第1章 二次根式（期中复习专练）-2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习培优检测卷

2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习培优检测 第1章 二次根式 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（本题2分）（24-25八年级上·河北保定·期中）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【规范解答】解：由图知：， ，， ． 故选：C． 2．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）若x，y是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（　　） A． B． C． D．12 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数的估算和算术平方根，二次根式的性质，先估算，则，结合题意得到，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ，且x，y是两个连续自然数， ， ， 的算术平方根为． 3．（本题2分）（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（本题2分）（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【规范解答】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选C 5．（本题2分）（18-19八年级下·重庆巴南·期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路点拨】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2． 【规范解答】解：解不等式得x＞m， 解不等式得x＞2， ∵不等式组解集为x＞2， ∴m≤2， ∵式子的值是整数， 则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m≤2得，m=-3，-2或2． 即符合条件的所有整数m的个数是3个． 故选：C． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键． 6．（本题2分）（2020·浙江杭州·模拟预测）关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【思路点拨】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【规范解答】解：①当时， ． 故①正确； ②若值为2， 则， ∴a2+2a+1=2a+4， ∴a2=3， ∴． 故②错误； ③若a＞-2，则a+2＞0， ∴= = =≥0． ∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0． 故③正确． 综上，正确的有①③． 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键． 7．（本题2分）（20-21八年级上·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【规范解答】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【考点评析】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 8．（本题2分）（19-20八年级上·重庆沙坪坝·期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 【答案】D 【思路点拨】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可． 【规范解答】解：去分母得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴ ， ∴， 又∵是增根，当时， ，即， ∴， ∵有意义， ∴， ∴， 因此 且， ∵m为整数， ∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4， 故选：D． 【考点评析】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义． 9．（本题2分）（22-23八年级下·广东广州·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．正方形的对角线相等 C．对顶角相等 D．若，则 【答案】A 【思路点拨】将每个命题的条件和结论对调，再判断其正确与否． 【规范解答】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形， 逆命题是，平行四边形的对角线互相平分，成立； B.正方形的对角线相等， 逆命题是，对角线相等的四边形是正方形，不成立； C.对顶角相等， 逆命题是，相等的两个角是对顶角，不成立；     D.若，则， 逆命题是，若，则，不成立． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了逆命题及其真假，解决问题的关键是熟练掌握构造逆命题的方法，其真伪的判断． 10．（本题2分）（24-25八年级上·浙江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（   ） A．50 B．40 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，过作于，过作于，求解，，，，延长交于，则，由勾股定理可得：，可得：，，同理可得：，可得：，，，再进一步求解即可． 【规范解答】解：如图，过作于，过作于， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 故选：A 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（本题2分）（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 【答案】2024 【思路点拨】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可． 【规范解答】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的小数部分为 m， 的小数部分为n，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了无理数的估算以及不等式的性质，得到和，是解答本题的关键． 由，可得，即可得和，则m和n的值可求，则问题得解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为7， ∴的小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为0， ∴的小数部分为， ∴， ∴． 故答案为：1． 13．（本题2分）（24-25八年级上·陕西渭南·期中）数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对的题号是 ．（填序号） 【答案】③⑤ 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式混合运算的法则进行计算即可，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【规范解答】解：①，故①不符合题意； ②与不是同类二次根式，不能合并，故②不符合题意； ③，故③符合题意； ④，故④不符合题意； ⑤，故⑤符合题意； ∴正确的有个，分别是③⑤， 故答案为：③⑤． 14．（本题2分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算，因式分解的应用，先计算、，再提取公因式得到，再把、的值代入进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（本题2分）（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，由数轴可得，，即可得，，，再根据二次根式的性质化简即可求解，由数轴确定的符号是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴原式， 故答案为：． 16．（本题2分）（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数x、y满足，则的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的非负性进行求解及掌握二次根式化简的基本步骤及方法．先根据求出的值，再对进行化简代值计算可得． 【规范解答】解：， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 17．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 【答案】0 【思路点拨】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【规范解答】解： ∴ ， 故答案为：0． 18．（本题2分）（21-22八年级下·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示． 化简 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用绝对值和二次根式的性质进行化简，掌握性质是解题的关键．由数轴可得，，根据进行化简即可． 【规范解答】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 19．（本题2分）（23-24八年级下·山东淄博·期中）有如下一串二次根式：；；；，仿照，写出第个二次根式 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数字类变化规律，根据已知二次根式找到变化规律即可求解，由已知二次根式找到变化规律是解题的关键． 【规范解答】解：， ， ， ， ∴第个二次根式为， 故答案为：． 20．（本题2分）（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，当在上时，四边形的周长最小．证明，过点作交的延长线于点．设交于点．求出即可解决问题． 【规范解答】解：如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点T，连接交于点P，连接，，，，， ∵作且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵作点关于的对称点T， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∴当在上时，四边形的周长为，此时周长最小， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过点作交的延长线于点，设交于点，则，， ，， ， ， ∴四边形的周长的最小值， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（本题6分）（24-25八年级上·广东梅州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【思路点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据乘方的法则，去绝对值的法则，立方根的定义，实数的运算法则计算即可． （2）根据算术平方根的定义，实数的运算法则计算即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 22．（本题6分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【思路点拨】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【规范解答】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 23．