专题02：数论·因数与倍数【七大考点】-2025年小升初数学典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）通用版

第 1 页 共 9 页 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？ 一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 第 2 页 共 9 页 2025 年小升初数学典型例题系列 专题 02：数论·因数与倍数【七大考点】 专题名称 专题 02：数论·因数与倍数 专题内容 本专题以因数与倍数为主，包括因数与倍数、最大公因数与 最小公倍数及其应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题根据考察频率、考题难度、考点重要性等三个维度从 小升初数学中选取考点，内容涵盖多种典型问题，难度适中， 建议作为小升初复习基础内容进行讲解，要求每位学生熟练 掌握。 考点数量 七大考点 【考点一】因数与倍数 .....................................................................................................3 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 .................................................................. 4 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 ............................................... 4 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ .......................................................5 【考点五】最大公因数的实际应用 ..................................................................................5 【考点六】最小公倍数的实际应用 ..................................................................................7 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 ...................................................................... 9 第 3 页 共 9 页 【考点一】因数与倍数 【典型例题】 1．（因数与倍数的认识）因为 45÷9＝5，所以可以说 9是( )的因数，45 是 9的( )。 2. （求因数与倍数）写出 12的所有因数和 50以内的所有倍数： 因数：( ) 倍数：( ) 3. （因数与倍数的特征）一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是 ( )，最大是( )。 【对应练习】 1. 因为 15÷5＝3，所以，5是 15的( )，15是 5的( )。 2. 一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是( )。 3. 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的因数； E－所有因数是 1、2、3、6； F－所有因数是 1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 第 4 页 共 9 页 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 【典型例题】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和 16 11和 7 12和 51 【对应练习】 1．分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和 7 18和 6 8 和 12 9和 21 2．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 20和 30 35和 42 8和 24 11和 12 3．求下列各组数的最大公因数与最小公倍数。 12和 16 7和 8 6和 24 2，3和 5 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 【典型例题】 1. （分解质因数）A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和 B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 2.（互质数）非 0自然数 a和 b的最大公因数是 1，它们的最小公倍数是( )。 3. （倍数关系）乙数是甲数的 3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最 第 5 页 共 9 页 小公倍数是( )。 【对应练习】 1. 把自然数 A和 B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果 A和 B的最 大公因数是 35，则 A和 B的最小公倍数是( )。 2. A、B都是大于零的自然数，且 A－B＝1，A和 B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 3. a÷b＝5，（a、b是不为 0的自然数），那么 a、b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ 【典型例题】 a、b两个自然数的最大公因数是 3，它们的最小公倍数是( )(用 a,b的式 子表示)。 【对应练习】 1. 甲、乙两数的最小公倍数是 78，最大公因数是 13，已知甲数是 26，乙数是 ( )。 2. 甲、乙两数的比是 2:7，它们的最大公因数和最小公倍数的和是 450，则甲是 ( )，乙是( )。 3. 已知正整数 a、b之差为 84，它们的最小公倍数是其最大公因数的 18倍，那 么 a、b中较大的数是( )。 4. 已知两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为 114，则 这两个自然数分别是( )。 【考点五】最大公因数的实际应用 【典型例题】 1.（分线段问题）2024年 4月 22日是第 55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍 爱地球 人与自然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长 42米，另一条长 48米，现 在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳 子长几米？一共能剪成几段？ 第 6 页 共 9 页 2. （分长方形问题）一张不锈钢板，长 90厘米，宽 70厘米。如果要剪成若干 张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪 多少块？ 3. （复杂的应用）把 42个“冰墩墩”和 39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小 朋友分得“冰墩墩”的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多 2个， “雪容融”多 3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少 个“雪容融”？ 4. （综合应用）把一个长 2.31米，宽 1.47米，高 1.05米的长方体木料，锯成同 样大小的正方体木块，要求所锯的正方体木块体积尽可能大，木料又没有剩余(不 考虑锯缝损耗)，则最多可锯得的正方体木块有多少个？ 【对应练习】 1. 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。 每段最长是多少厘米？ 2. 一种大号长方形彩纸，长是 45厘米，宽是 30厘米。张老师想把彩纸裁成大 小一样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 第 7 页 共 9 页 3. 有 36支铅笔和 40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多 1支， 而练习本少 2本。获奖的少先队员有多少人？ 4. 如下图，图中大长方形分别由面积为 12平方厘米、24 平方厘米、36平方厘 米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中阴影部分的面积为( )。 【考点六】最小公倍数的实际应用 【典型例题】 1. （分东西问题）有一堆总数不超过 50个的苹果，不管是分给 12个小朋友还 是分给 16个小朋友都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 2. （日期问题）我市 7路和 10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共 汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔 6分钟发一次车 10路：每隔 8分钟发一次车 3. （同余数问题）现在有一筐苹果，无论是平均分给 8个人，还是平均分给 14 个人，结果都剩下 1个。这筐苹果至少有多少个？ 第 8 页 共 9 页 4.（综合应用）有一种红砖，长 24厘米，宽 12厘米，高 5厘米，至少用( ) 这种砖才能拼成一个实心的正方体。 A.600块 B.800块 C.1000块 D.1200块 【对应练习】 1. 课后服务活动小组每组有组员 6人或 8人。课后服务活动中，老师为激发学 生兴趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员 且全部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 2. 那西公交 8路车和 3路车早上 6：25同时从公交车站出发，若 8路车每 35分 钟发一次，3路车每 20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 3. 庆祝“建党 100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是 5人一队， 还是 6人一队，都多 3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 4. 大雪后的早晨，爸爸和儿子踏着积雪，一前一后沿着一个圆形水池从同一起 点跑步锻炼。爸爸每步跑 50厘米，儿子每步跑 30厘米，雪地上脚印有时重合， 有时不重合。一圈跑下来，共留有 1099个脚印，则这个水池的直径有( ) 米。(π取 3.14) 第 9 页 共 9 页 5. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100个)，小明像玩跳棋那样，从 A 孔 出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔。他先试 着每隔 2孔跳一步，结果只能跳到 B孔，他又试着每隔 4孔跳一步，也只能跳 到 B孔，最后他每隔 6孔跳一步，正好跳回到 A孔。则这个圆圈上共有多少个 孔? 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 【典型例题】 园林工人要在周长为 300米的圆形花坛边等距离地栽上风景树，他们首先沿着花 坛的边每隔 3米挖一个坑，当挖完 40个坑时，突然接到通知，改为每隔 5米挖 一个坑，这样他们要完成挖坑的任务，还需要挖坑( )。 A.50个 B.51个 C.52个 D.53个 【对应练习】 1. 在一根长 100 厘米的竹竿上，从左至右每隔 8厘米点上做个记号，再由右至 左每隔 6厘米点上做个记号，一共做了( )个记号。 2. 在一根木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10等份，第二种刻度 线将木棍分成 12等份，第三种刻度线将木棍分成 15等份，如果沿每条刻度线将 木棍锯断，木棍总共被锯成( )段。 第 1 页 共 17 页 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？ 