冲刺2025年中考数学之二次函数铅锤高最值系列 讲义

冲刺2025年中考之铅锤高系列最值 类型一、简单的铅锤高和水平宽 做法：铅锤高巧设共同横坐标，纵坐标y上-y下即可；水平宽巧设二次函数的点坐标，与一次函数有共同纵坐标，代入一次函数求横坐标，然后x右-x左即可。 例1、如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 例2、如图1，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0），点B与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线C1表达式； （2）连结AC，点D为抛物线C1在第一象限部分上的点，作ED∥x轴交AC于点E，若DE＝1，求D点的横坐标； （3）如图3，将抛物线C1平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线C2，过点F（0，﹣1）作不与x轴平行的直线交C2于M，N两点．在y轴正半轴上是否存在点P，满足对任意的M，N都有直线PM和PN关于y轴对称？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 例4、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求PM+2BH的最大值； （4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值． 模考题练习 （2024长清一模）25．（12分）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标； （3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 类型二、化斜为直 做法：过二次函数上的动点作y轴平行线，与一次函数相交于某一点，从而出出现相似三角形，按对应边成比例求解最值即可。 例1、抛物线L：经过点，与它的对称轴直线交于点B． （1）求抛物线L解析式； （2）抛物线L与x正半轴交于点N，E在直线上方的抛物线上，过点E作，垂足为H，求的最大值； （3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞-3，当m＜0时，表示向下平移）个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标． 例2、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥BC于点E，过点P作y轴的平行线交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位后得到新抛物线y'．点M为平移后的新抛物线y'的对称轴上一点．在平面内确定一点N．使得四边形AMPN是菱形，请求出符合条件的点N的坐标． 例3、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式． （2）D为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点E，若，求点D坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 例4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 例5、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ． （1）求抛物线的解析式； （2）线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． （3）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为，的面积为，求的最大值． 例6、图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．P是抛物线上一点，且在直线的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点E为中点，作轴交于点Q，若四边形为平行四边形，求点P横坐标； （3）如图3，连结AC、AP，AP交BC于点M，作PH∥AC交BC于点H．记△PHM，△PMC，△CAM的面积分别为S1，S2，S3．判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 模考题练习 （2024高新二模）26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点M，过点P作交于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）把原抛物线）沿射线方向平移8个单位，点E为平移后新抛物线对称轴上的一点，连接，将沿直线翻折，使得点E的对应点点Q落在坐标轴上．写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程． （2024槐荫二模）25. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的最大值． （3）如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． （2024市中二模）25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）①请用含m代数式表示线段的长______； ②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； （3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值． （2024章丘二模）25. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值． （3）点为抛物线对称轴上一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． （2024长清二模前测）25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，交x轴于点Q,过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值． （2024天桥三模）26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于，B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； （3）如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2024实验初中三模）25. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）直接写出直线的解析式； （2）如图1，D在第二象限内抛物线上，交于点E，连接，若，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线，分别交x轴交于P，Q两点，若，求点H的坐标． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 冲刺2025年中考之铅锤高系列最值 类型一、简单的铅锤高和水平宽 做法：铅锤高巧设共同横坐标，纵坐标y上-y下即可；水平宽巧设二次函数的点坐标，与一次函数有共同纵坐标，代入一次函数求横坐标，然后x右-x左即可。 例1、如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． 