精品解析：江西省六校2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试题

2024-2025学年度下学期第一次月考试卷 高二数学 2025年4月 说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在正项等比数列中，若，则等于（ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列下标和的性质计算可得结果. 【详解】由得，， ∵数列为正项等比数列，∴. 故选：A. 2. 与直线垂直，且与曲线相切的直线l与两坐标轴围成三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求切线方程，再求所围成三角形的面积. 【详解】与直线垂直的直线的斜率为， 设直线与曲线相切于点，， 所以，得， 所以直线的方程为，即， 当时，，时，， 所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：B 3. 用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意代入即可得结果. 【详解】因为， 当时，左边，故C正确. 故选：C. 4. 在数列中，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用列举法判断数列的周期，再求值. 【详解】由题意可知，，， 所以，，，， 所以数列的周期为3的数列，则. 故选：C 5. 若函数在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出极限值. 【详解】依题意，. 故选：D 6. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可得函数的图象关于点中心对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性质可求得结果. 【详解】∵，∴， 由得，， 令得，故函数的图象关于点中心对称. ∵数列为等差数列， ∴， ∴， ∴数列的前项和为：. 故选：A. 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 8. 已知是数列的前n项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推关系得到，再由等比数列的性质可得A错误；由递推关系分别求出，，然后由等比数列的性质可得B错误；由递推关系构造数列为等比数列，然后求出通项，再由等比数列的求和公式可得C正确、D错误. 【详解】对于A，由题意得：，， 由于，故数列不是等比数列，故A错误； 对于B，则，，， 由于，故数列不为等比数列，故B错误； 对于C、D，时，，即， 又， 故为等比数列，首项为2，公比为3， 故， 故，， ，故C正确，D错误． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式结合复合函数的导数的运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 当且仅当时，取到最大值 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式可得，选项A错误；利用等差数列下标和性质可得，选项B正确；分析数列中各项的正负可得选项C正确；利用可得选项D错误. 【详解】A.由题意得，， ∴，故等差数列为递减数列，A错误. B.由得，， ∴， ∴，故B正确. C.由B得，， ∵等差数列为递减数列，∴， ∴当时，，当时，， ∴当且仅当时，取到最大值，C正确. D.由题意得，，D错误. 故选：BC. 11. 斐波那契数列（），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多．斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以的递推方法定义，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可得选项A错误，选项D正确；通过递推公式变形可得选项B正确；利用递推公式计算可得选项C错误. 【详解】A.，故A错误. B.，故B正确. C.∵，，（，）， ∴，，，，故，故C错误. D.，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 【答案】-12 【解析】 【分析】首先利用导数的运算法则求，再代入求的值. 【详解】，，得， 所以，则. 故答案为： 13. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布尺（市制长度单位），从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，现个月（按天计）共织尺布，则第天比前一天多织布________尺．（结果用分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】记第天织布尺，由题意可知数列为等差数列，设其公差为，设其前项和为，由可求出的值，即为所求. 【详解】记第天织布尺，由题意可知数列为等差数列， 设其公差为，设其前项和为， 由题意可得，，解得. 故答案为：. 14. 若函数在处的切线与的图象有三个公共点，则k的范围________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用导数的几何意义求切线方程，再转化为切线与在有两个不同的解，利用参变分离转化为二次函数图象问题，即可求解. 【详解】，，，所以切线方程为， ，，， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以与只有1个交点，交点坐标为， 由题意可知：在有两个不同的解， ，， 函数在区间单调递减，在区间单调递增， 且在区间的值域为， 若与在区间有两个交点， 则的范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设点为曲线上任意一点， （1）求曲线在点处切线倾斜角的取值范围； （2）求过点且与曲线相切的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，得到，即可求解； （2）设切点为，利用导数的几可意义，得到切线方程为，结合题设条件得到，即可求解. 【小问1详解】 由题知，得到， 又，且，所以倾斜角的范围为. 【小问2详解】 设切点为，由导数的几可何意义知，切线斜率， 又，则切线方程为， 又切线方程过点，则， 整理得到，解得或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 所以所求切线方程为或． 16. 已知数列的首项，的前项和为且满足 （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） 证明：因为，即， 所以，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，再由求出的通项公式，最后利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 当时， 所以， 当时也成立，所以， 所以， 所以①， ②， ①②得， 则， 所以． 17. 已知等差数列为递增数列，且满足，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和的最大值，最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由等差数列下标的性质构成方程组解出，再结合等差数列的性质求出公差和首项，然后可得； （2）由裂项可得，求和后再根据单调性法可得最值. 【小问1详解】 等差数列为递增数列，且满足， ， 即，解得， 所以，， 所以通项公式为． 【小问2详解】 由（1）可得，， 设数列的前n项和为，则， 当n为奇数时，所以， 随着n的增大而减小，可得； 当n为偶数时，随着n的增大而增大，可得． 故的最大值为，最小值为. 18. 已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在两条直线或满足题意. 【解析】 【分析】（1）根据导函数得出切线斜率，再应用点斜式即可得出切线方程； （2）先设切点，，再分别写出切线方程，对应相等列式，结合指对数运算即可求解. 【小问1详解】 当时，，，， 则在点处的切线方程为； 【小问2详解】 若，设直线与曲线相切于点，则，， 直线与曲线在点处的切线方程为， 设直线与曲线相切于点，则， 直线与曲线在点处的切线方程， 由题意可知： 由①得，将与代入②得 所以或， 所以存在两条直线或与曲线和都相切． 19. 已知数列满足，（） （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围； （3）记，，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：因为， 所以是递减数列， 所以，所以， 所以 原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）应用已知变形作商即可得出通项公式； （2）应用等比数列的求和公式计算结合函数单调性计算求参； （3）根据通项公式变形放缩再应用裂项相消计算证明. 【小问1详解】 因为， 当时，， 两式作商，， 时，也符合上式， . 【小问2详解】 由（1）可知 不等式对恒成立，且， ． 令，在上单调递减，在上单调递增 ，当时，， 当时，， 的取值范围为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期第一次月考试卷 高二数学 2025年4月 说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在正项等比数列中，若，则等于（ ） A. B. 8 C. D. 4 2. 与直线垂直，且与曲线相切的直线l与两坐标轴围成三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 在数列中，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 1 5. 若函数在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是数列的前n项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 当且仅当时，取到最大值 D. 11. 斐波那契数列（），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多．斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以的递推方法定义，已知，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 13. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布尺（市制长度单位），从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，现个月（按天计）共织尺布，则第天比前一天多织布________尺．（结果用分数表示） 14. 若函数在处的切线与的图象有三个公共点，则k的范围________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设点为曲线上任意一点， （1）求曲线在点处切线倾斜角的取值范围； （2）求过点且与曲线相切的直线方程． 16. 已知数列的首项，的前项和为且满足 （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知等差数列为递增数列，且满足，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和的最大值，最小值． 18. 已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列满足，（） （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围； （3）记，，数列的前项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $