精品解析：江苏省淮安市淮阴中学开明集团2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

数学一 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面四个数中，最小的数是（ ） A. 4 B. C. D. 0 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注．截止2025年2月底，电影的全球票房已达到142亿，将142亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 太阳从西边升起 B. 如果a、b都是实数，那么 C. 随机买一张电影票，座位号是奇数 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 5. 淮安茶馓是淮安特色美食之一，如图是淮安茶馓的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱（包装带忽略），它的左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是⊙O的直径，点是弧的中点，弦与交于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 商场对上周女装的销售情况进行了统计，如表，经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 100 180 220 100 500 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？注：1尺寸），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图像，则图中交点P的横坐标为（ ） A. B. C. D. 45 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 若，则的值是__________． 11. 若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为______． 12. 如图，矩形的两个顶点在正五边形的边上，若，则的大小为_________． 13. 分式方程的解是_________． 14. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成方形，若在正方形区域内随意取一点则该点取到阴影部分的概率为_________． 15. 如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，轴，交y轴于点P．点Q是x轴上的动点，连结，取的中点C，连结．若四边形的面积为7，则k的值为_________． 16. 如图，P是内部一点，若，，则_________． 三、解答题（共11小题，102分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，．求证：． 20. 淮安是一座拥有众多景点的旅游城市，某校即将开展研学活动，现对部分同学进行随机调查，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点．这些景点包括：A淮安府署，B周恩来纪念馆，C铁山寺国家森林公园，D河下古镇，E金湖水上森林公园． 下面是根据调查结果进行数据整理后，绘制出的不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_________． （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点：周恩来纪念馆”的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1800名学生，请估计“最想去景点：河下古镇”的学生人数． 21. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点O的直线与双曲线交于点，点B在射线上，点C的坐标为． （1）求双曲线的表达式； （2）若，求点B的坐标． 23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.7米．求安装热水器的铁架水平横管的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：） 24. 如图，已知是的直径，点P在的延长线上，弦平分，且于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，弧的长为_________． 25. 猕猴桃上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共要销售100箱猕猴桃．已知“线上”销售的每箱利润为30元，“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）（）之间的函数关系如图中的线段AB． （1）直接写出y与x之间的函数关系式_________； （2）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用共4元，若该水果行售完这100箱猕猴桃要获得最大总利润，请你帮水果行老板设计“线上”与“线下”各安排销售多少箱？ 26. 已知二次函数（m为常数）． （1）当时．求函数顶点坐标；并结合图象，直接写出当时，y的取值范围是_________． （2）若点和都在该二次函数的图象上，且不论n取何值总有成立，求m的值； （3）①两位同学尝试代入不同的m值后，提出了两个观点．请你选择一个，继续完善它． 甲说：“不论m取何值，函数图象必过一个定点” 乙说：“不论m取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动” 我选择_________（填“甲”或“乙”）的观点，他的具体答案是_________（填写定点坐标或抛物线表达式）； ②已知点，若二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出m的取值范围_________． 27. 综合与实践 【新知定义】在平面内，两个面积相等的三角形，若有公共顶点，且公共顶点所在的角相等，则称这两个三角形关于这个顶点成“友谊三角形”．例如：如图1，在和中，若，，则和关于点A成“友谊三角形”． 【特例初探】（1）数学社团的小智同学发现：如图2，，连接，可得到．理由如下： 即：①_________________ ② 又 ． 根据小智的思路，请完成填空：①__________________，②__________________； 【变式归纳】（2）小慧思考：如果是否还成立？于是她作了进一步探究：如图3，在中，，和关于点A成“友谊三角形”，连接，请你完成以下问题： ①_________； ②试判断与的位置关系，并说明理由： 【迁移应用】（3）如图4，在中，，点P是边上一点，请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4中作，使和关于点A成“友谊三角形”，且； 【综合提升】（4）如图5，在平面直角坐标系中，已知、，C是x轴上的一动点，以为一边在的右侧构造矩形，且矩形的面积始终是6，连接．