一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 第 2 页 共 17 页 2025 年小升初数学典型例题系列 专题 02：数论·因数与倍数【七大考点】 专题名称 专题 02：数论·因数与倍数 专题内容 本专题以因数与倍数为主，包括因数与倍数、最大公因数与 最小公倍数及其应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题根据考察频率、考题难度、考点重要性等三个维度从 小升初数学中选取考点，内容涵盖多种典型问题，难度适中， 建议作为小升初复习基础内容进行讲解，要求每位学生熟练 掌握。 考点数量 七大考点 【考点一】因数与倍数 .....................................................................................................3 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 .................................................................. 5 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 ............................................... 8 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ .....................................................10 【考点五】最大公因数的实际应用 ................................................................................11 【考点六】最小公倍数的实际应用 ................................................................................14 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 .................................................................... 17 第 3 页 共 17 页 【考点一】因数与倍数 【典型例题】 1．（因数与倍数的认识）因为 45÷9＝5，所以可以说 9是( )的因数，45 是 9的( )。 【答案】 45 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a能被数 b整除（b≠0），a就是 b的 倍数，b就是 a的因数；据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 因为 45÷9＝5，所以可以说 9是 45的因数，45是 9的倍数。 2. （求因数与倍数）写出 12的所有因数和 50以内的所有倍数： 因数：( ) 倍数：( ) 【答案】 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48 【分析】根据求一个数的因数方法可得，先写出 12的乘数：12＝1×12，12＝2×6， 12＝3×4，则 12的因数即乘数；根据求一个数的倍数方法可得，从自身开始，用 1，2，3……去乘,可以得到；据此填空即可。 【详解】12的因数有：1、2、3、4、6、12； 12的倍数有：12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，……； 第 4 页 共 17 页 则 12的 50以内的所有倍数有：12、24、36、48。 3. （因数与倍数的特征）一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是 ( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【分析】一个非 0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答 即可。 【详解】24的最大因数是 24，8的最小倍数是 8，24÷8＝3，即 24是 8的倍数， 8是 24的因数。所以一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是 8，最 大是 24。 【对应练习】 1. 因为 15÷5＝3，所以，5是 15的( )，15是 5的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍 数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 因为 15÷5＝3，所以，5是 15的因数，15是 5的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 2. 一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是( )。 【答案】32 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它 本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是 32。 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，明确最大因数和最小倍数的求法是 解答本题的关键。 3. 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的因数； E－所有因数是 1、2、3、6； F－所有因数是 1，3；G－只有一个因数。 第 5 页 共 17 页 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数 a能被数 b整除（b≠0），a就叫做 b 的倍数，b就叫做 a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1， 最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最 小的自然数是 0，1只有 1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是 5； 最小的自然数是 0； 5的最大因数是 5； 既是 4的倍数，又是 4的因数的数是 4； 所有因数是 1、2、3、6的数是 6； 所有因数是 1，3的数是 3； 只有一个因数的数是 1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 【典型例题】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和 16 11和 7 12和 51 【答案】8，48；1，77；3，204 【分析】利用分解质因数法，把每组数中的合数分解成几个质因数乘积的形式， 两个数的公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，最大公因数和独有质因 数的乘积，就是这两个数的最小公倍数。求每组数的最大公因数和最小公倍数即 可；互质的两个数的最大公因数是 1，最小公倍数是这两个数的乘积。 【详解】24和 16 24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 24和 16的最大公因数是：2×2×2＝8，最小公倍数是：8×2×3＝48。 11和 7 第 6 页 共 17 页 11和 7互质，所以 11和 7的最大公因数是：1，最小公倍数是：11×7＝77。 12和 51 12＝2×2×3 51＝3×17 12和 51的最大公因数是：3，最小公倍数是：3×2×2×17＝204。 【对应练习】 1．分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和 7 18和 6 8 和 12 9和 21 【答案】11和 7的最大公因数是 1；最小公倍数是 77； 18和 6的最大公因数是 6；最小公倍数是 18； 8和 12的最大公因数是 4；最小公倍数是 24； 9和 21的最大公因数是 3；最小公倍数是 63 【分析】当两个数是互质数时，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是两数的乘 积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因 数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】（1）11和 7是互质数； 11和 7的最大公因数是 1； 11和 7的最小公倍数是 11×7＝77； （2）18和 6是倍数关系； 18和 6的最大公因数是 6； 18和 6的最小公倍数是 18； （3）8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和 12的最大公因数是 2×2＝4； 8和 12的最小公倍数是 2×2×2×3＝24； （4）9＝3×3 第 7 页 共 17 页 21＝3×7 9和 21的最大公因数是 3； 9和 21的最小公倍数是 3×3×7＝63。 2．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 20和 30 35和 42 8和 24 11和 12 【答案】20和 30的最大公因数是 10，最小公倍数是 60 35和 42的最大公因数是 7，最小公倍数是 210； 8和 24的最大公因数是 8，最小公倍数是 24； 11和 12的最大公因数是 1，最小公倍数是 132 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的 最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数 是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个 数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质 因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】20＝2×2×5 30＝2×3×5 2×5＝10 2×2×3×5＝60 20和 30的最大公因数是 10，最小公倍数是 60； 35＝5×7 42＝2×3×7 35和 42的最大公因数是 7， 2×3×5×7＝210 35和 42的最小公倍数是 210； 8和 24是倍数关系，所以 8和 24的最大公因数是 8，最小公倍数是 24； 11和 12互质，所以 11和 12的最大公因数是 1， 11×12＝132 第 8 页 共 17 页 11和 12的最小公倍数是 132。 3．求下列各组数的最大公因数与最小公倍数。 12和 16 7和 8 6和 24 2，3和 5 【答案】4，48；1，56；6，24；1，30 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的乘积是最大公因数， 两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是最小公倍数；对于两个数是互 质数的两个数，它们的最大公因数是 1，最小公倍数即这两个数的乘积；倍数关 系的最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数。 【详解】12和 16 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和 16的最大公因数＝2×2＝4； 最小公倍数＝4×3×2×2＝48。 7和 8是互质数 7和 8的最大公因数是 1； 最小公倍数＝7×8＝56。 6和 24存在倍数关系 6和 24的最大公因数是 6； 最小公倍数是 24。 2，3和 5是互质数 2、3、5的最大公因数＝1； 最小公倍数＝2×3×5＝6×5＝30。 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 【典型例题】 1. （分解质因数）A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和 B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 6 90 【分析】把 A和 B公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数， 把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 第 9 页 共 17 页 【详解】因为 A＝2×3×5，B＝2×3×3，所以 A和 B的最大公因数是 2×3＝6，最 小公倍数是 2×3×5×3＝90。 