（本题6分）（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 【答案】(1)a：；b： (2) (3) 【思路点拨】（1）参照③式，④式，进行计算即可解答； （2）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：a：参照③式得， 故答案为：； b：参照④式得， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【考点评析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24．（本题8分）（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3)延伸拓展：直接判断与的大小． 【答案】(1) (2)①为直角三角形，见解析，② (3) 【思路点拨】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． （3）将，两个式子分别平方后，再进行比较． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； ②三角形任意两边之和大于第三边， ． （3）解：，， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． 25．（本题8分）29．（22-23八年级下·北京海淀·期中）如图，三角形中，，，为线段上任意一点，是的中点，连接，作垂直于且满足（点与点在直线同侧），连接，直线交于点． (1)根据题意补全图1；若，则的长为______； (2)若点恰好是线段的中点，连接，证明：且． (3)作点关于直线的对称点．连接，，当取最小值时，直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）过点E作于点H，先后求得，，，，在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点E作交于点M，过点D作交于点N，推出是等腰直角三角形，得到点是线段的中点，证明，得到，，再证明，，，推出是等腰直角三角形，据此即可证明结论； （3）由于，则点Q的运动轨迹是以D为圆心，为直径的圆，则当A、Q、D三点共线时，的值最小，求得，，利用等高的两个三角形的面积关系即可求解． 【规范解答】（1）解：过点E作于点H，则， 三角形中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得，； 故答案为：； （2）证明：过点E作交于点M，过点D作交于点N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即点是线段的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即且； （3）解：由题意得， ∴点Q的运动轨迹是以D为圆心，为直径的圆， ∴当A、Q、D三点共线时，的值最小，如图， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【考点评析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 26．（本题8分）（22-23八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，25千米 (3)5 【思路点拨】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，也考查二次根式运算． （1）根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论； （2）过作于，根据矩形的性质得到，求得千米，根据勾股定理得到（千米），作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则此时的值最小，即总造价最低，过作于，则千米，千米，根据勾股定理得到（千米）； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：如图， ∵ ∴，，， ∴， ∴梯形的面积，四边形的面积，的面积， ∵梯形的面积四边形的面积的面积， ， 化简得； （2）解：过作于， ，， ， 四边形是长方形， ，， 千米，千米， 千米， 千米， （千米）， 作点关于直线的对称点，则，， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为长，即连接交直线于点， 过作于，则四边形为长方形， 则千米，千米， （千米）， （千米）， 答：两条公路的总长为25千米； （3）解：如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，过作于，则四边形为长方形， 设，则 ∴，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值，最大值为． 27．（本题8分）（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①见解析，；② 【思路点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【规范解答】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． 28．（本题8分）（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点，直线交直线于点．    (1)设，则______（用含m的代数式表示），并证明：； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并给出证明． (3)若，，求的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)42 【思路点拨】（1）利用翻折的性质得，则，从而求得，再根据，得到，则，从而求得，最后由可得出结论． （2）连接，先由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，再由折叠性质，得，由（1）知，，求得，然后由勾股定理可得出结论． （3）过点C作于H， 由翻折性质得，利用勾股定理可求得，，则，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理求得，然后由（2）知：求得，即可由求解． 【规范解答】（1）解：∵线段沿直线翻折得线段， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； 证明：∵线段沿直线翻折得线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （2）解： 证明：连接，如图，   ，， ∴， 由翻折知，， 由（1）知，， ， ， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于H，如图，    由翻折知，，， ∴， 由（1）知： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查翻折的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，三角形的面积等知识．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习培优检测 第1章 二次根式 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（本题2分）（24-25八年级上·河北保定·期中）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 2．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）若x，y是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（　　） A． B． C． D．12 3．（本题2分）（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（18-19八年级下·重庆巴南·期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 6．（本题2分）（2020·浙江杭州·模拟预测）关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 7．（本题2分）（20-21八年级上·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 8．（本题2分）（19-20八年级上·重庆沙坪坝·期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 9．（本题2分）（22-23八年级下·广东广州·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．正方形的对角线相等 C．对顶角相等 D．若，则 10．（本题2分）（24-25八年级上·浙江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（   ） A．50 B．40 C． D． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（本题2分）（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 12．（本题2分）（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的小数部分为 m， 的小数部分为n，则 ． 13．（本题2分）（24-25八年级上·陕西渭南·期中）数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对的题号是 ．（填序号） 14．（本题2分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则的值为 ． 15．（本题2分）（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简 ． 16．（本题2分）（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数x、y满足，则的值等于 ． 17．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 18．（本题2分）（21-22八年级下·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示． 化简 ． 19．（本题2分）（23-24八年级下·山东淄博·期中）有如下一串二次根式：；；；，仿照，写出第个二次根式 ． 20．（本题2分）（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（本题6分）（24-25八年级上·广东梅州·期中）计算： (1) (2) 22．（本题6分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 23．（本题8分）（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 24．（本题8分）（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3) 延伸拓展：直接判断与的大小． 25．（本题8分）（22-23八年级下·北京海淀·期中）如图，三角形中，，，为线段上任意一点，是的中点，连接，作垂直于且满足（点与点在直线同侧），连接，直线交于点． (1)根据题意补全图1；若，则的长为______； (2)若点恰好是线段的中点，连接，证明：且． (3)作点关于直线的对称点．连接，，当取最小值时，直接写出此时的面积． 26．（本题8分）（22-23八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 27．（本题8分）（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 28．（本题8分）（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点，直线交直线于点．    (1)设，则______（用含m的代数式表示），并证明：； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并给出证明． (3)若，，求的面积． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$