第5章 特殊平行四边形（期中复习专练）-2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习培优检测卷

2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习培优检测 第5章 特殊平行四边形 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（本题2分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形的中位线定理，取的中点，取的中点，连接，可推出四边形是矩形，得到M为的中点；进而可得当点P从点B运动到点C，点从点运动到点，据此即可求解； 【规范解答】解：取的中点，取的中点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵M为的中点， ∴M为的中点， ∴当点P从点B运动到点C，点从点运动到点， ∵的中点为，的中点为， ∴是的中位线， ∴， 即：点M运动的路径长为， 故选：D 2．（本题2分）（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，由勾股定理可得，结合菱形的性质可得，，即可得解． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故选：C． 3．（本题2分）（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 4．（本题2分）（2025·安徽淮北·一模）如图，在矩形中 ，，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，由矩形的性质结合勾股定理可得，连接，作于，则，，求出，再由勾股定理求出的长，即可得解． 【规范解答】解：∵在矩形中 ，，， ∴， 如图，连接，作于， 由题意可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（本题2分）（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路点拨】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以； 由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； 由中的结论可得； 由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为． 【规范解答】解：连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． 正确； 延长，交于，交于点， ， ． 由知：， ． ． ， ． ． 即：， ． 正确； 由知：． 即：． 正确； 点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由知：， 的最小值为， 错误． 综上所述，正确的结论为：． 故选：A． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 6．（本题2分）（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②为等边三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【规范解答】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 而， ∴，故④错误， 故选：B． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度较大． 7．（本题2分）（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，，则下列结论中：①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】根据，，易得是的垂直平分线，证明，得到，，从而得到，根据，则，根据点是的中点，证明，得到，，易证，得到，，进而得到，即可求出即可判断①②；由，得到，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是菱形；即可判断③；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，，等量代换，即可判断④． 【规范解答】解：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，，故②正确； ， ， ，， ， ， 是等边三角形，故①正确； ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形；故③正确； ， ， ，， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【考点评析】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形判定和性质． 8．（本题2分）（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路点拨】此题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则 ，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定正确；熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴ 四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有，共个， 故选：． 9．（本题2分）（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】过点F作交于H，利用证明可得， ，证得是等腰直角三角形可得，由，可得，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可解答． 【规范解答】解：如图：过点F作交于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，, '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选:A． 【考点评析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题大键． 10．（本题2分）（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【思路点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 根据正方形的性质 中点的性质可得，根据全等三角形的性质得到，故①正确；易得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故③正确．根据，可得，所以∠，进而可知④错误． 【规范解答】解：四边形是正方形， ， E、F分别是，的中点， 在与中， ，故①正确； ，故②正确； 延长交的延长线于H， 点E是的中点， 是斜边的中线， ，故③正确； 不是等边三角形， ，故④错误； 故选：D． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（本题2分）（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理，由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：如果，那么，．；其中正确结论序号数是 【答案】 【思路点拨】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、尺规作图，根据尺规作图可知是的垂直平分线，根据菱形的四条边都相等可知，根据线段垂直平分线的性质可知，从而可知是等边三角形，根据等边三角形的性质、菱形的性质进行判断 即可． 【规范解答】解：如下图所示，连接， 由尺规作图可知是的垂直平分线，且点在直线上， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 故正确； 由可知， ， 是的垂直平分线，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， 故正确； 由菱形的性质可知，， ， 故错误； ，，， ， ， ， 故正确． 故答案为： ． 13．（本题2分）（24-25八年级下·全国·期中）菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   【答案】 5 5 【思路点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的对角线互相垂直平分，则可得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到菱形的边长；取中点E，连接，可证明，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可求出的长，据此可得答案． 【规范解答】解；如图所示，连接交于O， ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，即， ∴，， ∴， ∴菱形的边长为5； 如图所示，取中点E，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E和点M分别为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：5；5． 14．（本题2分）（23-24八年级下·海南海口·期中）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 【答案】或 【思路点拨】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【规范解答】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 15．（本题2分）（24-25八年级上·山东济南·期中）学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了勾股定理，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，根据图形得，再根据两图形的面积相等即可求出的值，根据即可求解，注意利用图形之间的关系进行求解是解题的关键． 【规范解答】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为， 由图2可得，小正方形的边长为， ，即， 围成的矩形长为：， 围成的矩形面积为：， 矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得 或（舍去）， ， 故答案为：10． 16．（本题2分）（2024·陕西西安·二模）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，进而勾股定理求得，即可求解． 【规范解答】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 17．（本题2分）（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点E、F、G、H分别是边、、、中点，在直线上方有一动点P，且满足，则周长的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】证明出四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，说明点在上，作点关于的对称点，连接，交于点，则三角形为所求，利用勾股定理求出，即可求出最小周长． 【规范解答】解：如图，连接、交于， 点、、、分别是边、、、中点， 、为、的中位线， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， ， 四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为， ， 点在上， 作点关于的对称点，连接，交于点， 由对称得，， ， 由两点间线段最短得，此时最短， 周长最短， ，， 为等边三角形， ， ， ， 点、分别是边、的中点，且， 为等边三角形， ， 到的距离为， 点到的距离为， 点到的距离为， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了轴对称线段最短问题，菱形性质、中点四边形性质及三角形中位线性质的应用是本题的解题关键． 18．（本题2分）（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1所示，在边长为4的正方形中，点分别为的中点，和相交于点；如图2所示，将图1中边长为4的正方形折叠，使得点落在边的中点处，点落在点处，折痕为．现有四个结论：图1中：①；②；③；图2中：④．其中正确的结论有： ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】结合正方形的性质证明，由全等三角性质的性质可得，，即可判断结论①；证明，易得，即可判断结论②；利用面积法解得的长度，即可判断结论③；图2中，过点作于点，连接交于，证明，由全等三角性质的性质可得，利用勾股定理解得的值，即可判断结论④． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴，故结论③错误； 图2中，过点作于点，连接交于，如下图， 由题意可知， 由折叠可知，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质并灵活运用是解题关键． 19．（本题2分）（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查了线段和最小值中典型的“将军饮马型”，矩形的性质，勾股定理等，找到取得最小值的条件，掌握典型问题的解法是解题的关键． 作P关于的对称点，连接，交于E，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于F，于H，利用勾股定理求出和即可． 【规范解答】解：如图，作P关于的对称点，连接，交于E，连接，    ∴， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为， 作于F，于H， ∵， ∴， ∵点O是矩形的对称中心，经过点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 20．（本题2分）（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，，，为的中点，是对角线上一动点（），为矩形内下方一点，连接与交于点，已知，当为直角三角形时，则 ． 【答案】或． 【思路点拨】解：由矩形的性质得，，，根据平行线的性质得，再利用度直角三角形的性质得，由勾股定理得，为直角三角形，分为或，两种情况，利用全等三角形的性质及等腰三角形的性质和勾股定理求解即可得解． 【规范解答】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵为的中点， ∴． 当为直角三角形时，分为或， 当时，如解图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 在中，； 当时，如解图②，连接， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，． 综上所述，当为直角三角形时，的值为或， 故答案为：或2． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（本题6分）（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形； (2)与之间的关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角的平分线，可得出，又由即可得到，然后根据矩形的判断即可得证； （2）利用矩形的性质可求，根据三角形中线可得，得出是的中位线，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：中，，是中线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； （2）解：，，理由如下： 由（1）知，四边形为矩形， ， 中，是中线， ， 是的中位线， ，． 22．（本题6分）（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点，，交轴于点点在轴的正半轴上，且，连接，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或2或 【思路点拨】（1）根据，得到，结合，推出，得到，然后问题可求证； （2）根据题意可分①当时，②当时，③当时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由题意可分： ①当时，过点B作轴于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴； ②当时， 在中，由勾股定理得； ③当时， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得：； 综上所述：当为等腰三角形时，或2或． 【考点评析】本题主要考查坐标与图形、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握数形结合的思想及分类讨论的思想是解题的关键． 23．（本题8分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【思路点拨】（1）过A点作于G，利用角平分线定义求出，可得，，得再证明四边形是矩形．得，得； （2）根据角平分线性质得，，即得． （3）根据（1）（2）小题结论得四边形是正方形，得，根据全等三角形得，设，，根据，得，解得，即得； （4）把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N，可得四边形是正方形，得，得，，根据，即得． 【规范解答】（1）证明：过A点作于G， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是两个外角的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；    （2）解：过A点作于G， ∵分别是两个外角的平分线，，， ∴， ∴；    （3）解：∵， ∴， 由（1）（2）知，四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴；    （4）解：把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N， ∴，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴中，， ∴．    【考点评析】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握角平分线定义和性质．全等三角形的判定和性质，矩形和正方形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，作辅助线，是解题关键． 24．（本题8分）（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图所示，在梯形中，，，，，，动点从点出发沿方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点、分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，的长为？ 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】此题主要考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键； （1）设经过，四边形为平行四边形，即，列方程求解即可； （2）设经过，四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可； 【规范解答】（1）解：设经过，四边形为平行四边形， 则；即， 解得：； （2）解：设经过，四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 25．（本题8分）（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证： (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3) 【思路点拨】（1）证明是等腰直角三角形，利用即可证明，从而证得，据此即可证得结论； （2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到； （3）过点作，过点作，勾股定理求出的长，三线合一求出的长，进而求出的长，根据全等三角形的性质，求出的长，证明为等腰三角形，求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 则在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）； 理由：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）过点作，过点作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 26．（本题8分）（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)图形见解析，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【思路点拨】（1）由正方形的性质可知，即可证明结论； （2）①连接，，首先证明，得，再证明，得，，得出是等腰直角三角形，从而得出答案； ②连接，首先利用，证明四边形是平行四边形，得，则，在中，利用勾股定理可得结论． 【规范解答】（1）解：补全图形如图， 证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）①证明：如图，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：． 证明：连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 27．（本题8分）（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析 (5)或或 【思路点拨】（1）通过折叠和平行，即可证明为等腰三角形； （2）当最小时，即最小时，的面积取得最小值，当时，的面积最小； （3）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，为等边三角形； （4）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，过点作的垂线，交于点，交于点，为等边三角形； （5）分三种情况画出图形，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 纸片沿线段折叠， ， 四边形为长方形， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：由（1）得， 的面积， 当最小时，即最小时，的面积取得最小值， 当时，的面积最小； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图，即为所求； （5）解：第一种情况如图所示： ； 第二种情况如图所示： ； 第三种情况如图所示： ； 综上所述，三角形纸片中最大内角的度数为或或． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，分类讨论，尺规作图，折叠的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 28．（本题8分）（23-24八年级下·广东佛山·期中）综合运用 如图1，过点作轴于点，作轴于点，连接，点是线段上的一点，连接，过点作，交轴于点，点在射线上，且，连接，设点坐标为． (1)若点的坐标为，求所在直线的解析式； (2)求（用含的代数式表示）； (3)如图2，延长与直线交于点，当为等腰三角形时，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【思路点拨】（1）过点作于点，根据题意易得，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，设所在直线的解析式为，利用待定系数法，求解直线的表达式即可； （2）过点作于点，作，交于点，交轴于点，由题意得，，，，证明为等腰三角形，可得，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：当点在边上时，解得，进而可得，即可确定点坐标；当点在的延长线上时，同理可得，进而确定，的值，即可确定点坐标． 【规范解答】（1）解：如下图，过点作于点， ∵，且过点作轴于点，作轴于点， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）过点作于点，作，交于点，交轴于点， 由题意得，四边形为正方形，为矩形， ∵，， ∴，，， 根据正方形的对称性，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）当点在边上时，如下图， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 即， ∴， 则， 则点； 当点在的延长线上时，如下图， 同理可得：， ∴在中，， ∴， ∴， 则． 综上所述，点的坐标为或． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习培优检测 第5章 特殊平行四边形 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（本题2分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（    ） A． B．2 C． D． 2．（本题2分）（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（2025·安徽淮北·一模）如图，在矩形中 ，，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 5．（本题2分）（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．（本题2分）（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②为等边三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（本题2分）（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，，则下列结论中：①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（本题2分）（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（本题2分）（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 10．（本题2分）（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（本题2分）（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为 ． 12．（本题2分）（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：如果，那么，．；其中正确结论序号数是 13．（本题2分）（24-25八年级下·全国·期中）菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   14．（本题2分）（23-24八年级下·海南海口·期中）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 15．（本题2分）（24-25八年级上·山东济南·期中）学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 ． 16．（本题2分）（2024·陕西西安·二模）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 17．（本题2分）（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点E、F、G、H分别是边、、、中点，在直线上方有一动点P，且满足，则周长的最小值为 ． 18．（本题2分）（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1所示，在边长为4的正方形中，点分别为的中点，和相交于点；如图2所示，将图1中边长为4的正方形折叠，使得点落在边的中点处，点落在点处，折痕为．现有四个结论：图1中：①；②；③；图2中：④．其中正确的结论有： ．（填序号） 19．（本题2分）（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 ．    20．（本题2分）（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，，，为的中点，是对角线上一动点（），为矩形内下方一点，连接与交于点，已知，当为直角三角形时，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（本题6分）（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形； (2)与之间的关系是什么？请说明理由． 22．（本题6分）（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点，，交轴于点点在轴的正半轴上，且，连接，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，当为等腰三角形时，求的值． 23．（本题8分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 24．（本题8分）（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图所示，在梯形中，，，，，，动点从点出发沿方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点、分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，的长为？ 25．（本题8分）（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证： (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 26．（本题8分）（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系． 27．（本题8分）（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） 28．（本题8分）（23-24八年级下·广东佛山·期中）综合运用 如图1，过点作轴于点，作轴于点，连接，点是线段上的一点，连接，过点作，交轴于点，点在射线上，且，连接，设点坐标为． (1)若点的坐标为，求所在直线的解析式； (2)求（用含的代数式表示）； (3)如图2，延长与直线交于点，当为等腰三角形时，求点坐标． 第 1 页 共 5 页 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