2.（互质数）非 0自然数 a和 b的最大公因数是 1，它们的最小公倍数是( )。 【答案】ab 【分析】两数互质，最大公因数是 1，由此可知，a和 b是互质关系，两数互质， 最小公倍数是两数的积，据此分析。 【详解】非 0自然数 a和 b的最大公因数是 1，a和 b互质，它们的最小公倍数 是 ab。 3. （倍数关系）乙数是甲数的 3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最 小公倍数是( )。 【答案】 甲数 乙数 【分析】根据题意，乙数是甲数的 3倍，说明甲数和乙数是倍数关系，且乙数＞ 甲数，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大 数”进行解答。 【详解】乙数是甲数的 3倍，甲、乙两数的最大公因数是甲数，最小公倍数是乙 数。 【对应练习】 1. 把自然数 A和 B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果 A和 B的最 大公因数是 35，则 A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因 数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】A＝2×5×N B＝3×5×N A和 B的最大公因数是：5N＝35； N＝35÷5＝7 A和 B的最小公倍数是：2×3×5×N； 当 N＝7时，2×3×5×7＝210； 第 10 页 共 17 页 所以，A和 B的最小公倍数是 210。 【点睛】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 2. A、B都是大于零的自然数，且 A－B＝1，A和 B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 1 AB 【分析】互质数：公因数只有 1的两个自然数，叫做互质数，相邻的自然数互质； 最大公因数：两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个公 因数就叫做这几个数的最大公因数； 最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫作它们的公倍数，其中最小的一个公 倍数就叫做这几个数的最小公倍数； 两个数互质，则最大公因数是 1，最小公倍数就是这两个数的乘积。据此解答。 【详解】A、B都是大于零的自然数，且 A－B＝1，所以 A和 B互质，所以 A 和 B的最大公因数是 1，最小公倍数是 AB。 3. a÷b＝5，（a、b是不为 0的自然数），那么 a、b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】当两个数为倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数，较小的数是它 们的最大公因数；由此解答问题即可。 【详解】由 a÷b＝5（a、b是不为 0的自然数），可得 a和 b是倍数关系，所以 a和 b的最大公因数是 b，最小公倍数的 a。 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ 【典型例题】 a、b两个自然数的最大公因数是 3，它们的最小公倍数是( )(用 a,b的式 子表示)。 解析：ab÷3 【对应练习】 1. 甲、乙两数的最小公倍数是 78，最大公因数是 13，已知甲数是 26，乙数是 ( )。 解析：39 第 11 页 共 17 页 2. 甲、乙两数的比是 2:7，它们的最大公因数和最小公倍数的和是 450，则甲是 ( )，乙是( )。 解析：60；210 3. 已知正整数 a、b之差为 84，它们的最小公倍数是其最大公因数的 18倍，那 么 a、b中较大的数是( )。 解析：108 4. 已知两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为 114，则 这两个自然数分别是( )。 解析：24和 30 【考点五】最大公因数的实际应用 【典型例题】 1.（分线段问题）2024年 4月 22日是第 55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍 爱地球 人与自然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长 42米，另一条长 48米，现 在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳 子长几米？一共能剪成几段？ 【答案】6米；15段 【分析】根据题意，可计算出 42与 48的最大公因数，即是每段绳子最长的长度， 再用两条彩绳的和除以每段的长度，即可得到剪成几段，列式解答即可得到答案。 【详解】 42和 48的最大公因数是：2 3 6  （米）  42 48 6  90 6  15 （段） 答：剪成的每段绳子长 6米，一共能剪成 15段。 2. （分长方形问题）一张不锈钢板，长 90厘米，宽 70厘米。如果要剪成若干 第 12 页 共 17 页 张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪 多少块？ 【答案】10厘米；63块 【分析】由题意可知，剪成的小正方形的边长必须是 90和 70的公因数，才能保 证没有剩余，所以求剪出的正方形边长最大是多少，就是求 90和 70的最大公因 数，可以通过分解质因数法求出 90和 70的最大公因数；再用大长方形的面积除 以小正方形的面积，即可求出能剪多少个。 【详解】90＝2×3×3×5 70＝2×5×7 90和 70的最大公因数：2×5＝10 90×70÷（10×10） ＝6300÷100 ＝63（块） 答：剪出的正方形的边长最大是 10厘米，可以剪 63块。 3. （复杂的应用）把 42个“冰墩墩”和 39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小 朋友分得“冰墩墩”的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多 2个， “雪容融”多 3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少 个“雪容融”？ 【答案】4个；“冰墩墩”10个；“雪容融”9个 【分析】根据题意，如果“冰墩墩”有 42－2＝40个，“冰墩墩”有 39－3＝36个， 就正好平均分完，且每个小朋友分得的个数相同，那么小朋友最多的人数就是 40和 36的最大公因数。 再用 40和 36分别除以小朋友最多的人数，即可求出每个小朋友可分得“冰墩墩” 和“雪容融”的个数。 【详解】42－2＝40（个） 39－3＝36（个） 40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和 36的最大公因数是：2×2＝4 第 13 页 共 17 页 即最多有 4个小朋友。 分得“冰墩墩”的个数：40÷4＝10（个） 分得“雪容融”的个数：36÷4＝9（个） 答：最多有 4个小朋友，每个小朋友分得 10个“冰墩墩”和 9个“雪容融”。 4. （综合应用）把一个长 2.31米，宽 1.47米，高 1.05米的长方体木料，锯成同 样大小的正方体木块，要求所锯的正方体木块体积尽可能大，木料又没有剩余(不 考虑锯缝损耗)，则最多可锯得的正方体木块有多少个？ 解析：385个 【对应练习】 1. 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。 每段最长是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】因为这两根木棒不能有剩余，那么每段最长的长度是这两根木棒长度的 最大公因数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公 因数。据此求出两个木棒长度的最大公因数，也就是每段最长厘米数。 【详解】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是 6厘米。 2. 一种大号长方形彩纸，长是 45厘米，宽是 30厘米。张老师想把彩纸裁成大 小一样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】把彩纸裁成大小一样的正方形纸，且正方形纸的边长要最大，就是求长 方形长和宽的最大公因数，把 45和 30的因数列出来，再找出它们的最大公因数， 即可解答。 【详解】45的因数：1、3、5、9、15、45。 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。 45和 30的公因数：1、3、5、15。 第 14 页 共 17 页 45和 30的最大公因数是 15。 答：正方形纸的边长最大可以是 15厘米。 3. 有 36支铅笔和 40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多 1支， 而练习本少 2本。获奖的少先队员有多少人？ 【答案】7人 【分析】根据题意，需要找出铅笔数量和练习本数量的最大公因数，题中给出铅 笔多 1支，练习本少 2本，那么将铅笔数量减去 1支，36－1＝35（支）练习本 数量加上 2本，40＋2＝42（本），刚好够分，35的因数有 1、5、7、35，42的 因数有 1、2、3、6、7、14、21、42，35和 42的公因数只有 1和 7，则获奖的 少先队员只能是 7人。 【详解】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有 1、5、7、35，42的因数有 1、2、3、6、7、14、21、42，则 42和 35的最大公因数为：7，也就是获奖的少先队员有 7人。 答：获奖的少先队员有 7人。 4. 如下图，图中大长方形分别由面积为 12平方厘米、24 平方厘米、36平方厘 米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中阴影部分的面积为( )。 解析：5平方厘米 【考点六】最小公倍数的实际应用 【典型例题】 1. （分东西问题）有一堆总数不超过 50个的苹果，不管是分给 12个小朋友还 是分给 16个小朋友都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【答案】48个 【分析】不管是分给 12个小朋友还是分给 16个小朋友都刚好分完，说明苹果的 总数量是 12和 16的公倍数，求出 12和 16的最小公倍数即可。全部公有的质因 数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 第 15 页 共 17 页 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（个） 48＜50 答：这堆苹果有 48个。 2. （日期问题）我市 7路和 10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共 汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔 6分钟发一次车 10路：每隔 8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过 24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过 24分钟两路车第二次同时发车。 3. （同余数问题）现在有一筐苹果，无论是平均分给 8个人，还是平均分给 14 个人，结果都剩下 1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和 14的最小公倍数是 2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有 57个。 4.（综合应用）有一种红砖，长 24厘米，宽 12厘米，高 5厘米，至少用( ) 这种砖才能拼成一个实心的正方体。 A.600块 B.800块 C.1000块 D.1200块 解析：D 【对应练习】 1. 课后服务活动小组每组有组员 6人或 8人。课后服务活动中，老师为激发学 生兴趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员 第 16 页 共 17 页 且全部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 【答案】24份 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的 最小公倍数。从题意可知：无论分给 6人或 8人且全部送出，说明没有剩余，那 么这个数就是 6和 8的公倍数，要使这个数最小，只要求出 6和 8的最小公倍数 即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 答：老师至少要准备 24份礼物。 