专题8-3 方法篇 空间几何体的内切球与外接球问题-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题8-3 方法篇 空间几何体的内切球与外接球问题 题型一：内切求问题 方法一：独立截面法 如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径 1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中 2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和 3、利用相似性求出内切球半径. 典型例题 例题1．（2025·宁夏银川·一模）已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积. 【详解】如图，设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，内切球的半径为， 因为圆台上下底面面积之比为，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， ，得，所以，， ，得， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 例题2．（23-24高一下·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】根据相切的性质，结合勾股定理、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】作圆锥的轴截面图，如图，    由图，为等边三角形，则， 又，所以， 所以在正中，， 设内切球球心为，半径为，则在上，且，， 在中，，所以，解得， 所以外接球表面积． 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出圆锥的轴截面，根据题意推出圆台的上、下底面半径之比为，设圆台上底面半径为，圆台存在内切球可得圆台的母线，在中，由余弦定理可求． 【详解】如图，作出圆锥的轴截面， 上部分小圆锥一定有内切球，故只需下部分圆台有内切球即可， 设圆台的内切球的球心， 由上、下两部分几何体的体积之比是，可得截得的小圆锥与原圆锥的体积之比为， 从而可得圆台上下底面圆半径之比为， 设圆台上底面半径为，则圆台下底面半径为， 圆台存在内切球时，由切线长定理可得圆台母线长，则可得圆锥的母线， 所以圆锥的轴截面等腰三角形底边， 在中，由余弦定理可得. 故选：C. 2．（2025·山西太原·一模）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆台的结构特征辨析、球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出圆台的轴截面，根据题设和几何性质可得，结合勾股定理求出球半径，代入球的表面积即可. 【详解】设圆台的高为,球的半径为，作出圆台的轴截面，如图所示， ， 已知圆台的上、下底面半径分别为 ，斜边为圆台母线长， 圆台的轴截面等腰梯形的高 等于球的直径2, 因为球与圆台侧面相切，所以 , 则 ， 所以 , 所以， 同时 ，由勾股定理可得, 将, 代入到中， 得到，化简得，， 根据球的表面积公式,将代入公式可得：， 综上，球的表面积为. 故答案为：. 方法二：等体积法 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设球的半径为r，由等积法得，由此可求得设球的半径为r，再根据球的表面积公式可求得答案. 【详解】解：因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 又， 所以平面，所以， 所以均为直角三角形， 设球的半径为r，则， 而，， 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：A. 例题2．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则 ，该内切球的表面积为 . 【答案】 7 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据内切球在等边三角形内的“正投影”求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积，利用等体积法，即可求解. 【详解】由于平面平面，，，.为直角三角形，底面为矩形， 所以四棱锥的内切球在的“正投影”是的内切圆， 设的内切圆半径为， 则， 解得， 所以内切球的半径为1，其表面积为． 设，则平面平面，且交线为, 平面, 所以平面，同理平面，平面,故,故, 由余弦定理可得， 进而可得， 由等体积法可得化简可得，故（舍去）， 故答案为：7， 精练核心考点 1．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正八面体的特征可知内切球的球心为，进而根据等体积法即可求解半径. 【详解】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示， 连接和交于点， 因为，，所以，， 又和交于点，平面，所以平面ABCD， 所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等， 距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H， 所以平面，所以即为正八面体内切球半径，所以， 因为正八面体的棱长为4， 所以，，， 所以，， 因为，，所以， 即，所以正八面体内切球的表面积为：． 故答案为： 2．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知球是直三棱柱的内切球（点到直三棱柱各面的距离都相等），若球的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意求出直棱柱内切球半径，即可求得棱柱的高，将直棱柱分割为5个小棱锥，根据等体积法求得棱柱的底面积，再根据棱锥的体积公式即可求得答案. 【详解】设直三棱柱的高为h，设， 内切球的半径设为r，则， 球的表面积为，则，则； 又的周长为4，即， 连接，则直三棱柱被分割为5个小棱锥， 即以内切球球心为顶点，以三棱锥的两个底面和三个侧面为底面的5个棱锥， 根据体积相等可得， 即，即得， 故三棱锥的体积为, 故答案为： 题型二：外接球问题 方法一：公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 典型例题 例题1．（24-25高二上·北京·期中）若长方体的三条棱长分别是1，2，3，则它的外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】先利用长方体的棱长，求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据球的表面积公式即可球的表面积． 【详解】解：∵长方体的三条棱长分别是1，2，3， 设长方体的外接球的直径为,则即为长方体的体对角线长， ∴， ∴该长方体的外接球的表面积为. 故选：B. 例题2．（24-25高三下·河北·开学考试）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 【答案】3 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据已知确定正方体外接球、内切球的半径，由球体表面积公式求出比值. 【详解】根据题意，正方体的外接球的半径为，内切球的半径为． 所以外接球表面积与内切球表面积的比值为， 所以棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为3． 故答案为：3 精练核心考点 1．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，求出正方体的体对角线长，再利用球的表面积公式计算得解. 【详解】由棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，得该球的直径等于正方体的体对角线长， 所以该球的表面积为. 