专题10 空间直线、平面的平行垂直关系5种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题10 空间直线、平面的平行垂直关系5种常考题型总结 题型概览 题型01直线与平面平行 题型02平面与平面平行 题型03直线与直线垂直 题型04直线与平面垂直 题型05平面与平面垂直 ( 题型01 ) 直线与平面平行 1．（2024春•米东区校级期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 2．（2024春•米东区校级期中）如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是　　 A． B． C． D． 3．（2023春•天山区校级期中）如图所示，正四棱台是由一个正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面正方形的中心）被平行于底面的平面截所得．已知正四棱台下底面边长为2，上底面边长为1，高为2． （1）求四棱台的体积； （2）求正四棱锥的体积； （3）证明：平面． 4．（2022春•额敏县校级期中）在空间四边形中，，分别为，上的点，且，又，分别是，的中点，则　　 A．平面，且四边形是平行四边形 B．平面，且四边形是梯形 C．平面，且四边形是平行四边形 D．平面，且四边形是梯形 5．（2021秋•莎车县校级期中）已知平面，直线，满足，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2021秋•莎车县校级期中）如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段上一点，，，． （1）求证：； （2）若为的重心，在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． ( 题型02 ) 平面与平面平行 7．（2022春•米东区校级期中）若，，为空间三条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8．（2022春•新和县校级期中）如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 9．（2022春•和硕县校级期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别是，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． ( 题型03 ) 直线与直线垂直 10．（2022秋•疏附县期中）如图：在直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）求证：． 11．（2023秋•且末县校级期中）如图，已知在直三棱柱中，，为的中点，． 求证： （1）； （2）平面． ( 题型04 ) 直线与平面垂直 （多选）12．（2023春•喀什市校级期中）如图，在三棱锥中，能推出的条件是　　 A．， B．， C．平面平面， D．平面 13．（2022春•柯坪县校级期中）已知直线和平面，满足，，则　　 A． B．或 C． D． 14．（2022秋•皮山县期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，点为的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． 15．（2021春•沙湾县校级期中）如图，在梯形中，，，，平面，， （1）证明：平面； （2）若为的中点，求证：平面． 16．（2021秋•柯坪县校级期中）如图，四棱锥中，底面为正方形，面，、分别为、的中点， （1）求证：面； （2）求证：面． ( 题型0 5 ) 平面与平面垂直 17．（2022秋•塔城市校级期中）已知三棱锥，与都是等边三角形，． （1）若，求证：平面平面； （2）若，求三棱锥的体积． 18．（2022秋•皮山县期中）如图，三棱锥中，，，两两垂直，，且，分别为线段，的中点． （1）若点是线段的中点，求证：直线平面； （2）求证：平面平面． 19．（2021秋•库尔勒市校级期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）是否存在点使得平面，若存在请求的值，若不存在请说明理由： 1．（2021秋•疏勒县校级期中）若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有　　 A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条 2．（2023秋•库尔勒市校级期中）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别为，的中点．求证： （1）平面 （2）平面． 3．（2022春•天山区校级期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点、、分别在、、上． （1）若，求证：平面平面； （2）如图2所示，若满足，，当为何值时，面． 4．（2023秋•且末县校级期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 空间直线、平面的平行垂直关系5种常考题型总结 题型概览 题型01直线与平面平行 题型02平面与平面平行 题型03直线与直线垂直 题型04直线与平面垂直 题型05平面与平面垂直 ( 题型01 ) 直线与平面平行 1．