第2章 一元二次方程（导图+知识梳理+易错点拨+22大考点讲练+优选压轴题专练 共76题）-2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）

2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第2章 一元二次方程 （知识梳理+易错点拨+22个重难点考点讲练+压轴题专练 共76题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：一元二次方程的定义与形式 5 易错知识点02：解法中的易错点 5 易错知识点03：根的判别式与系数关系的误用 6 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01:一元二次方程的定义 6 考点讲练02:一元二次方程的一般形式 8 考点讲练03:一元二次方程的解 9 考点讲练04:一元二次方程的解的估算 11 考点讲练05:解一元二次方程—直接开平方法 13 考点讲练06:解一元二次方程—配方法 15 考点讲练07:配方法的应用 19 考点讲练08:公式法解一元二次方程 24 考点讲练09:因式分解法解一元二次方程 27 考点讲练10:换元法解一元二次方程 30 考点讲练11:根据判别式判断一元二次方程跟的情况 32 考点讲练12:根据一元二次方程跟的情况求参数 34 考点讲练13:传播问题（一元二次方程的应用） 36 考点讲练14:增长率问题问题（一元二次方程的应用） 38 考点讲练15:与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 41 考点讲练16:数字问题（一元二次方程的应用） 43 考点讲练17:营销问题（一元二次方程的应用） 46 考点讲练18:动态几何问题（一元二次方程的应用） 48 考点讲练19:工程问题（一元二次方程的应用） 53 考点讲练20:行程问题（一元二次方程的应用） 55 考点讲练21:图标信息问题（一元二次方程的应用） 57 考点讲练22:一元二次方程的根与系数的关系 59 压轴专练 拔尖冲刺 62 知识点梳理01：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【易错点剖析】 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点梳理02：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【易错点剖析】 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 【易错点剖析】 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点梳理04：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 【易错点剖析】 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 易错知识点01：一元二次方程的定义与形式 忽略二次项系数不为零 错误表现：将形如 ax²+bx+c=0 的方程默认为一元二次方程，未验证 a≠0 示例：若方程 (k−1)x²+3x=0是一元二次方程，需满足 k≠1，否则退化为一次方程。 混淆整式方程与分式方程 错误点：将分母含未知数的方程（如 ）误认为一元二次方程，正确一元二次方程必须是整式方程。 易错知识点02：解法中的易错点 1. 因式分解法（十字相乘） 错误类型： 未将方程整理成标准形式 ax²+bx+c=0 直接分解。 分解后漏写解或符号错误（如 (x+2)(x−3)=0的解应为 x=-2 或 x=3 ，误写成 x=2 或 x=-3 示例：解 x²−5x+6=0 ，正确分解为 (x−2)(x−3)=0 ，解为 x=2 或 x=3 ，若分解为 (x+2)(x+3)=0 则错误 2. 配方法 常见错误： 配方时未保持方程平衡（如仅给一边加上配方项）。 二次项系数非1时未先化系数为1（如 2x²+4x=1需先化为 x²+2x=1 示例：解 3x²−6x+1=0 正确步骤： 系数化为1：x²−2x=； 配方：x²−2x+1=→ (x−1)²= 3. 公式法 易错点： 求根公式 x=中符号错误（如漏写“-b”或分母未乘2a）= 未计算判别式 Δ=b²−4ac 直接求根，可能误判根的情况。 示例：解 x²−4x+5=0 ，Δ=(−4)²−4×1×5=−4<0 ，方程无实根，若强行代入公式则错误。 易错知识点03：根的判别式与系数关系的误用 忽略判别式的前提条件 错误表现：使用根与系数关系（韦达定理）时，未验证 Δ≥0 导致错误结论。 示例：若方程 x²+x+1=0的两根为 x1,x2，直接应用x1+x2= -1 虽代数正确，但实际无实根，讨论无意义 误判根的情况 错误点：认为 Δ>0时两根一定为正或负，忽略实际符号需结合系数分析。 示例：方程 x²−5x+6=0 ，Δ=1>0 两根均为正；而 x²+5x+6=0，两根均为负。 考点讲练01:一元二次方程的定义 【例题精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【规范解答】解：， 与是“同族二次方程”， ∴，， ∴， 由①得，， 代入②得， 解得：， ∴， ， 则代数式的最小值是． 故答案为：． 【训练1】（21-22九年级上·福建龙岩·阶段练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（    ） ①  ②  ③  ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路点拨】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是，（2）二次项系数不为，（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【规范解答】解：①是整式方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，二次项系数不为，故是一元二次方程；②，只有当时，才是一元二次方程，故不是一元二次方程；③，整理得，未知数最高次数为，不是一元二次方程；④是分式方程，不是一元二次方程， 综上所述，①为一元二次方程，一元二次方程只有个． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是． 【训练2】（21-22八年级下·山东烟台·期中）下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【规范解答】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程； ②，当a=0时不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，整理后不含二次项，不是一元二次方程， 所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个， 故选：B 【考点评析】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 考点讲练02:一元二次方程的一般形式 【例题精讲】（19-20七年级下·广东深圳·阶段练习）如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 【答案】C 【思路点拨】先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可． 【规范解答】解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18， ∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18， ∴a+b=k，ab=18， ∵a，b，k均为整数， ∴a=±1，b=±18，k=±19； a=±2，b=±9，k=±11； a=±3，b=±6，k=±9； 故k的值共有6个， 故选C． 【考点评析】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握． 【训练1】（18-19八年级·广西贺州·期中）方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(   ) A．1，2，3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．﹣1，﹣2，3 【答案】B 【思路点拨】找出方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【规范解答】方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，﹣3， 故选B． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0(其中a，b，c为常数，且a≠0)．解题关键在于找出系数及常熟项 【训练2】（17-18九年级·湖南娄底·期末）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（  ） A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2 【答案】B 【思路点拨】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式，再根据一次项和常数项的概念解答即可． 【规范解答】解：把一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0得： -3x2+4x-2=0， ∵a＞0， ∴3x2-4x+2=0， ∴一次项和常数项分别是：-4x，2， 故选B． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 考点讲练03:一元二次方程的解 【例题精讲】（13-14九年级下·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程． 【规范解答】解：把代入一元二次方程得： ， 解得，， ∵， ∴的值为， 故选：． 【训练1】（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2． 【思路点拨】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可． （2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键． 【规范解答】（1）根据定义，方程变形为， 得到， 且， 故方程是否为“勾系一元二次方程”． （2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵四边形的周长是12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故的面积为2． 【训练2】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根，将a代入方程得，然后整体代入得结果． 【规范解答】解：∵a是方程的一个根， ∴将a代入方程，得：， 即：， ∴，． 故答案为：． 考点讲练04:一元二次方程的解的估算 【例题精讲】（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【规范解答】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 【训练1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【规范解答】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 【训练2】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 【答案】B 【思路点拨】通过观察表格可得时，，即可求解． 【规范解答】解：由表格可知， 当时，， 当时，， ∴时，， ∴解的整数部分是，十分位是． 故选：B． 【考点评析】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 考点讲练05:解一元二次方程—直接开平方法 【例题精讲】（22-23八年级下·山东烟台·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程化为：，再利用直接开平方法解方程即可； （2）先计算，再利用公式法解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【训练1】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解法，其中涉及直接开方法、公式法等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）方程变形为，根据公式法即可求解． 【规范解答】（1）解：， ∴， 即：或， ∴，． （2）解：，即：， ∵，，， ∴， ， ， 则：，． 【训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)方程无解 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解法，灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二方程即可； （2）先把方程整理为一般式得到得，然后利用公式法解方程． 【规范解答】（1）解： 或 解得：，； （2）解： ， ， 方程没有实数根， ∴方程无解． 考点讲练06:解一元二次方程—配方法 【例题精讲】（22-23八年级下·重庆江北·期中）（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程和二次根式的混合运算，解题的关键是根据配方法和计算法则来计算． （1）根据二次根式混合运算的计算法则进行计算； （2）用配方法解一元二次方程． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 即， 配方得， 即， ． 【训练1】（22-23八年级下·重庆江北·期中）已知一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，x轴上有一点． (1)如图1，求线段的长度； (2)如图2，点G和点B关于x轴对称， ①求直线的函数解析式； ②点P在直线上，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①直线的解析式为； ②点的坐标为或 【思路点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，待定系数法，等腰三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点坐标，即可求出答案； （2）①根据点和点关于轴对称得，利用待定系数法即可求出直线的解析式； ②分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴交于点， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知，， ∵点和点关于轴对称， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ②∵点在直线上， ， ， ，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，， ， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，， ， 化简得， ， ∴原方程无解； 综上，点的坐标为或． 【训练2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）解方程（注意解题要求） (1)（1）；（配方法） (2)． (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有公式法、因式分解法、直接开平方法、配方法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 考点讲练07:配方法的应用 【例题精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）50 【思路点拨】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【规范解答】解：（1） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：1； （2） ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ∴ ， 设，则, ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值为50． 【训练1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 【答案】（），；（）；（）． 【思路点拨】（）把写成的形式，然后与二次项和一次项组成完全平方式，从而分解因式，从而求出，的值即可； （）把写成的形式，然后把分给含有的项，分给含有的项，进行分解因式，根据偶次方的非负性，求出，，从而求出答案即可； （）把已知等式的右边进行平方，组成两个完全平方式，然后根据偶次方的非负性和s的最小值，列出关于的方程，解方程即可； 本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 【规范解答】解：（1）∵ ， ∴，； （2）， ， ， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）∵， ∴， ， ∵，，（��、��都是整数，��是常数），的最小值为， ∴，时，s取最小值为2 ∴，解得：． 【训练2】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质． （1）根据题意把方程进行配方即可求解； （2）先根据配方法求出、，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解： 即， ， 解得：，； （2） 即 ， 解得， 将，代入一次函数，得， 令，则；令，则，解得； 该函数与轴的交点为，于轴的交点为 一次函数的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为． 