【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【解析】 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 例2、如图1，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0），点B与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线C1表达式； （2）连结AC，点D为抛物线C1在第一象限部分上的点，作ED∥x轴交AC于点E，若DE＝1，求D点的横坐标； （3）如图3，将抛物线C1平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线C2，过点F（0，﹣1）作不与x轴平行的直线交C2于M，N两点．在y轴正半轴上是否存在点P，满足对任意的M，N都有直线PM和PN关于y轴对称？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线C1表达式为y＝﹣x2+x+3； （2）由A（3，0），C（0，3）可得直线AC解析式为y＝﹣x+3， 设D（t，﹣t2+t+3）， 在y＝﹣x+3中，令y＝﹣t2+t+3得x＝t2﹣t， ∴E（t2﹣t，﹣t2+t+3）， ∵DE＝1， ∴t﹣（t2﹣t）＝1， 解得t＝1或t＝2， ∴D的坐标为（1，3）或（2，2）； （3）在y轴正半轴上存在点P，满足对任意的M，N都有直线PM和PN关于y轴对称，理由如下： 过M作MG⊥y轴于G，过N作NH⊥y轴于H，如图： 设P（0，p）， ∵将抛物线C1平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线C2， ∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2， ∵直线MN过点F（0，﹣1）， ∴设直线MN解析式为y＝kx﹣1，M（xM，kxM﹣1），N（xN，kxN﹣1）， 由﹣x2＝kx﹣1得﹣x2﹣kx+1＝0， ∴xM，xN是﹣x2﹣kx+1＝0的两根， ∴xM+xN＝﹣2k，xM•xN＝﹣2， ∵直线PM和PN关于y轴对称， ∴∠MPG＝∠NPH， ∵∠PGM＝90°＝∠PHN， ∴△PMG∽△PNH， ∴＝， ∴＝， 整理得：（xM+xN）（p+1）＝2kxM•xN， ∴﹣2k•（p+1）＝2k×（﹣2）， 解得p＝1， ∴P（0，1）， ∴在y轴正半轴上存在点P，满足对任意的M，N都有直线PM和PN关于y轴对称，此时P的坐标为（0，1）． 例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【解析】 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可； （2）设交于H，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，设交于H， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，取得最大值，此时； 小问3详解】 解：由题意得：平移后抛物线解析式为，， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴点N的坐标为； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴点N的坐标为； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程． 例4、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求PM+2BH的最大值； （4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， ∴a＝1， ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； （2）A′不在抛物线上；理由如下： 过点A′作A′D⊥y轴，∠AOC＝∠CDA′＝90°， ∵旋转， ∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°， ∴∠ACO＝∠CA′D＝90°﹣∠A′CD， ∴△ACO≌△CA′D， ∴OA＝CD，OC＝A′D， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴OA＝CD＝1，OC＝A′D＝3， ∴OD＝2， ∴A′（3，﹣2）， ∵y＝x2﹣2x﹣3，当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0， ∴A′（3，﹣2）不在抛物线上； （3）∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴设直线BC：y＝kx﹣3，将B（3，0）代入，得：k＝1， ∴y＝x﹣3； 设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）． ∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m．，BH＝3﹣m． ∴． 当时，PM+2BH取最大值，最大值为． （4）∵P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），C（0，﹣3）， ∴PM＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m，CM2＝2m2，CP2＝m2+（m2﹣2m）2， 当△PMC是等腰三角形时，分三种情况， ①PM＝CM时，则：（﹣m2+3m）2＝2m2， 解得：（舍），m＝0（舍），； ②PM＝CP时，则：（﹣m2+3m）2＝m2+（m2﹣2m）2， 解得：m＝0（舍），m＝2； ③CM＝CP时，则：2m2＝m2+（m2﹣2m）2， 解得：m＝0（舍），m＝3（舍），m＝1； 综上：m＝1，m＝2，． 模考题练习 （2024长清一模）25．（12分）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标； （3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴A（0，3）， 令y＝0，则x＝6， ∴C（6，0）， 将A（0，3），C（6，0）代入y＝x2+bx+c， ∴， ∴， ∴y＝﹣x2+x+3； （2）连接OM，如图1， 设M（x，﹣）， 令y＝0，得， 解得：x＝﹣2或x＝6， ∴B（﹣2，0）； S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM ＝×3×2+x×3+×2（） ＝x2+x+12 ＝（x﹣3）x2+， ∴当x＝3时，四边形ABCM面积最大，其最大值为；此时M的坐标为（3，）； （3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A'，如图2： ∴PO'＝PO＝m，O'A'＝OA＝3， ∴O'（m，m），A'（m+3，m）， 当点A'（m+3，m）在抛物线上时，得：（m+3）2+（m+3）+3＝m， 解得：m＝﹣3±2； 当点O'（m，m）在抛物线上时，得：m2+m+3＝m， 解得：m＝±2； ∴当﹣3﹣2≤m≤﹣2或﹣3+2≤m≤2时，线段O'A'与抛物线 只有一个公共点． 类型二、化斜为直 做法：过二次函数上的动点作y轴平行线，与一次函数相交于某一点，从而出出现相似三角形，按对应边成比例求解最值即可。 例1、抛物线L：经过点，与它的对称轴直线交于点B． （1）求抛物线L解析式； （2）抛物线L与x正半轴交于点N，E在直线上方的抛物线上，过点E作，垂足为H，求的最大值； （3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞-3，当m＜0时，表示向下平移）个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标． 【解析】 【分析】（1）根据经过点，它的对称轴直线，利用待定系数法进行求解可即得； （2）过点E作轴于G，交于点K，则轴，可证明，再根据点A，N的坐标可得到是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，继而得到最大时，最大，再求出直线的解析式，设点，则点，可得关于m的函数解析式，即可求解； （3）设抛物线的解析式为，可得点C，D的坐标，设，则，，当时，可得；当时， ，再分两种情况：当方程①有两个相等实数根时；当方程①有两个不相等的实数根时，是方程①的一个根，即可求解． 