（2024春•米东区校级期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）因为平面，平面，平面平面，所以， 又平面，平面，则平面； （2）取中点，连接，，易得，且， 由（1）知且， 则且，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面． 2．（2024春•米东区校级期中）如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，作出完整的截面，由正方体的性质可得，可得直线平面，能满足； 对于，作出完整的截面，由正方体的性质可得，可得直线平面，能满足； 对于，作出完整的截面，由正方体的性质可得，可得直线平面，能满足； 对于，作出完整的截面，如图，可得在平面内，不能得出平行，不能满足． 故选：． 3．（2023春•天山区校级期中）如图所示，正四棱台是由一个正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面正方形的中心）被平行于底面的平面截所得．已知正四棱台下底面边长为2，上底面边长为1，高为2． （1）求四棱台的体积； （2）求正四棱锥的体积； （3）证明：平面． 【解析】解（1）由已知，正四棱台上底面积，下底面积，高， （2）设正四棱锥高为，则四棱锥高为， 由，解得， （3）连结交于，连结，为正方形， 为中点， 又 为的中点， 则为的中位线， ， 而平面，平面， 平面 4．（2022春•额敏县校级期中）在空间四边形中，，分别为，上的点，且，又，分别是，的中点，则　　 A．平面，且四边形是平行四边形 B．平面，且四边形是梯形 C．平面，且四边形是平行四边形 D．平面，且四边形是梯形 【解析】如图， 由条件知，，，，且； ，且； 四边形为梯形； ，平面，平面； 平面； 若平面，则，显然不平行； 不平行平面； 选项正确． 故选：． 5．（2021秋•莎车县校级期中）已知平面，直线，满足，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为，，当时，与不一定平行，即充分性不成立； 当时，满足线面平行的判定定理，成立，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 6．（2021秋•莎车县校级期中）如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段上一点，，，． （1）求证：； （2）若为的重心，在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． 【解析】（1）证明：因为圆所在的平面， 所以平面，而平面， 所以， 又因为是圆的直径，为圆周上一点， 所以， 又， 所以平面，又平面， 所以， 又因为，， 所以平面，又平面， 所以， 又在直角三角形中，，所以， 又，所以， 所以为的中点，所以． （2）当为的中点时，平面，证明如下： 由（1）知为的中点，所以点在上，设的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． ( 题型02 ) 平面与平面平行 7．（2022春•米东区校级期中）若，，为空间三条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【解析】对于，时，，的位置关系是相交，平行或者异面，故错； 对于：若，是平面，外的直线，当时，满足，，不满足，故错； 对于：若，，则，可能相交，可能平行，故错； 对于：由，，则，又，由线面垂直的性质可得：．故正确． 故选：． 8．（2022春•新和县校级期中）如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 【解析】证明：（1）设与的交点为，连结， 四边形为平行四边形，为中点， 又是的中点，是三角形的中位线，则， 又平面，平面， 平面； （2）为线段的中点，点是的中点， 且，则四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面． 又平面，，且平面，平面， 平面平面． 9．（2022春•和硕县校级期中）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别是，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解析】证明：（1）由题意：四棱锥的底面为平行四边形， 点，，分别是，，的中点， 是的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2）由（1），知， ，分别是，的中点， ， 又平面，平面，， 平面，平面，， 平面平面． ( 题型03 ) 直线与直线垂直 10．（2022秋•疏附县期中）如图：在直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）求证：． 【解析】证明：（1）取的中点，连结，． 在中， 因为，分别为，中点， 所以，且． 直三棱柱中，，． 因为为棱的中点， 所以，且． 于是，． 所以四边形为平行四边形， 从而． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）在直三棱柱中，平面． 又平面， 所以． 因为，为中点， 所以． 由（1）知， 所以，． 又因为，平面，平面， 所以平面． 又平面， 所以． 11．（2023秋•且末县校级期中）如图，已知在直三棱柱中，，为的中点，． 求证： （1）； （2）平面． 