精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

华科附中2024-2025学年度上学期高二年级12月月考 数学试题 考试时间：2024年12月24日 试卷满分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每份面包从小到大为等差数列，公差为，解方程即可得解. 【详解】设每份面包从小到大为等差数列，公差为， 可得， 所以， 解得. 故选：B. 2. 已知D为三棱锥棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，即得. 【详解】∵D为三棱锥棱的中点， ∴. 故选：C. 3. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（ ） A. B. 34 C. 52 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合向量数量积的运算律求向量的模长. 【详解】由，又底面是正方形，，且， 所以， 故. 故选：D 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式，依据题意列方程组，解方程组解出和，从而得出通项公式，进而即可得到． 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由， 则有，解得， 所以等差数列的通项公式为， 故． 故选：B． 5. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】   过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 6. 高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 【答案】B 【解析】 【分析】记第n层有个球，则根据题意可得，再根据累加法与等差数列的求和公式即可得解. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，， 则第30层的小球个数为 . 故选：B 7. 设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求点的坐标，再代入数量积公式，即可求解. 【详解】设点，依题意得， 而，所以， 又=1，所以， 所以. 故选：B 8. 已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设,则由直线恰好是以为直径的圆的切线,可得，再利用点差的方法可得，即得，从而可得的关系，即可求得椭圆离心率. 【详解】依题意，设， 直线的斜率一定存在,分别为， 直线恰好是以为直径的圆的切线,则,则, 则，∴， ∵，两式相减得， ∴，即， ∴，∴，∴， ∴椭圆的离心率， 故选:D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为1，下列结论正确的是（ ） A. 若P在棱AB上运动，则直线与直线所成的夹角一定为 B. 若P在棱AB上运动，则三棱锥的体积为 C. 若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为 D. 若P在内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据即可判断B；易得动点的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，即可判断C；平面，可得即为直线与平面ABC所成角，再进行分析即可判断D. 【详解】对于A，连接，则平面， 又平面，， 又，平面，平面， 平面， 又平面，， 所以直线与直线所成的夹角一定为，故A正确； 对于B，连接PC，，， 则三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 平面，∴点P到平面的距离，为定值1， 即三棱锥的高为1，底面三角形的面积为，，故B正确； 对于C，因为P满足， 则动点的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一， 所以P点的轨迹的长度为，故C错误； 对于D，在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABC所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， 所以当P与O重合时，最小，此时， 当P与B重合时，最大，此时， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的外接圆面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，结合椭圆定义求解判断A；利用离心率定义判断B；确定三角形形状求解判断CD . 【详解】由，得椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距， 由是椭圆上的点，得，而， 对于A，，，A正确； 对于B，离心率为，B正确； 对于C，，得为直角三角形，， ，C错误； 对于D，由选项C知，的外接圆直径为线段，则该圆半径为，面积为，D正确. 故选：ABD 11. 关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（   ） A. 若数列为等比数列，且其前项的和，则 B. 若数列为等比数列，且，则 C. 若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D. 若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 【答案】CD 【解析】 【分析】求出的值判断A；利用等比数列的性质计算判断B；举例说明判断C；求出与公差的关系判断D. 【详解】对于A，由，得， 又数列为等比数列，则，解得，经验证符合题意，A正确； 对于B，等比数列中，由，得，则，B正确； 对于C，等比数列的公比，为偶数时，，，，，…不成等比数列，C错误； 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以数列的前6项和有最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时n等于，D错误. 故选：CD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 数列成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若，，则_______． 【答案】或1 【解析】 【分析】列出关于等比数列的公比为q方程，再解方程求出q. 【详解】等比数列的公比为q，由，得， 整理得，解得或， 所以或. 故答案为：或1 13. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 14. 抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点,射线与抛物线交于点，与抛物线准线交于点．若成等差数列，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意作出大致图像，得到为中点，结合成等差数列，得到，由共线向量求出点代入抛物线方程求得点坐标，求出. 【详解】由题意可知：，设，准线方程 如图： ∴点为中点，即， 又∵成等差数列，∴， ∴，即， ∴，又∵在抛物线上，∴，∴， ∴. 故答案为：10. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆． （1）过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角 （2）点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系； 【答案】（1） （2）两圆相离 【解析】 【分析】（1）设，根据两条切线的夹角是，得到，列出方程，求得，进而得到点的坐标； （2）设点，结合，求得点P的轨迹，根据圆与圆的位置关系的判断方法，即可得到两圆的位置关系. 【小问1详解】 解：由点在直线上，可设， 又由圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离为，可得，则直线与圆相离， 因为两条切线的夹角是，所以， 则，即，解得， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 解：设，且，， 因为，可得，化简得， 可得圆心距，此时， 所以圆与圆相离. 16. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 【答案】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）99 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，进而求证即可； （2）由（1）得，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 17. 如图，三棱锥中，是边长为的正三角形，，底面于点，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 证明：因为， 所以，所以. 因为为正三角形，所以. 又由已知可知为平面四边形，所以. 因为平面平面， 所以平面； （2） （3）不存在，理由如下： 假如存在平面，则， 又，且， ∴平面，又平面，∴， 由（2）可得：， 因为，所以与不垂直， 所以在棱上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）推导出，又为平面四边形，从而，由此能证明平面； （2）由点在平面上的射影为可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，运用向量法求出二面角的余弦值； （3）由（2）求出，由，得出在线段上不存在点使得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 易知平面的一个法向量为， 设为平面的法向量， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以. 由题意及图形知，二面角是钝二面角， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 略 18. 已知圆锥曲线上的点的坐标满足． （1）说明是什么图形，并写出其标准方程； （2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为． ①求直线在轴上的截距的取值范围； ②求证：的平分线总垂直于轴． 【答案】（1）是以，为焦点，长轴长为的椭圆，标准方程为； （2）①； ②因为点在椭圆上，若直线过点，即点（或点）与重合， 则与的另一个交点为，不合题意，所以点（或点）与不重合； 若或的斜率不存在，则直线过点，此时，与只有一个交点， 所以与的斜率都存在， 设直线的斜率为，直线的斜率为，因为，在轴的右侧，结合图象，可知， 要证的平分线总垂直于轴，只要证， 因为，，也即证：， 而 成立， 故的平分线总垂直于轴． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义直接求解即可； （2）①设直线：，，，进而与椭圆方程联立，并结合判别式求解即可；②由于点在椭圆上得点（或点）与不重合且与的斜率都存在，再设直线的斜率为，直线的斜率为，将问题转化为求解. 【小问1详解】 圆锥曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 其标准方程为； 【小问2详解】 ①设直线：，，， 由，消去，得， 由题意，有，解得， 所以直线在轴上的截距的取值范围为； ②略 19. 如图，直线与相交于点M.直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，….点的横坐标构成数列. （1）求的值，并求与的关系式； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和. 【答案】（1），，，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直线的方程，求得的值，再由和，进而得到； （2）由（1）化简得到，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而求得的通项公式； （3）由（2）知，得到，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，即可求得数列的前n项和. 【小问1详解】 解：由直线，令，可得，即，所以， 又由，令，可得，即， 可得，所以，，所以，所以， 因为，所以，所以， 故，即； 【小问2详解】 解：由（1）知：，所以，，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以的通项公式. 【小问3详解】 解：因为，所以， 设， 则， 两式相减，得 ， 所以， 又由， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华科附中2024-2025学年度上学期高二年级12月月考 数学试题 考试时间：2024年12月24日 试卷满分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 2. 已知D为三棱锥棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（ ） A. B. 34 C. 52 D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 5. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 6. 高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 7. 设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为1，下列结论正确的是（ ） A. 若P在棱AB上运动，则直线与直线所成的夹角一定为 B. 若P在棱AB上运动，则三棱锥的体积为 C. 若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为 D. 若P在内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为 10. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的外接圆面积为 11. 关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（   ） A. 若数列为等比数列，且其前项的和，则 B. 若数列为等比数列，且，则 C. 若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D. 若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 数列成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若，，则_______． 13. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 14. 抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点,射线与抛物线交于点，与抛物线准线交于点．若成等差数列，则_______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆． （1）过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角 （2）点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系； 16. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 17. 如图，三棱锥中，是边长为的正三角形，，底面于点，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 18. 已知圆锥曲线上的点的坐标满足． （1）说明是什么图形，并写出其标准方程； （2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为． ①求直线在轴上的截距的取值范围； ②求证：的平分线总垂直于轴． 19. 如图，直线与相交于点M.直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，….点的横坐标构成数列. （1）求的值，并求与的关系式； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $