第1章 二次根式（导图+知识梳理+易错点拨+20大考点讲练+优选压轴题专练 共70题）-2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）

2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第1章 二次根式 （知识梳理+易错点拨+20个重难点考点讲练+压轴题专练 共70题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：二次根式定义条件 5 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 5 易错知识点03：误判“同类二次根式” 5 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 5 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 5 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 5 易错知识点07：隐含条件忽视 6 易错知识点08：符号与变形错误 6 易错知识点09：应用场景误区 6 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01:求二次根式的值 6 考点讲练02:求二次根式中的参数 7 考点讲练03二次根式有意义的条件 9 考点讲练05：利用二次根式的性质化简 11 考点讲练06：复合二次根式的化简 13 考点讲练07：二次根式的乘法 17 考点讲练08：二次根式的除法 20 考点讲练09：二次根式的乘除混合运算 23 考点讲练10：最简二次根式的判断 27 考点讲练11：化为最简二次根式 28 考点讲练12：已知最简二次根式求参数 31 考点讲练13：同类二次根式 33 考点讲练14：二次根式的加减运算 35 考点讲练15：二次根式的混合运算 37 考点讲练16：分母有理化 40 考点讲练17：已知字母的值，化简求值 43 考点讲练18：已知条件式，化简求值 46 考点讲练19：比较二次根式的大小 49 考点讲练20：二次根式的应用 53 压轴专练 拔尖冲刺 58 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点剖析】（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 1）被开方数是整数或整式； 2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点剖析】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点梳理02：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点剖析】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点剖析】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 易错知识点01：二次根式定义条件 学生容易忽略被开方数必须是非负数这一核心条件。例如，题目中出现类似“”的式子时，未意识到隐含条件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 最简二次根式需满足三个条件： 被开方数不含分母； 被开方数不含能开方的因数； 分母中不含根号。 常见错误如未将化简为，或未对分母进行有理化处理。 易错知识点03：误判“同类二次根式” 同类二次根式需先化简为最简形式后，再看被开方数是否相同。例如，和化简为和才可合并，但学生可能因未化简而误以为不能合并 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 乘法时未正确应用（需a,b≥0）； 除法中未注意分母有理化，或误将拆分为但忽略分母限制 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 错误将根号与加减法结合，如，或，此类错误常因对根号性质理解不透导致 易错知识点07：隐含条件忽视 1. 双重非负性忽略 二次根式的结果和被开方数均非负，但学生可能在涉及代数式时未考虑符号。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意题目中隐含的变量取值范围 2. 分母有理化不彻底 有理化时需找到正确的有理化因式，如对​，应乘以而非仅处理分母中的单项根式。学生可能仅处理部分项，导致分母仍含根号 易错知识点08：符号与变形错误 1. 变形时符号处理不当 例如，将直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为∣a−2∣ 2. 综合运算顺序混乱 混合运算时未遵循先乘除后加减、先括号内后外的规则，或因跳步过多导致符号错误。例如，在计算“”时，可能漏乘括号内的第二项 易错知识点09：应用场景误区 1. 实际问题建模错误 例如，用勾股定理求斜边时，若已知两直角边为和，学生可能直接相加而非平方后求和再开方 2. 与数轴结合时符号误判 当二次根式与数轴上的点结合时，未根据点的位置判断被开方数的正负性，导致结果错误 考点讲练01:求二次根式的值 【例题精讲】（22-23八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【规范解答】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 【训练1】（19-20八年级下·浙江宁波·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（    ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】B 【思路点拨】先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可． 【规范解答】解： =2+6+4 =8+4， 即型无理数， 故选：B． 【考点评析】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，能正确根据公式和性质展开是解题的关键． 【训练2】（16-17八年级下·安徽蚌埠·期中）当ａ＝－2时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【思路点拨】把a=-2代入二次根式，即可得解为2． 故答案为2. 【规范解答】解：当a=-2时，二次根式==2. 【考点评析】本题主要考查二次根式的化简求值，比较简单． 考点讲练02:求二次根式中的参数 【例题精讲】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路点拨】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【规范解答】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 【训练1】（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）若两个最简二次根式与能够合并，则 ． 【答案】10 【思路点拨】根据两个二次根式可以合并可知被开方数相同，从而得到方程求解即可． 【规范解答】∵与能够合并， ∴n=2，， ∴． ∴ 故答案为：10． 【考点评析】本题考查了同类二次根式，明确同类二次根式的概念是解题的关键． 【训练2】（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【思路点拨】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【规范解答】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【考点评析】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 考点讲练03二次根式有意义的条件 【例题精讲】（21-22八年级下·浙江宁波·期中）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性运算出的值，代入中求出的值，再一起代入运算求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，，解得：， ∴， ∴把代入可得：， ∴， 故选：C． 【训练1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________． 【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 【答案】【发现结论】；【运用结论】1；【拓展提升】 【思路点拨】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用； （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再求出y值，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数，可把原式化为，再结合算术平方根的含义可得答案． 【规范解答】解：发现结论：，则a的取值范围是； 运用结论：∵， ∴， 解得：， ， ∴； 拓展提升：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【训练2】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得且，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键． 【规范解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且， 解得， 故选：． 考点讲练05：利用二次根式的性质化简 【例题精讲】（21-22八年级上·河南洛阳·期中）（1）计算：| （2）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 【答案】（1）；（2）0 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，实数与数轴，化简绝对值和二次根式： （1）先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先根据数轴判断实数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：由数轴可知， ， ∴原式 【训练1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 【答案】（1），验证见解析；（2）；（3） 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）先代入得，根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：猜想：； 验证：， ∴猜想正确． （2）解：第n个式子为：； （3）解： ． 【训练2】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了绝对值的性质以及立方根的性质、二次根式的性质． 直接利用绝对值的性质以及立方根的性质、二次根式的性质分别判断得出答案． 【规范解答】解：A、，选项错误，故此选项不合题意； B、，选项错误，故此选项不合题意； C、，选项正确，故此选项符合题意； D、，选项错误，故此选项不合题意； 故选：C． 考点讲练06：复合二次根式的化简 【例题精讲】（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的非负性、算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据二次根式的非负性、立方根的定义，无理数的估算，分别求得a，b，c的值； （2）代入a、b、c的值，根据求一个数的平方根进行计算即可求解． 【规范解答】（1）∵， ∴，， 则， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，         ∴的平方根是. 【训练1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【思路点拨】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 【训练2】（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 考点讲练07：二次根式的乘法 【例题精讲】（24-25八年级上·山西晋中·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可解答； （2）根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可解答； （3）将二次根式的除法转化为乘法，根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则运算，，然后化简后合并即可解答． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ． 【训练1】（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【规范解答】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 【训练2】（24-25八年级上·福建三明·期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别是________，________； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)最多能截出8块这样的木条，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：；． （2）解：， ∴剩余木料的面积为． （3）解：剩余木条长为，宽为， ∵，， ∴能截出块木条， 答：最多能截出8块这样的木条． 考点讲练08：二次根式的除法 【例题精讲】（24-25八年级上·福建三明·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查二次根式的运算， （1）根据立方根，二次根式的性质，绝对值将原式化简，再进行合并即可； （2）利用完全平方公式和二次根式的性质及除法将原式化简，再进行合并即可； 掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【训练1】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）在中，，点M为边的中点，点D在边上． (1)若（如图①），求的长； (2)过点M作与边所在的直线交于点E（如图②），试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）证明是线段的垂直平分线，利用勾股定理求得，，再利用面积法求解即可； （2）作交的延长线于点，证明，推出，，由线段垂直平分线的判定和性质，得到，再根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：连接， ∵点为边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，即， 解得，即， 在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：．理由如下， 作交的延长线于点，连接， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 【训练2】（19-20八年级下·湖北武汉·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上． (1)直接写出的长为 ，的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺和圆规作出边上的高，并保留作图痕迹； (3)求的长． 【答案】(1)；9 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据勾股定理求出，利用割补法求出的面积即可； （2）根据题意用直尺和圆规作的垂线即可； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：；9． （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：∵， ∴． 【考点评析】本题考查了作图﹣应用与设计作图，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 考点讲练09：二次根式的乘除混合运算 【例题精讲】（23-24八年级下·天津西青·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，进行二次根式的混合运算首先要把二次根式化为最简二次根式，然后再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 首先把二次根式化简，可得：原式，然后再根据二次根式的乘除法法则进行计算即可； 首先把二次根式化简，可得：原式，然后再去括号、合并同类二次根式即可； 首先把二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可； 首先根据完全平方公式展开，可得：原式，然后再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【训练1】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除加减运算，再合并即可．掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先利用完全平方公式化简，在通过积的乘方和二次根式的加减运算即可求解； （2）把分子分母中的二次根式化简为最简二次根式，即可求解； （3）先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可求解； （4）先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除加减运算即可求解； 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【训练2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 考点讲练10：最简二次根式的判断 【例题精讲】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【规范解答】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 【训练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了最简二次根式的识别，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．据此逐一判断，即可得到答案． 【规范解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【训练2】（18-19八年级·河北唐山·期中）二次根式 中最简二次根式是 ． 【答案】、、 【思路点拨】根据最简二次根式的定义判断即可. 【规范解答】解：第一个根式不是最简二次根式，因为被开方数的因式不是整数， 第二个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数， 第三个根式为最简二次根式， 第四个根式为最简二次根式， 第五个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数和因式， 第六个根式为最简二次根式， 故答案为 【考点评析】本题主要考查了最简二次根式的定义，明确什么是最简二次根式是解题关键. 考点讲练11：化为最简二次根式 【例题精讲】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【规范解答】解：过点作，垂足为，如图 根据题意可知，， ， ， 在，，， ， ， 在，， ， ， ． 故选：D． 【训练1】（24-25八年级上·四川达州·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，然后再计算二次根式的乘除，最后再计算二次根式的加减法． （2）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再计算二次根式的加减法运算． 【规范解答】（1）解： （2）解： 【训练2】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，已知，，． (1)数轴上点所表示的数为______； (2)求出点表示的数的倒数为______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路点拨】本题为考查勾股定理、实数与数轴，二次根式的化简，体现了“数形结合”的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形． （1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）根据倒数的定义得到点A表示的数的倒数，再将分母有理化即可解答； （3）过表示数3的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，则点G就是表示的点． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴在中，， ∴， ∴点A表示的数是． 故答案为： （2）解：∵的倒数是， ∴点表示的数的倒数为． 故答案为： （3）解：如图，点G表示的数为． 考点讲练12：已知最简二次根式求参数 【例题精讲】（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【思路点拨】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【规范解答】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【考点评析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 【训练1】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【思路点拨】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【规范解答】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【考点评析】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 【训练2】（19-20八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【思路点拨】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【规范解答】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【考点评析】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 考点讲练13：同类二次根式 【例题精讲】（24-25八年级上·广东河源·期中）下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 【训练1】（17-18八年级下·全国·单元测试）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了同类二次根式，根据同类二根式的定义得到，解方程组后，代入求值即可． 【规范解答】解∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得， ∴ 故答案为： 【训练2】（19-20八年级下·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式． （1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的； ②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式； ③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式． （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简． ________；________；________；________． （3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性． 【答案】（1）②；（2）；；；；（3） 【思路点拨】（1）根据共轭根式的性质和同类二次根式的性质判断即可； （2）分别将各根式化简，从而找到共轭根式； （3）根据二次根式的混合运算即可找到并验证. 【规范解答】解：（1）①错误，例如根式，，， ∴原命题错误； ②正确，∵与是同类二次根式，则×=中，ab为平方数（式），即结果不含根式，故原命题正确； ③∵若A与B是共轭根式，令A=，B=，则， ，故原命题错误； 故答案为：②； （2）=，则共轭根式为：； =，则共轭根式为：； ，∵，则共轭根式为：； =，=1，则共轭根式为：； 故答案为：；；；； （3）的一个共轭根式为：， 验证： = = =4. 故验证正确. 【考点评析】本题属于新定义问题，主要考查了同类二次根式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是理解共轭根式的性质，结合所学二次根式的知识解答. 考点讲练14：二次根式的加减运算 【例题精讲】（21-22八年级下·广东江门·期中）已知实数a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)以a，b，c为边能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)以a，b，c为边能组成一个三角形，周长为 【思路点拨】本题考查了非负数的性质，二次根式的加法，解题的关键是掌握绝对值、偶次幂、算术平方根都具有非负性． （1）根据偶次方，算术平方根以及绝对值的非负性进行求解即可； （2）根据三角形三边关系进行判断，并计算周长即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴以a，b，c为边能组成一个三角形， ∴周长为． 【训练1】（21-22八年级下·广东江门·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：C． 【训练2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）计算． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点讲练15：二次根式的混合运算 【例题精讲】（21-22八年级下·浙江宁波·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式乘法法则计算，再合并同即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【训练1】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：． 解决问题： (1)根据上述思路，试将予以化简； (2)根据上述思路，化简并求出的值； (3)当时，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据题意，，计算求解即可； （2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可； （3）根据题意，将原式化简为，根据，计算求解即可； 【规范解答】（1）解： ． ； （2）解：原式 ． ； （3）解：， . 【训练2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)7 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 考点讲练16：分母有理化 【例题精讲】（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： (1)计算： ； (2)若n为正整数，请你猜想 ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； 【规范解答】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解： 【训练1】（18-19八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【规范解答】解：原式 ． 【训练2】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【规范解答】（1）解：的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：原式 ． 考点讲练17：已知字母的值，化简求值 【例题精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【思路点拨】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【规范解答】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 【训练1】（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【规范解答】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 【训练2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)11 【思路点拨】本题考查分母有理化、代数式求值，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照例题方法，先分母有理化求得m值，进而利用完全平方公式求得，然后代值求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，即， ，即， ， 的值为2； （2）解：∵，即， ，即， ， ， 即的值为11． 考点讲练18：已知条件式，化简求值 【例题精讲】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【思路点拨】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【规范解答】，， ，， ∴原式= ． 原式． 【训练1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【训练2】（23-24八年级下·天津宁河·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式， （1）由已知得，，然后将分解因式为，再整体代入计算即可； （2）将转化为，再整体代入计算即可； 掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2） ． 考点讲练19：比较二次根式的大小 【例题精讲】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)1 【思路点拨】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【规范解答】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 【训练1】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【规范解答】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 【训练2】（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【思路点拨】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 考点讲练20：二次根式的应用 【例题精讲】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【思路点拨】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【规范解答】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 【训练1】（2025八年级下·全国·专题练习）高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和下落高度近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度 m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)80 (3)能，理由见解析 【思路点拨】本题考查二次根式的应用： （1）先计算高度得到，然后把h的值代入公式得到t的值； （2）把代入公式，然后求出h的值即可； （3）先计算高度得到，再利用公式计算出的玻璃碎片从16层楼下落到地面上产生的动能E为，然后利用可判断该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【规范解答】（1）解：， 当时，， 即该物品落地的时间为； 故答案为：； （2）当时，， 解得：； 故答案为：80； （3）能． 理由如下： ， 当时，， ∵， ∴该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 【训练2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）【背景介绍】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______； （2）在中，，于点D．设，，． ①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：______； ②用含a，b的代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小； 【知识迁移】 （3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】 （1）（2）①；②中线长为，高线长为，（3）40米 【思路点拨】本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用，解答中涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的运算等．由勾股定理延伸得到结论，并对其进行应用是解决本题的关键． （1）先用割补法求出的面积，再用底×高表示面积，根据双求法列式，即可求出边上的高； （2）①在中，利用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，根据“双求法”列式，化简即可得到关于a，b，m的关系式； ②根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可用含a，b的代数式表示的斜边上的中线，根据①的结论可用含a，b的代数式表示与高线，再根据的变形，即可得到结论； （3）设与墙平行的边长x米，垂直于墙的边长y米，可得所有虚线的和为，根据（2）中得到的结论，可得，整理可得所有虚线和的最小值． 【规范解答】解：（1）如图，作边上的高， ∵， ， ， ∴， 解得， 故答案为：； （2）①如图， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵斜边长为， ∴斜边上的中线长为，高线长为， ∵， ∴， ∴； 故大小关系为：； （3）设大长方形的长为x米，宽为y米，则小栅栏的总长度为平方米，（平方米）， ∵， ∴， ∴， 答：小栅栏的总长度最少为40米． 1．（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据求解函数自变量的取值范围的方法求解即可． 【规范解答】解：．，解得，故该选项不符合题意； ．，解得，故该选项符合题意； ．，解得，故该选项不符合题意； ．且 ，解得，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理．过点A作于点E，根据勾股定理可得：，进而得出，即可解答． 【规范解答】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：， ∴， 故选：B． 3．（20-21八年级上·四川成都·期末）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式，再找出同类二次根式即可得． 【规范解答】解：A、，与是同类二次根式，可以合并，则此项符合题意； B、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【规范解答】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【考点评析】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 5．（21-22八年级下·广东江门·期中）计算： ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方的逆运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．由同底数幂相乘、积的乘方的逆运算进行计算，即可得到答案． 【规范解答】解：原式 ， 故答案为：． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 【答案】0 【思路点拨】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【规范解答】解： ∴ ， 故答案为：0． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）由于传统的木质衣架如图1没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种弹性衣架如图2，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．弹性衣架杆，衣服套进后，衣架自然状态下，则此时两点之间的距离是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作于点，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，由此即可得． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， 即此时两点之间的距离是， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）【阅读】∵，即，∴的整数部分为1．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我们用来表示的小数部分． 【运用】 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的值； (3)若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【思路点拨】此题考查了无理数的估算和二次根式运算等知识，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据题中的方法进行解答即可； （2）求出的整数部分，的小数部分，代入进行计算即可； （3）求出的整数部分和小数部分，代入进行计算即可． 【规范解答】（1）∵，即， ∴的整数部分是3，的小数部分是； 故答案为：3，； （2）∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为4， 的小数部分， ∴； （3）∵， ∴的整数部分为4， ∴的整数部分，小数部分为， ∴． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简______； (2)参照（2）式化简______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）根据分母有理化的方法进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3） ． 10．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）5 【思路点拨】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小，当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （2）作线段，在的两侧作两个和，使得，，用类似（1）的方法求解即可． 【规范解答】解：（1）如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为13； 故答案为：13； （2）模仿（1）可知，当，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为5． 故答案为：5． 【考点评析】本题属于综合题，考查了轴对称最短路线问题，列代数式，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质与判断，解决本题的关键是准确读懂题意，利用勾股定理． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第1章 二次根式 （知识梳理+易错点拨+20个重难点考点讲练+压轴题专练 共70题） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：二次根式定义条件 5 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 5 易错知识点03：误判“同类二次根式” 5 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 5 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 5 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 5 易错知识点07：隐含条件忽视 6 易错知识点08：符号与变形错误 6 易错知识点09：应用场景误区 6 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01:求二次根式的值 6 考点讲练02:求二次根式中的参数 7 考点讲练03二次根式有意义的条件 7 考点讲练05：利用二次根式的性质化简 8 考点讲练06：复合二次根式的化简 9 考点讲练07：二次根式的乘法 10 考点讲练08：二次根式的除法 12 考点讲练09：二次根式的乘除混合运算 13 考点讲练10：最简二次根式的判断 14 考点讲练11：化为最简二次根式 15 考点讲练12：已知最简二次根式求参数 16 考点讲练13：同类二次根式 16 考点讲练14：二次根式的加减运算 17 考点讲练15：二次根式的混合运算 18 考点讲练16：分母有理化 19 考点讲练17：已知字母的值，化简求值 21 考点讲练18：已知条件式，化简求值 23 考点讲练19：比较二次根式的大小 24 考点讲练20：二次根式的应用 26 压轴专练 拔尖冲刺 29 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点剖析】（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 1）被开方数是整数或整式； 2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点剖析】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点梳理02：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点剖析】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点剖析】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 易错知识点01：二次根式定义条件 学生容易忽略被开方数必须是非负数这一核心条件。例如，题目中出现类似“”的式子时，未意识到隐含条件“x≥3”；或在分式形式的二次根式中（如），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制 易错知识点02：混淆“最简二次根式”标准 最简二次根式需满足三个条件： 被开方数不含分母； 被开方数不含能开方的因数； 分母中不含根号。 常见错误如未将化简为，或未对分母进行有理化处理。 易错知识点03：误判“同类二次根式” 同类二次根式需先化简为最简形式后，再看被开方数是否相同。例如，和化简为和才可合并，但学生可能因未化简而误以为不能合并 易错知识点04：加减法未先化简（运算法则混淆） 二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项 易错知识点05：乘除法规则错用（运算法则混淆） 乘法时未正确应用（需a,b≥0）； 除法中未注意分母有理化，或误将拆分为但忽略分母限制 易错知识点06：分配律滥用（运算法则混淆） 错误将根号与加减法结合，如，或，此类错误常因对根号性质理解不透导致 易错知识点07：隐含条件忽视 1. 双重非负性忽略 二次根式的结果和被开方数均非负，但学生可能在涉及代数式时未考虑符号。例如，=∣a∣，而非直接等于a；或未注意题目中隐含的变量取值范围 2. 分母有理化不彻底 有理化时需找到正确的有理化因式，如对​，应乘以而非仅处理分母中的单项根式。学生可能仅处理部分项，导致分母仍含根号 易错知识点08：符号与变形错误 1. 变形时符号处理不当 例如，将直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为∣a−2∣ 2. 综合运算顺序混乱 混合运算时未遵循先乘除后加减、先括号内后外的规则，或因跳步过多导致符号错误。例如，在计算“”时，可能漏乘括号内的第二项 易错知识点09：应用场景误区 1. 实际问题建模错误 例如，用勾股定理求斜边时，若已知两直角边为和，学生可能直接相加而非平方后求和再开方 2. 与数轴结合时符号误判 当二次根式与数轴上的点结合时，未根据点的位置判断被开方数的正负性，导致结果错误 考点讲练01:求二次根式的值 【例题精讲】（22-23八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【训练1】（19-20八年级下·浙江宁波·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（    ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【训练2】（16-17八年级下·安徽蚌埠·期中）当ａ＝－2时，二次根式的值是 ． 考点讲练02:求二次根式中的参数 【例题精讲】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【训练1】（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）若两个最简二次根式与能够合并，则 ． 【训练2】（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 考点讲练03二次根式有意义的条件 【例题精讲】（21-22八年级下·浙江宁波·期中）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________． 【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 【训练2】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点讲练05：利用二次根式的性质化简 【例题精讲】（21-22八年级上·河南洛阳·期中）（1）计算：| （2）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 【训练1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 【训练2】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练06：复合二次根式的化简 【例题精讲】（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【训练1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【训练2】（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 考点讲练07：二次根式的乘法 【例题精讲】（24-25八年级上·山西晋中·期中）计算： (1) (2)； (3)． 【训练1】（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【训练2】（24-25八年级上·福建三明·期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别是________，________； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条，并说明理由． 考点讲练08：二次根式的除法 【例题精讲】（24-25八年级上·福建三明·期中）计算： (1) (2)． 【训练1】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）在中，，点M为边的中点，点D在边上． (1)若（如图①），求的长； (2)过点M作与边所在的直线交于点E（如图②），试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【训练2】（19-20八年级下·湖北武汉·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上． (1)直接写出的长为 ，的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺和圆规作出边上的高，并保留作图痕迹； (3)求的长． 考点讲练09：二次根式的乘除混合运算 【例题精讲】（23-24八年级下·天津西青·期中）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【训练1】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）计算 (1) (2) (2) (4) 【训练2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算： (1) ； (2)； (3)． 考点讲练10：最简二次根式的判断 【例题精讲】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【训练2】（18-19八年级·河北唐山·期中）二次根式 中最简二次根式是 ． 考点讲练11：化为最简二次根式 【例题精讲】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（   ） A．3 B． C．2 D． 【训练1】（24-25八年级上·四川达州·期中）化简 (1) (2) 【训练2】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，已知，，． (1)数轴上点所表示的数为______； (2)求出点表示的数的倒数为______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 考点讲练12：已知最简二次根式求参数 【例题精讲】（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【训练1】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【训练2】（19-20八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 考点讲练13：同类二次根式 【例题精讲】（24-25八年级上·广东河源·期中）下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（17-18八年级下·全国·单元测试）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【训练2】（19-20八年级下·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式． （1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的； ②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式； ③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式． （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简． ________；________；________；________． （3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性． 考点讲练14：二次根式的加减运算 【例题精讲】（21-22八年级下·广东江门·期中）已知实数a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)以a，b，c为边能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【训练1】（21-22八年级下·广东江门·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【训练2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）计算． (1) ； (2) 考点讲练15：二次根式的混合运算 【例题精讲】（21-22八年级下·浙江宁波·期中）计算 (1) (2) 【训练1】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：． 解决问题： (1)根据上述思路，试将予以化简； (2)根据上述思路，化简并求出的值； (3)当时，化简． 【训练2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 考点讲练16：分母有理化 【例题精讲】（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： (1)计算： ； (2)若n为正整数，请你猜想 ； (3)计算：． 【训练1】（18-19八年级下·全国·课后作业）计算：． 【训练2】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 考点讲练17：已知字母的值，化简求值 【例题精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【训练1】（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【训练2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知，求的值．经过讨论，他们是这样解答的： ，即， ，即． ． 请你根据他们的分析过程，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 考点讲练18：已知条件式，化简求值 【例题精讲】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【训练1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【训练2】（23-24八年级下·天津宁河·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 考点讲练19：比较二次根式的大小 【例题精讲】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【训练1】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【训练2】（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 考点讲练20：二次根式的应用 【例题精讲】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【训练1】（2025八年级下·全国·专题练习）高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和下落高度近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． (1)小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s（结果保留根号）； (2)某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度 m； (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【训练2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）【背景介绍】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______； （2）在中，，于点D．设，，． ①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：______； ②用含a，b的代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小； 【知识迁移】 （3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 1．（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·四川成都·期末）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 5．（21-22八年级下·广东江门·期中）计算： ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）由于传统的木质衣架如图1没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种弹性衣架如图2，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．弹性衣架杆，衣服套进后，衣架自然状态下，则此时两点之间的距离是 ． 8．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）【阅读】∵，即，∴的整数部分为1．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我们用来表示的小数部分． 【运用】 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的值； (3)若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简______； (2)参照（2）式化简______； (3)化简：． 10．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$