故选：A 2．（24-25高二上·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由条件结合球的表面积公式求球的半径，根据关系长方体体对角线等于其外接球的直径列方程求. 【详解】设长方体的外接球的半径为， 由已知，所以， 又棱长分别为，，的长方体的体对角线长为， 长方体体对角线等于其外接球的直径， 所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）棱长为2的正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线可求出球的半径，利用球的表面积公式可得结果. 【详解】由正方体棱长为2可得正方体的体对角线长为. ∵正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， ∴正方体的外接球的半径， ∴外接球的表面积为. 故选：B. 方法二：补型法 ①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型） 题设：三条棱两两垂直 ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 典型例题 例题1．（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可. 【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 例题2．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 例题3．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线长即可计算得答案. 【详解】在四面体中，，，， 则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为， 则，于是， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 精练核心考点 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】将四棱锥补成正方体，计算正方体的外接球半径即可得到结果. 【详解】 如图，将四棱锥补成正方体，正方体体对角线长为， 则四棱锥的外接球为正方体的外接球，外接球半径为， 所以四棱锥的外接球表面积为. 故选：A. 2．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用正方体的外接球来研究正四面体的外接球，只需要把正四面体放入正方体中，如图分析研究即可得到球的半径. 【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知三棱锥放置在正方体上，如图所示，    设正方体的棱长为，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径， 所以球的体积， 故选：C. 3．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. . 故答案为： 4．（2024·新疆乌鲁木齐）已知四面体满足，，则四面体的外接球的表面积是 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】将四面体补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为四面体的外接球直径，再利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】在四面体中，，， 将四面体补成长方体，设，，， 则， 设四面体的外接球半径为，则， 因此，四面体的外接球表面积为. 故答案为：. 方法三：单面定球心法 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 典型例题 例题1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面为正三角形，底面，，且与底面所成的角为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由线面角的大小求长度 【分析】根据定义和已知条件，找出线面角的平面角以及外接球球心，求出球半径即可得球的表面积. 【详解】 因为底面，所以与底面所成的角为，则， 又因为，所以. 设为的外心，因为底面为正三角形，所以， 所以球的半径，球的表面积为. 故选：A. 例题2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理求外接圆半径、台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据台体体积公式计算出正三棱台下底面边长，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】设正三棱台的下底面边长为，则其下底面积为，上底面面积为， 所以，该三棱台的体积为， 整理可得，因为，解得， 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为，正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则， 设球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 所以，球心在射线上，则， ，即，解得. 所以，，故该正三棱台的外接球表面积为. 故选：D. 精练核心考点 1．（2025·江西九江·二模）已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】因为球与正三棱柱各面均相切，所以正三棱柱高是球直径，底面正三角形内切圆半径是球半径，由此确定正三棱柱底面边长. 求球心到平面距离时，找到相关点连线，利用正三棱柱上下底面中心与高的关系得到，再在直角三角形中求，进而得出球心到平面距离. 根据勾股定理求截面圆半径，再用圆面积公式得截面圆面积. 用球表面积公式求球表面积，最后算两者面积比值. 【详解】如图，设球的半径为球与正三棱柱的各个面均相切 正三棱柱的高为，底面边长为. 设正三棱柱上，下底面的中心分别是是的中点，连接交于， 则到平面的距离 .又. 所得截面圆半径， 故选：A. 2．（2025·河南信阳·一模）已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先通过余弦定理求出的一个内角的余弦值，进而求出正弦值，再利用正弦定理求出外接圆的半径，然后根据三棱锥的性质求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出外接球的表面积. 【详解】在中，已知，，， 根据余弦定理可得： 设外接圆的半径为，根据正弦定理， 可得：，则. 因为，所以点在平面上的射影是的外心， 设三棱锥外接球的球心为，半径为，则平面，且，，. 又因为，即， 展开可得：， 移项化简可得，解得. 根据球的表面积公式，可得： . 故答案为：. 3．（2025·贵州黔东南·一模）在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求底面的外接圆半径，确定三棱锥外接球球心的位置，列方程求出三棱锥外接球半径，进而可求其表面积. 【详解】如图： 设的外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为. 在中，，所以. 记三棱锥外接球的球心为， 由. 故三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为： 方法四：双面定球心法 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 典型例题 例题1．（24-25高三下·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直 【分析】解法一:先找两个关键图形（直角三角形和正方形）外接圆的圆心、，过它们分别作对应平面的垂线，交点就是外接球的球心.接着取中点构造辅助线，根据已知角度和线段关系算出，再结合，用勾股定理求出球半径，最后根据公式算球表面积. 解法二:先通过线面垂直判定定理证明平面，确定球心在平面内射影为.然后算出相关线段长度，用余弦定理求.设，根据勾股定理分别表示出和，利用建立方程求出，进而得到球半径，最后算出球表面积. 【详解】解法一（通法）：设分别为线段的中点，由，知为直角三角形的外接圆圆心； 因为四边形为正方形，所以为正方形外接圆的圆心； 过分别作平面，平面的垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心，即为外接球的半径. 取的中点，连接，则，可证点四点共面， 因为，所以，则， 又，所以，则， 所以球的表面积为.    解法二：如图，过点作于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，又平面，所以平面， 因为，所以，取的中点，则球心在平面内的射影为，即平面，连接，则， 过点作，交直线于点，则， 因为，所以1，又， 由余弦定理，得， 设，则，故，由勾股定理，得，所以，解得， 所以球的半径为，所以球的表面积为. 故选：D.      精练核心考点 1．（2025·四川巴中·一模）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】根据题意可知三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，再根据勾股定理，建立方程，即可求解. 【详解】如图，点C在面APB内的射影为PM的中点，设PM的中点为N，则有平面， 平面，所以，可知， 又，， 则，，， ，M为AB的中点，则M为的外心， 所以三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，则有， 过作的平行线，与相交于点，则有为矩形， 所以，， 设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R， 有，， 在和中，由勾股定理，得， 解得，所以， 所以球O的表面积为. 故选：B. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 . 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，进而求半径表达式并利用配方法求出球半径的最小值，从而可得的值. 【详解】设球的半径为，则球的体积为， 所以球体积取得最小值时，则球的半径最小. 设，则， 由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H， 易知分别为的中点，且四点共圆， 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O， 为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图： 由条件知， 在中，由余弦定理可得 ， ∴的外接圆直径， 当时，球的半径取得最小值. 故. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8-3 方法篇 空间几何体的内切球与外接球问题 题型一：内切求问题 方法一：独立截面法 如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径 1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中 2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和 3、利用相似性求出内切球半径. 典型例题 例题1．（2025·宁夏银川·一模）已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为 . 例题2．（23-24高一下·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 精练核心考点 1．（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西太原·一模）已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为 ． 方法二：等体积法 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则 ，该内切球的表面积为 . 精练核心考点 1．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为 . 2．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知球是直三棱柱的内切球（点到直三棱柱各面的距离都相等），若球的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为 ． 题型二：外接球问题 方法一：公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 典型例题 例题1．（24-25高二上·北京·期中）若长方体的三条棱长分别是1，2，3，则它的外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·河北·开学考试）棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 精练核心考点 1．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C．6 D． 2．（24-25高二上·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）棱长为2的正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 方法二：补型法 ①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型） 题设：三条棱两两垂直 ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 典型例题 例题1．（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 例题3．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 精练核心考点 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 . 4．（2024·新疆乌鲁木齐）已知四面体满足，，则四面体的外接球的表面积是 . 方法三：单面定球心法 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 典型例题 例题1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面为正三角形，底面，，且与底面所成的角为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2025·江西九江·二模）已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南信阳·一模）已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 3．（2025·贵州黔东南·一模）在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为 ． 方法四：双面定球心法 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 典型例题 例题1．（24-25高三下·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（    ）    A． B． C． D．      精练核心考点 1．（2025·四川巴中·一模）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于 . 学科网（北京）股份有限公司 $$