2. 那西公交 8路车和 3路车早上 6：25同时从公交车站出发，若 8路车每 35分 钟发一次，3路车每 20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 解析： 因为 20＝2×2×5 35＝5×7 所以 20和 35的最小公倍数是 4×5×7 ＝20×7 ＝140 6：25是 6时 25分 6时 25分＋140分＝8时 45分 答：下一次同时发车至少是 8时 45分。 3. 庆祝“建党 100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是 5人一队， 还是 6人一队，都多 3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有 33人。 4. 大雪后的早晨，爸爸和儿子踏着积雪，一前一后沿着一个圆形水池从同一起 第 17 页 共 17 页 点跑步锻炼。爸爸每步跑 50厘米，儿子每步跑 30厘米，雪地上脚印有时重合， 有时不重合。一圈跑下来，共留有 1099个脚印，则这个水池的直径有( ) 米。(π取 3.14) 解析：75 5. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100个)，小明像玩跳棋那样，从 A 孔 出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔。他先试 着每隔 2孔跳一步，结果只能跳到 B孔，他又试着每隔 4孔跳一步，也只能跳 到 B孔，最后他每隔 6孔跳一步，正好跳回到 A孔。则这个圆圈上共有多少个 孔? 解析：91个 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 【典型例题】 园林工人要在周长为 300米的圆形花坛边等距离地栽上风景树，他们首先沿着花 坛的边每隔 3米挖一个坑，当挖完 40个坑时，突然接到通知，改为每隔 5米挖 一个坑，这样他们要完成挖坑的任务，还需要挖坑( )。 A.50个 B.51个 C.52个 D.53个 解析：C 【对应练习】 1. 在一根长 100 厘米的竹竿上，从左至右每隔 8厘米点上做个记号，再由右至 左每隔 6厘米点上做个记号，一共做了( )个记号。 解析：24 2. 在一根木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10等份，第二种刻度 线将木棍分成 12等份，第三种刻度线将木棍分成 15等份，如果沿每条刻度线将 木棍锯断，木棍总共被锯成( )段。 解析：28 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 2025年小升初数学典型例题系列 专题02：数论·因数与倍数【七大考点】 专题名称 专题02：数论·因数与倍数 专题内容 本专题以因数与倍数为主，包括因数与倍数、最大公因数与最小公倍数及其应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题根据考察频率、考题难度、考点重要性等三个维度从小升初数学中选取考点，内容涵盖多种典型问题，难度适中，建议作为小升初复习基础内容进行讲解，要求每位学生熟练掌握。 考点数量 七大考点 【考点一】因数与倍数 3 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 4 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 4 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ 5 【考点五】最大公因数的实际应用 5 【考点六】最小公倍数的实际应用 7 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 9 【考点一】因数与倍数 【典型例题】 1．（因数与倍数的认识）因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 2. （求因数与倍数）写出12的所有因数和50以内的所有倍数： 因数：( )    倍数：( ) 3. （因数与倍数的特征）一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【对应练习】 1. 因为15÷5＝3，所以，5是15的( )，15是5的( )。 2. 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 3. 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 【典型例题】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16     11和7     12和51 【对应练习】 1．分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和7             18和6            8 和12            9和21 2．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 20和30         35和42          8和24          11和12 3．求下列各组数的最大公因数与最小公倍数。 12和16          7和8            6和24            2，3和5 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 【典型例题】 1. （分解质因数）A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2. （互质数）非0自然数a和b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是( )。 3. （倍数关系）乙数是甲数的3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习】 1. 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 2. A、B都是大于零的自然数，且A－B＝1，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3. a÷b＝5，（a、b是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ 【典型例题】 a、b两个自然数的最大公因数是3，它们的最小公倍数是( )(用a,b的式子表示)。 【对应练习】 1. 甲、乙两数的最小公倍数是78，最大公因数是13，已知甲数是26，乙数是( )。 2. 甲、乙两数的比是2:7，它们的最大公因数和最小公倍数的和是450，则甲是( )，乙是( )。 3. 已知正整数a、b之差为84，它们的最小公倍数是其最大公因数的18倍，那么a、b中较大的数是( )。 4. 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，则这两个自然数分别是( )。 【考点五】最大公因数的实际应用 【典型例题】 1. （分线段问题）2024年4月22日是第55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球 人与自然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长42米，另一条长48米，现在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳子长几米？一共能剪成几段？ 2. （分长方形问题）一张不锈钢板，长90厘米，宽70厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少块？ 3. （复杂的应用）把42个“冰墩墩”和39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小朋友分得“冰墩墩”的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多2个，“雪容融”多3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少个“雪容融”？ 4. （综合应用）把一个长2.31米，宽1.47米，高1.05米的长方体木料，锯成同样大小的正方体木块，要求所锯的正方体木块体积尽可能大，木料又没有剩余(不考虑锯缝损耗)，则最多可锯得的正方体木块有多少个？ 【对应练习】 1. 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段最长是多少厘米？ 2. 一种大号长方形彩纸，长是45厘米，宽是30厘米。张老师想把彩纸裁成大小一样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 3. 有36支铅笔和40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多1支，而练习本少2本。获奖的少先队员有多少人？ 4. 如下图，图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中阴影部分的面积为( )。 【考点六】最小公倍数的实际应用 【典型例题】 1. （分东西问题）有一堆总数不超过50个的苹果，不管是分给12个小朋友还是分给16个小朋友都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 2. （日期问题）我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 3. （同余数问题）现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 4. （综合应用）有一种红砖，长24厘米，宽12厘米，高5厘米，至少用( )这种砖才能拼成一个实心的正方体。 A.600块 B.800块 C.1000块 D.1200块 【对应练习】 1. 课后服务活动小组每组有组员6人或8人。课后服务活动中，老师为激发学生兴趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员且全部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 2. 那西公交8路车和3路车早上6：25同时从公交车站出发，若8路车每35分钟发一次，3路车每20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 3. 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 4. 大雪后的早晨，爸爸和儿子踏着积雪，一前一后沿着一个圆形水池从同一起点跑步锻炼。爸爸每步跑50厘米，儿子每步跑30厘米，雪地上脚印有时重合，有时不重合。一圈跑下来，共留有1099个脚印，则这个水池的直径有( )米。(π取3.14) 5. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔，最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔。则这个圆圈上共有多少个孔? 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 【典型例题】 园林工人要在周长为300米的圆形花坛边等距离地栽上风景树，他们首先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完40个坑时，突然接到通知，改为每隔5米挖一个坑，这样他们要完成挖坑的任务，还需要挖坑( )。 A.50个 B.51个 C.52个 D.53个 【对应练习】 1. 在一根长100厘米的竹竿上，从左至右每隔8厘米点上做个记号，再由右至左每隔6厘米点上做个记号，一共做了( )个记号。 2. 在一根木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成( )段。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 2025年小升初数学典型例题系列 专题02：数论·因数与倍数【七大考点】 专题名称 专题02：数论·因数与倍数 专题内容 本专题以因数与倍数为主，包括因数与倍数、最大公因数与最小公倍数及其应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题根据考察频率、考题难度、考点重要性等三个维度从小升初数学中选取考点，内容涵盖多种典型问题，难度适中，建议作为小升初复习基础内容进行讲解，要求每位学生熟练掌握。 