F是线段上一点，且满足，连接，则的最小值为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学一 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面四个数中，最小的数是（ ） A. 4 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：D． 3. 春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注．截止2025年2月底，电影的全球票房已达到142亿，将142亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果． 【详解】解：142亿， 故选：D． 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 太阳从西边升起 B. 如果a、b都是实数，那么 C. 随机买一张电影票，座位号是奇数 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可． 【详解】解：A．太阳从西边升起是不可能事件，故不符合题意； B．如果a、b都是实数，那么是必然事件，故符合题意； C．随机买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 5. 淮安茶馓是淮安特色美食之一，如图是淮安茶馓的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱（包装带忽略），它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，熟练掌握三视图的特点是解题的关键．根据左视图的定义，即从物体左面看得到的视图；分析正六棱柱的左视图形状，从左面看过去，会看到相邻的两个侧面），且两个矩形之间有一条公共边（这条公共边是两个相邻侧面的交线），据此判断即可． 【详解】解：从左面看时，是一个长方形分成了左右两个长方形，分开的线条是实线， 即， 故选：A． 6. 如图，是⊙O的直径，点是弧的中点，弦与交于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形外角的性质是求角的度数的常用方法．先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据弧，弦之间的关系得，可得，最后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故选：A． 7. 商场对上周女装的销售情况进行了统计，如表，经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 100 180 220 100 500 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．根据上周女装的销售情况进行了统计，利用众数的定义即可解答． 【详解】解：解：经理决定本周进货时多进一些红色的女装，经理利用的是这一组数据的众数来做出判断的，即可用来解释这一现象的统计知识是众数， 故选：C． 8. 《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？注：1尺寸），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图像，则图中交点P的横坐标为（ ） A. B. C. D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为寸，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设两图象交点的横坐标是，则： ， 解得， 两图象交点的横坐标是， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 若，则的值是__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查代数式求值． 将代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：16． 11. 若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系可得，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，第三边x的范围是：，即， ∵第三边长是奇数， ∴第三边是3， 故答案为：3． 12. 如图，矩形的两个顶点在正五边形的边上，若，则的大小为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和三角形的内角和，先计算出正五边形的内角，再由平角的定义求出，最后由三角形的内角和即可求解，正确理解正多边形的内角与外角的关系是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 分式方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 14. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成方形，若在正方形区域内随意取一点则该点取到阴影部分的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再根据几何概率公式求出即可作出选择． 【详解】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的对角线长为，面积为， ∴阴影部分的边长为， ∴， ∴P（该点取到阴影部分）． 故答案为：． 15. 如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，轴，交y轴于点P．点Q是x轴上的动点，连结，取的中点C，连结．若四边形的面积为7，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中的面积问题．连接，先求出的面积，得到的面积，由点C是的中点，求出的面积，根据四边形的面积为7，即可求出的面积，利用的面积等于的面积，等于，再结合即可解答． 【详解】解：连接， 根据题意：的面积为， 则的面积为， ∵点C是的中点， ∴的面积为， ∵四边形的面积为7， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，P是内部一点，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作，垂足分别为，过点作于点Q，延长交于点E，设，，求出，，证明，推出，求出，再证明，得到，由，即可得到结果． 【详解】解：如图，过点P作，垂足分别为，过点作于点Q，延长交于点E， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理及二次根式的计算，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 三、解答题（共11小题，102分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得，； 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 19. 如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，平行线性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据平行线性质结合三角形内角和定理得到，再根据“”即可证明三角形全等． 【详解】证明：， ， ， ，即， ∵， ， 在与中， ， ． 20. 淮安是一座拥有众多景点的旅游城市，某校即将开展研学活动，现对部分同学进行随机调查，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点．这些景点包括：A淮安府署，B周恩来纪念馆，C铁山寺国家森林公园，D河下古镇，E金湖水上森林公园． 下面是根据调查结果进行数据整理后，绘制出的不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_________． （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点：周恩来纪念馆”的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1800名学生，请估计“最想去景点：河下古镇”的学生人数． 【答案】（1） （2）补全条形图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，准确计算样本容量，圆心角是解题的关键． （1）根据样本容量频数所占百分数，即可求得样本容量； （2）利用样本容量计算出D类的人数，补图即可．根据“最想去景点：周恩来纪念馆”的扇形圆心角计算即可； （3）利用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：样本容量是：； 【小问2详解】 解：根据题意，得（人）， 补图如下： 根据题意“最想去景点：周恩来纪念馆”的扇形圆心角为． 【小问3详解】 解：根据题意，得（人）， 答：“最想去景点：河下古镇”的学生大概有360人． 21. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，选到的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 （2）列表如下： （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） 共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），共9种， ∴二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点O的直线与双曲线交于点，点B在射线上，点C的坐标为． （1）求双曲线的表达式； （2）若，求点B的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出反比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． （1）根据点在上，可以求出，把点的坐标代入反比例函数中求出的值即可得到反比例函数的表达式； （2）因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：点在上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设双曲线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 双曲线的表达式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， ∴点的坐标为． 23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.7米．求安装热水器的铁架水平横管的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：） 【答案】安装热水器的水平横管的长度约为米 【解析】 【分析】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力．过作于．构建中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出，再判定出四边形是矩形，可求出与的长，解直角三角形求出，再用的长减去的长即可解答． 【详解】解：如图，过作交于点．     在中，， 则（米）． 在中，， 则（米）． 由题意得，四边形是矩形． （米），， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， 则（米）， （米）， 答：安装热水器的水平横管的长度约为米． 24. 如图，已知是的直径，点P在的延长线上，弦平分，且于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，弧的长为_________． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，等边对等角得到，角平分线得到，推出，进而得到，即可得证； （2）证明，求出的长，进而求出的度数，利用弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵弦平分， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查切线的判定以及弧长的计算．同时考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，以及弧长公式，是解题的关键． 25. 猕猴桃上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共要销售100箱猕猴桃．已知“线上”销售的每箱利润为30元，“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）（）之间的函数关系如图中的线段AB． （1）直接写出y与x之间的函数关系式_________； （2）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用共4元，若该水果行售完这100箱猕猴桃要获得最大总利润，请你帮水果行老板设计“线上”与“线下”各安排销售多少箱？ 【答案】（1） （2）“线上”销售64箱，“线下”销售36箱时，获得最大总利润． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出与之间的函数关系； （2）根据题意，可以得到利润与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即与的函数关系式为， 故答案为； 【小问2详解】 解：设“线下”销售猕猴桃箱，则“线上”销售猕猴桃箱，总利润为元， 由题意可得，， ， 当时，有最大值，为3648， ， “线上”销售64箱，“线下”销售36箱时，获得最大总利润． 26. 已知二次函数（m为常数）． （1）当时．求函数顶点坐标；并结合图象，直接写出当时，y的取值范围是_________． （2）若点和都在该二次函数的图象上，且不论n取何值总有成立，求m的值； （3）①两位同学尝试代入不同的m值后，提出了两个观点．请你选择一个，继续完善它． 甲说：“不论m取何值，函数图象必过一个定点” 乙说：“不论m取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动” 我选择_________（填“甲”或“乙”）的观点，他的具体答案是_________（填写定点坐标或抛物线表达式）； ②已知点，若二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出m的取值范围_________． 【答案】（1）， （2） （3）①甲，；或乙；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的综合； （1）当时，求出抛物线解析式，画出图象，再计算即可； （2）计算出，由不论n取何值总有成立，得到关于的二次函数与轴只有一个交点或没有交点，即，解得； （3）①由，得到必过一个定点；由顶点坐标为，令，消去得到抛物线顶点过； ②先求出直线解析式为，再根据当直线与抛物线有且只有一个交点且交点横坐标满足，以及直线与抛物线有两个交点两种情况讨论，分别计算即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴此时函数顶点坐标为； 当时，； 当时，； 函数图象如下： ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点和都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵不论n取何值总有成立， ∴不论n取何值总有成立， ∴关于的二次函数与轴只有一个交点或没有交点， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：①选“甲”的观点， ∵， ∴当时，， ∴不论m取何值，函数的图象必过一个定点； 选“乙”的观点， ∵， ∴函数顶点坐标为， 令， 由得， 代入得， ∴不论m取何值，函数图象的顶点都在一条固定的抛物线上运动，固定抛物线解析式为； 故答案为：甲，；或乙； 当时，， ∴不论m取何值，函数的图象必过一个定点； ②设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 当直线与抛物线有且只有一个交点时， 即方程有两等根， 整理得， ∴，两等根， 解得， ∵二次函数图象与线段只有一个交点， ∴， 解得，只有符合条件； 当直线与抛物线有两个交点时， 即方程有两不等根， 整理得， ∴， 或， ∵不论m取何值，函数的图象必过一个定点， ∴当时，，即定点在直线上方， ∵二次函数图象与线段只有一个交点， ∴直线与抛物线的交点位于直线下方，即， 解得， 此时， 综上所述，二次函数图象与线段只有一个交点，m的取值范围为或， 故答案为：或． 27. 综合与实践 【新知定义】在平面内，两个面积相等的三角形，若有公共顶点，且公共顶点所在的角相等，则称这两个三角形关于这个顶点成“友谊三角形”．例如：如图1，在和中，若，，则和关于点A成“友谊三角形”． 【特例初探】（1）数学社团的小智同学发现：如图2，，连接，可得到．理由如下： 即：①_________________ ② 又 ． 根据小智的思路，请完成填空：①__________________，②__________________； 【变式归纳】（2）小慧思考：如果是否还成立？于是她作了进一步探究：如图3，在中，，和关于点A成“友谊三角形”，连接，请你完成以下问题： ①_________； ②试判断与的位置关系，并说明理由： 【迁移应用】（3）如图4，在中，，点P是边上一点，请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4中作，使和关于点A成“友谊三角形”，且； 【综合提升】（4）如图5，在平面直角坐标系中，已知、，C是x轴上的一动点，以为一边在的右侧构造矩形，且矩形的面积始终是6，连接．F是线段上一点，且满足，连接，则的最小值为_________． 【答案】（1）；；（2）①；②，理由见解析；（3）见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）根据小智的思路填空即可； （2）①过E作于F，过C作于G，根据三线合一性质求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，，证明，根据相似三角形的性质求出即可； ②根据勾股定理求出，进而求出，过E作于H，则四边形是矩形，得出，，进而求出，，证明，得出，结合，可求出，即可得出结论； （3）延长至点D，使，以A为圆心，为半径画弧交于P，连接，以A为顶点，在右侧作，作线段的垂直平分线交于点O，以A为圆心，为半径画弧交于Q，连接即可； （4）如图，以，为邻边，在y轴右侧作矩形，则可求得，，从而可证明，得出，则点E在以为直径的圆上运动，根据，，两式相加，并把化简可得，结合，得出，证明，可得出，故当当最小时，最小，即可求解． 【详解】解：（1） 即： 又 ． 故答案为：；； （2）过E作于F，过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和关于点A成“友谊三角形”， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：； ②在中，， ∴， 过E作于H， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）如图，即为所求， 理由：过B作于G，过Q作于H， ∴， 由作图知：，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴和关于点A成“友谊三角形”，且； （4）∵，， ∴，， 如图，以，为邻边，在y轴右侧作矩形， 则，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动， 取中点P，连接，， 则， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 当E运动到线段时，最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查考查了新定义，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，圆的概念，解直角三角形，勾股定理，尺规作图，等面积法求线段的长度等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $