天津市宝坻区第四中学2024-2025学年高二下学期第七周数学周测

高二数学第二学期第七周周测 ---导数、排列组合、条件概率全概率 一、单选题 1．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用导数四则运算法则与导数运算公式逐项计算可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 2．（20-21高二·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小. 【详解】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为. 故选：C 3．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：A 4．（2025高三·全国·专题练习）的展开式中的第五项为（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式定理直接列式求得答案. 【详解】的展开式中的第五项为. 故选：D 5．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（    ） A．0．4 B．0．5 C．0．6 D．0．7 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】方法一：用缩小样本空间的方法求解；方法二：用条件概率公式求解. 【详解】方法一：在第一次取得红球后，口袋中还剩5个球，2个红球，3个白球， 所以第二次取得白球的概率为； 方法二：设第一次取得红球为事件，设第二次取得白球为事件， 则第一次取得红球第二次取得白球为事件， 则，， 所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率 . 故选：C 6．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、求已知函数的极值、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 7．（2025·湖北·模拟预测）小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式计算即可得到结果. 【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为， 故选：A. 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用分类加法原理来求解即可. 【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：种； 第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：种； 根据分类加法原理可得，共有种， 故选：B. 9．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数在上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值求参数 【分析】对函数求导并根据导函数对参数a的取值进行分类讨论，得出相对应的单调性，再由极值点定义进行验证即可求得实数a的取值范围. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以当或时，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，， 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，的图像如下所示： 即与x轴有3个交点，不妨依次设为，，， 则当或时，即， 当或时，即， 所以在处取得极小值，符合题意； 综上可得实数a的取值范围为． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数的符号与函数单调性的关系，对参数a的取值进行分类讨论，再结合极小值定义并检验即可得出结论. 二、填空题 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 11．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）展开式中各项系数的和为 ． 【答案】1 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】令，得各项系数的和为1. 【详解】在中，令，得各项系数的和为. 故答案为：1. 12．（24-25高二·全国·课堂例题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 ． 【答案】 【知识点】全排列问题、实际问题中的组合计数问题、计算条件概率 【分析】利用条件概率公式列式计算即得. 【详解】从袋中不放回地依次随机摸出2个球，设第一次摸到红球为事件，则， 设两次都摸到红球为事件，则， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率. 故答案为： 13．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则的极小值为 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求已知函数的极值 【分析】对求导，得到，再利用极值的定义及求极值的步骤，即可求解. 【详解】易知函数的定义域为，由题知， 令，得到，当时，，当时，， 所以在处取得极小值，极小值为， 故答案为：. 14．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙､丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为 ． 【答案】0.025/ 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用条件概率和全概率公式进行求解即可. 【详解】设分别表示甲，乙，丙工厂的产品，表示次品， 则， ， . 故答案为：. 15．（24-25高二下·上海·阶段练习）某班新年联欢会原定是5个节目，且已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目增加到原节目单中，那么新节目单可能有种 . 【答案】42 【知识点】分类加法计数原理、不相邻排列问题 【分析】利用插空法，分两个新节目在一起和两个新节目不在一起两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】原定的5个节目形成6个空． 当插入的这两个新节目在一起时，有插法； 当插入的这两个新节目不在一起时，有插法， 所以总的不同插法的种数为种，即新节目单可能有种排法． 故答案为：42． 三、解答题 16．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）（1）求展开式中的系数； （2） 求展开式中的常数项. 【答案】（1）– 252；（2） 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】（1）（2）求出二项式展开式的通项公式，再让x的指数符合要求即可求得结论. 【详解】 （1）展开式的通式为 ， 令，得 ， 所以展开式中的系数为. （2）展开式的通式为 ， 令，得，， 所以展开式中的常数项为. 17．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1)； (2) 的单调增区间是，无减区间； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）先求和，则切线方程为即可求解； （2）先求函数的定义域，利用导数求单调区间即可. 【详解】（1）由题意有，， 所以， 所以的切线方程为； （2）函数的定义域为， 所以， 所以在上为增函数， 所以函数的增区间为，无减区间； 18．（23-24高二下·浙江台州·期中）现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (3)若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数. 【答案】(1)1440 (2)1440 (3)25 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）利用捆绑法，结合排列组合知识求解； （2）利用插空法，结合排列组合知识求解； （3）利用间接法求解． 【详解】（1）由题意可知：运用捆绑法，可得共有排法数为种. （2）由题意可知：运用插空法，可得共有排法数为种. （3）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法， 男生甲和女生乙同时参加的方法有，共有邀请方法数为种. 19．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值 (3) 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可； （2）利用第一问求的单调性判断最值； （3）函数，解不等式即可. 【详解】（1），则， 因函数在处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故. （2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而， 则在区间上的最大值为和最小值. （3）令，则， 则与单调性相同， 因方程有三个不同的实数根， 则，得， 则实数的取值范围为. 20．（24-25高二下·安徽马鞍山·阶段练习）（1）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求a的取值范围． （2）已知函数，对于任意，且，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） ；（2）． 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对函数求导，问题化为时有解，即可得参数范围； （2）由题设在上是增函数，对函数求导，问题化为在上恒成立，即可得参数范围. 【详解】（1）因为，所以， 若在上存在单调递增区间，则时有解， 即有解，，显然有， ∴，即，故a的取值范围是． （2）由已知，当时，有恒成立， 即在上是增函数． 则，则， ∴在上恒成立，即在上恒成立． ∵时，有，当时，， 由在上恒成立，得，即， 即实数a的取值范围为． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学第二学期第七周周测 ---导数、排列组合、条件概率全概率 一、单选题 1．下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 4．的展开式中的第五项为（    ） A． B． C．35 D． 5．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（    ） A．0．4 B．0．5 C．0．6 D．0．7 6．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 7．小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（   ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 8．某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 9．已知函数在上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．函数在点处的切线方程为 ． 11．展开式中各项系数的和为 ． 12．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 ． 13．已知函数，则的极小值为 14．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙､丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为 ． 15．某班新年联欢会原定是5个节目，且已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目增加到原节目单中，那么新节目单可能有种 . 三、解答题 16．（1）求展开式中的系数； （2） 求展开式中的常数项. 17．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 18．现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (3)若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数. 19．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 20．（1）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求a的取值范围． （2）已知函数，对于任意，且，都有，求实数a的取值范围． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$