【小问1详解】 解：∵经过点，它的对称轴直线， ∴，解得：， ∴抛物线L的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点E作轴于G，交于点K，则轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最大时，最大， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴最大值为； 【小问3详解】 解：根据题意得：，即， 设抛物线的解析式为， 令，， ∴， ∵轴， ∴，即， 设，则，， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 当方程①有两个相等实数根时， ， 解得：或， ∵， ∴， ∴此时方程①的根为， 方程②有一个实数根， ∴，点P的坐标为或； 当方程①有两个不相等的实数根时，是方程①的一个根， 把②代入①，得：， 解得：或， ∵， ∴， 此时，方程①有两个不相等的实数根， 方程②有一个实数根， ∴，此时点P的坐标为或； 综上，当时，点P的坐标为或；当时，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，得到是等腰直角三角形是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键 例2、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥BC于点E，过点P作y轴的平行线交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位后得到新抛物线y'．点M为平移后的新抛物线y'的对称轴上一点．在平面内确定一点N．使得四边形AMPN是菱形，请求出符合条件的点N的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x+4． （2）令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4． ∵A（﹣1，0），B（4，0）， ∴OA＝1，OB＝4． ∴OB＝OC＝4， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°． 设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4． 设P（m，﹣m2+3m+4）， ∵点P是直线BC上方抛物线上的一动点， ∴0＜m＜4． ∵PF∥y轴， ∴F（m，﹣m+4）， ∴PF＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4． ∵PF∥y轴， ∴∠PFE＝∠OCB＝45°． ∵PE⊥BC， ∴△PEF为等腰直角三角形， ∴PE＝EF＝PF， ∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝（+1）PF＝﹣（+1）（m﹣2）2+4+4． ∵﹣（+1）＜0， ∴当m＝2时，△PEF周长取得最大值为4+4，此时点P的坐标为（2，6）； （3）∵将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位， ∴新抛物线y'是由抛物线y＝﹣x2+3x+4向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到， ∴新抛物线y'的解析式为y＝﹣（x﹣）2+． ∴新抛物线y'的对称轴为直线x＝． ∵四边形AMPN是菱形， ∴AP为菱形AMPN的对角线． 设直线AP的解析式为y＝mx+c， ∵P的坐标为（2，6），A（﹣1，0）， ∴， ∴， ∴直线AP的解析式为y＝2x+2． ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴直线MN的解析式为y＝﹣x+d． ∵线段AP的中点为（，3）， ∴+d＝3，∴d＝， ∴直线MN的解析式为y＝﹣x， 当x＝时，y＝+＝， ∴M（，）． 设N（x，y）， ∴， ∴． ∴N（﹣，）． 例3、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式． （2）D为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点E，若，求点D坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）分别令和代入中可得点和点的坐标,利用待定系数法求抛物线的函数解析式； （2）①过点作轴于，交于点，证明，设点，，根据相似三角形性质建立方程求解即可； ②过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，先证明，然后设点，应用三角函数定义建立方程求解． 【小问1详解】 在中，令时，， ， 令时，， ， , 把，代入中得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 ①如图1，过点作轴于，交于点， 设点，， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 即：， ， 解得：，， 点为直线上方抛物线上的点， 的坐标为或； ②存在点，使得，理由如下： 如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点， ， ， ， 在中，，， ， ， 设点，则，， ， 解得：， 点的坐标为； 存在点，使得，此时点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、相似三角形判定与性质、平行线的性质、三角函数定义以及两函数的交点问题．熟练掌握二次函数的性质，相似三角形性质与判定以及正确添加辅助线是解答此题的关键． 例4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），根据已知条件求得点C的坐标代入解析式求得a值，即可得抛物线的解析式； （2）作PE⊥x轴于E，交BC于F，易证△CMD∽△FMP，根据相似三角形的性质可得m=，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），用n表示出PF的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可； （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分DP是矩形的边和DP是矩形的对角线两种情况求点N的坐标． 【详解】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4）， ∵OC=2OA，OA=2， ∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣， ∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+． （2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F． ∵CD∥PE， ∴△CMD∽△FMP， ∴m==， ∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）， ∵BC的解析式为y=﹣x+4， 设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4）， ∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2， ∴m==﹣（n﹣2）2+， ∵﹣＜0， ∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）． （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． ①当DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时， 有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=， ∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0）， 由△DOE∽△QOD可得=， ∴OD2=OE•OQ, ∴1=•OQ， ∴OQ=， ∴Q（，0）． 