专题02：数论·因数与倍数【专项训练】-2025年小升初数学典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）通用版

第 1 页 共 3 页 2025 年小升初数学典型例题系列 专题 02：数论·因数与倍数【专项训练】 一、填空题。 1．在除法算式 24÷6＝4中，6是 24的( )，24是 6的( )。 2．10的因数有( )个。一个数的最小倍数是 1，这个数是( )。 3．在 1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有( )，9的倍数有( )。 4．一个数的最大因数是 6，这个数是( )，请你写出这个数 50以内的倍 数( )。 5．12和 18的最小公倍数是( )。a和 b是不为 0的自然数，如果 3a b  ， 那么 a和 b的最大公因数是( )。 6．如果 b－1＝a（a、b是非零自然数），那么 a和 b的最小公倍数是( )， 最大公因数是( )。 7．已知 A＝2×3×5×C，B＝2×2×3×C，如果 A和 B的最大公因数是 42，那么 C ＝( )，A和 B的最小公倍数是( )。 8．A＝2×3×n，B＝3×5×n，如果A和B两数的最大公因数是27，那么n是( )， A和 B的最小公倍数是( )。 9．两个数的最大公因数是 9，最小公倍数是 90，则这两个数是( )和 ( )；或者是( )和( )。 10．用 96朵康乃馨和 72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百 合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 二、选择题。 11．张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是 6的最小倍 数；第二位数是 1的因数；第三位数是 7的最大因数。张老师的电脑开机密码是 ( )。 A．317 B．617 C．611 12．6的因数有 1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像 6这样，等 于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，( ) 是完全数。 第 2 页 共 3 页 A．8 B．28 C．36 D．49 13．如果 5m n （m、n是不为 0的自然数），那么m、n的最大公因数是( )。 A．n B．m C．mn D．1 14．有两个房间，其中一个房间地面长 4.2米、宽 3.6米，另一个房间地面边长 为 4.2米。用同一种方砖铺地面，要求用的块数最少且不浪费，那么下面哪种地 砖最合适的是( )。 A．边长 2分米 B．边长 3分米 C．边长 6分米 D．边长 7分米 15．甲、乙两人完成某项工程的天数之比是 5∶4，乙、丙两人完成该项工程的 天数之比为 3∶2，那么甲做 15天的工程丙要做( )天。 A．6 B．7 C．8 D．10 三、解答题。 16．有一张长方形纸板，长 80厘米，宽 60厘米，如果要剪成若干同样大小的正 方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小 正方形？ 17．现有一种长 45厘米，宽 30厘米的长方形纸若干张。 （1）将其中一张裁成正方形纸片，且纸不能有剩余，最少可以裁多少块正方形？ （2）将这些纸拼成一个正方形，至少要用多少张这样的长方形纸？ 18．小红家有一些鸡蛋，5个 5个地数，6个 6个地数都多出了 2个，已知这些 鸡蛋总数在 80到 100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 第 3 页 共 3 页 19．一条马路长 120米，从一端起，在马路的两侧先每隔 4米栽一棵树（两端都 栽），后改为每隔 6米栽一棵，不需要移栽的有多少棵？需要拔掉的有几棵？需 要重栽的有几棵？ 20．一次数学竞赛，某校有 200多人参加。其中 1 18 的人不到 70分， 1 7的人不到 80分， 14的人达到 90分。那么得分在 80分到 89分的有多少人？ 第 1 页 共 10 页 2025 年小升初数学典型例题系列 专题 02：数论·因数与倍数【专项训练】 一、填空题。 1．在除法算式 24÷6＝4中，6是 24的( )，24是 6的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍 数，除数是被除数的因数。 【详解】在除法算式 24÷6＝4中，6是 24的（因数），24是 6的（倍数）。 2．10的因数有( )个。一个数的最小倍数是 1，这个数是( )。 【答案】 4 1 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这 个数的乘法算式；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的 倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 即一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。 【详解】10的因数有 1、2、5、10； 所以 10的因数有 4个，一个数的最小倍数是 1，这个数就是 1。 3．在 1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有( )，9的倍数有( )。 【答案】 1，3，9 9，18 【分析】先列举出 9的因数和 9的倍数，在从 1，3，7，9，18，24这六个数中 找出哪些数是 9的因数、9的倍数。 【详解】9的因数：1，3，9； 9的倍数：9，18，27，36，45…； 在 1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有（1，3，9），9的倍数有（9， 18）。 4．一个数的最大因数是 6，这个数是( )，请你写出这个数 50以内的倍 数( )。 【答案】 6 6、12、18、24、30、36、42、48 【分析】一个数的最大因数是它本身，据此求出这个数；倍数：如果 a×b＝c（a、 第 2 页 共 10 页 b、c是不为 0的自然数），那么 c是 a、b的倍数。如：4×9＝36，36是 4和 9 的倍数；据此求出这个数的倍数即可。 【详解】一个数的最大因数是 6，这个数是 6。 6×1＝6 6×2＝12 6×3＝18 6×4＝24 6×5＝30 6×6＝36 6×7＝42 6×8＝48 50以内 6的倍数是：6、12、18、24、30、36、42、48。 一个数的最大因数是 6，这个数是 6，请你写出这个数 50以内的倍数：6、12、 18、24、30、36、42、48。 5．12和 18的最小公倍数是( )。a和 b是不为 0的自然数，如果 3a b  ， 那么 a和 b的最大公因数是( )。 【答案】 36 b 【分析】12的倍数有 12、24、36等；18的倍数有 18、36等，所以 12和 18的 最小公倍数是 36； 根据题意可知，a是 b的倍数，当两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数， 较大的那个数是这两个数的最小公倍数，据此解答即可。 【详解】12的倍数：12、24、36…… 18的倍数有 18、36…… 12和 18的最小公倍数是 36；a和 b的最大公因数是 b。 6．如果 b－1＝a（a、b是非零自然数），那么 a和 b的最小公倍数是( )， 最大公因数是( )。 【答案】 ab 1 【分析】如果 b－1＝a（a、b是非零自然数），那么 a和 b相差 1，即 a和 b是 相邻的自然数。两个相邻的自然数是互质数，它们的最大公因数是 1，最小公倍 第 3 页 共 10 页 数是它们相乘的积。 【详解】根据分析可得： a和 b的最小公倍数是 ab，最大公因数是 1。 7．已知 A＝2×3×5×C，B＝2×2×3×C，如果 A和 B的最大公因数是 42，那么 C ＝( )，A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】 7 420 【分析】根据 A和 B分解质因数的情况，可知 A和 B公有质因数为 2、3、C， 非公有的质因数为 5和 2，由此得出 A和 B的最大公因数是 2×3×C，最小公倍 数是 2×2×3×5×C。已知 A和 B的最大公因数是 42，据此求出 C的值；再把 C 的值代入 A和 B的最小公倍数中，求出它们的最小公倍数。 【详解】A＝2×3×5×C B＝2×2×3×C A和 B的最大公因数是：2×3×C＝6C A和 B的最小公因数是：2×2×3×5×C＝60C 6C＝42 C＝42÷6 C＝7 当 C＝7，60C＝60×7＝420 填空如下： 如果 A和 B的最大公因数是 42，那么 C＝（7），A和 B的最小公倍数是（420）。 8．A＝2×3×n，B＝3×5×n，如果A和B两数的最大公因数是27，那么n是( )， A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】 9 270 【分析】根据 A、B两数的分解质因数，把公有的相同质因数乘起来即是它们的 最大公因数 3n，已知最大公因数是 27，即 3n＝27，据此求出 n的值； 把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数 30n，据 n 的值代入式子中，计算出结果即可。 【详解】A＝2×3×n B＝3×5×n 第 4 页 共 10 页 A和 B的最大公因数是 3n＝27； 3n＝27 n＝27÷3 n＝9 A和 B的最小公倍数是 2×3×n×5＝30n； 当 n＝9时，30n＝30×9＝270 所以，n是（9），A和 B的最小公倍数是（270）。 9．两个数的最大公因数是 9，最小公倍数是 90，则这两个数是( )和 ( )；或者是( )和( )。 【答案】 18 45 9 90 【分析】最大公因数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质 因数和独有质因数的积，据此可知用两个数的最小公倍数除以最大公因数即可得 到两个数的独有因数的积，且这两个数的独有因数是互质的，据此把两个数的独 有质因数的积写成两数相乘的积，再分别乘它们的最大公因数即可得到这两个数。 【详解】因为 90÷9＝10，10＝2×5＝1×10； 所以这两个数是：2×9＝18，5×9＝45或 1×9＝9，10×9＝90。 两个数的最大公因数是 9，最小公倍数是 90，则这两个数是 18和 45；或者是 9 和 90。 10．用 96朵康乃馨和 72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百 合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 【答案】7 【分析】若每个花束的康乃馨和粉百合花的朵数相同，说明康乃馨和粉百合花都 是等分的，而且分的份数相同，要使每束花里花朵数最少，只要求出 96和 72 的最大公因数，即可获得花束数，花的总数 96＋72除以花束数，就得到每个花 束里至少有多少朵花。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 96和 72的最大公因数：2×2×2×3＝24 96÷24＋72÷24 第 5 页 共 10 页 ＝4＋3 ＝7（朵） 每束花里至少有 7朵花。 二、选择题。 11．张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是 6的最小倍 数；第二位数是 1的因数；第三位数是 7的最大因数。张老师的电脑开机密码是 ( )。 A．317 B．617 C．611 【答案】B 【分析】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身”进行解答。 【详解】第一位数是 6的最小倍数，即 6； 第二位数是 1的因数，即 1； 第三位数是 7的最大因数，即 7； 所以，张老师的电脑开机密码是 617。 故答案为：B 12．6的因数有 1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像 6这样，等 于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，( ) 是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题可知，一个数等于除了它本身以外的全部因数之和的数叫作完全数， 所以先分别找出每个选项中数字的除了自身以外的因数，再计算这些因数的和， 看是否等于该数字的本身，从而判断哪个数是完全数，据此解答。 【详解】A．8的因数有：1、2、4、8，1＋2＋4＝7，7≠8，所以 8不是完全数。 B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以 28是完全 数。 C．36的因数有：1、2、4、6、9、18，1＋2＋4＋6＋9＋18＝41，41≠36，所以 36不是完全数。 D．49的因数有 1、7、49，1＋7＝8，8≠49，所以 49不是完全数。 第 6 页 共 10 页 故答案为：B 13．如果 5m n （m、n是不为 0的自然数），那么m、n的最大公因数是( )。 A．n B．m C．mn D．1 【答案】A 【分析】当两个数存在倍数关系时，即其中一个数是另一个数的倍数，这两个数 的最大公因数就是较小的那个数。据此解答。 【详解】如果 5m n  （m、n是不为 0的自然数），则 m是 n的 5倍，所以 m、 n的最大公因数是 n。 故答案为：A 14．有两个房间，其中一个房间地面长 4.2米、宽 3.6米，另一个房间地面边长 为 4.2米。用同一种方砖铺地面，要求用的块数最少且不浪费，那么下面哪种地 砖最合适的是( )。 A．边长 2分米 B．边长 3分米 C．边长 6分米 D．边长 7分米 【答案】C 【分析】由题意可知，用同一种方砖铺地面，要求用的块数最少且不浪费，则方 砖的边长应是 42分米和 36分米的最大公因数，据此选择即可。 【详解】4.2米＝42分米，3.6米＝36分米 42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 所以地砖的边长是 2×3＝6（分米） 故答案为：C 【点睛】本题考查求最大公因数，明确求最大公因数的方法是解题的关键。 15．甲、乙两人完成某项工程的天数之比是 5∶4，乙、丙两人完成该项工程的 天数之比为 3∶2，那么甲做 15天的工程丙要做( )天。 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意可知，找出 4和 3的最小公倍数，根据比的基本性质，可得到甲、 乙、丙完成该项工程的天数之比是：15∶12∶8，据此解答。 【详解】因此甲∶乙＝5∶4 第 7 页 共 10 页 乙∶丙＝3∶2 所以甲∶乙∶丙＝15∶12∶8 甲做 15天的工程丙要做 8天。 故答案为：C 三、解答题。 16．有一张长方形纸板，长 80厘米，宽 60厘米，如果要剪成若干同样大小的正 方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小 正方形？ 【答案】20厘米；12个 【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，就是求 80和 60的最大公因 数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积，由 此解答即可。 【详解】80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5 80和 60的最大公因数是 2×2×5＝20 即裁成的小正方形的边长最大是 20厘米。 （80×60）÷（20×20） ＝4800÷400 ＝12（个） 答：剪出小正方形的边长最大是 20厘米，至少可以剪 12个这样的小正方形。 17．现有一种长 45厘米，宽 30厘米的长方形纸若干张。 （1）将其中一张裁成正方形纸片，且纸不能有剩余，最少可以裁多少块正方形？ （2）将这些纸拼成一个正方形，至少要用多少张这样的长方形纸？ 【答案】（1）6块；（2）6张 【分析】（1）根据题意，裁成的正方形纸片的边长最大是长方形长和宽的最大 公因数。当裁成边长最大时，能裁成的正方形的块数最少。将 45和 30分别分解 质因数，公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数。将 45厘米除以这个最大 公因数，求出长边上能裁成几块正方形。将 30厘米除以这个最大公因数，求出 宽边上能裁成几块正方形。最后利用乘法求出，一共最少可以裁多少块正方形； （2）根据题意，拼成的正方形的边长最小是 45和 30的最小公倍数。将 45和 第 8 页 共 10 页 30分别分解质因数，公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数。 将最小公倍数分别除以长和宽，求出每条边上需要几个长或几个宽，从而利用乘 法，求出一共需要几张长方形纸。 【详解】（1）45＝5×3×3 30＝5×3×2 45和 30的最大公因数是 5×3＝15，即裁出的正方形的边长是 15厘米。 （45÷15）×（30÷15） ＝3×2 ＝6（块） 答：最少可以裁 6块正方形。 （2）45和 30的最小公倍数是 5×3×3×2＝90，即拼成的正方形的边长是 90厘米。 （90÷45）×（90÷30） ＝2×3 ＝6（张） 答：至少要用 6张这样的长方形纸。 18．小红家有一些鸡蛋，5个 5个地数，6个 6个地数都多出了 2个，已知这些 鸡蛋总数在 80到 100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【答案】92个 【分析】根据题意，一些鸡蛋，5个 5个地数，6个 6个地数都多出了 2个，说 明这些鸡蛋的总个数比 5和 6的公倍数还多 2； 先求出 5和 6的最小公倍数，再找出在 80到 100之间的公倍数，最后再加上 2 个，即是这些鸡蛋的总个数。 【详解】5和 6的最小公倍数是：5×6＝30 30在 80到 100之间的公倍数是：30×3＝90 90＋2＝92（个） 答：小红家有 92个鸡蛋。 19．一条马路长 120米，从一端起，在马路的两侧先每隔 4米栽一棵树（两端都 栽），后改为每隔 6米栽一棵，不需要移栽的有多少棵？需要拔掉的有几棵？需 要重栽的有几棵？ 第 9 页 共 10 页 【答案】22棵；40棵；20棵 【分析】（1）因为 4和 6的最小公倍数是 12，所以在距离是 12米的倍数的位 置上的树不用移栽，用全长除以间距再加上 1，再乘 2即可得出两侧不用移栽的 树的棵数。（2）120米除以 4米得数加上 1就是原来一侧栽的棵树，减去不用 移栽的棵树，就是需要拔掉的棵树，再乘 2就是两侧共拔掉的棵树。（3）用全 长除以 6米再加上 1就是一侧重新栽后的棵树，减去不用移栽的棵树后就是需要 重新栽的棵树，两侧再乘 2。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 所以 4和 6的最小公倍数是 2×2×3＝12， 120÷12＝10（棵） 10＋1＝11（棵） 11×2＝22（棵） 答：不用移栽的树有 22棵。 120÷4＋1＝31（棵） 31－11＝20（棵） 20×2＝40（棵） 答：需要拔掉 40棵。 120÷6＋1＝21（棵） 21－11＝10（棵） 10×2＝20（棵） 答：需要重新栽上 20棵。 【点睛】这是植树问题，考查了公倍数应用题，利用 4和 6的最小公倍数和基本 的数量关系求出一边栽树的棵数是解答此题的关键，注意道路两旁首尾都栽，根 据株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1。 20．一次数学竞赛，某校有 200多人参加。其中 1 18 的人不到 70分， 1 7的人不到 80分， 14的人达到 90分。那么得分在 80分到 89分的有多少人？ 【答案】153人 【分析】因为人数一定是整数，根据分数乘法的意义，可知总人数一定是 18、7、 第 10 页 共 10 页 4的公倍数，先根据短除法求出三个数的最小公倍数，再通过翻倍求出大于 200 的 18、7、4的公倍数，也就是总人数，再把总人数看作单位“1”，已知 1 7的人不 到 80分，14的人达到 90分，也就是得分在 80分到 89分的占总人数的（1－ 1 7－ 1 4），根据分数乘法的意义，用总人数×（1－ 1 7－ 1 4）即可求出得分在 80分到 89分的有多少人。 【详解】 2×9×7×2＝252 18、7、4的最小公倍数是 252； 252＞200 所以总人数是 252人。 252×（1－ 1 7－ 1 4 ） ＝252× 17 28 ＝153（人） 答：得分在 80分到 89分的有 153人。 2025年小升初数学典型例题系列 专题02：数论·因数与倍数【专项训练】 一、填空题。 1．在除法算式24÷6＝4中，6是24的( )，24是6的( )。 2．10的因数有( )个。一个数的最小倍数是1，这个数是( )。 3．在1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有( )，9的倍数有( )。 4．一个数的最大因数是6，这个数是( )，请你写出这个数50以内的倍数( )。 5．12和18的最小公倍数是( )。a和b是不为0的自然数，如果，那么a和b的最大公因数是( )。 6．如果b－1＝a（a、b是非零自然数），那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 7．已知A＝2×3×5×C，B＝2×2×3×C，如果A和B的最大公因数是42，那么C＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 8．A＝2×3×n，B＝3×5×n，如果A和B两数的最大公因数是27，那么n是( )，A和B的最小公倍数是( )。 9．两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，则这两个数是( )和( )；或者是( )和( )。 10．用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 二、选择题。 11．张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是( )。 A．317 B．617 C．611 12．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，( )是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 13．如果（m、n是不为0的自然数），那么m、n的最大公因数是( )。 A．n B．m C．mn D．1 14．有两个房间，其中一个房间地面长4.2米、宽3.6米，另一个房间地面边长为4.2米。用同一种方砖铺地面，要求用的块数最少且不浪费，那么下面哪种地砖最合适的是( )。 A．边长2分米 B．边长3分米 C．边长6分米 D．边长7分米 15．甲、乙两人完成某项工程的天数之比是5∶4，乙、丙两人完成该项工程的天数之比为3∶2，那么甲做15天的工程丙要做( )天。 A．6 B．7 C．8 D．10 三、解答题。 16．有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？ 17．现有一种长45厘米，宽30厘米的长方形纸若干张。 （1）将其中一张裁成正方形纸片，且纸不能有剩余，最少可以裁多少块正方形？ （2）将这些纸拼成一个正方形，至少要用多少张这样的长方形纸？ 18．小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 19．一条马路长120米，从一端起，在马路的两侧先每隔4米栽一棵树（两端都栽），后改为每隔6米栽一棵，不需要移栽的有多少棵？需要拔掉的有几棵？需要重栽的有几棵？ 20．一次数学竞赛，某校有200多人参加。其中的人不到70分，的人不到80分，的人达到90分。那么得分在80分到89分的有多少人？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学典型例题系列 专题02：数论·因数与倍数【专项训练】 一、填空题。 1．在除法算式24÷6＝4中，6是24的( )，24是6的( )。 【答案】 因数 倍数 2．10的因数有( )个。一个数的最小倍数是1，这个数是( )。 【答案】 4 1 3．在1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有( )，9的倍数有( )。 【答案】 1，3，9 9，18 4．一个数的最大因数是6，这个数是( )，请你写出这个数50以内的倍数( )。 【答案】 6 6、12、18、24、30、36、42、48 5．12和18的最小公倍数是( )。a和b是不为0的自然数，如果，那么a和b的最大公因数是( )。 【答案】 36 b 6．如果b－1＝a（a、b是非零自然数），那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 ab 1 7．已知A＝2×3×5×C，B＝2×2×3×C，如果A和B的最大公因数是42，那么C＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 7 420 8．A＝2×3×n，B＝3×5×n，如果A和B两数的最大公因数是27，那么n是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 9 270 9．两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，则这两个数是( )和( )；或者是( )和( )。 【答案】 18 45 9 90 10．用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 【答案】7 二、选择题。 11．张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是( )。 A．317 B．617 C．611 【答案】B 12．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，( )是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【答案】B 13．如果（m、n是不为0的自然数），那么m、n的最大公因数是( )。 A．n B．m C．mn D．1 【答案】A 14．有两个房间，其中一个房间地面长4.2米、宽3.6米，另一个房间地面边长为4.2米。用同一种方砖铺地面，要求用的块数最少且不浪费，那么下面哪种地砖最合适的是( )。 A．边长2分米 B．边长3分米 C．边长6分米 D．边长7分米 【答案】C 15．甲、乙两人完成某项工程的天数之比是5∶4，乙、丙两人完成该项工程的天数之比为3∶2，那么甲做15天的工程丙要做( )天。 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 三、解答题。 16．有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？ 【答案】 80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5 80和60的最大公因数是2×2×5＝20 即裁成的小正方形的边长最大是20厘米。 （80×60）÷（20×20） ＝4800÷400 ＝12（个） 答：剪出小正方形的边长最大是20厘米，至少可以剪12个这样的小正方形。 17．现有一种长45厘米，宽30厘米的长方形纸若干张。 （1）将其中一张裁成正方形纸片，且纸不能有剩余，最少可以裁多少块正方形？ （2）将这些纸拼成一个正方形，至少要用多少张这样的长方形纸？ 【答案】 一共需要几张长方形纸。 【详解】（1）45＝5×3×3 30＝5×3×2 45和30的最大公因数是5×3＝15，即裁出的正方形的边长是15厘米。 （45÷15）×（30÷15） ＝3×2 ＝6（块） 答：最少可以裁6块正方形。 （2）45和30的最小公倍数是5×3×3×2＝90，即拼成的正方形的边长是90厘米。 （90÷45）×（90÷30） ＝2×3 ＝6（张） 答：至少要用6张这样的长方形纸。 18．小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【答案】 5和6的最小公倍数是：5×6＝30 30在80到100之间的公倍数是：30×3＝90 90＋2＝92（个） 答：小红家有92个鸡蛋。 19．一条马路长120米，从一端起，在马路的两侧先每隔4米栽一棵树（两端都栽），后改为每隔6米栽一棵，不需要移栽的有多少棵？需要拔掉的有几棵？需要重栽的有几棵？ 【答案】 4＝2×2 6＝2×3 所以4和6的最小公倍数是2×2×3＝12， 120÷12＝10（棵） 10＋1＝11（棵） 11×2＝22（棵） 答：不用移栽的树有22棵。 120÷4＋1＝31（棵） 31－11＝20（棵） 20×2＝40（棵） 答：需要拔掉40棵。 120÷6＋1＝21（棵） 21－11＝10（棵） 10×2＝20（棵） 答：需要重新栽上20棵。 20．一次数学竞赛，某校有200多人参加。其中的人不到70分，的人不到80分，的人达到90分。那么得分在80分到89分的有多少人？ 【答案】 2×9×7×2＝252 18、7、4的最小公倍数是252； 252＞200 所以总人数是252人。 252×（1－－） ＝252× ＝153（人） 答：得分在80分到89分的有153人。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学典型例题系列 专题02：数论·因数与倍数【专项训练】 一、填空题。 1．在除法算式24÷6＝4中，6是24的( )，24是6的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【详解】在除法算式24÷6＝4中，6是24的（因数），24是6的（倍数）。 2．10的因数有( )个。一个数的最小倍数是1，这个数是( )。 【答案】 4 1 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。即一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。 【详解】10的因数有1、2、5、10； 所以10的因数有4个，一个数的最小倍数是1，这个数就是1。 3．在1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有( )，9的倍数有( )。 【答案】 1，3，9 9，18 【分析】先列举出9的因数和9的倍数，在从1，3，7，9，18，24这六个数中找出哪些数是9的因数、9的倍数。 【详解】9的因数：1，3，9； 9的倍数：9，18，27，36，45…； 在1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有（1，3，9），9的倍数有（9，18）。 4．一个数的最大因数是6，这个数是( )，请你写出这个数50以内的倍数( )。 【答案】 6 6、12、18、24、30、36、42、48 【分析】一个数的最大因数是它本身，据此求出这个数；倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么c是a、b的倍数。如：4×9＝36，36是4和9的倍数；据此求出这个数的倍数即可。 【详解】一个数的最大因数是6，这个数是6。 6×1＝6 6×2＝12 6×3＝18 6×4＝24 6×5＝30 6×6＝36 6×7＝42 6×8＝48 50以内6的倍数是：6、12、18、24、30、36、42、48。 一个数的最大因数是6，这个数是6，请你写出这个数50以内的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48。 5．12和18的最小公倍数是( )。a和b是不为0的自然数，如果，那么a和b的最大公因数是( )。 【答案】 36 b 【分析】12的倍数有12、24、36等；18的倍数有18、36等，所以12和18的最小公倍数是36； 根据题意可知，a是b的倍数，当两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，据此解答即可。 【详解】12的倍数：12、24、36…… 18的倍数有18、36…… 12和18的最小公倍数是36；a和b的最大公因数是b。 6．如果b－1＝a（a、b是非零自然数），那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 ab 1 【分析】如果b－1＝a（a、b是非零自然数），那么a和b相差1，即a和b是相邻的自然数。两个相邻的自然数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们相乘的积。 【详解】根据分析可得： a和b的最小公倍数是ab，最大公因数是1。 7．已知A＝2×3×5×C，B＝2×2×3×C，如果A和B的最大公因数是42，那么C＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 7 420 【分析】根据A和B分解质因数的情况，可知A和B公有质因数为2、3、C，非公有的质因数为5和2，由此得出A和B的最大公因数是2×3×C，最小公倍数是2×2×3×5×C。已知A和B的最大公因数是42，据此求出C的值；再把C的值代入A和B的最小公倍数中，求出它们的最小公倍数。 【详解】A＝2×3×5×C B＝2×2×3×C A和B的最大公因数是：2×3×C＝6C A和B的最小公因数是：2×2×3×5×C＝60C 6C＝42 C＝42÷6 C＝7 当C＝7，60C＝60×7＝420 填空如下： 如果A和B的最大公因数是42，那么C＝（7），A和B的最小公倍数是（420）。 8．A＝2×3×n，B＝3×5×n，如果A和B两数的最大公因数是27，那么n是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 9 270 【分析】根据A、B两数的分解质因数，把公有的相同质因数乘起来即是它们的最大公因数3n，已知最大公因数是27，即3n＝27，据此求出n的值； 把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数30n，据n的值代入式子中，计算出结果即可。 【详解】A＝2×3×n B＝3×5×n A和B的最大公因数是3n＝27； 3n＝27 n＝27÷3 n＝9 A和B的最小公倍数是2×3×n×5＝30n； 当n＝9时，30n＝30×9＝270 所以，n是（9），A和B的最小公倍数是（270）。 9．两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，则这两个数是( )和( )；或者是( )和( )。 【答案】 18 45 9 90 【分析】最大公因数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有质因数的积，据此可知用两个数的最小公倍数除以最大公因数即可得到两个数的独有因数的积，且这两个数的独有因数是互质的，据此把两个数的独有质因数的积写成两数相乘的积，再分别乘它们的最大公因数即可得到这两个数。 【详解】因为90÷9＝10，10＝2×5＝1×10； 所以这两个数是：2×9＝18，5×9＝45或1×9＝9，10×9＝90。 两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，则这两个数是18和45；或者是9和90。 10．用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 【答案】7 【分析】若每个花束的康乃馨和粉百合花的朵数相同，说明康乃馨和粉百合花都是等分的，而且分的份数相同，要使每束花里花朵数最少，只要求出96和72的最大公因数，即可获得花束数，花的总数96＋72除以花束数，就得到每个花束里至少有多少朵花。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 96和72的最大公因数：2×2×2×3＝24 96÷24＋72÷24 ＝4＋3 ＝7（朵） 每束花里至少有7朵花。 二、选择题。 11．张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是( )。 A．317 B．617 C．611 【答案】B 【分析】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身”进行解答。 【详解】第一位数是6的最小倍数，即6； 第二位数是1的因数，即1； 第三位数是7的最大因数，即7； 所以，张老师的电脑开机密码是617。 故答案为：B 12．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，( )是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题可知，一个数等于除了它本身以外的全部因数之和的数叫作完全数，所以先分别找出每个选项中数字的除了自身以外的因数，再计算这些因数的和，看是否等于该数字的本身，从而判断哪个数是完全数，据此解答。 【详解】A．8的因数有：1、2、4、8，1＋2＋4＝7，7≠8，所以8不是完全数。 B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 C．36的因数有：1、2、4、6、9、18，1＋2＋4＋6＋9＋18＝41，41≠36，所以36不是完全数。 D．49的因数有1、7、49，1＋7＝8，8≠49，所以49不是完全数。 故答案为：B 13．如果（m、n是不为0的自然数），那么m、n的最大公因数是( )。 A．n B．m C．mn D．1 【答案】A 【分析】当两个数存在倍数关系时，即其中一个数是另一个数的倍数，这两个数的最大公因数就是较小的那个数。据此解答。 【详解】如果（m、n是不为0的自然数），则m是n的5倍，所以m、n的最大公因数是n。 故答案为：A 14．有两个房间，其中一个房间地面长4.2米、宽3.6米，另一个房间地面边长为4.2米。