已知向量，的夹角为，且，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量，的夹角为，且， 所以， 设与的夹角为， 则． 故选：． 26．（2022春•天山区校级期中）已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于　　 A． B． C． D． 【解析】由，得， 所以， 则向量，夹角的大小为． 故选：． ( 题型0 6 ) 投影向量问题 27．（2024春•喀什市期中）已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：． 28．（2024春•克州期中）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量 　　． 【解析】，为单位向量，且， 则，即，解得， 在方向上的投影向量为：． 故答案为：． 29．（2024春•天山区校级期中）已知，，，，则向量在向量上的投影向量为 　　（用坐标表示）． 【解析】因为，，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为． 故答案为：． 30．（2024春•天山区校级期中）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 　　． 【解析】，， 则，， 故向量在向量上的投影向量的坐标为：． 故答案为：． 31．（2023春•天山区校级期中）已知，，则向量在向量上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】，， 则，， 故向量在向量上的投影向量为：． 故选：． 32．（2023春•库车市校级期中）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量为 　　． 【解析】，， ， ， 在方向上的投影向量为． 故答案为：． 1．（2024春•伊宁市期中）已知，，与的夹角为． （1）求在方向上的投影； （2）求的值； （3）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）在方向上的投影为； （2）， ， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得， 则实数的取值范围为，，． 2．（2024春•喀什市期中）已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求； （3）与的夹角的余弦值． 【解析】（1）向量与的夹角，且，， ； ； （2）； （3）． 3．（2024春•天山区校级期中）如图，在四边形中，，，． （1）求的值； （2）若，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，是线段上的动点，且，求的最小值． 【解析】（1）已知四边形中，，，． 则； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 即； （3）以所在直线为轴正方向，过作垂线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，， 所以， 则， 设， 则， 因为，是线段上的两个动点， 所以， 解得， 所以， 所以， 所以当时，有最小值． 4．（2023春•天山区校级期中）已知是的中线，，，，则的最小值是 　　． 【解析】如图， ，， ，且是的中线， ， ， ，的最小值是． 故答案为：． 5．（2024春•图木舒克校级期中）已知向量，，，． （1）求； （2）若，求实数的值． （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【解析】（1），，， ，，，，． （2），， 又， ，解得． （3）与的夹角是钝角， ，且， ，且，解得且， 故实数的取值范围为． 6．（2023春•天山区校级期中）已知平面向量，且． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）． 【解析】（1）设， ， ， 又， ， ， ， 或， 或； （2）， ， 在上的投影向量为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$