考点数量 七大考点 【考点一】因数与倍数 3 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 5 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 8 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ 10 【考点五】最大公因数的实际应用 11 【考点六】最小公倍数的实际应用 14 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 17 【考点一】因数与倍数 【典型例题】 1．（因数与倍数的认识）因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 【答案】 45 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就是b的倍数，b就是a的因数；据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 因为45÷9＝5，所以可以说9是45的因数，45是9的倍数。 2. （求因数与倍数）写出12的所有因数和50以内的所有倍数： 因数：( )    倍数：( ) 【答案】 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48 【分析】根据求一个数的因数方法可得，先写出12的乘数：12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，则12的因数即乘数；根据求一个数的倍数方法可得，从自身开始，用1，2，3……去乘,可以得到；据此填空即可。 【详解】12的因数有：1、2、3、4、6、12； 12的倍数有：12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，……； 则12的50以内的所有倍数有：12、24、36、48。 3. （因数与倍数的特征）一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答即可。 【详解】24的最大因数是24，8的最小倍数是8，24÷8＝3，即24是8的倍数，8是24的因数。所以一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是8，最大是24。 【对应练习】 1. 因为15÷5＝3，所以，5是15的( )，15是5的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 因为15÷5＝3，所以，5是15的因数，15是5的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 2. 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【答案】32 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是32。 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，明确最大因数和最小倍数的求法是解答本题的关键。 3. 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 【典型例题】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16    11和7    12和51 【答案】8，48；1，77；3，204 【分析】利用分解质因数法，把每组数中的合数分解成几个质因数乘积的形式，两个数的公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，最大公因数和独有质因数的乘积，就是这两个数的最小公倍数。求每组数的最大公因数和最小公倍数即可；互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 【详解】24和16 24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 24和16的最大公因数是：2×2×2＝8，最小公倍数是：8×2×3＝48。 11和7 11和7互质，所以11和7的最大公因数是：1，最小公倍数是：11×7＝77。 12和51 12＝2×2×3 51＝3×17 12和51的最大公因数是：3，最小公倍数是：3×2×2×17＝204。 【对应练习】 1．分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和7             18和6            8 和12           9和21 【答案】11和7的最大公因数是1；最小公倍数是77； 18和6的最大公因数是6；最小公倍数是18； 8和12的最大公因数是4；最小公倍数是24； 9和21的最大公因数是3；最小公倍数是63 【分析】当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】（1）11和7是互质数； 11和7的最大公因数是1； 11和7的最小公倍数是11×7＝77； （2）18和6是倍数关系； 18和6的最大公因数是6； 18和6的最小公倍数是18； （3）8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最大公因数是2×2＝4； 8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24； （4）9＝3×3 21＝3×7 9和21的最大公因数是3； 9和21的最小公倍数是3×3×7＝63。 2．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 20和30         35和42         8和24         11和12 【答案】20和30的最大公因数是10，最小公倍数是60 35和42的最大公因数是7，最小公倍数是210； 8和24的最大公因数是8，最小公倍数是24； 11和12的最大公因数是1，最小公倍数是132 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】20＝2×2×5 30＝2×3×5 2×5＝10 2×2×3×5＝60 20和30的最大公因数是10，最小公倍数是60； 35＝5×7 42＝2×3×7 35和42的最大公因数是7， 2×3×5×7＝210 35和42的最小公倍数是210； 8和24是倍数关系，所以8和24的最大公因数是8，最小公倍数是24； 11和12互质，所以11和12的最大公因数是1， 11×12＝132 11和12的最小公倍数是132。 3．求下列各组数的最大公因数与最小公倍数。 12和16          7和8           6和24           2，3和5 【答案】4，48；1，56；6，24；1，30 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是最小公倍数；对于两个数是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；倍数关系的最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数。 【详解】12和16 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最大公因数＝2×2＝4； 最小公倍数＝4×3×2×2＝48。 7和8是互质数 7和8的最大公因数是1； 最小公倍数＝7×8＝56。 6和24存在倍数关系 6和24的最大公因数是6； 最小公倍数是24。 2，3和5是互质数 2、3、5的最大公因数＝1； 最小公倍数＝2×3×5＝6×5＝30。 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 【典型例题】 1. （分解质因数）A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 90 【分析】把A和B公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【详解】因为A＝2×3×5，B＝2×3×3，所以A和B的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×5×3＝90。 2. （互质数）非0自然数a和b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是( )。 【答案】ab 【分析】两数互质，最大公因数是1，由此可知，a和b是互质关系，两数互质，最小公倍数是两数的积，据此分析。 【详解】非0自然数a和b的最大公因数是1，a和b互质，它们的最小公倍数是ab。 3. （倍数关系）乙数是甲数的3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 甲数 乙数 【分析】根据题意，乙数是甲数的3倍，说明甲数和乙数是倍数关系，且乙数＞甲数，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【详解】乙数是甲数的3倍，甲、乙两数的最大公因数是甲数，最小公倍数是乙数。 【对应练习】 1. 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】A＝2×5×N B＝3×5×N A和B的最大公因数是：5N＝35； N＝35÷5＝7 A和B的最小公倍数是：2×3×5×N； 当N＝7时，2×3×5×7＝210； 所以，A和B的最小公倍数是210。 【点睛】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 2. A、B都是大于零的自然数，且A－B＝1，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 AB 【分析】互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数，相邻的自然数互质； 最大公因数：两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个公因数就叫做这几个数的最大公因数； 最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫作它们的公倍数，其中最小的一个公倍数就叫做这几个数的最小公倍数； 两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。据此解答。 【详解】A、B都是大于零的自然数，且A－B＝1，所以A和B互质，所以A和B的最大公因数是1，最小公倍数是AB。 3. a÷b＝5，（a、b是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】当两个数为倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数，较小的数是它们的最大公因数；由此解答问题即可。 【详解】由a÷b＝5（a、b是不为0的自然数），可得a和b是倍数关系，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数的a。 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ 【典型例题】 a、b两个自然数的最大公因数是3，它们的最小公倍数是( )(用a,b的式子表示)。 解析：ab÷3 【对应练习】 1. 甲、乙两数的最小公倍数是78，最大公因数是13，已知甲数是26，乙数是( )。 解析：39 2. 甲、乙两数的比是2:7，它们的最大公因数和最小公倍数的和是450，则甲是( )，乙是( )。 解析：60；210 3. 已知正整数a、b之差为84，它们的最小公倍数是其最大公因数的18倍，那么a、b中较大的数是( )。 解析：108 4. 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，则这两个自然数分别是( )。 解析：24和30 【考点五】最大公因数的实际应用 【典型例题】 1. （分线段问题）2024年4月22日是第55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球 人与自然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长42米，另一条长48米，现在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳子长几米？一共能剪成几段？ 【答案】6米；15段 【分析】根据题意，可计算出42与48的最大公因数，即是每段绳子最长的长度，再用两条彩绳的和除以每段的长度，即可得到剪成几段，列式解答即可得到答案。 【详解】 42和48的最大公因数是：（米） （段） 答：剪成的每段绳子长6米，一共能剪成15段。 2. （分长方形问题）一张不锈钢板，长90厘米，宽70厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少块？ 【答案】10厘米；63块 【分析】由题意可知，剪成的小正方形的边长必须是90和70的公因数，才能保证没有剩余，所以求剪出的正方形边长最大是多少，就是求90和70的最大公因数，可以通过分解质因数法求出90和70的最大公因数；再用大长方形的面积除以小正方形的面积，即可求出能剪多少个。 【详解】90＝2×3×3×5 70＝2×5×7 90和70的最大公因数：2×5＝10 90×70÷（10×10） ＝6300÷100 ＝63（块） 答：剪出的正方形的边长最大是10厘米，可以剪63块。 3. （复杂的应用）把42个“冰墩墩”和39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小朋友分得“冰墩墩”的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多2个，“雪容融”多3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少个“雪容融”？ 【答案】4个；“冰墩墩”10个；“雪容融”9个 【分析】根据题意，如果“冰墩墩”有42－2＝40个，“冰墩墩”有39－3＝36个，就正好平均分完，且每个小朋友分得的个数相同，那么小朋友最多的人数就是40和36的最大公因数。 再用40和36分别除以小朋友最多的人数，即可求出每个小朋友可分得“冰墩墩”和“雪容融”的个数。 【详解】42－2＝40（个） 39－3＝36（个） 40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和36的最大公因数是：2×2＝4 即最多有4个小朋友。 分得“冰墩墩”的个数：40÷4＝10（个） 分得“雪容融”的个数：36÷4＝9（个） 答：最多有4个小朋友，每个小朋友分得10个“冰墩墩”和9个“雪容融”。 4. （综合应用）把一个长2.31米，宽1.47米，高1.05米的长方体木料，锯成同样大小的正方体木块，要求所锯的正方体木块体积尽可能大，木料又没有剩余(不考虑锯缝损耗)，则最多可锯得的正方体木块有多少个？ 解析：385个 【对应练习】 1. 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段最长是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】因为这两根木棒不能有剩余，那么每段最长的长度是这两根木棒长度的最大公因数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此求出两个木棒长度的最大公因数，也就是每段最长厘米数。 【详解】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是6厘米。 2. 一种大号长方形彩纸，长是45厘米，宽是30厘米。张老师想把彩纸裁成大小一样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】把彩纸裁成大小一样的正方形纸，且正方形纸的边长要最大，就是求长方形长和宽的最大公因数，把45和30的因数列出来，再找出它们的最大公因数，即可解答。 【详解】45的因数：1、3、5、9、15、45。 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。 45和30的公因数：1、3、5、15。 45和30的最大公因数是15。 答：正方形纸的边长最大可以是15厘米。 3. 有36支铅笔和40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多1支，而练习本少2本。获奖的少先队员有多少人？ 【答案】7人 【分析】根据题意，需要找出铅笔数量和练习本数量的最大公因数，题中给出铅笔多1支，练习本少2本，那么将铅笔数量减去1支，36－1＝35（支）练习本数量加上2本，40＋2＝42（本），刚好够分，35的因数有1、5、7、35，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，35和42的公因数只有1和7，则获奖的少先队员只能是7人。 【详解】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有1、5、7、35，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，则42和35的最大公因数为：7，也就是获奖的少先队员有7人。 答：获奖的少先队员有7人。 4. 如下图，图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中阴影部分的面积为( )。 解析：5平方厘米 【考点六】最小公倍数的实际应用 【典型例题】 1. （分东西问题）有一堆总数不超过50个的苹果，不管是分给12个小朋友还是分给16个小朋友都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【答案】48个 【分析】不管是分给12个小朋友还是分给16个小朋友都刚好分完，说明苹果的总数量是12和16的公倍数，求出12和16的最小公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（个） 48＜50 答：这堆苹果有48个。 2. （日期问题）我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车第二次同时发车。 3. （同余数问题）现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和14的最小公倍数是2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有57个。 4. （综合应用）有一种红砖，长24厘米，宽12厘米，高5厘米，至少用( )这种砖才能拼成一个实心的正方体。 A.600块 B.800块 C.1000块 D.1200块 解析：D 【对应练习】 1. 课后服务活动小组每组有组员6人或8人。课后服务活动中，老师为激发学生兴趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员且全部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 【答案】24份 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。从题意可知：无论分给6人或8人且全部送出，说明没有剩余，那么这个数就是6和8的公倍数，要使这个数最小，只要求出6和8的最小公倍数即可。 【详解】6＝2×3         8＝2×2×2 6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 答：老师至少要准备24份礼物。 2. 那西公交8路车和3路车早上6：25同时从公交车站出发，若8路车每35分钟发一次，3路车每20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 解析： 因为20＝2×2×5 35＝5×7 所以20和35的最小公倍数是4×5×7 ＝20×7 ＝140 6：25是6时25分 6时25分＋140分＝8时45分 答：下一次同时发车至少是8时45分。 3. 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有33人。 4. 大雪后的早晨，爸爸和儿子踏着积雪，一前一后沿着一个圆形水池从同一起点跑步锻炼。爸爸每步跑50厘米，儿子每步跑30厘米，雪地上脚印有时重合，有时不重合。一圈跑下来，共留有1099个脚印，则这个水池的直径有( )米。(π取3.14) 解析：75 5. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔，最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔。则这个圆圈上共有多少个孔? 解析：91个 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 【典型例题】 园林工人要在周长为300米的圆形花坛边等距离地栽上风景树，他们首先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完40个坑时，突然接到通知，改为每隔5米挖一个坑，这样他们要完成挖坑的任务，还需要挖坑( )。 A.50个 B.51个 C.52个 D.53个 解析：C 【对应练习】 1. 在一根长100厘米的竹竿上，从左至右每隔8厘米点上做个记号，再由右至左每隔6厘米点上做个记号，一共做了( )个记号。 解析：24 2. 在一根木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成( )段。 解析：28 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 11 页 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？ 一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 第 2 页 共 11 页 2025 年小升初数学典型例题系列 专题 02：数论·因数与倍数【七大考点】 专题名称 专题 02：数论·因数与倍数 专题内容 本专题以因数与倍数为主，包括因数与倍数、最大公因数与 最小公倍数及其应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题根据考察频率、考题难度、考点重要性等三个维度从 小升初数学中选取考点，内容涵盖多种典型问题，难度适中， 建议作为小升初复习基础内容进行讲解，要求每位学生熟练 掌握。 考点数量 七大考点 【考点一】因数与倍数 .....................................................................................................3 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 .................................................................. 4 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 ............................................... 4 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ .......................................................5 【考点五】最大公因数的实际应用 ..................................................................................6 【考点六】最小公倍数的实际应用 ..................................................................................8 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 .................................................................... 11 第 3 页 共 11 页 【考点一】因数与倍数 【典型例题】 1．（因数与倍数的认识）因为 45÷9＝5，所以可以说 9是( )的因数，45 是 9的( )。 【答案】 45 倍数 2. （求因数与倍数）写出 12的所有因数和 50以内的所有倍数： 因数：( ) 倍数：( ) 【答案】 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48 3. （因数与倍数的特征）一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是 ( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【对应练习】 1. 因为 15÷5＝3，所以，5是 15的( )，15是 5的( )。 【答案】 因数 倍数 2. 一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是( )。 【答案】32 3. 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 第 4 页 共 11 页 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的因数； E－所有因数是 1、2、3、6； F－所有因数是 1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 【典型例题】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和 16 11和 7 12和 51 【答案】8，48；1，77；3，204 【对应练习】 1．分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和 7 18和 6 8 和 12 9和 21 【答案】11和 7的最大公因数是 1；最小公倍数是 77； 18和 6的最大公因数是 6；最小公倍数是 18； 8和 12的最大公因数是 4；最小公倍数是 24； 9和 21的最大公因数是 3；最小公倍数是 63 2．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 20和 30 35和 42 8和 24 11和 12 【答案】20和 30的最大公因数是 10，最小公倍数是 60 35和 42的最大公因数是 7，最小公倍数是 210； 8和 24的最大公因数是 8，最小公倍数是 24； 11和 12的最大公因数是 1，最小公倍数是 132 3．求下列各组数的最大公因数与最小公倍数。 12和 16 7和 8 6和 24 2，3和 5 【答案】4，48；1，56；6，24；1，30 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 【典型例题】 第 5 页 共 11 页 1. （分解质因数）A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和 B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 6 90 2.（互质数）非 0自然数 a和 b的最大公因数是 1，它们的最小公倍数是( )。 【答案】ab 3. （倍数关系）乙数是甲数的 3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最 小公倍数是( )。 【答案】 甲数 乙数 【对应练习】 1. 把自然数 A和 B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果 A和 B的最 大公因数是 35，则 A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】210 2. A、B都是大于零的自然数，且 A－B＝1，A和 B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 1 AB 3. a÷b＝5，（a、b是不为 0的自然数），那么 a、b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ 【典型例题】 a、b两个自然数的最大公因数是 3，它们的最小公倍数是( )(用 a,b的式 子表示)。 解析：ab÷3 【对应练习】 1. 甲、乙两数的最小公倍数是 78，最大公因数是 13，已知甲数是 26，乙数是 ( )。 解析：39 2. 甲、乙两数的比是 2:7，它们的最大公因数和最小公倍数的和是 450，则甲是 ( )，乙是( )。 第 6 页 共 11 页 解析：60；210 3. 已知正整数 a、b之差为 84，它们的最小公倍数是其最大公因数的 18倍，那 么 a、b中较大的数是( )。 解析：108 4. 已知两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为 114，则 这两个自然数分别是( )。 解析：24和 30 【考点五】最大公因数的实际应用 【典型例题】 1.（分线段问题）2024年 4月 22日是第 55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍 爱地球 人与自然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长 42米，另一条长 48米，现 在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳 子长几米？一共能剪成几段？ 【答案】 42和 48的最大公因数是：2 3 6  （米）  42 48 6  90 6  15 （段） 答：剪成的每段绳子长 6米，一共能剪成 15段。 2. （分长方形问题）一张不锈钢板，长 90厘米，宽 70厘米。如果要剪成若干 张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪 多少块？ 【答案】 90＝2×3×3×5 第 7 页 共 11 页 70＝2×5×7 90和 70的最大公因数：2×5＝10 90×70÷（10×10） ＝6300÷100 ＝63（块） 答：剪出的正方形的边长最大是 10厘米，可以剪 63块。 3. （复杂的应用）把 42个“冰墩墩”和 39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小 朋友分得“冰墩墩”的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多 2个， “雪容融”多 3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少 个“雪容融”？ 【答案】 42－2＝40（个） 39－3＝36（个） 40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和 36的最大公因数是：2×2＝4 即最多有 4个小朋友。 分得“冰墩墩”的个数：40÷4＝10（个） 分得“雪容融”的个数：36÷4＝9（个） 答：最多有 4个小朋友，每个小朋友分得 10个“冰墩墩”和 9个“雪容融”。 4. （综合应用）把一个长 2.31米，宽 1.47米，高 1.05米的长方体木料，锯成同 样大小的正方体木块，要求所锯的正方体木块体积尽可能大，木料又没有剩余(不 考虑锯缝损耗)，则最多可锯得的正方体木块有多少个？ 解析：385个 【对应练习】 1. 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。 每段最长是多少厘米？ 【答案】6厘米 第 8 页 共 11 页 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是 6厘米。 2. 一种大号长方形彩纸，长是 45厘米，宽是 30厘米。张老师想把彩纸裁成大 小一样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【答案】 45的因数：1、3、5、9、15、45。 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。 45和 30的公因数：1、3、5、15。 45和 30的最大公因数是 15。 答：正方形纸的边长最大可以是 15厘米。 3. 有 36支铅笔和 40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多 1支， 而练习本少 2本。获奖的少先队员有多少人？ 【答案】 36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有 1、5、7、35，42的因数有 1、2、3、6、7、14、21、42，则 42和 35的最大公因数为：7，也就是获奖的少先队员有 7人。 答：获奖的少先队员有 7人。 4. 如下图，图中大长方形分别由面积为 12平方厘米、24 平方厘米、36平方厘 米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中阴影部分的面积为( )。 解析：5平方厘米 【考点六】最小公倍数的实际应用 【典型例题】 1. （分东西问题）有一堆总数不超过 50个的苹果，不管是分给 12个小朋友还 第 9 页 共 11 页 是分给 16个小朋友都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【答案】 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（个） 48＜50 答：这堆苹果有 48个。 2. （日期问题）我市 7路和 10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共 汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔 6分钟发一次车 10路：每隔 8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过 24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过 24分钟两路车第二次同时发车。 3. （同余数问题）现在有一筐苹果，无论是平均分给 8个人，还是平均分给 14 个人，结果都剩下 1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和 14的最小公倍数是 2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有 57个。 4.（综合应用）有一种红砖，长 24厘米，宽 12厘米，高 5厘米，至少用( ) 这种砖才能拼成一个实心的正方体。 A.600块 B.800块 C.1000块 D.1200块 解析：D 【对应练习】 第 10 页 共 11 页 1. 课后服务活动小组每组有组员 6人或 8人。课后服务活动中，老师为激发学 生兴趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员 且全部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 【答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 答：老师至少要准备 24份礼物。 2. 那西公交 8路车和 3路车早上 6：25同时从公交车站出发，若 8路车每 35分 钟发一次，3路车每 20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 解析： 因为 20＝2×2×5 35＝5×7 所以 20和 35的最小公倍数是 4×5×7 ＝20×7 ＝140 6：25是 6时 25分 6时 25分＋140分＝8时 45分 答：下一次同时发车至少是 8时 45分。 3. 庆祝“建党 100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是 5人一队， 还是 6人一队，都多 3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有 33人。 4. 大雪后的早晨，爸爸和儿子踏着积雪，一前一后沿着一个圆形水池从同一起 点跑步锻炼。爸爸每步跑 50厘米，儿子每步跑 30厘米，雪地上脚印有时重合， 有时不重合。一圈跑下来，共留有 1099个脚印，则这个水池的直径有( ) 第 11 页 共 11 页 米。(π取 3.14) 解析：75 5. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100个)，小明像玩跳棋那样，从 A 孔 出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔。他先试 着每隔 2孔跳一步，结果只能跳到 B孔，他又试着每隔 4孔跳一步，也只能跳 到 B孔，最后他每隔 6孔跳一步，正好跳回到 A孔。则这个圆圈上共有多少个 孔? 解析：91个 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 【典型例题】 园林工人要在周长为 300米的圆形花坛边等距离地栽上风景树，他们首先沿着花 坛的边每隔 3米挖一个坑，当挖完 40个坑时，突然接到通知，改为每隔 5米挖 一个坑，这样他们要完成挖坑的任务，还需要挖坑( )。 A.50个 B.51个 C.52个 D.53个 解析：C 【对应练习】 1. 在一根长 100 厘米的竹竿上，从左至右每隔 8厘米点上做个记号，再由右至 左每隔 6厘米点上做个记号，一共做了( )个记号。 解析：24 2. 在一根木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10等份，第二种刻度 线将木棍分成 12等份，第三种刻度线将木棍分成 15等份，如果沿每条刻度线将 木棍锯断，木棍总共被锯成( )段。 