第2章 一元二次方程（期中复习专练）-2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习培优检测卷

2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习培优检测 第2章 一元二次方程 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（本题2分）（12-13九年级上·山西大同·阶段练习）用配方法解一元二次方程，方程可变形为（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（19-20九年级上·河北保定·期末）某农机厂一月份生产零件万个，第一季度生产零件万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（22-23八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 5．（本题2分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 6．（本题2分）（23-24八年级下·上海徐汇·期中）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是二项方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 7．（本题2分）（23-24九年级上·重庆江北·阶段练习）下列结论①当时，若，则；②无论x取任何实数，等式都恒成立，则；③若，，则；④满足的整数解共有12个．正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（本题2分）（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 9．（本题2分）（21-22八年级下·安徽合肥·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 10．（本题2分）（19-20八年级下·江苏淮安·阶段练习）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　） A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（本题2分）（19-20九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为 12．（本题2分）（22-23八年级下·重庆江北·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 13．（本题2分）（23-24八年级下·山东烟台·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ． 14．（本题2分）（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 15．（本题2分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 16．（本题2分）（23-24八年级下·安徽亳州·期中）已知是方程的两个实数根，那么的值为 ． 17．（本题2分）（23-24八年级下·安徽安庆·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数对应的，则的值是 ． 18．（本题2分）（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 19．（本题2分）（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，将沿翻折得到，连接、，过点F作于点P．则线段的长为 ．    20．（本题2分）（20-21八年级下·四川成都·期中）当，是正实数，且满足时，就称点为“完美点”，已知点与点都在直线上，点，是“完美点”，且点在线段上，若，，则点的坐标是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（本题6分）（22-23八年级下·重庆江北·期中）（1）计算： （2）解方程：． 22．（本题6分）（21-22九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 23．（本题8分）（22-23八年级下·重庆江北·期中）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 24．（本题8分）（22-23八年级下·重庆江北·期中）已知一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，x轴上有一点． (1)如图1，求线段的长度； (2)如图2，点G和点B关于x轴对称， ①求直线的函数解析式； ②点P在直线上，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标． 25．（本题8分）（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 26．（本题8分）（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 27．（本题8分）（21-22八年级下·广西梧州·期中）如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示） (2)当t为几秒时，的长度等于？ (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 28．（本题8分）（22-23九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习培优检测 第2章 一元二次方程 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（本题2分）（12-13九年级上·山西大同·阶段练习）用配方法解一元二次方程，方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的配方法，先移项，再在方程的左右同时加上一次项系数一半的平方，然后化为平方式，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 则， 故选：B． 2．（本题2分）（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了解一元二次方程的几何解法，根据题目给出的条件、找出合适的等量关系、列出方程是解答本题的关键．根据题意将x的方程 化为，即长方形的长为，宽为x ，再依据大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，用代数式表示出边长即可． 【规范解答】解：∵ 大正方形的面积为14，小正方形的面积为4， ∴关于 x的方程 化为， ∴图中长方形的长为，宽为x ， ∴图中小正方形的边长是  ， 大正方形的边长是  ， ∴  ， ∴  ， 故 ，  ， 故选：D． 3．（本题2分）（19-20九年级上·河北保定·期末）某农机厂一月份生产零件万个，第一季度生产零件万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件平均每月的增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设该厂生产零件平均每月的增长率为， 由题意得，， 故选：． 4．（本题2分）（22-23八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由直线解析式求得，然后确定的符号即可． 【规范解答】解：直线不经过第四象限， ， 关于的方程， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5．（本题2分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【思路点拨】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 6．（本题2分）（23-24八年级下·上海徐汇·期中）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是二项方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 【答案】D 【思路点拨】根据二项方程、分式方程、无理方程和二元二次方程组的定义逐项判断即可． 本题考查二项方程、分式方程、无理方程和二元二次方程的定义，熟知各项方程的定义是本题的关键． 【规范解答】解：A、是一元二次方程，不是分式方程，故本选项错误； B. 是一元二次方程，不是二项方程，故本选项错误； C、是分式方程，不是无理方程，故本选项错误； D、是二元二次方程组，故此选项正确． 故选D． 7．（本题2分）（23-24九年级上·重庆江北·阶段练习）下列结论①当时，若，则；②无论x取任何实数，等式都恒成立，则；③若，，则；④满足的整数解共有12个．正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】①将代入代数式，计算即可；②提出来公因式，可求得结果；③两方程相加，令，可求得有两个值；④根据题意可得，列出整式解即可． 【规范解答】解：①当时， 即， 则或， 即或， 故①错误； ②， 即， 则或， ∵取任何实数都成立， ∴， ∴， 故②正确； ③两式相加可得：， 则， 合并可得：， 令，可得， 解得或， 即或与原说法矛盾， 故③错误； ④， 即， ∴， 整数解有：共13个， 故④错误； ∴正确的个数有1个， 故选：A． 【考点评析】本题考查了整式的加减、二元一次不等式的解、完全平方公式、一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式． 8．（本题2分）（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意， ∴ ∴符合题意， 故选B． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 9．（本题2分）（21-22八年级下·安徽合肥·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 【答案】D 【思路点拨】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【规范解答】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 10．（本题2分）（19-20八年级下·江苏淮安·阶段练习）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　） A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 【答案】C 【思路点拨】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案． 【规范解答】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm， 根据题意可得， ， 将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③， 将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11，整理得：， 解得：或（舍），则x=y+1=6， 则矩形的宽为5cm，长为6cm， 按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：， 故选：C． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（本题2分）（19-20九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为 【答案】或 【思路点拨】本题考查传染流感病问题，关键分清题意，找出等量关系，两轮传染的人数是等量关系，列出一轮传染的代数式，二轮传染的代数式即可解决问题，先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数即可列出方程． 【规范解答】解：第一轮传染后患流感的人数为：人， 第二轮传染后患流感的人数为：， 经过两轮传染后共有人患了流感， 可列方程为：或． 故答案为：或． 12．（本题2分）（22-23八年级下·重庆江北·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 13．（本题2分）（23-24八年级下·山东烟台·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了同类二次根式及一元二次方程，掌握同类二次根式的含义是关键．两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相等，由此可得关于a的方程，解方程即可． 【规范解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得： 当时，， 当时，不符合题意舍去， 故答案为：3 14．（本题2分）（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【规范解答】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 15．（本题2分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【思路点拨】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【规范解答】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 16．（本题2分）（23-24八年级下·安徽亳州·期中）已知是方程的两个实数根，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，变形后将各自的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 则原式． 故答案为：． 17．（本题2分）（23-24八年级下·安徽安庆·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数对应的，则的值是 ． 【答案】或/或 【思路点拨】本题考查解一元二次方程---直接开平方法、以及对新定义的理解，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用解方程的方法解答．根据题目中的新定义，可以得到相应的方程，从而可以求得相应的x的值． 【规范解答】解：对于函数，规定． 又函数对应的， ， ， 解得，． 故答案为：或． 18．（本题2分）（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【思路点拨】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【规范解答】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 19．（本题2分）（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，将沿翻折得到，连接、，过点F作于点P．则线段的长为 ．    【答案】/ 【思路点拨】过F点作于M点，交于N点，根据矩形的性质以及翻折的性质有：，，再证明四边形、都是矩形，即有，，，设，，则，，，根据在中，，在中，，可得，，上述两个方程相减后，化简可得：，将代入，化简可得，解方程即可求解． 【规范解答】解：过F点作于M点，交于N点，如图，    ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， 根据翻折的性质有：，， ∵，， ∴结合矩形的性质有：四边形、都是矩形， ∴，，， 设，， ∴，，， ∵在中，，在中，， ∴，， 上述两个方程相减后，化简可得：， 将代入， 化简可得， 解得：，（，不符合题意，舍去） 故， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质以及一元二次方程的应用等知识，灵活运用勾股定理，是解答本题的关键． 20．（本题2分）（20-21八年级下·四川成都·期中）当，是正实数，且满足时，就称点为“完美点”，已知点与点都在直线上，点，是“完美点”，且点在线段上，若，，则点的坐标是 ． 【答案】或 【思路点拨】由变式为，可知，即“完美点”B在直线上，根据点可得直线：，联立，可得，由直线：，设M点坐标为：，根据，，可得，解得：，即M点坐标为：，，结合点在线段上，可得M点坐标为：，根据点C是“完美点”，可得同理点C在直线上，即设C点坐标为：，结合，M点坐标为：，可得，解得，，或者，问题随之得解． 【规范解答】∵且m，n是正实数， ∴，即， ∴， 即，， 则有， 即“完美点”B在直线上， ∵点在直线上， ∴， ∴直线：， ∵“完美点”B在直线上， ∴由，解得， ∴， 由直线：，设M点坐标为：， ∵，， ∴， 解得：， 即M点坐标为：，或， ∵点在线段上， ∴舍去，M点坐标为：， ∵点C是“完美点”， ∴同理点C在直线上， 即设C点坐标为：， ∵，M点坐标为：， ∴， 解得，，或者， ∴C点坐标为：，， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理的应用，解一元二次方程等知识，熟练运用勾股定理求解两点之间的距离，是本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（本题6分）（22-23八年级下·重庆江北·期中）（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程和二次根式的混合运算，解题的关键是根据配方法和计算法则来计算． （1）根据二次根式混合运算的计算法则进行计算； （2）用配方法解一元二次方程． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 即， 配方得， 即， ． 22．（本题6分）（21-22九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 23．（本题8分）（22-23八年级下·重庆江北·期中）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元 (2)每个圆规的售价为11元 【思路点拨】本题考查了分式方程、一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元，列出分式方程，即可求解； （2）设每个圆规的售价为m元，根据圆规平均每天的总获利为200元，列出一元二次方程，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元； （2）解：设每个圆规的售价为m元， 根据题意，得， 解得，， 又降价幅度不超过 ∴， 答∶ 每个圆规的售价为11元． 24．（本题8分）（22-23八年级下·重庆江北·期中）已知一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，x轴上有一点． (1)如图1，求线段的长度； (2)如图2，点G和点B关于x轴对称， ①求直线的函数解析式； ②点P在直线上，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①直线的解析式为； ②点的坐标为或 【思路点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，待定系数法，等腰三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点坐标，即可求出答案； （2）①根据点和点关于轴对称得，利用待定系数法即可求出直线的解析式； ②分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴交于点， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知，， ∵点和点关于轴对称， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ②∵点在直线上， ， ， ，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，， ， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，， ， 化简得， ， ∴原方程无解； 综上，点的坐标为或． 25．（本题8分）（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 【答案】(1)50，8 (2)5或25元 (3)该电风扇每天销售利润不能达到2000元，理由见解答 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△时，方程无实数根”． （1）利用降价后每台电风扇的利润降价前每台电风扇的利润降低的价格，即可求出降价后每台电风扇的利润，利用平均每天可多出售电风扇的台数，即可求出平均每天可多出售电风扇的台数； （2）设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 【规范解答】（1）解：根据题意得：当每台电风扇降价10元时，每台的利润为（元）， 平均每天多售出（台）， 故答案为：50，8； （2）解：设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得， 整理得， 解得，， 答：每台需要降价5或25元； （3）解：该电风扇每天销售利润不能达到2000元， 理由如下： 假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 26．（本题8分）（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 【答案】(1)验证见解析 (2)， (3) 【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明和应用，构造一元二次方程求解． （1）利用大正方形的面积的两种表达方式，列式计算即可求解； （2）由题意得，求得，，利用根与系数的关系构造一元二次方程，解方程即可求解； （3）作于点，在和中，利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ∴ ∴； （2）解：由题意得， ∴， ， ∴， ∴，是方程的两根， 解得， ∵， ∴，； （3）解：作于点， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． ∴ ． 27．（本题8分）（21-22八年级下·广西梧州·期中）如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示） (2)当t为几秒时，的长度等于？ (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 【答案】(1) (2) (3)存在，2 【思路点拨】（1）由路程速度时间，可直接求解； （2）由勾股定理构建方程求解； （3）由题意可得的面积等于面积的，由三角形的面积公式可求解． 【规范解答】（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ，， ， 故答案为：，； （2）由题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，的长等于； （3）存在，理由如下： 若四边形的面积等于面积的， 的面积等于面积的， ， ， 解得：或， 当时， 当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去， 存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 28．（本题8分）（22-23九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆 (2)促销时每袋应降价3元 【思路点拨】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【规范解答】（1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得（舍去） ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价3元． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$