根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N， ∴N（2+，4﹣1），即N（，3） b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时， ∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD， ∴直线PQ的解析式为y=﹣x+， ∴Q（8，0）， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）． ②当DP对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13， ∵Q是直角顶点， ∴QD2+QP2=PD2， ∴x2+1+（x﹣2）2+16=13， 整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）． 【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用 例5、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ． （1）求抛物线的解析式； （2）线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． （3）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为，的面积为，求的最大值． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论； （2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论； （3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴， 将、的坐标代入 得： ∴ ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由， 令，即， 解得：， ∴， ∴， ∴ 作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当时，的最小值为； 【小问3详解】 如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于， 设直线解析式为：， 由(1)得：， 将， 分别代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， ，故的横坐标，代入，得：， ， ， 设，则， ， 轴于点，轴， ， ， ， 将、分别看作、为底边，则它们的高相同， ， ， 时，有最大值，最大值为 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点的横坐标，并正确表达面积的比值 例6、图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．P是抛物线上一点，且在直线的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点E为中点，作轴交于点Q，若四边形为平行四边形，求点P横坐标； （3）如图3，连结AC、AP，AP交BC于点M，作PH∥AC交BC于点H．记△PHM，△PMC，△CAM的面积分别为S1，S2，S3．判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标是，则，由四边形为平行四边形，E为中点可以得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，求得，即可得到点P的横坐标； （3）由得到 ，作交y轴于N，作轴交于Q，则，，求出,再证明，设，则，得到，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 ∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴， 【小问2详解】 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∵四边形为平行四边形，E为中点， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴直线的解析式为， 设， ∴， ， ， ∴点P的横坐标为； 【小问3详解】 ∵， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， ∴，， ∴， ∴,, ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ． ∴最大值． 即存在最大值，最大值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 模考题练习 （2024高新二模）26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点M，过点P作交于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）把原抛物线）沿射线方向平移8个单位，点E为平移后新抛物线对称轴上的一点，连接，将沿直线翻折，使得点E的对应点点Q落在坐标轴上．写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程． 【小问1详解】 解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵当时，有最大值，最大值为， ∴此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∴把原抛物线）沿射线方向平移8个单位，相当于把抛物线向右移动4个单位，向上移动个单位， ∵原抛物线对称轴为直线， ∴平移后的抛物线对称轴为直线； 如下图所示，当点E在x轴上下且点Q在y轴上时，设直线于直线交于H， 在中，当时，， ∴； 由（2）得， ∵， ∴， 由翻折的性质可得， ∴是等边三角形， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； 如下图所示，当点E在x轴下方，且点Q恰好在x轴上时，设直线于轴交于H， 由翻折的性质可得， 由（2）得，即， ∴， ∴直线与y轴所夹的锐角和直线与直线所夹的锐角相同， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． （2024槐荫二模）25. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的最大值． （3）如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）根据求出点C的坐标，再把点A，C坐标代入，求出a，c的值即可； （2）求出直线的解析式，设，求出的长，再根据二次函数的性质可得出的最大值； （3）根据勾股定理求出的值，证明，得，得一元二次方程，求出方程的解即可得出点P的横坐标． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 把代入，得：，解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 如图1，过点作于点， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． ， 最大值为． 【小问3详解】 存在点使得，此时点的横坐标为1或． 理由如下： 如图2，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 轴， ， ， ， ，， 同理可得，， ， 在中，， 在对称轴上，则， ， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ，解得，， 存在点使得，此时点的横坐标为1或． （2024市中二模）25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N． （1）求抛物线的解析式和点B的坐标； （2）①请用含m代数式表示线段的长______； ②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； （3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值． 【小问1详解】 抛物线经过两点， 将代入抛物线得， ，解得 抛物线的函数关系式为， 令，得到 解得（舍），，则B点坐标为； 【小问2详解】 ①设直线的解析式为， 由点的坐标得，解得 直线的表达式为：， 设点 则点 则， 而 则 因为， 则 ， 则 ， 故答案为：； ②存在． 如图，过点C作，交直线于D， ， 四边形是矩形， ， ， ， 当时， 则， ， 由①知，， ， 化简得， 解得， 点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ． 【小问3详解】 或． 点的坐标分别为， 解析式 则 ①当时，如图1， 图1 则， ， ， 由勾股定理得， ， 解得或（舍去）， ②当时，如图2， 图2 ， ， 由勾股定理得， 即 （，放舍去） ③当时，点Q在的垂直平分线上， ， ∴点B在的垂直平分线上， ∴点Q和点B重合，不符合题意， 这种情况不存在． 综上，为等腰三角时，或． （2024章丘二模）25. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值． （3）点为抛物线对称轴上一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴把、代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于， ∵抛物线的解析式为，与轴交于、两点， ∴令，则， 解得∶（为点横坐标），， ∴，， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限抛物线上的一点， ∴设点（）， ∵，交于， ∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴把代入得：， 整理得：， ∴点的横坐标， ∴点的横坐标点的横坐标， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴与面积的比值的最大值为； 【小问3详解】 解：如图，作经过点、，圆心在轴上方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴上方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，， ∴， ∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴点的坐标为； 如图，作经过点、，圆心在轴下方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴下方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，， ∴， ∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴点的坐标为； 综上所述，当最大时，点的坐标为或． （2024长清二模前测）25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，交x轴于点Q,过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值． 【解答】（1）抛物线与y轴交于点C（0，4）， ∴c＝4， ∵对称轴为 ， ∴，b＝﹣3， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣3x+4； （2）如图，过 B'作x轴的垂线，垂足为H， 令﹣x2﹣3x+4＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣4）＝5， 由翻折可得AB′＝AB＝5 ∵对称轴为x＝﹣， ∴AH＝﹣﹣（﹣4）＝， ∴AB'＝AB＝5＝2AH， ∴∠AB'H＝30°，∠B'AB＝60°， ∴∠DAB＝∠B'AB＝30° 在Rt△AOD中，， ∴D（0，）； （3）如图2，PF交x轴于Q，设BC所在直线的解析式为 y1＝k1x+b1， 把B、C坐标代入得：， 解得：， ∴y1＝﹣4x+4， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝45°， ∵∠AEF＝90°， ∴直线PE与x轴所成夹角为45°，即∠PQO＝45°， 设P（m，﹣m2﹣3m+4）， 设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2， 把点P代入得b2＝﹣m2﹣2m+4， ∴y2＝﹣x﹣m2﹣2m+4， 令y1＝y2，则﹣4x+4＝﹣x﹣m2﹣2m+4， 解得：x＝， ∴FG＝yF＝+4，PF＝＝••（xF﹣xP）＝， ∴FG+FP＝+4+＝+，.........................10分 ∵点P在直线AC上方， ∴﹣4＜m＜0， ∴当m＝时，FG+FP的最大值为． （2024天桥三模）26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于，B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； （3）如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴分别交于，B两点，与y轴交于点． ，， ，， 设抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则 ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 【小问3详解】 解：符合条件的点P的坐标，为， ， 理由如下： ， 直线l的解析式为， 设， 当点P在直线右侧时，如图，过点P作轴于点N，过点Q作 于点M， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得 ， 解得（舍去），， ， 当点P在直线左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为， 此时点P的坐标为， 综合所述，存在这样的点P，且坐标为为或 （2024实验初中三模）25. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）直接写出直线的解析式； （2）如图1，D在第二象限内抛物线上，交于点E，连接，若，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线，分别交x轴交于P，Q两点，若，求点H的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C， 令，则，故， 令，则，解得：或， 故， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得：， 故直线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点作轴交于，过点作轴交延长线于， 容易得到：， ， ， ， 由（1）问得，直线， 设， 则， 将代入直线的解析式，得， ， ， ， 解得：， 点坐标为或． 【小问3详解】 解：抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线， 抛物线解析式为， ， 设，则， 联立直线和抛物线得：， 则， 设， 联立直线和抛物线得：， 则， ， ， 直线的解析式为：， 当时，， 即， 同理可得， ， ， ， ， 解得：， 点H的坐标为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$