清单02 函数（9个考点梳理+11题型解读）（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材冀教版

清单02 函数（9个考点梳理+11题型解读） 清单01常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 清单02 函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 清单03 函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 清单04 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 清单05 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 清单06 函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 清单07 动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 清单08 函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 清单09 分段函数 （1）一次函数与常函数组合的分段函数． 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．） （2）由文字图象信息确定分段函数． 根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面： ①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量． ②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标． ③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义． 【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点 1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示． 2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大． 3．各个分段中，准确确定函数关系． 4．确定函数图象的最低点和最高点． 【考点题型一】用表格表示变量间的关系（） 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如下是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（   ） 157.6 金额 20 数量/升 7.38 单价/升 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，弄清各量之间的变化关系是本题的关键．根据油的单价一定，加油所需的金额随加油数量的变化而变化判断即可． 【详解】解：∵油的单价（设为m元）一定， ∴加油所需的金额（设为y元）随加油数量（设为x升）的变化而变化，其变化关系为， ∴单价为常量，金额和数量为变量． 故选：D． 【变式1-1】（23-24八年级下·河北承德·期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了常量和变量．根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量即可求解． 【详解】解：在金额、数量和单价中，金额和数量是变量，单价是常量． 故选：D． 【变式1-2】（八年级下·河北沧州·期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）： x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y（元） ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … （1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； （2）观察表中数据，计算平均每个人的车费是_______元； （3）写出利润y与乘车人数x之间的关系式； （4）若5月份想获得利润5000元，请你估计乘客量需要达到多少人？ 【答案】（1）每月的乘车人数x，每月的利润y；（2）2；（3）y=2x－4000；（4）若5月份想获得利润5000元，乘客量需要达到4500人． 【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）直接利用自变量与因变量的定义即可得出答案； （2）用4000除以当y=0时对应的x的值即得答案； （3）根据利润y＝收入费用（每人的公交票价×乘车人数）﹣支出费用（4000）解答即可； （4）把y=5000代入（3）中的关系式，求出x的值即得结果． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量； 故答案为：每月的乘车人数x，每月的利润y； （2）观察表中数据可知，当y=0时对应的x=2000，4000÷2000=2元， 故答案为：2； （3）y=2x－4000； （4）当y=5000时，2x－4000=5000，解得：x=4500； 答：若5月份想获得利润5000元，乘客量需要达到4500人． 【点睛】本题考查了利用表格和关系式表示变量之间的关系，属于常考题型，正确理解题意、弄清表格信息是解题的关键． 【考点题型二】用关系式表示变量间的关系（） 【例2】（23-24八年级下·河北保定·期末）关于圆的周长公式，下列说法正确的是（   ） A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量 C．C，R是变量，2，是常量 D．R 是变量，C，2，是变量 【答案】C 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，解题的关键是熟练掌握常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量． 根据常量、变量的定义逐项进行判断即可． 【详解】关于圆的周长公式， C，R是变量，2，是常量． 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知等腰三角形的周长为20，那么底边长y与腰长x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查用函数关系式表示变量之间的关系，根据等腰三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 【变式2-2】（21-22八年级下·河北石家庄·期中）一支蜡烛长12cm，点燃时每分钟缩短0.5cm，点燃后蜡烛长度y（cm）随点燃时间x（，单位：min）变化而变化． (1)指出其中的常量与变量； (2)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围． 【答案】(1)常量：12，0.5；变量：x，y (2) 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）根据常量与变量的定义判断即可． （2）根据题意列出关系式即可；根据点燃后蜡烛长度的实际意义确定自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一支蜡烛长12cm，点燃时每分钟缩短0.5cm，点燃后蜡烛长度y（cm）随点燃时间x（，单位：min）变化而变化， ∴常量有12，0.5；变量有x，y． （2）解：∵一支蜡烛长12cm，点燃时每分钟缩短0.5cm，点燃后蜡烛长度y（cm）随点燃时间x（，单位：min）变化而变化， ∴． ∵点然后蜡烛长度始终为非负数， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴y与x的函数关系式及自变量的取值范围是． 【点睛】本题考查常量与变量的定义，用关系式表示变量间的关系，正确理解题意是解题关键． 【考点题型三】用图象表示变量间的关系（） 【例3】（22-23八年级下·河北廊坊·期末）早晨嘉嘉去上学，先从家匀速步行到集合点，等几分钟后坐校车去学校．嘉嘉从家到学校所走的路程与时间的大致图象是（　　） A．    B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】步行到集合点，集合点等车，坐校车去学校，根据这三种情况即可得到嘉嘉从家到学校所走的路程与时间的大致图象． 【详解】解：步行到集合点，保持速度不变，离家越来越远，图象是过原点的线段；集合点等车，此时离家的距离不变，图象是平行于x轴的线段；坐校车去学校，此时校车速度大于步行的速度，离家更远，直到到达学校，此时图象也是一条线段，但比步行时的线段更陡，适合的图象是选项C． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象，分析每个过程路程、速度与时间的关系，即可确定函数的大致图象． 【变式3-1】（23-24八年级下·河北承德·期末）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段，逐段进行分析即可得答案． 本题考查了实际问题的函数图象，解决本题的关键是抓住相同路程用时不同得到相应的函数图象． 【详解】解：第一个阶段，逆水航行，用时较多； 第二个阶段，在乙地停留一段时间，随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与x轴平行； 第三个阶段，顺水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较少， 故选：C． 【考点题型四】函数的概念（） 【例4】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键．根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可判断． 【详解】解：根据题意，可知5是常量，a是变量， 故选：C． 【变式4-1】（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图是某超市羊排的商品销售标价，在单价96元/千克、重量m千克、总价y元这三个量中，常量是 ．    【答案】96元/千克 【知识点】函数的概念 【分析】根据常量是固定不变的量，进行判断即可． 【详解】解：在单价96元/千克、重量m千克、总价y元这三个量中，常量是96元/千克； 故答案为：96元/千克． 【点睛】本题考查常量和变量．熟练掌握常量是固定不变的量，是解题的关键． 【变式4-2】（22-23八年级下·河北邢台·期中）某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如表： 时间/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5 (1)在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； (2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【答案】(1)自变量是时间，自变量的函数是月产量 (2)6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低 【知识点】用表格表示变量间的关系、函数的概念 【分析】（1）根据函数的定义，可得答案； （2）根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】（1）解：自变量是时间，自变量的函数是月产量． （2）解：由表格得，6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低． 【点睛】本题主要考查变量与常量，熟练掌握自变量与函数的定义是解决本题的关键． 【考点题型五】函数解析式（） 【例5】（23-24八年级下·河北邢台·期末）托运行李p千克（p为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需增加费用5角，则计算托运行李费用c的公式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查函数关系式，根据题目已知可写出：托运1千克费用为2元；托运2千克行李的时候，2千克行李的费用为元；托运p千克行李的时候，p千克的运费为元． 【详解】解：根据题意，知：托运p千克行李的时候，p千克的运费为元． 故选：C． 【变式5-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 根据单价每提高1元，销售量减少6千克，根据销售额=单价乘以销售数量即可得到关于的函数表达式； 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级下·河北沧州·期中）某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置： 排数 第1排 第2排 第3排 第4排 … 座位数 60 64 68 72 … (1)在上述变化过程中，自变量是什么？自变量的函数是什么？ (2)写出座位数s与排数n的函数关系式； (3)若某排有124个座位，则该排是第几排？ 【答案】(1)排数，座位数 (2) (3)第17排 【知识点】用表格表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、函数解析式 【分析】本题考查了自变量和因变量，利用表格和关系式表示变量间的关系、求自变量的值，读懂表格，正确找出自变量和因变量之间的关系是解题关键． （1）根据自变量和因变量的定义以及座位数随着排数的变化而变化即可得； （2）根据第1排的座位数为60，往后每增加一排，座位数增加4个即可得； （3）令（2）中的结果等于124，求出n的值即可得． 【详解】（1）在上述变化过程中，自变量是排数，自变量的函数是座位数． （2）由表格可知，第1排的座位数为60，往后每增加一排，座位数增加4个，所以座位数s与排数n的函数关系式为：． （3）令， 解得． 答：若某排有124座，则该排的排数是17． 【考点题型六】求自变量的取值范围（） 【例6】（23-24八年级下·河北衡水·期末）函数中的自变量x的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．或 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，二次根式的有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负以及分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：由题意得，且 解得． 故选：C． 【变式6-1】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期中）函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式分母不为是解答本题的关键．根据分式有意义的条件分母不为零即可得出答案． 【详解】解：有意义， ， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求自变量的取值范围、函数的三种表示方法、函数解析式 【分析】本题考查函数的表示方式以及用函数关系式表示两个量之间的关系，根据题意可知关系应该分为两部分，购买10本及10本以下、购买10本以上2部分分析求解． 【详解】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折， ∴y与x之间的函数关系在时，；在时，； ∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确； 由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折， ∴表达两个量之间的关系， （5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系， 综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个， 故选：C． 【考点题型七】求自变量的值或函数值（） 【例7】（24-25八年级下·河北保定·开学考试）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查已知函数值求自变量值．根据题意逐一让其选项中，求其的值，若能求出则表示存在零点，若无法求出则表示不存在零点． 【详解】解：∵，即：无实数解， ∴A选项不存在零点， ∵，即：无实数解， ∴B选项不存在零点， ∵，即：无实数解， ∴C选项不存在零点， ∵，即：有实数解， ∴D选项存在零点， 故选：D． 【变式7-1】（22-23八年级下·期末）1~6个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重y（克）与月龄x（月）之间的关系可以用来近似地表示，其中a是婴儿出生时的体重．若某个婴儿出生时的体重是3200克，则体重是7200克时月龄x是 ． 【答案】5 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】将，代入函数关系式计算即可． 【详解】将，代入得： ， 解得， 故答案为：5． 【点睛】本题考查一次函数的应用，理解函数解析式中每个字母的含义是求解本题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）物体在做自由落体运动时，下落时间t（s）和下落高度h（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力）． (1)小球从的高空自由下落，需要多长时间到达地面？ (2)小芳认为，小球从的高空下落需要的时间是从的高空下落需要的时间的2倍，你认为小芳的想法正确吗？如果不正确，请说明理由； (3)据研究，高空下落物体的动能（单位：J）物体的质量（单位：kg）×高度（单位：m），将某个质量为的皮球从高空抛下，经过后落在地上，这个皮球产生的动能是多少？ 【答案】(1) (2)小芳的想法不正确，理由见解析 (3)这个皮球落地产生的动能 【知识点】二次根式的除法、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数或自变量的值，以及二次根式的运算，正确计算是解答本题的关键． （1）把代入计算即可； （2）把代入求出t的值，再除以（1）中结果即可； （3）先把把代入求出h的值，然后根据动能的计算方法求解即可． 【详解】（1）将代入，得 （2）小芳的想法不正确， 将代入， 得， 即小球从的高空下落需要的时间是从的高空下落需要的时间的倍， 小芳的想法不正确； （3）， ， 解得， ∴这个皮球落地产生的动能． 【考点题型八】函数的三种表示方法（） 【例8】（八年级下·河北·期中）王涵准备测量食用油的沸点（液体沸腾时的温度），已知食食用油的沸点温度高于水的沸点温度(100℃），王涵家只有刻度不超过100度的温度计；她的方法是在锅中导入一些食用油，用媒气灶均匀加热，并每隔10s，测量一下锅中的油温，测量得到的数据如表所示，王涵发现，加热110s时，油沸腾了，则下列判断不正确的是（   ） 时间t/s 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 A．没有加热时，油的温度是 B．每加热10s．油的温度升富 C．如热50s时，油的温度是 D．这种食用油的沸点温度是 【答案】C 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据表格中提供的数据可知，：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10℃；每增加10秒，温度上升20℃，据此解答即可． 【详解】A.从表格可知：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10℃，正确，不符合题意； B. 从表格可知：每增加10秒，温度上升20℃，正确，不符合题意； C.∵每增加10秒，温度上升20℃，∴t=50时，油温度y＝50÷10×20+10=110，不正确，符合题意； D.110÷10×20+10=230，即t=110秒时，温度y=230，正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的表示方法；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 【变式8-1】（八年级下·河北石家庄·期中）如表是加热食用油时温度随时间的变化情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 王红发现，烧到时油沸腾了，则油的沸点是 （沸点是指液体沸腾时候的温度）． 【答案】224 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】从表格中看出，每过10秒油温升高20°C，按此规律计算即可． 【详解】解：107-40=67（秒） 20÷10=2（°C） 90+2×67=224（°C） 故答案为：224． 【点睛】本题考查了函数的表示方法中的表格法，看懂数据的规律是解题的关键． 【变式8-2】（八年级下·河北唐山·期中）在弹性限度范围内，弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 14 14.8 15.6 16.4 17.2 18 18.8 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ （2）在弹性限度范围内写出与之间的关系式； （3）当所挂物体的质量为时（在弹性限度范围内），求弹簧的长度． （4）在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为，求物体质量的取值范围？ 【答案】（1）所挂物体质量及弹簧长度间的关系；所挂物体质量为自变量；（2）y=14+0.8x；（3）20.8cm；（4）0≤x≤10． 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】（1）由题意易得； （2）由表中数据知，所挂物体质量每增加1千克，弹簧长度伸长0.8厘米，由此可得y与x的关系式； （3）当x=8.5时，代入（2）中所得的关系式中，即可求得结果； （4）当y=22时，代入（2）中所得的关系式中，可求得所挂物体的最大质量，从而求得物体质量的取值范围． 【详解】（1）由题意，弹簧的长度随着物体质量的变化而变化，所以上表反映了所挂物体质量及弹簧长度间的关系，其中所挂物体质量为自变量； （2）由表知：所挂物体质量每增加1千克，弹簧长度伸长0.8厘米，则当物体质量为x千克时，y=14+0.8x 即在弹性限度范围内写出与之间的关系式为：y=14+0.8x； （3）当x=8.5时，y=14+0.8×8.5=20.8 即此时弹簧长度为20.8厘米； （4）当y=22时，22=14+0.8x 解得：x=10 即在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为时，所挂物体的最大质量为10千克 所以x的取值范围为：0≤x≤10． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，求函数值，已知函数值求自变量的值，解答本题的关键是读懂表格，根据表格信息得到所需的条件． 【考点题型九】函数图象识别（） 【例9】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象识别 【分析】此题考查函数的定义，函数图象，对于自变量的每一个确定的值都有唯一的确定值与其对应，则是的函数，根据函数的定义解答即可． 【详解】根据函数的定义，选项A图象表示是的函数，B、C、D图象中对于的一个值有多个值对应，故选：A． 【变式9-1】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图所示的容器内装满水后，打开容器底部的出水孔，水从小孔匀速地流出直至全部流完，在这一过程中，水面高度h随时间t的变化规律可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图象．熟练掌握函数图象是解题的关键．根据开始时由最大高度快速下降，然后减速下降直到高度为0，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，开始时由最大高度快速下降，然后减速下降直到高度为0， ∴图象如下； 故选：A． 【变式9-2】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 【答案】(1)50 (2)1 (3)10，50 (4)0.5小时 【知识点】函数图象识别、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数图象和一元一次方程， （1）观察图象可得结论； （2）观察图象可得结论； （3）根据路程除以时间可得答案； （4）设乙出发后经过t小时追上甲，再根据等量关系列出方程，求出解即可． 【详解】（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米． 故答案为：50； （2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发． 故答案为：1； （3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米， 所以段路程中的平均速度是（千米/小时）； 乙的平均速度是（千米/小时）． 故答案为：10，50； （4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得， ， 解得， ∴乙出发后经过0.5小时追上甲． 【考点题型十】从函数的图象获取信息（） 【例10】（23-24八年级下·河北唐山·期末）小赵以每件5元的价格购进某商品若干件到市场销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系图象如图所示，则降价后每件商品的销售利润率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的利润问题，先根据图象得到降价后的售价，然后利用公式计算利润率即可． 【详解】∵由图象可知件销售金额为元，件的销售金额为元， ∴降价后卖了件，销售金额为元， ∴降价后每件商品销售的价格为元， ∴降价后每件商品的销售利润率为， 故选B． 【变式10-1】（22-23八年级下·河北邯郸·期中）某油库有一储油量为吨的储油罐，在开始的一段时间内只开进油管，不开出油管；在随后的一段时间内既开进油管，又开出油管直至储油罐装满油．若储油罐中的储油量（吨）与时间（分）的函数关系如图所示．    （1）每分钟的进油量为 吨，每分钟的出油量为 吨； （2）现将装满油的储油罐只开出油管，不开进油管，则放完全部油所需的时间是 分钟． 【答案】 3 2 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据图象得，每分钟的进油量为：，设每分钟的出油量为x吨，，进行计算即可得； （2）由（1）得每分钟的出油量为2吨，即可得． 【详解】解：（1）（吨/分）， 设每分钟的出油量为x吨， ， ， ， ， 故答案为3，2； （2）解：（分钟）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象得到相应的信息． 【变式10-2】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）周末，小明骑车想去电影院看电影，当他骑了一段时间后，想起要买点饮料和爆米花，于是又折回到刚经过的超市，买到东西后继续骑车去电影院．他离家距离（米）与所用的时间（分钟）的关系如图所示．根据如图回答下列问题： (1)小明家到电影院的距离是______米； (2)小明在超市停留了______分钟； (3)在去电影院的途中，小明一共骑行了______米； (4)在去电影院的途中______（时间段）小明骑车速度最快，最快速度是______ 【答案】(1)1500 (2)4 (3)2700 (4)第分钟，450米/分 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，读懂图象信息、熟练掌握路程、速度与时间的关系是解题的关键． （1）直接根据图象写出即可； （2）与横轴平行的线段表示路程没有变化，据此解答即可； （3）共小明骑行的路程=小明家到电影院的距离+折回超市的路程，据此计算即得答案； （4）先结合图象与路程、速度与时间的关系计算出各时段的速度，再进行比较即可． 【详解】（1）解：小明家离电影院的距离是1500米． 故答案为：1500； （2）解：由图象可知：小明在超市停留了 (分钟)． 故答案为：4； （3）解：（米），即本次上学途中，小明一共骑行了2700米． 故答案为：2700； （4）解：折回之前的速度（米/分）； 折回超市时的速度（米/分）； 从超市到电影院的速度（米/分）； 经过比较可知：小明从超市到电影院的速度最快，即在整个上学的途中，从第分钟小明骑车速度最快，最快的速度是 450 米/分． 故答案为：第分钟，450米/分． 【考点题型十一】动点问题的函数图象（） 【例11】（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为.，图2是点运动过程中与..之间函数关系的图象，则..的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查动点问题的函数图象及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象，当运动7秒时，点P运动到点C位置，所以，当点P运动到点B时，的面积的面积最大，为，所以，可以求出、的长，再由勾股定理可以解答本题． 【详解】解：根据函数图象，当运动7秒时，点P运动到点C位置， 所以， 当点P运动到点B时，的面积的面积最大，为， 所以， 即， 解得：或（舍去）， 所以， 根据勾股定理． 故选：C． 【变式11-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 【答案】①②③ 【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查动点函数问题，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 根据图象可得函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小逐个分析即可解答． 【详解】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而， ，故①正确； ② 根据函数图象可知：从经过了3秒，P运动了，因而故②正确； ③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积，故③正确； ④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点， 的面积是，故④错误． 故答案为：①②③． 【变式11-2】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，点从的顶点出发，沿的方向匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图像，其中是曲线部分的最低点． (1)_______； (2)求的面积． 【答案】(1)30 (2)336 【知识点】从函数的图象获取信息、用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查动点与函数图象，勾股定理的综合，掌握函数图象的性质，勾股定理，几何图形面积的计算是解题的关键． （1）根据动点运动规律和函数图象的性质即可求解； （2）根据函数图象的性质可得的值，根据勾股定理可得的值，根据几何图形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据图2可得，点从时，的长度随时间的增加而增大，从时，随的增加而减小，至时，的值最小；当再增加时，的值又开始增大，直到与点重合， ∴， 故答案为：30； （2）解：由上述论述，结合图形可得，当时，的值最小，最小为， 当点与点重合时，，如图所示， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 清单02 函数（9个考点梳理+11题型解读） 清单01常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 清单02 函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 清单03 函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 清单04 函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 清单05 函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 清单06 函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 清单07 动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 清单08 函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 清单09 分段函数 （1）一次函数与常函数组合的分段函数． 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．） （2）由文字图象信息确定分段函数． 根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面： ①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量． ②关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标． ③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义． 【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点 1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示． 2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大． 3．各个分段中，准确确定函数关系． 4．确定函数图象的最低点和最高点． 【考点题型一】用表格表示变量间的关系（） 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）嘉琪的爸爸到单位附近的加油站加油，如下是他所用加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（   ） 157.6 金额 20 数量/升 7.38 单价/升 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【变式1-1】（23-24八年级下·河北承德·期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【变式1-2】（八年级下·河北沧州·期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）： x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y（元） ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … （1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； （2）观察表中数据，计算平均每个人的车费是_______元； （3）写出利润y与乘车人数x之间的关系式； （4）若5月份想获得利润5000元，请你估计乘客量需要达到多少人？ 【考点题型二】用关系式表示变量间的关系（） 【例2】（23-24八年级下·河北保定·期末）关于圆的周长公式，下列说法正确的是（   ） A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量 C．C，R是变量，2，是常量 D．R 是变量，C，2，是变量 【变式2-1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知等腰三角形的周长为20，那么底边长y与腰长x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（21-22八年级下·河北石家庄·期中）一支蜡烛长12cm，点燃时每分钟缩短0.5cm，点燃后蜡烛长度y（cm）随点燃时间x（，单位：min）变化而变化． (1)指出其中的常量与变量； (2)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围． 【考点题型三】用图象表示变量间的关系（） 【例3】（22-23八年级下·河北廊坊·期末）早晨嘉嘉去上学，先从家匀速步行到集合点，等几分钟后坐校车去学校．嘉嘉从家到学校所走的路程与时间的大致图象是（　　） A．    B．   C．   D．   【变式3-1】（23-24八年级下·河北承德·期末）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】函数的概念（） 【例4】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【变式4-1】（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图是某超市羊排的商品销售标价，在单价96元/千克、重量m千克、总价y元这三个量中，常量是 ．    【变式4-2】（22-23八年级下·河北邢台·期中）某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如表： 时间/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5 (1)在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； (2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【考点题型五】函数解析式（） 【例5】（23-24八年级下·河北邢台·期末）托运行李p千克（p为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需增加费用5角，则计算托运行李费用c的公式是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为 ． 【变式5-2】（23-24八年级下·河北沧州·期中）某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置： 排数 第1排 第2排 第3排 第4排 … 座位数 60 64 68 72 … (1)在上述变化过程中，自变量是什么？自变量的函数是什么？ (2)写出座位数s与排数n的函数关系式； (3)若某排有124个座位，则该排是第几排？ 【考点题型六】求自变量的取值范围（） 【例6】（23-24八年级下·河北衡水·期末）函数中的自变量x的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．或 【变式6-1】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期中）函数的自变量x的取值范围是 ． 【变式6-2】（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型七】求自变量的值或函数值（） 【例7】（24-25八年级下·河北保定·开学考试）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23八年级下·期末）1~6个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重y（克）与月龄x（月）之间的关系可以用来近似地表示，其中a是婴儿出生时的体重．若某个婴儿出生时的体重是3200克，则体重是7200克时月龄x是 ． 【变式7-2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）物体在做自由落体运动时，下落时间t（s）和下落高度h（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力）． (1)小球从的高空自由下落，需要多长时间到达地面？ (2)小芳认为，小球从的高空下落需要的时间是从的高空下落需要的时间的2倍，你认为小芳的想法正确吗？如果不正确，请说明理由； (3)据研究，高空下落物体的动能（单位：J）物体的质量（单位：kg）×高度（单位：m），将某个质量为的皮球从高空抛下，经过后落在地上，这个皮球产生的动能是多少？ 【考点题型八】函数的三种表示方法（） 【例8】（八年级下·河北·期中）王涵准备测量食用油的沸点（液体沸腾时的温度），已知食食用油的沸点温度高于水的沸点温度(100℃），王涵家只有刻度不超过100度的温度计；她的方法是在锅中导入一些食用油，用媒气灶均匀加热，并每隔10s，测量一下锅中的油温，测量得到的数据如表所示，王涵发现，加热110s时，油沸腾了，则下列判断不正确的是（   ） 时间t/s 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 A．没有加热时，油的温度是 B．每加热10s．油的温度升富 C．如热50s时，油的温度是 D．这种食用油的沸点温度是 【变式8-1】（八年级下·河北石家庄·期中）如表是加热食用油时温度随时间的变化情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 王红发现，烧到时油沸腾了，则油的沸点是 （沸点是指液体沸腾时候的温度）． 【变式8-2】（八年级下·河北唐山·期中）在弹性限度范围内，弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 14 14.8 15.6 16.4 17.2 18 18.8 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ （2）在弹性限度范围内写出与之间的关系式； （3）当所挂物体的质量为时（在弹性限度范围内），求弹簧的长度． （4）在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为，求物体质量的取值范围？ 【考点题型九】函数图象识别（） 【例9】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图所示的容器内装满水后，打开容器底部的出水孔，水从小孔匀速地流出直至全部流完，在这一过程中，水面高度h随时间t的变化规律可能是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 【考点题型十】从函数的图象获取信息（） 【例10】（23-24八年级下·河北唐山·期末）小赵以每件5元的价格购进某商品若干件到市场销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系图象如图所示，则降价后每件商品的销售利润率为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（22-23八年级下·河北邯郸·期中）某油库有一储油量为吨的储油罐，在开始的一段时间内只开进油管，不开出油管；在随后的一段时间内既开进油管，又开出油管直至储油罐装满油．若储油罐中的储油量（吨）与时间（分）的函数关系如图所示．    （1）每分钟的进油量为 吨，每分钟的出油量为 吨； （2）现将装满油的储油罐只开出油管，不开进油管，则放完全部油所需的时间是 分钟． 【变式10-2】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）周末，小明骑车想去电影院看电影，当他骑了一段时间后，想起要买点饮料和爆米花，于是又折回到刚经过的超市，买到东西后继续骑车去电影院．他离家距离（米）与所用的时间（分钟）的关系如图所示．根据如图回答下列问题： (1)小明家到电影院的距离是______米； (2)小明在超市停留了______分钟； (3)在去电影院的途中，小明一共骑行了______米； (4)在去电影院的途中______（时间段）小明骑车速度最快，最快速度是______ 【考点题型十一】动点问题的函数图象（） 【例11】（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为.，图2是点运动过程中与..之间函数关系的图象，则..的长为（） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 【变式11-2】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，点从的顶点出发，沿的方向匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图像，其中是曲线部分的最低点． (1)_______； (2)求的面积. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $