浙教版八下期中压轴题10大题型专练-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

浙教版八下期中考压轴题专练 目录 压轴题型讲练 类型一、二次根式的双重非负性 1 类型二、二次根式的化简求值 2 类型三、二次根式应用 4 类型四、一元二次方程的解法 9 类型五、一元二次方程根与系数的关系 11 类型六、一元二次方程的应用 15 类型七、平行四边形与周长面积有关 22 类型八、三角形中位线 27 类型九、平行四边形性质和判定 29 类型十、平行四边形动点问题 32 类型一、二次根式的双重非负性 1．已知a满足|2020﹣a|+＝a，则a﹣20202＝（　　） A．0 B．1 C．2021 D．2020 【答案】：C; 【解析】：解：由题意得： a﹣2021≥0，∴a≥2021，∴|2020﹣a|＝a﹣2020， ∵|2020﹣a|+＝a，∴a﹣2020+＝a， ∴＝2020， ∴a﹣2021＝20202， ∴a﹣20202＝2021， 选：C． 2．已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b+|﹣2|＝10a+2，则△ABC为（　　） A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】：B; 【解析】：解：∵a2+b+|﹣2|＝10a+2， ∴a2﹣10a+25+b﹣4﹣2+1+|﹣2|＝0 即（a﹣5）2+（﹣1）2+|﹣2|＝0 根据几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，得a＝5，b＝5，c＝5． 故该三角形是等边三角形，即正三角形． 选：B． 3．若＝﹣a，那么实数a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B．a≤1 C．0＜a≤1 D．﹣1≤a≤0 【答案】：D; 【解析】：解：∵＝﹣a， ∴﹣a≥0，且a+1≥0， 解得：﹣1≤a≤0． 选：D． 类型二、二次根式的化简求值 4．化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】：D; 【解析】：解：根据代数式有意义得：x≠0，﹣x3≥0，∴x＜0， ∴原式＝＝•|x| ＝•（﹣x） ＝﹣． 选：D． 5．若0＜x＜1，则﹣等于（　　） A． B．﹣ C．﹣2x D．2x 【答案】：D; 【解析】：解：﹣ ＝﹣ ＝﹣ ＝|x+|﹣|x﹣| ∵0＜x＜1，∴x﹣＜0， ∴原式＝x++x﹣＝2x． 选：D． 6．（1）已知y＝﹣2，求的值； （2）已知＝2，求的值． 【答案】：(1) ; (2); 【解析】：解：（1）∵x﹣4≥0，4﹣x≥0， ∴x＝4，y＝﹣2， 则原式＝＝﹣2； （2）把﹣＝2两边平方得：x+﹣2＝4，即x+＝6， 则原式＝＝＝4． 7．已知x为实数且x2+3x+1＝0． ①求x+的值； ②求﹣的值． 【答案】：① -3； ② 5 ； 【解析】：解：①∵x2+3x+1＝0，∴x≠0， ∴x+3+＝0，∴x+＝﹣3； ②﹣ ＝﹣ ＝﹣ ＝|（x﹣1）+|﹣， ∵x+＝﹣3，∴x＜0，∴x﹣1＜0，＜0， ∴原式＝1﹣x++＝1﹣x+ ＝＝， ∵x2+3x+1＝0，∴x2＝﹣3x﹣1， ∴原式＝＝＝5． 8．已知：，，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（　　） A．6 B．24 C．42 D．96 【答案】：A 【解析】：解：由已知得a﹣3＝﹣，b﹣3＝， 两式平方，整理得a2﹣6a＝﹣7，b2﹣6b＝﹣7， 原式＝[3（a2﹣6a）+15][2（b2﹣6b）+13] ＝[3×（﹣7）+15][2×（﹣7）+13] ＝6．选A． 类型三、二次根式应用 9．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的： ∵a＝＝＝2﹣， ∴a﹣2＝﹣， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简+++…+； （2）若a＝，求4a2﹣8a+1的值． 【答案】：(1) 9 ; (2)5 ; 【解析】：解：（1）原式＝（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣1＝10﹣1＝9； （2）a＝＝+1， ∴a﹣1＝， ∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5． 10．（1）已知﹣＝2，求+的值 （2）已知﹣＝2，求+的值． 【答案】：(1)12 ; (2); 【解析】：解：（1）∵﹣＝2， ∴（﹣）（+）＝2（+）， ∴39+x2﹣15﹣x2＝2（+）， ∴24＝2（+）， ∴+＝12； （2）∵﹣＝2， ∴（﹣）2＝4， ∴， ∴， ∴（+）2＝＝44+2×20＝84， ∴+＝． 11．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，填空：13+4＝（　 　+　 　）2； （3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】：(1) m2+3n2，2mn ; (2 ) 1，2 ; （3）a＝28或a＝12； 【解析】：解：（1）a+b＝（m+n）2＝m2+3n2+2mn， 而a．b．m．n均为正整数，所以a＝m2+3n2；b＝2mn； 答案：m2+3n2，2mn． （2）13+4＝（1+2）2， 答案：1，2； （3）a＝m2+3n2；6＝2mn；∴mn＝3， 而m、n为正整数， ∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1， ∴a＝28或a＝12． 12．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝30°，∠DEF＝45°，BC＝EF＝8cm，点P是线段AB的中点．△DEF从图1的位置出发，以4cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点Q，连接PQ．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t（s）． （1）当t＝1时，求AQ的长； （2）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？ （3）当t为何值时，△APQ是直角三角形？ 【答案】：(1) 8﹣4， ; (2 )2﹣2 ; （3）秒或 ； 【解析】：解：（1）如图1，当t＝1时，EC＝4， Rt△CEQ时，∠QEC＝45°，∴EC＝CQ＝4， Rt△ACB中，∠A＝30°，BC＝8， ∴AC＝8，∴AQ＝8﹣4， （2）当A在线段PQ的垂直平分线上时，AP＝AQ＝AB＝×16＝8， ∴CQ＝8﹣8， ∵△CEQ是等腰直角三角形，∴EC＝CQ＝8﹣8， ∴t＝＝2﹣2； （3）当△APQ是直角三角形时，存在两种情况： ①当∠APQ＝90°时，如图2， ∵∠A＝30°，AP＝8，∴PQ＝＝，AQ＝＝， ∴CQ＝8﹣＝，∴CE＝CQ＝， t＝＝； ②当∠AQP＝90°时， ∵∠A＝30°，AP＝8，∴PQ＝4，AQ＝4， ∴CQ＝8﹣4＝4，∴CE＝CQ＝4， t＝＝， 综上，当t为秒或秒时，△APQ是直角三角形． 13．如图是一张等腰直角三角形彩色纸，．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为，用这些纸条为一幅正方形照片镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图． （1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； （2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； （3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片的最大面积为多少？ 【答案】（1）如图1裁法最多能得到2条长方形纸条，如图2裁法最多能得到3条长方形纸条； （2） 如图1裁法得到长方形纸条的总长度；如图2裁法得到长方形纸条的总长度； （3） 这两种裁法中，被镶边的正方形照片的最大面积为 【解析】解：（1）如图3，过点作于， ，， ， ， ，且， 如图1裁法最多能得到2条长方形纸条； ， 如图2裁法最多能得到3条长方形纸条； （2）如图1， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 同理得：， 如图1裁法得到长方形纸条的总长度； 如图2， 同理可知是等腰直角三角形，且， ，，， 如图2裁法得到长方形纸条的总长度； （3）如图4， 如图1裁法：， ， 如图2裁法：， ， ， 这两种裁法中，被镶边的正方形照片的最大面积为． 类型四、一元二次方程的解法 14．方程＝5﹣x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝8 C．x1＝3，x2＝8 D．x1＝3，x2＝﹣8 【答案】：A; 【解析】：解：两边平方，得x+1＝x2﹣10x+25，即x2﹣11x+24＝0， （x﹣3）（x﹣8）＝0，则x﹣3＝0，x﹣8＝0， 解得：x＝3或8． 检验：当x＝3时，左边＝2，右边＝2，则左边＝右边，则x＝3是方程的解； 当x＝8时，左边＝3，右边＝﹣3，则x＝8不是方程的解． 所以原方程方程的解是x＝3． 选：A． 15．已知关于x的一元二次方程的两个根为1和3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝　 　． 【答案】：0和﹣2和2； 【解析】：解：∵关于x的一元二次方程的两个根为1和3， ∴关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝1和9， 解得y＝0和﹣2和2． 答案：0和﹣2和2． 16．已知a2+＝2a﹣b﹣2，则b﹣3a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】：A; 【解析】：解：∵a2+＝2a﹣b﹣2，∴（a2﹣2a+1）+（b2+b+1）＝0， ∴（a﹣1）2+（b+1）2＝0， ∵（a﹣1）2≥0，（b+1）2≥0，∴a﹣1＝0，b+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，∴b﹣3a＝×（﹣2）﹣3×1＝﹣1﹣3＝﹣4． 选：A． 17．已知：关于的方程 （1）求证：无论取何值，方程都有实根； （2）若是该方程的一个根，求的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求的值为整数）． 【答案】：（1）见解析；（2）；（3），-1，3． 【解析】：（1）证明：当时， 方程，△， △， 当时，，解得． 无论取何值，方程都有实根； （2）把代入方程得，解得．的值； （3）解：，，，， 运用公式法解方程可知道此方程的根为， 此方程的两个根分别为，， 方程的两个实根均为正整数，，，． 18．若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含的代数式表示． 【答案】：（1）见解析；（2）；（2）。 【解析】：（1）证明：解关于的方程 得，， 是关于的方程的一正实数根，； （2）解：，，， 是关于的方程的一个正实根，， 解得（负值舍去），的值为； （3）解：，，， 是关于的方程的一个正实根，， 解得（负值舍）， ． 类型五、一元二次方程根与系数关系 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（　　） A．y＞﹣1 B．y≥﹣1 C．y≤1 D．y＜1 【答案】：A; 【解析】：解：∵一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝1﹣m＞0，∴m＜1， ∵b是方程的一个实数根，∴b2﹣b+m＝0， ∴4b2﹣4b+m＝0，∴y＝4b2﹣4b﹣3m+3＝3﹣4m， ∴m＝，∴＜1， ∴y＞﹣1， 选：A． 20．关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k（　　） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 【答案】：D; 【解析】：解：∵关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k， ∴Δ＝（2a）2﹣4a（b+1）＝0，4a2﹣4ab﹣4a＝0， 又∵ab≠0，∴a﹣b﹣1＝0， 即a＝b+1，∴ax2+2ax+a＝0， 解得：x1＝x2＝﹣1， ∴k＝﹣1， ， 当时，即，， ∴a（a﹣1）＞0，即或， 解得：a＞1或a＜0，当时，即，， ∴a（a﹣1）＜0， 即或， 解得：0＜a＜1， 选：D． 21．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2． 其中正确的（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】：A; 【解析】：解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0 则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， 则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0， 若c＝0，等式仍然成立， 但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得：x0＝， ∴2ax0+b＝， ∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确． 故正确的有①②④， 选：A． 22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（　　）个． ①方程x2+5x+6＝0是倍根方程； ②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程； ③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：B; 【解析】：解：①解方程x2+5x+6＝0得：x1＝﹣2，x2＝﹣3， ∴方程x2+5x+6＝0不是倍根方程，故①错误； ②∵pq＝2，解方程px2+4x+q＝0得：x1＝，x2＝， ∴x1≠2x2，故②错误； ③∵（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝3，x2＝﹣， ∴＝﹣，或＝﹣6，∴3m+2n＝0，6m+n＝0， ∴18m2+15mn+2n2＝（3m+2n）（6m+n）＝0，故③正确； ④∵方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，∴设x1＝2x2， ∴x1+x2＝3，∴x2+2x2＝3， ∴x2＝1，故④正确． 选：B． 23．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值． 【答案】：(1) k≥ ; (2 ) k＝2 ; 【解析】：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，解得k≥； （2）根据题意得x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，∴x1＜0，x2＜0， ∵|x1|+|x2|＝|x1x2|﹣1，∴﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1， ∴2k+1＝k2+2﹣1， 整理得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2， ∵k≥，∴k＝2． 24．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2． （1）若x12+x22＝2，求m的值； （2）令T＝+，求T的取值范围． 【答案】：(1) 1 ; (2 ) 0≤T≤4且T≠2． ; 【解析】：解：∵关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根， ∴Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1， ∵m是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m≤1， ∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3． （1）∵x12+x22＝2， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2， ∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2， 整理得m2﹣5m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去）， ∴m的值为1； （2）T＝+＝ ＝＝ ＝＝2﹣2m． ∵当m＝0时，方程为x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3． 此时T没有意义．当m≠0时，﹣1≤m≤1， 所以0≤2﹣2m≤4． 即0≤T≤4且T≠2． 类型六、一元二次方程的应用 25．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值． 解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1 已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值． 【答案】：5 【解析】：解：设t＝x2+y2＞0∴（t﹣4）（t+2）＝7 t2﹣2t﹣15＝0，解得：t1＝5，t2＝﹣3（舍去） ∴x2+y2＝5． 26．先阅读后解题． 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0． 即（m+1）2+（n﹣3）2＝0． 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0． 所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3． 利用以上解法，解下列问题： （1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值． （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c． 【答案】：(1) x＝2，y＝﹣1 ; (2 ) c＝4或6 ; 【解析】：解：（1）x2﹣4x+y2+2y+5＝0， （x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0， ∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0， ∴x＝2，y＝﹣1； （2）a2+b2＝12a+8b﹣52， （a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0，（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0， ∵（a﹣6）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a﹣6＝0，b﹣4＝0， ∴a＝6，b＝4， ∵△ABC为等腰三角形， ∴c＝4或6． 27．中秋节来临之前，某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼，第一周以每盒168元的价格销售了300盒，第二周如果单价不变，预计仍可售出300盒，该超市经理为了增加销量，决定降价，据调查，单价每降低1元，可多售出10盒，但最低每盒要赢利30元，第二周结束后，该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖，此时价格为70元/盒． （1）若设第二周单价降低x元，则第二周的单价是　　，销量是　 盒　； （2）经两周后还剩余月饼　 　盒； （3）若该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是多元？ 【答案】：(1)（168﹣x）元 ; （300+10x）; (2 )（400﹣10x）盒 ; （3）164 ； 【解析】：解：（1）由题意得：第二周降价x元，故第二周的售价为（168﹣x）元，销量为（300+10x）盒； （2）第一周的销量为300盒，第二周的销量为（300+10x）盒， 故经两周后还剩余月饼：1000﹣300﹣（300+10x）＝（400﹣10x）盒； （3）因为最低每盒要赢利30元，故168﹣x﹣80≥30， 解得：x≤58， 当0≤x≤58时，获利W＝（168﹣80）×300+（168﹣80﹣x）（300+10x）+（﹣10）×（400﹣10x）＝51360， 解得：x1＝4，x2＝64， 因为x≤58，故x取4． 答：该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是164元． 28．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　　米． （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长． （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】：(1) 24 ; (2 ) 10 ; （3）不能 ； 【解析】：解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）． 答案：24． （2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米， 依题意得：x（48﹣3x）＝180， 整理得：x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝6，x2＝10． 当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去； 当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意． 答：边CD的长为10米． （3）不能，理由如下： 设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米， 依题意得：y（48﹣3y）＝210， 整理得：y2﹣16y+70＝0． ∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到210平方米． 29．综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子 如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子．（纸板厚度忽略不计） （1）求将要剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子． ①请你在图3的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折线）； ②若折成的有盖长方体盒子的表面积为．请计算剪去的正方形的边长． 【答案】：(1)3 ; (2 ) ①见解析 ; ② 2 ； 【解析】：解：（1）设剪去的正方形的边长为 ， 根据题意列方程为， 解得，，当时，，， 所以不符合题意舍去， 答：剪去正方形的边长为； （2）①画出的图形如图所示； ②设剪去的正方形的边长为 ． 根据题意可列方程为， 解得（舍，， 答：剪去的正方形的边长为． 30．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【答案】：(1) s或s ; (2 ) 4秒或6秒 ; 【解析】：解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得 设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． （16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64， ∴16﹣5x＝±8，∴x1＝，x2＝； ∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm； （2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当0≤y≤时，则PB＝16﹣3y，∴PB•BC＝12，即×（16﹣3y）×6＝12， 解得y＝4； ②当＜x≤时，BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，则 BP•CQ＝（3y﹣16）×2y＝12，解得y1＝6，y2＝﹣（舍去）； ③＜x≤8时，QP＝CQ﹣PQ＝22﹣y，则 QP•CB＝（22﹣y）×6＝12， 解得y＝18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 31．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动，连接，设运动时间为 ，的面积为． （1）用含的代数式表示　 　；　　； （2）点运动至何处时，？ （3）点运动过程中，的最大值是多少？ 【答案】：(1) ，; (2 ) 3 cm ; （3）时，的最大值是4 ； 【解析】：解：（1）点从点开始沿边运动，速度为， ， ，点从点开始沿边运动，速度为， ， 答案： ，； （2）由题意可知，的最大值为，即， ，，， 由题意可知，，，，， ， 解得：，（舍去），当时，． （3）由题意可得， ， ， 当时，的最大值是4， 即点运动过程中，的最大值是． 32．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】：(1) ; (2 ) 10 ; （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． ； 【解析】：解：（1）道路宽度不超过12米，且不小于5米， 纵向道路宽度的取值范围为； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 符合题意， 路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又，符合题意，假设成立， 即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 类型七、平行四边形与周长面积有关 33．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线CD于点E，∠ABC的平分线交直线CD于点F，AD＝5，EF＝2，则线段AB的长为 　 　． 【答案】：8或12； 【解析】：解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE， 又∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA，∴∠DAE＝∠AED，则AD＝DE＝5； 同理可得，CF＝CB＝5， 当点F在D、E之间时，如图1，∵EF＝2， ∴AB＝CD＝DE+CE＝DE+（CF﹣EF）＝5+5﹣2＝8； 当点F在C、E之间时，如图2，∵EF＝2，∴AB＝CD＝DE+EF+CF＝5+2+5＝12． 答案：8或12． 34．在平行四边形中，上的高为4，，，则平行四边形的周长等于　 ． 【答案】：24或12； 【解析】：解：①如图1所示： 在中，边上的高为4，，， ，， ，， 的周长等于：24， ②如图2所示 在中，边上的高为4，，， ，， ， ， 的周长等于：， 则的周长等于24或12， 答案：24或12 35．如图，在中，点在上，以为折痕将翻折，点恰好落在边上的点处．已知的周长为12，的周长为22，求的长． 【答案】：5 【解析】：解：如图，四边形为平行四边形， ，； 由题意得：，； 的周长为12，的周长为22， ，， ， 即，， 即；． 36．在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于　　． 【答案】：或； 【解析】：解：过作于， 在中，，， ，， 在中，， ， 如图1，， 平行四边形的面积， 如图2，， 平行四边形的面积， 故答案为：或． 37．如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连结，，，，，的面积分别是，，，．下列关于，，，的等量关系式中错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】：C; 【解析】：解：过点作于点，交于点， 四边形是平行四边形，，， ，， 设平行四边形的面积为，则， ， ，，故正确； 和在、边上的高相等， ，同理，，故正确； 只有当时，，而题中没有这一条件， 与不一定相等，故错误； ，， ，，故正确， 选：． 38．如图，为平行四边形内一点，过点分别作、的平行线交平行四边形于、、、四点，若，，则为　　 A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】：B; 【解析】：解：显然、、、均为平行四边形， ，， 又①， ②， ①②得， 即．． 选：． 39．如图，过▱ABCD内任意一点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H．若S▱ABCD＝79，S▱AEPH＝13，则S△AFG＝　 　． 【答案】：33； 【解析】：解：∵四边形ABCD是平行四边形，EG∥AD，HF∥AB， ∴四边形ABFH，四边形FCGP，四边形AEGD都是平行四边形， ∴S△AFG＝S▱ABCD﹣（S△ABF+S△FCG+S△AGD）＝S▱ABCD﹣（S▱ABFHS▱FCGPS▱AEGD） ∴2S△AFG＝2S▱ABCD﹣（S▱ABFH+S▱FCGP+S▱AEGD） ＝2S▱ABCD﹣S▱ABFH﹣S▱FCGP﹣S▱AEGD＝S▱ABCD﹣S▱AEPH， ∵S▱ABCD＝79，S▱AEPH＝13，∴S△AFG（79﹣13）＝33．答案：33． 40．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，AF＝8，∠EAF＝60°． （1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝　　； （2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝　　． 【答案】：（1）3：4 ；（2）； 【解析】：解：（1）连接AC，如图， ∵平行四边形ABCD，∴S△ABC＝S△ACD， 即•BC•AE＝CD•AF， ∵AE＝6，AF＝8，∴3BC＝4AF， ∴CD：BC＝3：4， 故答案：3：4． （2）延长AF与BC延长线交于点M，过点M作MN⊥AE交AE的延长线于点N，如图， ∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AD∥BM， ∴∠ADF＝∠MCF， ∵F为CD的中点，∴CF＝DF， 在△AFD和△MFC，， ∴△AFD≌△MFC（ASA）， ∴AD＝CM，AF＝FM，∴AM＝2AF＝16， ∵∠EAF＝60°，∠N＝90°，∴∠AMN＝30°， ∴AN＝AM＝8，MN＝＝8， ∵AE＝6，∴EN＝AN﹣AE＝2，∴EM＝＝14， ∵E为BC中点，∴EC＝＝AD＝， ∴EM＝EC+CM＝CM＝AD，∴AD＝EM＝， 答案：． 类型八、三角形中位线 41．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，点G，H分别是AE，BD的中点，连接GH，则GH的长度为　　． 【答案】：； 【解析】：连接DG并延长到AB交AB于M， ∵D是AC的中点，G是AE的中点，∴DG∥BC， ∴DM∥BC，∴AM＝BM＝AB＝3， ∴AM＝AD，∴DG＝MG， ∵H是BD的中点，∴HG＝BM＝， 答案：． 42．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　） A．＜MN＜ B．＜MN≤ C．1＜MN＜5 D．1＜MN≤5 【答案】：B; 【解析】：解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG． ∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB， ∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1； ∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3， ∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝， 在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1， ∴＜MN＜， 当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形， 故线段MN长的取值范围是＜MN≤． 选：B． 43．如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC＝12，MN＝2，则AB的长为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】：D; 【解析】：解：如图，延长BN交AC于D， 在△ANB和△AND中，， ∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB，BN＝ND， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴MN是△BCD的中位线，∴DC＝2MN＝4， ∴AC＝AD+CD＝AB+DC＝12，即AB+4＝12． ∴AB＝8． 选：D． 44．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】：A; 【解析】：解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH， ∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°， ∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°， 在△DNB和△HNC中，， ∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH， 在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3， ∴EH＝＝＝5， ∵DM＝ME，DN＝NH， ∴MN＝EH＝2.5， 选：A． 类型九、平行四边形的性质和判定 45．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中结论正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：C; 【解析】：解：①平分，， 四边形是平行四边形，，， ，， ，是等边三角形，， ，，，， ，， ，， 故①正确； ②，，，， ， 中，， 四边形是平行四边形，， ，， 中，， ，故②错误； ③由②知：，，故③正确； ④由②知：是的中位线，， ，，故④正确； 选：． 46．已知▱ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．中一定成立的是（　　） A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】：A; 【解析】：解：①∵F是BC的中点，∴BF＝FC， ∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB， ∴∠AFB＝∠BAF， ∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠FAB，∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确； ②延长EF，交AB延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF＝∠C， ∵F为BC中点，∴BF＝CF， 在△MBF和△ECF中，， ∴△MBF≌△ECF（ASA）， ∴FE＝MF，∠CEF＝∠M， ∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BAE＝90°， ∵FM＝EF，∴EF＝AF，故②正确； ③∵EF＝FM，∴S△AEF＝S△AFM， ∵E与C不重合，∴S△ABF＜S△AEF，故③错误； ④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x， ∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，∴∠EFA＝180°﹣2x， ∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x， ∵∠CEF＝90°﹣x，∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确， 选：A． 47．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，点E是AB边上一点，CE＝AB，∠A+∠ADC＝180°，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF． （1）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由； （2）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE； （3）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF． 【答案】：(1) 见解析 ; (2 ) 见解析 ; （3）见解析 ; 【解析】：解：（1）四边形ABCD是平行四边形， 理由如下：∵∠A+∠ADC＝180°， ∴AB∥CD，且AB＝CD∴四边形ABCD是平行四边形 （2）∵CE＝AB，AB＝CD∴CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED＝＝90°﹣∠DCE ∵CD∥AB∴∠AED＝∠CDE＝90°﹣∠DCE； （3）如图，延长DA，FE于点M， ∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，且DF⊥BC ∴DF⊥AD，∠M＝∠EFB ∵∠M＝∠EFB，AE＝BE，∠AEM＝∠FEB ∴△AEM≌△BEF（AAS）∴ME＝EF，且DF⊥DM ∴ME＝DE＝EF∴∠M＝∠MDE ∴∠DEF＝∠M+∠MDE＝2∠M ∴∠EFB＝∠DEF． 类型十、平行四边形的动点问题 48．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． （3）如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】：(1) ; (2 ) ; （3） ； 【解析】：解：（1）如图①中， 四边形是平行四边形，， 平分， ，， ，，是等边三角形， ． （2）如图②中，四边形是平行四边形， ，，， ，， ． （3）如图③中， ，当时，四边形是平行四边形， 或或或， 解得或8或9.6，另外时，也满足条件， 为或或或9.6 时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 49．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形； （2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？ （3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】：(1) t＝5或秒 ; (2 ) 当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；（3）当t＝秒或秒时，△PQD是等腰三角形． ； 【解析】：解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t， 解得：t＝5，当P从C运动到B时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣21， ∴16﹣t＝2t﹣21，解得：t＝， ∴当t＝5或秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时， （DQ+CP）•AB＝60，即（16﹣t+21﹣2t）×12＝60， 解得：t＝9（秒），若点P返回时，CP＝2t﹣2， 则（16﹣t+2t﹣21））×12＝60，解得：t＝15（秒）． 故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2； （3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD， ∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t）， ∵AH＝BP，∴2t＝（16﹣t）+t，∴t＝秒； 当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t， ∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得t＝（秒）； 当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t， ∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+（16﹣2t）2， ∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0， ∵Δ＜0，∴方程无实根， 综上可知，当t＝秒或秒时，△PQD是等腰三角形． 50．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝20，AD＝30，∠ABC＝60°，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿BA向点A匀速运动，速度为每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作PM⊥AD交AD于点M，连接PQ，QM，设运动的时间为t秒（0≤t≤）． （1）当QP⊥PM时，求t的值； （2）如图2，连接MC，是否存在t值，使得△PCM的面积是平行四边形ABCD面积的？若存在，求出对应的t值；若不存在，请说明理由； （3）如图3，过点M作MN∥AB交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段MN的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】：(1) 4 ; (2 ) 不存在 ; （3）t＝秒 ； 【解析】：解：（1）由题意得：BQ＝2t，DP＝3t， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，CD＝AB＝20，∠D＝∠ABC＝60°， ∵PM⊥AD，QP⊥PA，∴QP∥AD∥BC， ∴四边形BCPQ是平行四边形， ∴BQ＝CP，∴2t＝20﹣3t， 解得：t＝4（秒）； （2）不存在，理由如下： 作AE⊥BC于E，延长MP交BC延长线于F，如图2所示： 则∠BAE＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴BE＝AB＝10，AE＝BE＝10， ∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝30×10＝300， ∵AB∥CD，∴∠PCF＝∠ABC＝60°， ∵PM⊥AD，AD∥BC，∴PM⊥BC， ∴∠CPF＝90°﹣60°＝30°，∴CF＝PC＝（20﹣3t）， ∵∠DPM＝90°﹣∠D＝30°，∴DM＝PD＝t， ∴PM＝DM＝t， ∴△PCM的面积＝PM×CF＝×t×（20﹣3t）， 若△PCM的面积是平行四边形ABCD面积的， 则×t×（20﹣3t）＝×300， 整理得：3t2﹣20t+300＝0， ∵△＝（﹣20）2﹣4×3×300＜0，∴方程无解， ∴不存在t值，使得△PCM的面积是平行四边形ABCD面积的； （3）存在，理由如下： 延长MP交BC延长线于F，如图3所示： ∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD， ∵AD∥BC，∴四边形CDMN是平行四边形，∴CN＝DM＝t， 由（2）得：MF⊥BC，PM＝t， CF＝（20﹣3t），PF＝CF＝（20﹣3t）， ∴FN＝CN+CF＝10， ∵点P在线段MN的垂直平分线上， ∴PM＝PN， ∵PN2＝FN2+PF2， ∴（t）2＝102+[（20﹣3t）]2， 解得：t＝， ∴存在t的值，使得点P在线段MN的垂直平分线上，t＝秒． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版八下期中考压轴题专练 目录 压轴题型讲练 类型一、二次根式的双重非负性 1 类型二、二次根式的化简求值 2 类型三、二次根式应用 3 类型四、一元二次方程的解法 5 类型五、一元二次方程根与系数的关系 6 类型六、一元二次方程的应用 7 类型七、平行四边形与周长面积有关 11 类型八、三角形中位线 13 类型九、平行四边形性质和判定 14 类型十、平行四边形动点问题 15 类型一、二次根式的双重非负性 1．已知a满足|2020﹣a|+＝a，则a﹣20202＝（　　） A．0 B．1 C．2021 D．2020 2．已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b+|﹣2|＝10a+2，则△ABC为（　　） A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．若＝﹣a，那么实数a的取值范围是（　　） 类型二、二次根式的化简求值 4．化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 5．若0＜x＜1，则﹣等于（　　） A． B．﹣ C．﹣2x D．2x 6．（1）已知y＝﹣2，求的值； （2）已知＝2，求的值． 7．已知x为实数且x2+3x+1＝0． ①求x+的值； ②求﹣的值． 8．已知：，，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（　　） A．6 B．24 C．42 D．96 类型三、二次根式应用 9．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的： ∵a＝＝＝2﹣， ∴a﹣2＝﹣， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简+++…+； （2）若a＝，求4a2﹣8a+1的值． 10．（1）已知﹣＝2，求+的值 （2）已知﹣＝2，求+的值． 11．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，填空：13+4＝（　 　+　 　）2； （3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 12．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝30°，∠DEF＝45°，BC＝EF＝8cm，点P是线段AB的中点．△DEF从图1的位置出发，以4cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点Q，连接PQ．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t（s）． （1）当t＝1时，求AQ的长； （2）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？ （3）当t为何值时，△APQ是直角三角形？ 13．如图是一张等腰直角三角形彩色纸，．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为，用这些纸条为一幅正方形照片镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图． （1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； （2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； （3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片的最大面积为多少？ 类型四、一元二次方程的解法 14．方程＝5﹣x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝8 C．x1＝3，x2＝8 D．x1＝3，x2＝﹣8 15．已知关于x的一元二次方程的两个根为1和3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝　 　． 16．已知a2+＝2a﹣b﹣2，则b﹣3a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 17．已知：关于的方程 （1）求证：无论取何值，方程都有实根； （2）若是该方程的一个根，求的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求的值为整数）． 18．若，为正实数，设，若是关于的方程的一个正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含的代数式表示． 类型五、一元二次方程根与系数关系 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y＝4b2﹣4b﹣3m+3，则（　　） A．y＞﹣1 B．y≥﹣1 C．y≤1 D．y＜1 20．关于x的一元二次方程ax2+2ax+b+1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k（　　） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 21．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2． 其中正确的（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（　　）个． ①方程x2+5x+6＝0是倍根方程； ②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程； ③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1． A．1 B．2 C．3 D．4 23．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值． 24．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2． （1）若x12+x22＝2，求m的值； （2）令T＝+，求T的取值范围． 类型六、一元二次方程的应用 25．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值． 解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1 已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值． 26．先阅读后解题． 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0． 即（m+1）2+（n﹣3）2＝0． 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0． 所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3． 利用以上解法，解下列问题： （1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值． （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c． 27．中秋节来临之前，某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼，第一周以每盒168元的价格销售了300盒，第二周如果单价不变，预计仍可售出300盒，该超市经理为了增加销量，决定降价，据调查，单价每降低1元，可多售出10盒，但最低每盒要赢利30元，第二周结束后，该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖，此时价格为70元/盒． （1）若设第二周单价降低x元，则第二周的单价是　　，销量是　 盒　； （2）经两周后还剩余月饼　 　盒； （3）若该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是多元？ 28．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　　米． （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长． （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 29．综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子 如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子．（纸板厚度忽略不计） （1）求将要剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子． ①请你在图3的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折线）； ②若折成的有盖长方体盒子的表面积为．请计算剪去的正方形的边长． 30．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 31．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动，连接，设运动时间为 ，的面积为． （1）用含的代数式表示　 　；　　； （2）点运动至何处时，？ （3）点运动过程中，的最大值是多少？ 32．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 类型七、平行四边形与周长面积有关 33．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线CD于点E，∠ABC的平分线交直线CD于点F，AD＝5，EF＝2，则线段AB的长为 　 　． 34．在平行四边形中，上的高为4，，，则平行四边形的周长等于　 ． 35．如图，在中，点在上，以为折痕将翻折，点恰好落在边上的点处．已知的周长为12，的周长为22，求的长． 36．在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于　　． 37．如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连结，，，，，的面积分别是，，，．下列关于，，，的等量关系式中错误的是　　 A． B． C． D． 38．如图，为平行四边形内一点，过点分别作、的平行线交平行四边形于、、、四点，若，，则为　　 A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 39．如图，过▱ABCD内任意一点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H．若S▱ABCD＝79，S▱AEPH＝13，则S△AFG＝　 　． 40．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，AF＝8，∠EAF＝60°． （1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝　　； （2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝　　． 类型八、三角形中位线 41．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，点G，H分别是AE，BD的中点，连接GH，则GH的长度为　　． 42．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　） A．＜MN＜ B．＜MN≤ C．1＜MN＜5 D．1＜MN≤5 43．如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC＝12，MN＝2，则AB的长为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 44．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 类型九、平行四边形的性质和判定 45．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中结论正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．已知▱ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．中一定成立的是（　　） A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 47．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，点E是AB边上一点，CE＝AB，∠A+∠ADC＝180°，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF． （1）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由； （2）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE； （3）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF． 类型十、平行四边形的动点问题 48．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． （3）如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 49．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形； （2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？ （3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． 50．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝20，AD＝30，∠ABC＝60°，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿BA向点A匀速运动，速度为每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作PM⊥AD交AD于点M，连接PQ，QM，设运动的时间为t秒（0≤t≤）． （1）当QP⊥PM时，求t的值； （2）如图2，连接MC，是否存在t值，使得△PCM的面积是平行四边形ABCD面积的？若存在，求出对应的t值；若不存在，请说明理由； （3）如图3，过点M作MN∥AB交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段MN的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$