2025年北师大版九年级数学中考一轮复习专题：四边形综合

2025年北师大版九年级数学中考一轮复习专题： 四边形综合 1．如图，在中，延长至点D，使，过点D作，且，连接交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．问题提出 （1）如图1，在矩形中，，是上一点，是上一点，连接，．当是等腰直角三角形时，求的面积． 问题解决 （2）如图2，工人师傅需要制作一个零件模板，其形状为四边形，零件要求： ，，为了后续零件安装，需要在零件上刻画一道凹槽，即在边上确定一点，沿着刻画凹槽，同时为了使零件能够符合安装规格，还要求．请你根据要求，找出点的位置并求出边的长． 3．定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形； (2)如图1，“奋进四边形”中，，． ①当，且时，求的长； ②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； (3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长． 4．【综合与实践】如图①，在矩形中，，，点分别在边，上，连接，相交于点，．若，则______； 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在平行四边形中，，，点分别在边，上，连接，相交于点，．求证：． 小明发现，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．通过等腰三角形和平行四边形的性质可证明．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 证明：如图③，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接． ， , ∵四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】如图④，在四边形中，，，，，点在边上，为的中点，连接，相交于点．若，则的长为______． 5．综合与实践 【折一折】 将边长为的正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1． （1）_____________；点到的距离是_____________（用含的代数式表示）． 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点，如图3，当点是边的三等分点时，直接写出的长（用含的代数式表示）． 6．矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接． (1)如图1，若点落在边上，求证：； (2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长； (3)若是以为底的等腰三角形，求的长． 7．综合与实践 【初步感知】如图1，点E，F是的对角线上两点，且，连接，．则与的数量关系是______； 【尝试探索】如图2，在中，E，F是斜边上两个动点，且，连接，，若．求的最小值； 【拓展应用】如图3，在中（其中），，点M，N为对角线上的两个动点，连接，．若，求的最小值． 8．如图，四边形是平行四边形，直线分别交，于点，，且，连接，，，． (1)证明：； (2)连接，，设四边形的面积为S，和的面积和为，求的值． 9．在正方形中，O为对角线的中点，点E是对角线上的动点，连接，点F在直线上（点F不与点D重合），连接，． (1)如图1，当E在线段上时，求证：； (2)如图2，若，当E在线段上，且时，求的长． 10．如图，在中，，为中点，过点，分别作，，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接交于点，若，，求的长． 11．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连结，以为边作矩形（点在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点在的中点时，点在同一直线上，求的长； (2)如图2，当时，求证：线段被平分． 12．如图1，在平面直角坐标系中，点，点．满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并，平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)直接写出 ___________ ，___________ ，B点坐标是___________； (2)点分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．当分别在边上运动时，的最小值是___________； (3)如图2，将线段绕点逆时针旋转至，连接，P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，求的面积． 13．如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． (1)旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． (2)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (3)连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 14．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线方向向终点运动，点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，点不与点和点重合．过点向边作垂线段，垂足为点，以、为邻边作平行四边形，连结．设点的运动时间为秒（）． (1)边的长度为______； (2)当点在边上运动时． ①若与相似，求出的值； ②若是以为腰的等腰三角形，求出t的值； (3)作直线，当直线将平行四边形分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 15．【问题发现】 （1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，延长交的延长线于点，求与的数量关系和位置关系． 【类比探究】（2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如图，点、、三点共线，点在线段上时，若，求的长． 16．【问题背景】 已知、分别是△的边和边上的点，且，则△△，把△绕着逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ； ②若，，，则 ； 【迁移应用】 如图3，在△和△中，，，，，点是线段上一动点，连接． ①请求出的值及的度数，并说明理由． ②如图4，点是的中点，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长． 【创新应用】 如图，，△是直角三角形，，，将△绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的取值范围． 17．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 18．综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，请求出此时的长． 19．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论，如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，过点O作的平行线，交于点E． 猜想证明： (1)“笃学”小组发现，请你证明这一结论； (2)如图2，“勤思”小组在图1中的菱形下方作菱形，其中，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)将图2中的菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），若，对角线，当，所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出点到的距离． 20．综合与探究： 如图，正方形，点在射线上，连接，过点作，交射线于点． 【问题探究】    （1）如图1，点在线段上，求证： ①； ②； （2）如图2，点在线段上，将线段沿着方向向左平移，使点与点重合，点落在上的点处，与交于点，连接，取的中点，连接，在上取点，使得，若正方形的面积为36，求的最小值； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，射线与射线相交于点，若，求的值． 参考答案 1．（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图，取的中点，连接， ∵，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴，即， 解得， ∴的长为2． 2．解：（1）在矩形中，，， ，， 在等腰中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，在上截取，连接， ， ，四边形是平行四边形， ， ，， 是等边三角形三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即点的位置是到点的距离为处，边的长为． 3．（1）解：正方形有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角， 所以正方形是“奋进四边形”； （2）①解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， ，， ； ②证明：连接、，如图： ，， ， 垂直平分， ； “奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； （3）解：，， 根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”； 当时，连接，过点作于点，如图： ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ； 当时，连接，过点作于点，如图： 则， ， ， 四边形矩形， ，， ， ； 综上分析可知，为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，并注意进行分类讨论． 4．解：[综合与实践] ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [类比探究] 证明：如图③，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴． [拓展迁移] ∵， ∴，， 如图所示，延长作延长线的垂线，垂足为点，则， ∴，， ∵，点是的中点， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， 如图所示，过点作的平行线，交延长于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接，则四边形是平行四边形，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 5．解：（1）由折叠的性质得． ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． ∵， ∴点A到的距离． 故答案为：，a； （2）结论：不变，仍然等于a． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点A到的距离等于a， ∴点A到的距离等于a； （3）∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，； 当时，． 所以的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（1）证明：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ； （2）解：如图2，，，三点在同一条直线上， 四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， ， 是的中点， ， 在矩形中， ，，， ， ， 如图，连接， 是的中点，， ， ， 点是的中点， 是的中位线 ，， 由翻折可知：，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， ， ， ； （3）解： 如图，延长交于点， ，， ， ， 四边形为矩形， 当以为底的等腰三角形时，则， ，，， ， ， 设，则， 在中，， 则可得， 可得， ， ， ， 在中，， 即， 解得，即． 7．解：初步感知：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 尝试探索：过作，过作交于，连接，， ∵中，，斜边， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴当在上时，最小； 拓展应用：如图，取中点，过作于，，取中点，过作，，连接交于，过作于，交于，连接； ∵中点为，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∴， ∵中点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线，且与重合时，最小， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，，， 则，，， 中，，，则，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例． 8．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，且， ∴，， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵四边形和都是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能得到是解题的关键． 9．（1）解：如图1，过点 作于点， 于点 ． 四边形是正方形， ， 又点E是对角线上的点，， ，． 和 都是等腰直角三角形，即 ， ， ， 四边形是正方形． 在和 中，，， ，． ，，即， ． （2）解：如图2，连接，过E作于H． ∵四边形为正方形，点E是对角线上的点， ，，，， 又∵，∴是等腰直角三角形，∴． 又∵，∴， ∴是等腰三角形， ∴． 在中 ， 设， 在中 ， 则，， ∴，，，． 10．（1）证明：由题意得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，点为中点， ，即， ∴四边形为矩形； （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴，则 解得： ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解题的关键． 11．（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：过点作于点，与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即线段被平分． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（1）解：满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并， ，， ，； ，， ， 即， 故答案为：6，4，； （2）解：连接，如图1， 、分别是、的中点， 是的中位线， ． 当时，有最小值，即有最小值， ，，， ，， 由题意可知四边形是平行四边形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （3）解：由题意可知，，， ， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， 如图2，过作于， ， ， ， ， ， △的面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 13．（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵与重合， ∴， ∴将绕点顺时针方向旋转时，， ∴是等腰三角形， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：第一种情况，如图所示，点在上时， ∴，，， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在延长线时， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：能，或，理由如下， 第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 由（1）可得，，， ∴设， ∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，点是中点， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴； 第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， ∵与重合， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， 过点作与点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，能构成以为直角边的，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 14．（1）解：在中，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ①第一种情况，如图所示，若时，则， ∴， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，，则点在线段上， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，或； ②第一种情况，如图所示，， 同理，设，则， ∴， 解得，， ∴， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，或； （3）解：第一种情况，当点在上时， 在中，，， 如图所示，设与交于点， ∵直线将平行四边形分成面积比为的两部分， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，当点在上时，设点在上运动的时间为秒，设与交于点，过点作，交于点，过点作于点， ∴，则， ∴，， ∵直线将平行四边形分成面积比为的两部分， ∴同理可得，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 15．解：（1）如图1，设和的延长线交于，和交于，   四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：，； （2）如图2，作于，     四边形是矩形， ， ，， ， 由得，， ， ， 在中，，， ， ， 矩形矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是正确理解题意，作辅助线，构造直角三角形． 16．解：【问题背景】①如图2中，△△， ， ， ， ， △△． 故答案为：； ②， ， ， ； 故答案为：3； 【迁移应用】①，， ， ， ， ，， ； ， ， ， ， ； ②同①得：， ， ， ， ，即， 当点与重合时，点与重合，的中点记为； 当点与重合时，点是的延长线与的延长线的交点，记为，如图4所示： 则点的运动轨迹为，是△的中位线， ， ，， △△， ， 即，， ， ，即点经过的路径长为； 【创新应用】如图5中，过点A作于点，过点作于点，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题． 17．（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 18．（1）解：四边形是菱形，理由如下， 将矩形纸片折叠，使点B落在点处， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：①； 理由：四边形是矩形， ，，，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ， ， 将矩形纸片折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为， ，， ， ， ， ； ②如图，点在线段上时，设与交于点G， 四边形是矩形， ， 由①知， ， ， ， 与是折叠图形中的对应角， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ； 如图，点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点H， ， ， ， ， ， ， 即， ， 同理可得， ， 解得， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，针对点的位置进行讨论是解题的关键． 19．（1）证明：在菱形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：四边形为矩形，理由如下： 证明：在菱形和菱形中， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （3）解：，，菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为M， ①点M在上时，连接，连接，交于点O，如图3， ∵四边形，是菱形， ∴， 则旋转后， ∵， ∴， ∴旋转角， ∵， ∴ ∵四边形是菱形，， ∴， ∴点落在上， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； ②点M在延长线上时， 同上可得：， ∴， ∴， ∴点落在延长线上， 此时， ∴在中，， 综上所述：点M在延长线上时，当，所在直线与所在直线互相垂直时，点到的距离为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合性强，对图形的旋转变化的画图能力要求比较高，难点在于最后一问容易漏解． 20．（1）①证明：正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ； （2）解：线段沿着方向向左平移， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ， 正方形的面积为36， ， ， ， 在的延长线上取，连接，， ， 三点共线时，最小， 此时， 在中， ， ，， ； （3）解：当N在线段的延长线上时，作于， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； 当N在线段上时，作于， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$