专题5.4 利用导数研究函数的极值与最值（4类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.4 利用导数研究函数的极值与最值 【知识梳理】 1 【考点1：求已知函数的极值】 2 【考点2：由函数的极值点或极值求参】 5 【考点3：利用导数求已知函数的最值】 12 【考点4：已知函数的最值求参】 16 【知识梳理】 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．函数的极值 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [方法技巧]　　　利用导数求函数极值的步骤 [方法技巧] 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　 4. 函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： [方法技巧] 利用导数求函数在某区间上最值的规律 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．　　 【考点1：求已知函数的极值】 【知识点：求已知函数的极值】 1．（2025高二下·河南郑州·阶段练习）函数的极小值为 ． 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值. 【详解】由题意，函数的定义域为，. 因为恒成立，所以由，得；由，得； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值. 故答案为：. 2．（2025高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则的极小值为 【答案】 【分析】对求导，得到，再利用极值的定义及求极值的步骤，即可求解. 【详解】易知函数的定义域为，由题知， 令，得到，当时，，当时，， 所以在处取得极小值，极小值为， 故答案为：. 3．（2025高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数，的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，为的导函数，则的极小值点为 ． 【答案】 【分析】利用函数性质得出的解析式，利用导数可得答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以． 因为为偶函数，所以，所以， 所以，所以． 因为， 所以在上单调递增，在，上单调递减，所以的极小值点为． 故答案为: 4．（2025高二下·青海西宁·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．在处取得极小值 C．在区间上单调递减 D．图象在处的切线斜率为6 【答案】ABC 【分析】求导得，利用列表法求出单调区间和极值点，由此判断A、B、C；求出即得切线的斜率可判断D； 【详解】函数的定义域为R. 导函数. 令，解得：或.列表得： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；故C正确， 在处取得极大值，在处取得极小值.故A、B正确， 又，所以函数在点处的切线斜率为，故不正确. 故选：ABC. 5．（2025高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数在处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求的极值. 【答案】(1)1 (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可. （2）利用导数研究函数的极值即可. 【详解】（1）由已知可得， 由直线的斜率为， 所以，解得. （2）由（1）知，， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故的极大值为，极小值为. 6．（2025高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数的图象过点，且. (1)求a，b的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 【分析】（1）由联立解方程组可得的值； （2）由（1）可得的表达式，求出的零点，判断在导函数零点左右的正负即可确定的单调区间和极值. 【详解】（1）对函数求导得，故，解得， 由题意可知，解得， 故. （2）由（1）可知函数，定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 【考点2：由函数的极值点或极值求参】 【知识点：由函数的极值点或极值求参】 1．（2025·陕西商洛·三模）若函数在上有极值，则的取值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】对函数求导，问题化为在上有变号实根，求右侧的值域可得参数范围，即可得. 【详解】因为函数在上有极值， 所以在上有变号实根. 因为， 所以在上有变号实根. 因为，所以，故. 故选：B 2．（2025高二下·河北邢台·阶段练习）“”是“函数有极值”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对函数求导，根据的解析式得到函数有极值的充要条件，再判断的情况即可. 【详解】， 所以， 若函数有极值点，则方程的判别式大于， 即，整理得：， 解得，所以是函数有极值的充要条件， 所以“”是“函数有极值”的充分不必要条件. 故选：B 3．（2025高二下·上海·阶段练习）已知函数在上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导并根据导函数对参数a的取值进行分类讨论，得出相对应的单调性，再由极值点定义进行验证即可求得实数a的取值范围. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以当或时，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，， 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，与x轴有且只有一个交点， 不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时，当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时，的图像如下所示： 即与x轴有3个交点，不妨依次设为，，， 则当或时，即， 当或时，即， 所以在处取得极小值，符合题意； 综上可得实数a的取值范围为． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数的符号与函数单调性的关系，对参数a的取值进行分类讨论，再结合极小值定义并检验即可得出结论. 4．（多选）（2025高二下·福建福州·阶段练习）已知函数仅在处取得极值，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先求导，将问题转化为与图象仅在处存在唯一交点或不存在交点，借助图象得出的范围. 【详解】定义域为，由函数， 可得， 因仅在处取得极值，则有唯一根， 因存在变号零点，故存在唯一零点或不存在零点， 即与图象仅在处存在唯一交点或不存在交点， 又，由得，；得， 故在上递增，在上递减， 则，故， 即实数的取值范围是． 故选：ABC. 5．（2025高二下·陕西商洛·阶段练习）函数在时有极小值0，则 ． 【答案】11 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 6．（2025高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】可先对函数求导，再根据函数极值点的性质，结合二次函数的图象与性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，其定义域为. 根对求导可得：. 函数在上有且仅有一个极值点，等价于在上有且仅有一个变号根，即在上有且仅有一个变号根. 令， 则在上有且仅有一个变号根等价于. 则，即.可得不等式的解集为. 当时，，的根为和， 其中在内，满足有且仅有一个极值点的条件. 当时，，的根为和， 和不在内，不满足有且仅有一个极值点的条件. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（2025高二下·河南三门峡·阶段练习）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)求函数的单调减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用极值的定义建立方程组，即可求解； （2）对求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）因为，又在处有极值， 得，即，解得， 此时，令，得到， 当时，，时，， 所以在处取到极小值，故满足题意， 所以. （2）由（1）可知，其定义域是，且， 由，得，所以函数的单调减区间是. 8．（2025高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)在区间内有唯一的极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程； （2）求出导函数，根据分类讨论，分和两类，对还需对导函数再一次求导，确定单调性，极值点； 【详解】（1）当时，，， ， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数， ①当时，当时，， 则在区间上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去； ②当时，设， 则在区间上恒成立， 在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又在区间上有唯一零点设为， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 函数在区间内有唯一极值点，符合题意， 综上，的取值范围是. 【考点3：利用导数求已知函数的最值】 【知识点：利用导数求已知函数的最值】 1．（2025高二下·福建莆田·阶段练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 【答案】D 【分析】根据题意，列出利润关于的函数，再利用导数求得函数取得最大值时对应的即可. 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 则利润，， 求导得，当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D 2．（2025高二下·江苏苏州·阶段练习）函数，的最小值是（    ） A． B． C．0 D．无最小值 【答案】A 【分析】求导，根据单调性即可求最值. 【详解】因为，， 所以，， 当，，在上单调递增； 当，，在上单调递减， 又，，， 所以在上的最小值为. 故选：A 3．（湖南省2025届高三下学期“一起考”大联考（模拟二）数学试题）已知某正三棱柱外接球的表面积为，则该正三棱柱体积的最大值为（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据球的表面积公式可得，即可根据正三棱柱的性质以及勾股定理求得高，利用体积公式可得，构造函数，求导即可求解最值. 【详解】设外接球的半径为，则，解得. 设正三棱柱的底面三角形的边长为，则该三角形外接圆的半径为， 故该正三棱柱的高为， 所以该正三棱柱的体积. 由，解得. 令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在时取得最大值， 故，所以该正三棱柱体积的最大值为1. 故选：A. 4．（多选）（2025高二下·福建福州·阶段练习）下列函数有最小值的为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】通过求导分析函数的单调性，逐项判断可得答案. 【详解】A.由，得， 由得，，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴有唯一的极小值，也是最小值，最小值为，A正确． B.由得， ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递增， ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴有唯一的极小值，也是最小值，最小值为，B正确． C.由得， ∴在上单调递增，故无最小值，C错误. D.由得， ∴在上单调递减，故无最小值，D错误. 故选：AB. 5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，函数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】通过设中间变量，将、用表示出来，进而得到关于的函数，然后利用导数研究函数的单调性，从而求出的最小值，也就是的最小值. 【详解】由题意，设， ，，故． 设，， ，在时，，所以在单调递减． 在时，，所以在单调递增． 所以，的最小值为．则的最小值为． 故答案为：． 6．（2025高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在上的最小值和最大值． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解单调性， （2）根据函数的单调性，求解极值和端点处的值，即可求解. 【详解】（1）所以， 令，解得或，令，解得， 所以的增区间为，减区间为； （2）令，解得或， 由（1）得单调递增，单调递减，单调递增， 又， ， ， ，所以. 【考点4：已知函数的最值求参】 【知识点：已知函数的最值求参】 1．（2025高二下·江苏扬州·阶段练习）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究在上的单调性，再结合图象分析讨论的取值范围. 【详解】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因， 则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是. 故选：C. 2．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围. 【详解】由题可得， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上不存在最值，则，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数探讨函数在上单调性及对应函数值集合，再由给定最值情况求出范围. 【详解】当时，，求导得， 函数在上单调递增，在时的取值集合为， 当时，，没有最小值， 由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（2025高二下·全国·课堂例题）已知函数，讨论在区间上的最小值. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论得到函数的单调性，分别求出函数的最小值. 【详解】函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 5．（2025高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2) 【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解； （2）分，和三种情况讨论得出函数在上的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）， 当时，，所以函数在上单调递减， 此时，； 当时，令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，， 所以函数在上单调递增，此时，， 综上所述，. 6．（2025高三下·河北承德·阶段练习）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有最大值，且最大值为，求a的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先求出导函数，再代入求出切线斜率，再点斜式写出切线方程； （2）先求出导函数，分讨论函数单调性，再代入应用最大值计算求参. 【详解】（1），， 若，则，那么切线的斜率， 又，所以切线方程为，即； （2），. ①若，恒成立，所以在单调递增. ②若，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 则，即， 令则，令， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即恒成立，则在上单调递增， 又，所以要使，那么. 7．（2025高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）直接代入求导，令即可得到其极值； （2）求导得，再对分和讨论即可； （3）求导得，再对分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，， ，令，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则的极小值为，无极大值. （2），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 则其在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 8．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在,. 【分析】（1）利用导函数与函数的单调性的关系求解； （2）利用导函数与函数单调性的关系，讨论含参数的函数的单调性，并根据单调性与最值的关系求解. 【详解】（1）, , 因为在上单调递减， 所以在恒成立， 即在恒成立， 因为函数在单调递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为. （2）， 若，则在恒成立， 则函数在区间单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若，由解得， 由解得， （i）若，即， 则函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； （ii）若，即， 则函数在单调递减， 所以，解得，不满足题意； 综上，. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 利用导数研究函数的极值与最值 【知识梳理】 1 【考点1：求已知函数的极值】 2 【考点2：由函数的极值点或极值求参】 3 【考点3：利用导数求已知函数的最值】 5 【考点4：已知函数的最值求参】 6 【知识梳理】 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．函数的极值 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [方法技巧]　　　利用导数求函数极值的步骤 [方法技巧] 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　 4. 函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： [方法技巧] 利用导数求函数在某区间上最值的规律 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．　　 【考点1：求已知函数的极值】 【知识点：求已知函数的极值】 1．（2025高二下·河南郑州·阶段练习）函数的极小值为 ． 3．（2025高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数，的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，为的导函数，则的极小值点为 ． 4．（2025高二下·青海西宁·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．在处取得极小值 C．在区间上单调递减 D．图象在处的切线斜率为6 5．（2025高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数在处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求的极值. 6．（2025高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数的图象过点，且. (1)求a，b的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【考点2：由函数的极值点或极值求参】 【知识点：由函数的极值点或极值求参】 1．（2025·陕西商洛·三模）若函数在上有极值，则的取值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2025高二下·河北邢台·阶段练习）“”是“函数有极值”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025高二下·上海·阶段练习）已知函数在上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025高二下·福建福州·阶段练习）已知函数仅在处取得极值，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二下·陕西商洛·阶段练习）函数在时有极小值0，则 ． 6．（2025高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是 . 7．（2025高二下·河南三门峡·阶段练习）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)求函数的单调减区间. 8．（2025高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)在区间内有唯一的极值点，求的取值范围. 【考点3：利用导数求已知函数的最值】 【知识点：利用导数求已知函数的最值】 1．（2025高二下·福建莆田·阶段练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 2．（2025高二下·江苏苏州·阶段练习）函数，的最小值是（    ） A． B． C．0 D．无最小值 3．（湖南省2025届高三下学期“一起考”大联考（模拟二）数学试题）已知某正三棱柱外接球的表面积为，则该正三棱柱体积的最大值为（    ） A．1 B． C． D．4 4．（多选）（2025高二下·福建福州·阶段练习）下列函数有最小值的为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，函数，且，则的最小值为 ． 6．（2025高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在上的最小值和最大值． 【考点4：已知函数的最值求参】 【知识点：已知函数的最值求参】 1．（2025高二下·江苏扬州·阶段练习）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 3．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 . 4．（2025高二下·全国·课堂例题）已知函数，讨论在区间上的最小值. 5．（2025高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求在上的最大值． 6．（2025高三下·河北承德·阶段练习）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有最大值，且最大值为，求a的值. 7．（2025高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 8．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$