考点讲练08:公式法解一元二次方程 【例题精讲】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可． 【规范解答】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：， 故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性， 故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴， 故④正确． 故选：A． 【训练1】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，涉及公式法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用解法是解决问题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用十字相乘分解因式法解一元二次方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ，即， ， ． 【训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【规范解答】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）解：由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 考点讲练09:因式分解法解一元二次方程 【例题精讲】（11-12八年级下·安徽滁州·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得． 当时，，∴； 当时，，∴x=±2； ∴原方程有四个根：． (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想． (2)解方程． 【答案】(1)换元，降次 (2) 【思路点拨】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用换元、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）经分析：设,则，再运用因式分解法求出y的值，再代入得关于x的方程求解即可． 【规范解答】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想 故答案为：换元，降次 （2）解：设，则， ∴，解得． 当时，即，解得：． 当时，即，则， 由，此时方程无解． 所以原方程的解为． 【训练1】（22-23八年级下·浙江温州·期中）关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值； (2)若方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了一元二次方程解的概念以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程解的概念以及根的判别式是解答本题的关键． （1）将代入方程即可解出的值； （2）根据方程有两个相等的实数根得到，解出的值即可． 【规范解答】（1）解：将代入方程，得， 解得：； （2）解；方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 【训练2】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）阅读下面材料： 解方程:． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题: (1)对于方程，若设，则原方程可化为　　　　　　　，原方程的解为　　　　　　　　． (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1)，或 (2) 【思路点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值； （2）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值． 【规范解答】（1）解：对于方程，若设，则原方程可化为， 方程两边同时乘y，得， 解得或． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的根， 故原方程的解为或； （2）解：原方程化为． 设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得． 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 考点讲练10:换元法解一元二次方程 【例题精讲】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【规范解答】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 【训练1】（21-22九年级上·河北保定·阶段练习）已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【规范解答】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 【训练2】（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．    【答案】 【思路点拨】根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解． 【规范解答】解：∵图中，， ∴ ∵与的面积相等， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于的方程是解题的关键． 考点讲练11:根据判别式判断一元二次方程跟的情况 【例题精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12或3 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，勾股定理，公式法解一元二次方程． （1）先计算出，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为，，然后分类讨论，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程的解为，即，， ， 不可能是斜边长度， 当是斜边长度时，，解得， 当5是斜边长度时，， 解得或（舍弃负数值）， 综合上述，的值为12或3． 【训练1】（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【规范解答】（1）解：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根； （2）解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 【训练2】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【思路点拨】（）利用根的判别式求出即可； （）把原方程因式分解，求出方程的两个根，，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题； 本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：原方程可变为， 则方程的两根为，， ∴直角三角形三边为，，； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 综上所述，的值为或． 考点讲练12:根据一元二次方程跟的情况求参数 【例题精讲】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由判别式的意义可得，根据“阿凡达”方程的定义可得，即，把代入可得到，则，然后再逐项判断即可． 【规范解答】解：∵是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根， ∴，，即， ∴，即，即 ∴ ∴． 故选：A． 【训练1】（19-20八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若是这个方程的一个根，求的值和另一根． 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】此题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系． （1）求出根的判别式，令根的判别式大于0，解不等式即可； （2）将代入求出m的值，再解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ． ． （2）是这个方程的一个根， ． ． 原方程为． 解得，， 即方程的另一根是． 【训练2】（2021·山东德州·一模）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ． 【答案】7或6 【思路点拨】当或时，即，代入方程即可得到结论，当时，即，解方程即可得到结论． 【规范解答】解：∵、、分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当或时，即， ∴方程为， 解得：， 此时该方程为， 解得：，， 此时三角形的三边为，符合题意； 当时，即， 解得：， 此时该方程为， 解得：， 此时三角形的三边为，符合题意， 综上所述，的值等于或． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键． 考点讲练13:传播问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）群力经纬中学组织篮球比赛（每两队之间都赛一场），共进行45场比赛，这次参加比赛的球队个数为 ． 【答案】10 【思路点拨】设这次参加比赛的球队个数为，根据共进行了45场比赛以及每两队之间都赛一场，可列出一元二次方程并求解，取正值即可获得答案． 【规范解答】解：设这次参加比赛的球队个数为， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， 所以，这次参加比赛的球队个数为10． 故答案为：10． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键． 【训练1】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 【思路点拨】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有台被感染，第二轮后共有即台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断． 【规范解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有 台被染上病毒，2轮后就有 台被感染病毒，依题意，得 ， 解得 ，（舍去）． 所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑． 由此规律，经过3轮后，有台电脑被感染． 由于 ， 所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 【考点评析】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【训练2】（17-18九年级上·安徽阜阳·期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人． (1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）； (2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？ 【答案】(1)； (2)不会，理由见解析． 【思路点拨】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感； （2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病． 【规范解答】（1）解：由题意可知： 第一轮传染后患病的人数人， （2）解：设在每轮传染中一人将平均传给人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵，都不是正整数， ∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解． 考点讲练14:增长率问题问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【答案】(1) (2)元 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据平均增长率的等量关系：，列出方程进行求解即可； （2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价元时，商品获利元， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当商品降价元时，商场获利元． 【训练1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 【训练2】（21-22八年级下·江苏盐城·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)4条 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【规范解答】（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度生产量的平均增长率为． （2）设应该再增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 考点讲练15:与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 【答案】(1)生态园垂直于墙的边长为6米； (2)生态园的面积不能达到153平方米，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，正确列出一元二次方程并灵活运用根的判别式成为解题的关键． （1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为153平方米，可列出关于y的一元二次方程，再根据根的判别式，可得出原方程没有实数根，即可完成判断． 【规范解答】（1）解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：生态园垂直于墙的边长为6米； （2）解：生态园的面积不能达到153平方米，理由如下： 假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即生态园的面积不能达到153平方米． 【训练1】（22-23八年级下·广西崇左·期中）学校计划在一块长、宽的长方形空地上修建一个长方形花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的小道（如图），剩余的地方种植花草．要使种植花草部分的面积为，则小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）    【答案】小道进出口的宽度应为 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及平行四边形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小道进出口的宽度为米，由平行四边形的面积底高可将出两个平行四边形的面积转化为矩形的面积，将图中小道移到边上可得出剩余部分为长米、宽为米的矩形，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【规范解答】解：设小道进出口的宽度为，根据题意得 整理，得 解得，（不合题意，舍去） 答：小道进出口的宽度应为． 【训练2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 【答案】(1)温室花房的面积为，小路的面积为 (2)道路的宽度为 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出花园内温室花房的面积和小路面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）由温室花房边长和小路宽度间的关系，得出温室花房边长为，再由正方形及长方形的面积公式，即可表示出花园内温室花房的面积和小路面积； （2）根据草坪面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：温室花房边长是小路宽度的倍，小路宽度为， 温室花房边长为， 温室花房的面积为，小路的面积为， 答：温室花房的面积为 ，小路的面积为． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：道路的宽度为． 考点讲练16:数字问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果（    ） A．45 B．66 C．100 D．210 【答案】C 【思路点拨】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有个点，然后根据选项分别求出n的值，即可作出判断． 【规范解答】通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点， 前n行共有个点，其中n为正整数． ∴当时，解得：（舍去），； 当时，解得：（舍去）， ； 当时，解得：（舍去），（舍去），即前行的点数和不能是100； 当时，解得：（舍去），． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查的是探究图形的规律，一元二次方程的解．正确得到前行的点数和的式子是解题的关键． 【训练1】（20-21八年级下·山东烟台·期中）一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是 ． 【答案】 【思路点拨】设个位数为x，则十位数为x+1，依据“个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小”列方程求解即可． 【规范解答】解：设个位数为x，则十位数为x+1，其中x为非负整数，依题意列方程得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴这个两位数为32， 故答案为：32． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，设好未知数，找准等量关系列方程是解题的关键． 【训练2】下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）． A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D 【思路点拨】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【规范解答】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：，则最大数为，根据题意得出： ， 解得：，，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，解题的关键是根据已知得出最大数与最小数的差为16． 考点讲练17:营销问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，     根据题意得：，     解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，     根据题意得：，     整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 【训练1】（19-20九年级上·河南南阳·期中）“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2021年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率： (2)市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)售价应降价3元． 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程与销售的实际应用.解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系的量列出方程，然后求解方程得到符合题意的解即可. （1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程，然后求解方程即可； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据题意列出关于y的一元二次方程，然后求解方程即可. 【规范解答】（1）解：设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为． （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． ∵尽快减少库存， ∴， 答：售价应降价3元． 【训练2】（19-20九年级上·江苏徐州·阶段练习）某商场销售某种冰箱，每台进货价为元，标价为元： (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【思路点拨】（）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解； （）设每台冰箱下调个元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求出每台冰箱的定价； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设每次降价的百分率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设每台冰箱下调个元， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴每台冰箱下调元， ∴每台冰箱的定价应为元． 考点讲练18:动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 【答案】1秒或4秒 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．利用时间路程速度，可分别求出点，到达终点所需时间，当运动时间为时，，，．根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合当时，点重合，即可得出结论． 【规范解答】．由（1）得：， ，，运动时间t的取值范围为：， ∵四边形APQC的面积等于， ∴， 整理得：， 解得，， ∴或4时，四边形APQC的面积等于． 答：1秒或4秒后，四边形APQC的面积等于． 【训练1】（17-18九年级上·重庆·期中）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 (3)经过秒或5秒或秒后，的面积为 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． （1）设经过x秒，的面积等于，根据三角形面积公式列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：设经过x秒，的面积等于，依题意有： ， 解得：， ∴经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：线段不能将分成面积相等的两部分，理由如下： 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴此时； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意得： ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为． 【训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 考点讲练19:工程问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【思路点拨】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【规范解答】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【考点评析】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 【训练1】（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【思路点拨】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【考点评析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【训练2】（20-21八年级下·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【思路点拨】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【规范解答】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【考点评析】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 考点讲练20:行程问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【思路点拨】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【规范解答】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 【训练1】（11-12八年级下·北京·期中）甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时.问二人每小时各走几千米？ 【答案】甲的速度为每小时6千米，乙的速度为每小时5千米. 【思路点拨】设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，甲的速度快，花时间少，用乙行驶时间-甲行驶时间=，行驶时间=，列分式方程求解，结果要检验． 【规范解答】解：设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，依题意得： 解得x=5，x=-6（舍去） 经检验x=5为原方程的解 x+1=6 故甲的速度为每小时6千米，乙的速度为每小时5千米． 【考点评析】本题考查分式方程的应用，能根据题意列出方程是解题关键． 【训练2】（21-22八年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意，则乙走了步，甲斜向北偏东走了步，根据题意，列出方程，即可． 【规范解答】设甲，乙两人相遇的时间为， ∴乙走了步，甲斜向北偏东走了步， ∴， 故答案为：． 考点讲练21:图标信息问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【思路点拨】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【训练1】（21-22九年级上·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）或；（2）或 【思路点拨】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可； （2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得． 【规范解答】解：（1）由题意可得：， ， 则或， 解得或； （2）由题意得：， ， ， 整理得：， ∴， 则或， 解得或， 或． 【考点评析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键． 【训练2】（18-19八年级下·浙江绍兴·期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人． 【思路点拨】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【规范解答】设参加这次旅游的员工有x人， ∵30×80=2400<2800，∴x>30． 根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55， 当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去． 答：A公司参加这次旅游的员工有40人． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 考点讲练22:一元二次方程的根与系数的关系 【例题精讲】（22-23九年级上·全国·单元测试）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【规范解答】解：，是关于的方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ， ， ， 故选：C． 【训练1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路点拨】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， 即， 解得：，． 当为直角边时，， 解得：； 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为或 【训练2】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【思路点拨】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【思路点拨】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了解一元二次方程的几何解法，根据题目给出的条件、找出合适的等量关系、列出方程是解答本题的关键．根据题意将x的方程 化为，即长方形的长为，宽为x ，再依据大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，用代数式表示出边长即可． 【规范解答】解：∵ 大正方形的面积为14，小正方形的面积为4， ∴关于 x的方程 化为， ∴图中长方形的长为，宽为x ， ∴图中小正方形的边长是  ， 大正方形的边长是  ， ∴  ， ∴  ， 故 ，  ， 故选：D． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 4．（22-23八年级下·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【规范解答】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 【答案】(1)验证见解析 (2)， (3) 【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明和应用，构造一元二次方程求解． （1）利用大正方形的面积的两种表达方式，列式计算即可求解； （2）由题意得，求得，，利用根与系数的关系构造一元二次方程，解方程即可求解； （3）作于点，在和中，利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ∴ ∴； （2）解：由题意得， ∴， ， ∴， ∴，是方程的两根， 解得， ∵， ∴，； （3）解：作于点， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． ∴ ． 6．（24-25八年级上·上海·期中）若关于的方程有实数根，则最大的整数的取值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根的判别式及一元一次方程的解，对学生的思维缜密性有一定要求，体现了分类讨论的数学思想．时为一元一次方程，有实根；时为一元二次方程，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【规范解答】解：当，即时，原方程为，方程有实根， 当，即时， 将变形为： ， 解得． 综上所述，的取值范围为， 最大的整数的取值为， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解、分式的加减法、分式的化简求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据已知易得即，则，然后代入式子中计算即可． 【规范解答】解：∵是一元二次方程一个解， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：2． 8．（22-23九年级上·河南洛阳·期中）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】先利用得到，代入得到化为，然后解方程得，从而得到的值． 【规范解答】解：， , 解得， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键． 9．（22-23八年级下·山东烟台·期中）近年来，农产品直播带货行业发展态势强劲，手机成了新农具，直播卖货成了新农活，乡村电商成为推动乡村振兴的新动能，我市一家电商运营公司直播销售一种有机蓝莓，每箱蓝莓成本为60元．根据销售经验，当每箱售价为150元时，平均每天可销售60箱；若当每箱售价每降低10元时，平均每天可多销售20箱．“五一”假期来临，该公司决定进行降价促销活动，在每箱降价幅度不超过30元的情况下，当每箱有机蓝莓售价定为多少元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额？ 【答案】当每箱有机蓝莓售价定为130元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．根据题意列出关于售价的一元二次方程即可求解． 【规范解答】解：根据题意：设每箱有机蓝莓售价定为元， ， 化简整理得：， 解得：，， 每箱降价幅度不超过30元， ， 答：当每箱有机蓝莓售价定为130元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额． 10．（11-12九年级上·山西临汾·期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克该水果应涨价多少元？ 【答案】每千克该水果应涨价5元或10元 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，设每千克水果应涨元，根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：设每千克水果应涨元，根据题意，得 ． 整理，得． 解这个方程，得 答：每千克该水果应涨价5元或10元． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第2章 一元二次方程 （知识梳理+易错点拨+22个重难点考点讲练+压轴题专练 共76题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：一元二次方程的定义与形式 5 易错知识点02：解法中的易错点 5 易错知识点03：根的判别式与系数关系的误用 6 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01:一元二次方程的定义 6 考点讲练02:一元二次方程的一般形式 6 考点讲练03:一元二次方程的解 7 考点讲练04:一元二次方程的解的估算 8 考点讲练05:解一元二次方程—直接开平方法 8 考点讲练06:解一元二次方程—配方法 9 考点讲练07:配方法的应用 11 考点讲练08:公式法解一元二次方程 13 考点讲练09:因式分解法解一元二次方程 13 考点讲练10:换元法解一元二次方程 15 考点讲练11:根据判别式判断一元二次方程跟的情况 16 考点讲练12:根据一元二次方程跟的情况求参数 17 考点讲练13:传播问题（一元二次方程的应用） 17 考点讲练14:增长率问题问题（一元二次方程的应用） 18 考点讲练15:与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 20 考点讲练16:数字问题（一元二次方程的应用） 21 考点讲练17:营销问题（一元二次方程的应用） 22 考点讲练18:动态几何问题（一元二次方程的应用） 24 考点讲练19:工程问题（一元二次方程的应用） 26 考点讲练20:行程问题（一元二次方程的应用） 27 考点讲练21:图标信息问题（一元二次方程的应用） 28 考点讲练22:一元二次方程的根与系数的关系 30 压轴专练 拔尖冲刺 31 知识点梳理01：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【易错点剖析】 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点梳理02：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【易错点剖析】 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 知识点梳理03：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 【易错点剖析】 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点梳理04：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 【易错点剖析】 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 易错知识点01：一元二次方程的定义与形式 忽略二次项系数不为零 错误表现：将形如 ax²+bx+c=0 的方程默认为一元二次方程，未验证 a≠0 示例：若方程 (k−1)x²+3x=0是一元二次方程，需满足 k≠1，否则退化为一次方程。 混淆整式方程与分式方程 错误点：将分母含未知数的方程（如 ）误认为一元二次方程，正确一元二次方程必须是整式方程。 易错知识点02：解法中的易错点 1. 因式分解法（十字相乘） 错误类型： 未将方程整理成标准形式 ax²+bx+c=0 直接分解。 分解后漏写解或符号错误（如 (x+2)(x−3)=0的解应为 x=-2 或 x=3 ，误写成 x=2 或 x=-3 示例：解 x²−5x+6=0 ，正确分解为 (x−2)(x−3)=0 ，解为 x=2 或 x=3 ，若分解为 (x+2)(x+3)=0 则错误 2. 配方法 常见错误： 配方时未保持方程平衡（如仅给一边加上配方项）。 二次项系数非1时未先化系数为1（如 2x²+4x=1需先化为 x²+2x=1 示例：解 3x²−6x+1=0 正确步骤： 系数化为1：x²−2x=； 配方：x²−2x+1=→ (x−1)²= 3. 公式法 易错点： 求根公式 x=中符号错误（如漏写“-b”或分母未乘2a）= 未计算判别式 Δ=b²−4ac 直接求根，可能误判根的情况。 示例：解 x²−4x+5=0 ，Δ=(−4)²−4×1×5=−4<0 ，方程无实根，若强行代入公式则错误。 易错知识点03：根的判别式与系数关系的误用 忽略判别式的前提条件 错误表现：使用根与系数关系（韦达定理）时，未验证 Δ≥0 导致错误结论。 示例：若方程 x²+x+1=0的两根为 x1,x2，直接应用x1+x2= -1 虽代数正确，但实际无实根，讨论无意义 误判根的情况 错误点：认为 Δ>0时两根一定为正或负，忽略实际符号需结合系数分析。 示例：方程 x²−5x+6=0 ，Δ=1>0 两根均为正；而 x²+5x+6=0，两根均为负。 考点讲练01:一元二次方程的定义 【例题精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【训练1】（21-22九年级上·福建龙岩·阶段练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（    ） ①  ②  ③  ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【训练2】（21-22八年级下·山东烟台·期中）下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练02:一元二次方程的一般形式 【例题精讲】（19-20七年级下·广东深圳·阶段练习）如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 【训练1】（18-19八年级·广西贺州·期中）方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(   ) A．1，2，3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．﹣1，﹣2，3 【训练2】（17-18九年级·湖南娄底·期末）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（  ） A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2 考点讲练03:一元二次方程的解 【例题精讲】（13-14九年级下·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【训练1】（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 【训练2】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若为方程的一个根，则代数式的值为 ． 考点讲练04:一元二次方程的解的估算 【例题精讲】（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【训练2】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 考点讲练05:解一元二次方程—直接开平方法 【例题精讲】（22-23八年级下·山东烟台·期中）解下列方程： (1) ； (2)． 【训练1】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）解一元二次方程： (1) ； (2)． 【训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 考点讲练06:解一元二次方程—配方法 【例题精讲】（22-23八年级下·重庆江北·期中）（1）计算： （2） 解方程：． 【训练1】（22-23八年级下·重庆江北·期中）已知一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，x轴上有一点． (1)如图1，求线段的长度； (2)如图2，点G和点B关于x轴对称， ①求直线的函数解析式； ②点P在直线上，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标． 【训练2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）解方程（注意解题要求） (1) （1）；（配方法） (2)． (2) (4)． 考点讲练07:配方法的应用 【例题精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 【训练1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 【训练2】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 考点讲练08:公式法解一元二次方程 【例题精讲】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 【训练1】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1) ； (2)． 【训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 考点讲练09:因式分解法解一元二次方程 【例题精讲】（11-12八年级下·安徽滁州·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得． 当时，，∴； 当时，，∴x=±2； ∴原方程有四个根：． (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想． (2)解方程． 【训练1】（22-23八年级下·浙江温州·期中）关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值； (2)若方程有两个相等的实数根，求的值． 【训练2】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）阅读下面材料： 解方程:． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题: (1)对于方程，若设，则原方程可化为　　　　　　　，原方程的解为　　　　　　　　． (2)模仿上述换元法解方程：． 考点讲练10:换元法解一元二次方程 【例题精讲】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【训练1】（21-22九年级上·河北保定·阶段练习）已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 【训练2】（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．    考点讲练11:根据判别式判断一元二次方程跟的情况 【例题精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值． 【训练1】（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【训练2】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 考点讲练12:根据一元二次方程跟的情况求参数 【例题精讲】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（19-20八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若是这个方程的一个根，求的值和另一根． 【训练2】（2021·山东德州·一模）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ． 考点讲练13:传播问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）群力经纬中学组织篮球比赛（每两队之间都赛一场），共进行45场比赛，这次参加比赛的球队个数为 ． 【训练1】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【训练2】（17-18九年级上·安徽阜阳·期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人． (1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）； (2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？ 考点讲练14:增长率问题问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【训练1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【训练2】（21-22八年级下·江苏盐城·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 考点讲练15:与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 【训练1】（22-23八年级下·广西崇左·期中）学校计划在一块长、宽的长方形空地上修建一个长方形花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的小道（如图），剩余的地方种植花草．要使种植花草部分的面积为，则小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）    【训练2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 考点讲练16:数字问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果（    ） A．45 B．66 C．100 D．210 【训练1】（20-21八年级下·山东烟台·期中）一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是 ． 【训练2】下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）． A．32 B．126 C．135 D．144 考点讲练17:营销问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【训练1】（19-20九年级上·河南南阳·期中）“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2021年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率： (2)市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【训练2】（19-20九年级上·江苏徐州·阶段练习）某商场销售某种冰箱，每台进货价为元，标价为元： (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 考点讲练18:动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 【训练1】（17-18九年级上·重庆·期中）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2) 如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 考点讲练19:工程问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【训练1】（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【训练2】（20-21八年级下·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 考点讲练20:行程问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【训练1】甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时.问二人每小时各走几千米？ 【训练2】（21-22八年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ． 考点讲练21:图标信息问题（一元二次方程的应用） 【例题精讲】（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【训练1】（21-22九年级上·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 【训练2】（18-19八年级下·浙江绍兴·期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 考点讲练22:一元二次方程的根与系数的关系 【例题精讲】（22-23九年级上·全国·单元测试）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【训练1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 【训练2】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 2．（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 6．（24-25八年级上·上海·期中）若关于的方程有实数根，则最大的整数的取值为 ． 7．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 8．（22-23九年级上·河南洛阳·期中）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为 ． 9．（22-23八年级下·山东烟台·期中）近年来，农产品直播带货行业发展态势强劲，手机成了新农具，直播卖货成了新农活，乡村电商成为推动乡村振兴的新动能，我市一家电商运营公司直播销售一种有机蓝莓，每箱蓝莓成本为60元．根据销售经验，当每箱售价为150元时，平均每天可销售60箱；若当每箱售价每降低10元时，平均每天可多销售20箱．“五一”假期来临，该公司决定进行降价促销活动，在每箱降价幅度不超过30元的情况下，当每箱有机蓝莓售价定为多少元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额？ 10．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克该水果应涨价多少元？ 第 1 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