【解析】证明：（1）连接， 是正方形， ， ，且， 平面， ， 与相交， 平面， 平面， ； （2）连接与相交于，连， ， 是正方形， ， 又为的中点， ， 平面，平面， 平面． ( 题型04 ) 直线与平面垂直 （多选）12．（2023春•喀什市校级期中）如图，在三棱锥中，能推出的条件是　　 A．， B．， C．平面平面， D．平面 【解析】对于，，，不能证明，不合题意； 对于，，，，则平面，又平面，可得，合题意； 对于，平面平面，平面平面，，平面，，合题意； 对于，平面，又平面，可得，合题意； 故选：． 13．（2022春•柯坪县校级期中）已知直线和平面，满足，，则　　 A． B．或 C． D． 【解析】直线和平面，满足，， 若，则，否则． 故选：． 14．（2022秋•皮山县期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，点为的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）底面，底面， ， 又由底面为矩形， 又，平面，平面， 平面； （2）连接，连接， 平面是矩形， 点为中点， 在中，为中点， ， 平面，平面， 平面． 15．（2021春•沙湾县校级期中）如图，在梯形中，，，，平面，， （1）证明：平面； （2）若为的中点，求证：平面． 【解析】证明：（1）平面，平面， ． 又，， 平面． （2），，， ，，． 平面， ， ． 又为的中点， ， 四边形是正方形， ．又平面，平面， 平面． 16．（2021秋•柯坪县校级期中）如图，四棱锥中，底面为正方形，面，、分别为、的中点， （1）求证：面； （2）求证：面． 【解析】证明：（1）连接，， 在中，，分别为、的中点， ， 面，面； 面； （2）面，面 ， 底面为正方形， ， 又，，面， 面． ( 题型0 5 ) 平面与平面垂直 17．（2022秋•塔城市校级期中）已知三棱锥，与都是等边三角形，． （1）若，求证：平面平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：取中点，连接，， 棱锥，与都是等边三角形， ，， 是二面角的平面角， ，， ，，， 平面平面； （2）取中点，连接，， 是等边三角形，，， ，，平面，， ， 是等边三角形，， 过作，交于，则， ， 三棱锥的体积． 18．（2022秋•皮山县期中）如图，三棱锥中，，，两两垂直，，且，分别为线段，的中点． （1）若点是线段的中点，求证：直线平面； （2）求证：平面平面． 【解析】证明：（1）因为为线段的中点，点是线段的中点， 所以由中位线定理知， 又在平面上，且在平面外， 因此根据线面平行判定定理得直线平面，得证． （2）因为，，两两垂直， 所以平面，可得， 又，， 因此根据线面垂直判定定理得平面， 又平面， 所以根据面面垂直判定定理得平面平面，得证． 19．（2021秋•库尔勒市校级期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）是否存在点使得平面，若存在请求的值，若不存在请说明理由： 【解析】（Ⅰ）证明：因为底面， 面， 所以． （Ⅱ）因为底面为直角梯形，， 所以， 因为底面， 面， 所以， 又， 所以面， 因为， 所以面， 又面， 所以平面平面． （Ⅲ）存在．理由如下： 连接，，连接交于， 因为面， 面， 面面， 所以， 所以． 1．（2021秋•疏勒县校级期中）若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有　　 A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条 【解析】如图所示，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，平面， 同理平面， 故选：． 2．（2023秋•库尔勒市校级期中）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别为，的中点．求证： （1）平面 （2）平面． 【解析】证明：（1）连接，交于点，连接，， ，分别为，中点，，且， 为中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． （2）设，则，， ，， ， ， 在三棱柱中，侧棱垂直于底面，， ，，，平面， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面． 3．（2022春•天山区校级期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点、、分别在、、上． （1）若，求证：平面平面； （2）如图2所示，若满足，，当为何值时，面． 【解析】（1）证明：，， ，， 平面，平面， 平面； ，， 平面，平面， 又，平面平面； （2）解：连接，交于，连接， 取的中点，连接，则， 平面，平面，平面， 取中点，连接，则， 平面，平面， 平面， 又，平面平面， 则平面，此时为的中点． ，． 4．（2023秋•且末县校级期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：分别连接，，，， 在菱形中，，则，又， △为正三角形，， 为中点，， 棱柱为直棱柱，平面平面， 且平面平面，在面内， 平面， ，分别为，中点，为△的中位线 ，且． 又为中点，且，，且， ，，四边形为平行四边形， ，所以平面，又平面， 平面平面． （2）由（1）知平面，平面，， ，，，底面为菱形，为中点， ，， ， 设点到平面的距离为， 根据题意有， ， 解得， 点到平面的距离为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$