第四章 因式分解（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第四章 因式分解 （A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．多项式8x2y4﹣12xy2z的公因式是（　　） A．4x2y2 B．4xyz C．4x2y4 D．4xy2 2．下列因式分解最后结果正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2 C．x3﹣x＝x（x2﹣1） D．6x﹣9﹣x2＝（x﹣3）2 3．已知a+b＝3，ab＝﹣2，则代数式a2b+ab2的值是（　　） A．﹣6 B．1 C．0 D．﹣8 4．若△ABC三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 6．如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为（　　） A．140 B．70 C．14 D．10 7．如图，把图1中的①部分剪下来，恰好能拼在②的位置处，构成图2中的图形，形成一个从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　　） A．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 8．若x2+ax+4＝（x+2）2，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 9．设二次三项式2x2+mx+6可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数m的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 10．对于任意整数n，多项式（4n+5）2﹣9都能（　　） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被6或8整除 11．已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2﹣4，乙与丙相乘的积为x2﹣2x，则甲与丙相乘的积为（　　） A．2x+2 B．x2+2x C．2x﹣2 D．x2﹣2x 12．已知x，y，z是正整数，x＞y，且x2﹣xy﹣xz+yz＝23，则x﹣z等于（　　） A．﹣1 B．1或23 C．1 D．﹣1或﹣23 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．因式分解：2a﹣6＝　 　 ． 14．若多项式2x2+ax+6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为 　 　 ． 15．若a+2b＝3，a﹣2b＝2，则a2﹣4b2＝　 　 ． 16．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2＝c2的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于 　 　 （用含字母a的代数式表示）；若（c﹣a）（c﹣b）＝18，则a+b﹣c＝　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）因式分解： （1）﹣3x2+6xy﹣3y2 （2）a2（x﹣y）+16（y﹣x） 18．（10分）下面是嘉淇同学把多项式﹣16my2+4mx2分解因式的具体步骤： ﹣16my2+4mx2＝4mx2﹣16my2…第一步 ＝m（4x2﹣16y2）…第二步 ＝m[（2x）2﹣（4y）2]…第三步 ＝m（2x+4y）（2x﹣4y）…第四步 （1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 　 　 ； （2）请给出这个问题的正确解法． 19．（10分）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且xy＝1040，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 20．（10分）已知a+b＝4，ab＝3，求代数式2a3b+2ab3﹣6ab的值． 21．（10分）如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若a＝3.6，b＝0.8，求剩余部分的面积． 22．（11分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 23．（11分）已知整式A＝4x2+4x﹣24． （1）将整式A分解因式； （2）求证：若x取整数，则A能被4整除． 24．（12分）若定义一种运算：a△b＝a3﹣b2+ab+1， 如：2△（﹣3）＝23﹣（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝8﹣9﹣6+1＝﹣6． （1）计算：（﹣x）△（1﹣x）． （2）将（1）计算所得的多项式分解因式； 25．（14分）阅读材料，解决问题 【材料1】将形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）． 如，x2+4x+3中，常数项3＝1×3，一次项系数4＝1+3，∴x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；同理，x2﹣4x﹣12中，常数项“﹣12”＝﹣6×2，一次项系数“﹣4”＝﹣6+2， ∴x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）． 【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，因式分解x2﹣6x+8； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解 （A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．多项式8x2y4﹣12xy2z的公因式是（　　） A．4x2y2 B．4xyz C．4x2y4 D．4xy2 【解答】解：多项式8x2y4﹣12xy2z的公因式是4xy2； 故选：D． 2．下列因式分解最后结果正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2 C．x3﹣x＝x（x2﹣1） D．6x﹣9﹣x2＝（x﹣3）2 【解答】解：x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）≠（x﹣1）（x+3），故选项A分解不正确； x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2，故选项B分解正确； 由于x2﹣1仍能因式分解，故选项C分解不正确； 6x﹣9﹣x2＝﹣（x﹣3）2≠（x﹣3）2，故选项D分解不正确． 故选：B． 3．已知a+b＝3，ab＝﹣2，则代数式a2b+ab2的值是（　　） A．﹣6 B．1 C．0 D．﹣8 【解答】解：∵a+b＝3，ab＝﹣2， ∴a2b+ab2的 ＝ab（a+b） ＝﹣2×3 ＝﹣6， 故选：A． 4．若△ABC三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：依题意， 由a2﹣b2﹣ac+bc＝0， 可得（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）c＝0， 所以（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， 因为a，b，c为△ABC三边， 所以a+b＞c， 所以a+b﹣c＞0， 所以只能a﹣b＝0， 所以a＝b，可以判断△ABC的形状， 所以△ABC为等腰三角形， 故选：C． 5．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 【解答】解：∵（x+2y）2＝x2+4xy+4y2， ∴墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 6．如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为（　　） A．140 B．70 C．14 D．10 【解答】解：∵该长方形的周长为14，面积为10， ∴2（x+y）＝14，xy＝10，则x+y＝7， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝10×7＝70， 故选：B． 7．如图，把图1中的①部分剪下来，恰好能拼在②的位置处，构成图2中的图形，形成一个从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　　） A．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【解答】解：由题意这两个图形的面积相等， 则（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 故选：D． 8．若x2+ax+4＝（x+2）2，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【解答】解：∵x2+ax+4＝（x+2）2， ∴x2+ax+4＝x2+4x+4． ∴a＝4． 故选：C． 9．设二次三项式2x2+mx+6可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数m的个数为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 【解答】解：2＝1×2， 6＝1×6＝2×3， 1×1+2×6＝13， 1×6+2×1＝8， 1×3+2×2＝7， 1×2+2×3＝8， ∵各因式的系数都是整数， ∴满足条件的整数m的个数为（2+2）×2﹣1×2＝6． 故选：B． 10．对于任意整数n，多项式（4n+5）2﹣9都能（　　） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被6或8整除 【解答】解：∵（4n+5）2﹣9 ＝[（4n+5）+3][（4n+5）﹣3] ＝（4n+8）（4n+2） ＝8（n+2）（2n+1）， ∴对于任意整数n，多项式（4n+5）2﹣9都能倍8整除， 故选：C． 11．已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2﹣4，乙与丙相乘的积为x2﹣2x，则甲与丙相乘的积为（　　） A．2x+2 B．x2+2x C．2x﹣2 D．x2﹣2x 【解答】解：∵甲与乙相乘的积为x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），乙与丙相乘的积为x2﹣2x＝x（x﹣2）， ∴甲为x+2，乙为x﹣2，丙为x， 则甲与丙相乘的积为x（x+2）＝x2+2x， 故选：B． 12．已知x，y，z是正整数，x＞y，且x2﹣xy﹣xz+yz＝23，则x﹣z等于（　　） A．﹣1 B．1或23 C．1 D．﹣1或﹣23 【解答】解：x2﹣xy﹣xz+yz＝23， x（x﹣y）﹣z（x﹣y）＝23， （x﹣y）（x﹣z）＝23， ∵x，y，z是正整数，x＞y， ∴x﹣y＞0， ∴或， ∴x﹣z等于1或23． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．因式分解：2a﹣6＝　2（a﹣3）　 ． 【解答】解：2a﹣6 ＝2（a﹣3）． 故答案为：2（a﹣3）． 14．若多项式2x2+ax+6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为 　﹣7　 ． 【解答】解：∵多项式2x2+ax+6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3， ∵6＝（﹣3）×（﹣2）． ∴2x2+ax+6＝（2x﹣3）（x﹣2）＝2x2﹣7x﹣6． ∴a＝﹣7． 故答案为﹣7． 15．若a+2b＝3，a﹣2b＝2，则a2﹣4b2＝　6　 ． 【解答】解：∵a2﹣4b2＝（a﹣2b）（a+2b）， ∴a2﹣4b2＝2×3＝6． 故答案为：6． 16．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2＝c2的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于 　a2　 （用含字母a的代数式表示）；若（c﹣a）（c﹣b）＝18，则a+b﹣c＝　6　 ． 【解答】解：图中阴影部分面积等于c2﹣b2＝a2+b2﹣b2＝a2， 如图所示： AB＝c﹣b，AC＝c﹣a，DE＝a﹣（c﹣b）＝a+b﹣c， ∵（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣bc﹣ca+ab＝18， ∴AB•AC＝18，即S矩形ACDB＝18， ∵S阴影＝2S矩形ACDB+a2﹣（a+b﹣c）2＝a2， ∴（a+b﹣c）2＝36， ∵a+b＞c，即a+b﹣c＞0， ∴a+b﹣c＝6， 故答案为：a2，6． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．因式分解： （1）﹣3x2+6xy﹣3y2 （2）a2（x﹣y）+16（y﹣x） 【解答】解：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2 ＝﹣3（x2﹣2xy+y2） ＝﹣3（x﹣y）2； （2）a2（x﹣y）+16（y﹣x） ＝（x﹣y）（a2﹣16） ＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）． 18．下面是嘉淇同学把多项式﹣16my2+4mx2分解因式的具体步骤： ﹣16my2+4mx2＝4mx2﹣16my2…第一步 ＝m（4x2﹣16y2）…第二步 ＝m[（2x）2﹣（4y）2]…第三步 ＝m（2x+4y）（2x﹣4y）…第四步 （1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 　因式分解不彻底　 ； （2）请给出这个问题的正确解法． 【解答】解：（1）因式分解不彻底． 故答案为：因式分解不彻底． （2）﹣16my2+4mx2 ＝4mx2﹣16my2 ＝4m（x2﹣4y2） ＝4m（x+2y）（x﹣2y）． 19．父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且xy＝1040，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 【解答】解：由题意得，x﹣y＝26， ∵x2﹣xy＝x（x﹣y）， ∴26x＝1040， 解得x＝40， y＝40﹣x＝40﹣26＝14． 答：父亲和儿子今年分别是40岁、14岁． 20．已知a+b＝4，ab＝3，求代数式2a3b+2ab3﹣6ab的值． 【解答】解：∵a+b＝4，ab＝3， ∴2a3b+2ab3﹣6ab ＝2ab（a2+b2）﹣6ab ＝2ab[（a+b）2﹣2ab]﹣6ab ＝2×3×（42﹣2×3）﹣6×3 ＝2×3×（16﹣2×3）﹣6×3 ＝6×（16﹣6）﹣18 ＝6×10﹣18 ＝60﹣18 ＝42． 21．如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若a＝3.6，b＝0.8，求剩余部分的面积． 【解答】解：剩余部分的面积是a2﹣4b2， 当a＝3.6，b＝0.8时剩余部分的面积是： a2﹣4b2 ＝（a+2b）（a﹣2b） ＝（3.6+2×0.8）×（3.6﹣2×0.8） ＝10.4． 答：剩余部分得面积为 10.4． 22．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 【解答】解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3） ＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x ＝5x﹣20； P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2 ＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4 ＝4x2﹣16； （2）P＝4x2﹣16 ＝4（x2﹣4） ＝4（x+2）（x﹣2）． 23．已知整式A＝4x2+4x﹣24． （1）将整式A分解因式； （2）求证：若x取整数，则A能被4整除． 【解答】解：（1）A＝（4x2+4x+1）﹣25 ＝（2x+1）2﹣52 ＝[（2x+1）+5][（2x+1）﹣5] ＝4（x+3）（x﹣2）； （2）证明：∵x取整数， ∴x+3和x﹣2均为整数， 又由（1）可知，A＝4（x+3）（x﹣2）， ∴A能被4整除． 24．若定义一种运算：a△b＝a3﹣b2+ab+1， 如：2△（﹣3）＝23﹣（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝8﹣9﹣6+1＝﹣6． （1）计算：（﹣x）△（1﹣x）． （2）将（1）计算所得的多项式分解因式； 【解答】解：（1）由题意，得： （﹣x）△（1﹣x） ＝（﹣x）3﹣（1﹣x）2+（﹣x）（1﹣x）+1 ＝﹣x3﹣（1﹣2x+x2）﹣x+x2+1 ＝﹣x3﹣1+2x﹣x2﹣x+x2+1 ＝﹣x3+x； （2）﹣x3+x ＝﹣x（x2﹣1） ＝﹣x（x+1）（x﹣1）． 25．阅读材料，解决问题 【材料1】将形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）． 如，x2+4x+3中，常数项3＝1×3，一次项系数4＝1+3，∴x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；同理，x2﹣4x﹣12中，常数项“﹣12”＝﹣6×2，一次项系数“﹣4”＝﹣6+2， ∴x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）． 【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，因式分解x2﹣6x+8； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）①把x﹣y看成一个整体，令x﹣y＝A，则 原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3）， 再将A＝x﹣y重新代入，得：原式＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）； ②m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3 ＝（m2+2m）（m2+2m﹣2）﹣3 ＝（m2+2m）2﹣2（m2+2m）﹣3， 把m2+2m看成一个整体，令m2+2m＝A，则 原式＝A2﹣2A﹣3＝（A﹣3）（A+1）， 再将A＝m2+2m重新代入，得：原式＝（m2+2m﹣3）（m2+2m+1）＝（m+3）（m﹣1）（m+1）2． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$