用同一种方砖铺地面，要求用的块数最少且不浪费，那么下面哪种地砖最合适的是( )。 A．边长2分米 B．边长3分米 C．边长6分米 D．边长7分米 【答案】C 【分析】由题意可知，用同一种方砖铺地面，要求用的块数最少且不浪费，则方砖的边长应是42分米和36分米的最大公因数，据此选择即可。 【详解】4.2米＝42分米，3.6米＝36分米 42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 所以地砖的边长是2×3＝6（分米） 故答案为：C 【点睛】本题考查求最大公因数，明确求最大公因数的方法是解题的关键。 15．甲、乙两人完成某项工程的天数之比是5∶4，乙、丙两人完成该项工程的天数之比为3∶2，那么甲做15天的工程丙要做( )天。 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意可知，找出4和3的最小公倍数，根据比的基本性质，可得到甲、乙、丙完成该项工程的天数之比是：15∶12∶8，据此解答。 【详解】因此甲∶乙＝5∶4 乙∶丙＝3∶2 所以甲∶乙∶丙＝15∶12∶8 甲做15天的工程丙要做8天。 故答案为：C 三、解答题。 16．有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？ 【答案】20厘米；12个 【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，就是求80和60的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积，由此解答即可。 【详解】80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5 80和60的最大公因数是2×2×5＝20 即裁成的小正方形的边长最大是20厘米。 （80×60）÷（20×20） ＝4800÷400 ＝12（个） 答：剪出小正方形的边长最大是20厘米，至少可以剪12个这样的小正方形。 17．现有一种长45厘米，宽30厘米的长方形纸若干张。 （1）将其中一张裁成正方形纸片，且纸不能有剩余，最少可以裁多少块正方形？ （2）将这些纸拼成一个正方形，至少要用多少张这样的长方形纸？ 【答案】（1）6块；（2）6张 【分析】（1）根据题意，裁成的正方形纸片的边长最大是长方形长和宽的最大公因数。当裁成边长最大时，能裁成的正方形的块数最少。将45和30分别分解质因数，公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数。将45厘米除以这个最大公因数，求出长边上能裁成几块正方形。将30厘米除以这个最大公因数，求出宽边上能裁成几块正方形。最后利用乘法求出，一共最少可以裁多少块正方形； （2）根据题意，拼成的正方形的边长最小是45和30的最小公倍数。将45和30分别分解质因数，公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数。将最小公倍数分别除以长和宽，求出每条边上需要几个长或几个宽，从而利用乘法，求出一共需要几张长方形纸。 【详解】（1）45＝5×3×3 30＝5×3×2 45和30的最大公因数是5×3＝15，即裁出的正方形的边长是15厘米。 （45÷15）×（30÷15） ＝3×2 ＝6（块） 答：最少可以裁6块正方形。 （2）45和30的最小公倍数是5×3×3×2＝90，即拼成的正方形的边长是90厘米。 （90÷45）×（90÷30） ＝2×3 ＝6（张） 答：至少要用6张这样的长方形纸。 18．小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【答案】92个 【分析】根据题意，一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，说明这些鸡蛋的总个数比5和6的公倍数还多2； 先求出5和6的最小公倍数，再找出在80到100之间的公倍数，最后再加上2个，即是这些鸡蛋的总个数。 【详解】5和6的最小公倍数是：5×6＝30 30在80到100之间的公倍数是：30×3＝90 90＋2＝92（个） 答：小红家有92个鸡蛋。 19．一条马路长120米，从一端起，在马路的两侧先每隔4米栽一棵树（两端都栽），后改为每隔6米栽一棵，不需要移栽的有多少棵？需要拔掉的有几棵？需要重栽的有几棵？ 【答案】22棵；40棵；20棵 【分析】（1）因为4和6的最小公倍数是12，所以在距离是12米的倍数的位置上的树不用移栽，用全长除以间距再加上1，再乘2即可得出两侧不用移栽的树的棵数。（2）120米除以4米得数加上1就是原来一侧栽的棵树，减去不用移栽的棵树，就是需要拔掉的棵树，再乘2就是两侧共拔掉的棵树。（3）用全长除以6米再加上1就是一侧重新栽后的棵树，减去不用移栽的棵树后就是需要重新栽的棵树，两侧再乘2。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 所以4和6的最小公倍数是2×2×3＝12， 120÷12＝10（棵） 10＋1＝11（棵） 11×2＝22（棵） 答：不用移栽的树有22棵。 120÷4＋1＝31（棵） 31－11＝20（棵） 20×2＝40（棵） 答：需要拔掉40棵。 120÷6＋1＝21（棵） 21－11＝10（棵） 10×2＝20（棵） 答：需要重新栽上20棵。 【点睛】这是植树问题，考查了公倍数应用题，利用4和6的最小公倍数和基本的数量关系求出一边栽树的棵数是解答此题的关键，注意道路两旁首尾都栽，根据株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1。 20．一次数学竞赛，某校有200多人参加。其中的人不到70分，的人不到80分，的人达到90分。那么得分在80分到89分的有多少人？ 【答案】153人 【分析】因为人数一定是整数，根据分数乘法的意义，可知总人数一定是18、7、4的公倍数，先根据短除法求出三个数的最小公倍数，再通过翻倍求出大于200的18、7、4的公倍数，也就是总人数，再把总人数看作单位“1”，已知的人不到80分，的人达到90分，也就是得分在80分到89分的占总人数的（1－－），根据分数乘法的意义，用总人数×（1－－）即可求出得分在80分到89分的有多少人。 【详解】 2×9×7×2＝252 18、7、4的最小公倍数是252； 252＞200 所以总人数是252人。 252×（1－－） ＝252× ＝153（人） 答：得分在80分到89分的有153人。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 2025 年小升初数学典型例题系列 专题 02：数论·因数与倍数【专项训练】 一、填空题。 1．在除法算式 24÷6＝4中，6是 24的( )，24是 6的( )。 【答案】 因数 倍数 2．10的因数有( )个。一个数的最小倍数是 1，这个数是( )。 【答案】 4 1 3．在 1，3，7，9，18，24这六个数中，9的因数有( )，9的倍数有( )。 【答案】 1，3，9 9，18 4．一个数的最大因数是 6，这个数是( )，请你写出这个数 50以内的倍 数( )。 【答案】 6 6、12、18、24、30、36、42、48 5．12和 18的最小公倍数是( )。a和 b是不为 0的自然数，如果 3a b  ， 那么 a和 b的最大公因数是( )。 【答案】 36 b 6．如果 b－1＝a（a、b是非零自然数），那么 a和 b的最小公倍数是( )， 最大公因数是( )。 【答案】 ab 1 7．已知 A＝2×3×5×C，B＝2×2×3×C，如果 A和 B的最大公因数是 42，那么 C ＝( )，A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】 7 420 8．A＝2×3×n，B＝3×5×n，如果A和B两数的最大公因数是27，那么n是( )， A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】 9 270 9．两个数的最大公因数是 9，最小公倍数是 90，则这两个数是( )和 ( )；或者是( )和( )。 【答案】 18 45 9 90 10．用 96朵康乃馨和 72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百 第 2 页 共 5 页 合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 【答案】7 二、选择题。 11．张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是 6的最小倍 数；第二位数是 1的因数；第三位数是 7的最大因数。张老师的电脑开机密码是 ( )。 A．317 B．617 C．611 【答案】B 12．6的因数有 1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像 6这样，等 于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，( ) 是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【答案】B 13．如果 5m n （m、n是不为 0的自然数），那么m、n的最大公因数是( )。 A．n B．m C．mn D．1 【答案】A 14．有两个房间，其中一个房间地面长 4.2米、宽 3.6米，另一个房间地面边长 为 4.2米。用同一种方砖铺地面，要求用的块数最少且不浪费，那么下面哪种地 砖最合适的是( )。 A．边长 2分米 B．边长 3分米 C．边长 6分米 D．边长 7分米 【答案】C 15．甲、乙两人完成某项工程的天数之比是 5∶4，乙、丙两人完成该项工程的 天数之比为 3∶2，那么甲做 15天的工程丙要做( )天。 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 三、解答题。 16．有一张长方形纸板，长 80厘米，宽 60厘米，如果要剪成若干同样大小的正 方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小 正方形？ 第 3 页 共 5 页 【答案】 80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5 80和 60的最大公因数是 2×2×5＝20 即裁成的小正方形的边长最大是 20厘米。 （80×60）÷（20×20） ＝4800÷400 ＝12（个） 答：剪出小正方形的边长最大是 20厘米，至少可以剪 12个这样的小正方形。 17．现有一种长 45厘米，宽 30厘米的长方形纸若干张。 （1）将其中一张裁成正方形纸片，且纸不能有剩余，最少可以裁多少块正方形？ （2）将这些纸拼成一个正方形，至少要用多少张这样的长方形纸？ 【答案】 一共需要几张长方形纸。 【详解】（1）45＝5×3×3 30＝5×3×2 45和 30的最大公因数是 5×3＝15，即裁出的正方形的边长是 15厘米。 （45÷15）×（30÷15） ＝3×2 ＝6（块） 答：最少可以裁 6块正方形。 （2）45和 30的最小公倍数是 5×3×3×2＝90，即拼成的正方形的边长是 90厘米。 （90÷45）×（90÷30） ＝2×3 ＝6（张） 答：至少要用 6张这样的长方形纸。 18．小红家有一些鸡蛋，5个 5个地数，6个 6个地数都多出了 2个，已知这些 鸡蛋总数在 80到 100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【答案】 5和 6的最小公倍数是：5×6＝30 第 4 页 共 5 页 30在 80到 100之间的公倍数是：30×3＝90 90＋2＝92（个） 答：小红家有 92个鸡蛋。 19．一条马路长 120米，从一端起，在马路的两侧先每隔 4米栽一棵树（两端都 栽），后改为每隔 6米栽一棵，不需要移栽的有多少棵？需要拔掉的有几棵？需 要重栽的有几棵？ 【答案】 4＝2×2 6＝2×3 所以 4和 6的最小公倍数是 2×2×3＝12， 120÷12＝10（棵） 10＋1＝11（棵） 11×2＝22（棵） 答：不用移栽的树有 22棵。 120÷4＋1＝31（棵） 31－11＝20（棵） 20×2＝40（棵） 答：需要拔掉 40棵。 120÷6＋1＝21（棵） 21－11＝10（棵） 10×2＝20（棵） 答：需要重新栽上 20棵。 20．一次数学竞赛，某校有 200多人参加。其中 1 18 的人不到 70分， 1 7的人不到 80分， 14的人达到 90分。那么得分在 80分到 89分的有多少人？ 【答案】 2×9×7×2＝252 第 5 页 共 5 页 18、7、4的最小公倍数是 252； 252＞200 所以总人数是 252人。 252×（1－ 1 7－ 1 4 ） ＝252× 17 28 ＝153（人） 答：得分在 80分到 89分的有 153人。