解析：28 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 2025年小升初数学典型例题系列 专题02：数论·因数与倍数【七大考点】 专题名称 专题02：数论·因数与倍数 专题内容 本专题以因数与倍数为主，包括因数与倍数、最大公因数与最小公倍数及其应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题根据考察频率、考题难度、考点重要性等三个维度从小升初数学中选取考点，内容涵盖多种典型问题，难度适中，建议作为小升初复习基础内容进行讲解，要求每位学生熟练掌握。 考点数量 七大考点 【考点一】因数与倍数 3 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 4 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 4 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ 5 【考点五】最大公因数的实际应用 6 【考点六】最小公倍数的实际应用 8 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 11 【考点一】因数与倍数 【典型例题】 1．（因数与倍数的认识）因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 【答案】 45 倍数 2. （求因数与倍数）写出12的所有因数和50以内的所有倍数： 因数：( )    倍数：( ) 【答案】 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48 3. （因数与倍数的特征）一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【对应练习】 1. 因为15÷5＝3，所以，5是15的( )，15是5的( )。 【答案】 因数 倍数 2. 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【答案】32 3. 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【考点二】直接求最大公因数与最小公倍数 【典型例题】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16    11和7    12和51 【答案】8，48；1，77；3，204 【对应练习】 1．分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和7             18和6            8 和12           9和21 【答案】11和7的最大公因数是1；最小公倍数是77； 18和6的最大公因数是6；最小公倍数是18； 8和12的最大公因数是4；最小公倍数是24； 9和21的最大公因数是3；最小公倍数是63 2．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 20和30         35和42         8和24         11和12 【答案】20和30的最大公因数是10，最小公倍数是60 35和42的最大公因数是7，最小公倍数是210； 8和24的最大公因数是8，最小公倍数是24； 11和12的最大公因数是1，最小公倍数是132 3．求下列各组数的最大公因数与最小公倍数。 12和16          7和8           6和24           2，3和5 【答案】4，48；1，56；6，24；1，30 【考点三】求最大公因数与最小公倍数的三种特殊情况 【典型例题】 1. （分解质因数）A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 90 2. （互质数）非0自然数a和b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是( )。 【答案】ab 3. （倍数关系）乙数是甲数的3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 甲数 乙数 【对应练习】 1. 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 【答案】210 2. A、B都是大于零的自然数，且A－B＝1，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 AB 3. a÷b＝5，（a、b是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【考点四】最大公因数和最小公倍数的相互关系＊ 【典型例题】 a、b两个自然数的最大公因数是3，它们的最小公倍数是( )(用a,b的式子表示)。 解析：ab÷3 【对应练习】 1. 甲、乙两数的最小公倍数是78，最大公因数是13，已知甲数是26，乙数是( )。 解析：39 2. 甲、乙两数的比是2:7，它们的最大公因数和最小公倍数的和是450，则甲是( )，乙是( )。 解析：60；210 3. 已知正整数a、b之差为84，它们的最小公倍数是其最大公因数的18倍，那么a、b中较大的数是( )。 解析：108 4. 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，则这两个自然数分别是( )。 解析：24和30 【考点五】最大公因数的实际应用 【典型例题】 1. （分线段问题）2024年4月22日是第55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球 人与自然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长42米，另一条长48米，现在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳子长几米？一共能剪成几段？ 【答案】 42和48的最大公因数是：（米） （段） 答：剪成的每段绳子长6米，一共能剪成15段。 2. （分长方形问题）一张不锈钢板，长90厘米，宽70厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少块？ 【答案】 90＝2×3×3×5 70＝2×5×7 90和70的最大公因数：2×5＝10 90×70÷（10×10） ＝6300÷100 ＝63（块） 答：剪出的正方形的边长最大是10厘米，可以剪63块。 3. （复杂的应用）把42个“冰墩墩”和39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小朋友分得“冰墩墩”的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多2个，“雪容融”多3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少个“雪容融”？ 【答案】 42－2＝40（个） 39－3＝36（个） 40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和36的最大公因数是：2×2＝4 即最多有4个小朋友。 分得“冰墩墩”的个数：40÷4＝10（个） 分得“雪容融”的个数：36÷4＝9（个） 答：最多有4个小朋友，每个小朋友分得10个“冰墩墩”和9个“雪容融”。 4. （综合应用）把一个长2.31米，宽1.47米，高1.05米的长方体木料，锯成同样大小的正方体木块，要求所锯的正方体木块体积尽可能大，木料又没有剩余(不考虑锯缝损耗)，则最多可锯得的正方体木块有多少个？ 解析：385个 【对应练习】 1. 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段最长是多少厘米？ 【答案】6厘米 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是6厘米。 2. 一种大号长方形彩纸，长是45厘米，宽是30厘米。张老师想把彩纸裁成大小一样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【答案】 45的因数：1、3、5、9、15、45。 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。 45和30的公因数：1、3、5、15。 45和30的最大公因数是15。 答：正方形纸的边长最大可以是15厘米。 3. 有36支铅笔和40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多1支，而练习本少2本。获奖的少先队员有多少人？ 【答案】 36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有1、5、7、35，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，则42和35的最大公因数为：7，也就是获奖的少先队员有7人。 答：获奖的少先队员有7人。 4. 如下图，图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中阴影部分的面积为( )。 解析：5平方厘米 【考点六】最小公倍数的实际应用 【典型例题】 1. （分东西问题）有一堆总数不超过50个的苹果，不管是分给12个小朋友还是分给16个小朋友都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【答案】 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（个） 48＜50 答：这堆苹果有48个。 2. （日期问题）我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车第二次同时发车。 3. （同余数问题）现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和14的最小公倍数是2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有57个。 4. （综合应用）有一种红砖，长24厘米，宽12厘米，高5厘米，至少用( )这种砖才能拼成一个实心的正方体。 A.600块 B.800块 C.1000块 D.1200块 解析：D 【对应练习】 1. 课后服务活动小组每组有组员6人或8人。课后服务活动中，老师为激发学生兴趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员且全部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 【答案】 6＝2×3         8＝2×2×2 6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 答：老师至少要准备24份礼物。 2. 那西公交8路车和3路车早上6：25同时从公交车站出发，若8路车每35分钟发一次，3路车每20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 解析： 因为20＝2×2×5 35＝5×7 所以20和35的最小公倍数是4×5×7 ＝20×7 ＝140 6：25是6时25分 6时25分＋140分＝8时45分 答：下一次同时发车至少是8时45分。 3. 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有33人。 4. 大雪后的早晨，爸爸和儿子踏着积雪，一前一后沿着一个圆形水池从同一起点跑步锻炼。爸爸每步跑50厘米，儿子每步跑30厘米，雪地上脚印有时重合，有时不重合。一圈跑下来，共留有1099个脚印，则这个水池的直径有( )米。(π取3.14) 解析：75 5. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔，最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔。则这个圆圈上共有多少个孔? 解析：91个 【考点七】最小公倍数与容斥原理的结合 【典型例题】 园林工人要在周长为300米的圆形花坛边等距离地栽上风景树，他们首先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完40个坑时，突然接到通知，改为每隔5米挖一个坑，这样他们要完成挖坑的任务，还需要挖坑( )。 A.50个 B.51个 C.52个 D.53个 解析：C 【对应练习】 1. 在一根长100厘米的竹竿上，从左至右每隔8厘米点上做个记号，再由右至左每隔6厘米点上做个记号，一共做了( )个记号。 解析：24 2. 在一根木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成( )段。 解析：28 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$