高一下期中真题百题大通关（基础版）（范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

高一下期中真题百题大通关（基础版） （范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步） 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期中）已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可. 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，为的中点，为的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出的值即可. 【详解】在中，为的中点，为的中点， 则，所以，. 故选：B 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线的坐标运算求解. 【详解】向量，，若，则有，解得. 故选：D. 4．（22-23高一下·江苏扬州·期中）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为线段上一点，.若，则的值为(    ). A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】由向量线性运算结果求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得 ，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可. 【详解】建系如图，因为，，则，，，设， 则，，因为， 所以，解得， 由，得， 所以，解得，所以. 故选：. 5．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知向量，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故选：B 6．（22-23高一下·广东·期中）已知向量，，且，则（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线的坐标运算求解. 【详解】向量，，且， 则有，解得. 故选：D. 7．（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 8．（23-24高一下·云南玉溪·期中）已知平面向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，而，所以， 即向量与的夹角为. 故选：C. 9．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量的数量积的运算律求解，即可得答案. 【详解】因为单位向量的夹角为， 所以， 故选：B． 10．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】利用向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】易知，即， 又可得； 所以. 故选：B 11．（21-22高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】利用共线向量定理列式计算即得. 【详解】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C 12．（23-24高一下·山东泰安·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 13．（21-22高一下·广东深圳·期中）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确. 【详解】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D 14．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解. 【详解】由D为BC的中点，E为边上的点，且， 得.    故选：C 15．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用共线向量的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】向量，，由，得，解得或， 反之，当时，共线， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 16．（23-24高一下·北京通州·期中）在复平面内，复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法求出即可得解. 【详解】依题意，，所以复数在复平面内对应点在第一象限. 故选：A 17．（24-25高一下·全国·期中）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算、复数的乘方 【分析】根据复数的四则运算及几何意义直接可得解. 【详解】因为， 所以复数对应的点是，在第三象限， 故选：C. 18．（23-24高一下·湖北·期中）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、虚数单位i及其性质 【分析】结合复数的四则运算进行求解即可. 【详解】由， 故选：A. 19．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等的定义，列式求解即可. 【详解】因为，，且，则，，解得. 故选：C 20．（23-24高一下·江苏·期中）复数，则z的虚部为（   ）． A．3 B． C．i D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】复数， 所以的虚部为 故选：B. 21．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】由，得. 故选：D. 22．（23-24高一下·福建龙岩·期中）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【详解】． 故选：A． 23．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据给定条件，求出复数即可得解. 【详解】由复数在复平面内所对应点的坐标为，得， 所以. 故选：B 24．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、复数加减法的代数运算 【分析】将复数化为一般形式，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】复数， 由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有，解得. 故选：A. 25．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数除法运算法则进行求解即可. 【详解】， 故选：D 26．（23-24高一下·江苏徐州·期中）复数的模是（    ）． A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】根据复数的四则运算化简，即可由模长定义求解. 【详解】, 故模长为1， 故选：B 27．（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的虚部概念求解. 【详解】z的虚部是. 故选：B. 28．（23-24高一下·天津·期中）已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘法运算化简复数，即可由虚部定义求解. 【详解】由可得， 故虚部为， 故选：D 29．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、共轭复数的概念及计算 【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解. 【详解】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 30．（23-24高一下·广西玉林·期中）复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】应用复数的乘除运算求复数，进而求模长. 【详解】由题设，则，所以. 故选：D 31．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】计算出，利用复数除法法则计算出. 【详解】，故， . 故选：B 32．（21-22高一下·江苏扬州·期中）是虚数单位，复数的虚部为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数的乘法运算复数的虚部定义即可得解.. 【详解】，所以复数的虚部为. 故选：A 33．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据已知条件，复数和是关于x的一元二次方程的两个根，结合方程的根与系数关系即可求解. 【详解】复数是关于x的一元二次方程的一个根， 则方程的另一根为， 故，解得. 故选：A. 34．（23-24高一下·吉林·期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，即可求解. 【详解】，其在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 35．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知复数z在复平面内对应的点是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数的除法运算 【分析】根据复数的几何意义，写出复数，在运用复数的除法运算化简即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为, 所以, 所以, 故选：C. 36．（21-22高一下·山西运城·期末）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案. 【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形， 如图，其中， 因此有， 所以原图形的周长为. 故选：B. 37．（21-22高一下·吉林长春·期中）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 38．（23-24高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 【答案】D 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据棱锥的分类及性质，即可求出结果. 【详解】因为十棱锥共有个顶点，条棱， 故选：D. 39．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用长方体的表面展开图，判断即可. 【详解】长方体由展开图知道，有4个面是阴影，两个空白部分是相对的，剩余是4个阴影部分.则围成的是下面图形 . 故选：D． 40．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【详解】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D 41．（23-24高一下·福建福州·期中）已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出平面图形的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，， 所以. 故选：A 42．（23-24高一下·山西太原·期中）已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据原图与直观图的面积关系即可求解. 【详解】正方形ABCD的边长为2， 则原图面积， 由原图与直观图的面积关系得. 故选：. 43．（23-24高一下·山西太原·期中）下列结论不正确的是（    ） A．三棱锥是四面体 B．长方体是平行六面体 C．正方体是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面体 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】利用四面体的定义判断A；利用平行六面体的定义判断BD；利用直四棱柱的定义判断C． 【详解】对于A，三棱锥是四面体，故A正确； 对于B，长方体是平行六面体，故B正确； 对于C，正方体是直四棱柱，故C正确； 对于D，四棱柱的底面不一定是平行四边形， 四棱柱不一定是平行六面体，故D错误． 故选：D． 44．（23-24高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】由斜二测画法的规则可知：平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图，即可选出答案． 【详解】设直观图中与轴和轴的交点分别为和， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点， 再由平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变， 作出原图得四边形 故选：B． 【点睛】 45．（23-24高一下·天津·期中）下列说法中，正确的有（    ）个． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形； ⑤通过圆台侧面一点，有无数条母线； ⑥四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析、斜二测画法辨析 【分析】举例说明，结合锥体、台体的结构特征判断①②③⑤⑥；利用斜二测画法规则判断④即可. 【详解】对于①，正八面体的8个面都是三角形，正八面体不是三棱锥，①错误； 对于②，当截面与棱锥底面不平行时，原棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，②错误； 对于③，经过底面直角三角形锐角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥，四个面都是直角三角形，③正确； 对于④，梯形的直观图不可以是平行四边形，④错误； 对于⑤，圆台所有母线交于一点，因此通过圆台侧面一点，有一条母线，⑤错误； 对于⑥，一条侧棱垂直于底面矩形的四棱锥，四个侧面都是直角三角形，⑥正确， 所以正确命题的个数为2. 故选：C 46．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】本题考查空间内线线、线面和面面位置关系的判定及性质，根据判定定理和性质定理依次判断即可. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，则或､相交，B错； 对于C选项，若，，，则或､相交，C错； 对于D选项，若，，则，因为，则，D对. 故选：D. 47．（23-24高一下·广东广州·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】根据给定条件，利用面面平行、线面平行的关系，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，，得或是异面直线，A错误； 对于B，由，，得或，B错误； 对于C，由，，得与相交或，C错误； 对于D，由，得存在过的平面与相交，令交线为，则， 而，，于是，又，，则，因此，D正确. 故选：D 48．（23-24高一下·吉林·期中）设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【知识点】线面平行的性质、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】ABC项，利用长方体模型找到反例即可；D项，由线面平行的性质定理可得. 【详解】如图，长方体中，记平面为.    A项，若，则或. 如：图中设为直线，为直线， 则，但，不满足，故A不正确； B项，由，且，不一定垂直. 如：设图中平面为平面，设为直线，为直线， 则，且，但，不满足，故B不正确； C项，若，，则或， 如：设图中平面为平面，设为直线，为直线， 则，但，不满足，故C不正确； D项，若，，， 由线面平行的性质定理可得，所以D正确. 故选：D. 49．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、棱锥的展开图 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 50．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】利用斜二测画法的定义通过的长确定OA，OB的长，再求出的面积. 【详解】∵在轴上，在轴上， ∴在x轴上，在y轴上， ，，如图， ∴. 故选：B. 51．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中线面的位置关系对每个选项逐一判断. 【详解】A选项，当时，在直线上，除了之外，其余点有无数个都不在内，故A选项错误； B选项，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，B选项错误； C选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，C选项错误； D选项，若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，D选项正确. 故选：D 二、多选题 52．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】BC 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积判断B选项；由向量的投影向量的公式判断C选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断D选项. 【详解】由题， 所以，故A错； 又，故B正确； ，所以在上的投影向量为：，故C正确； 因为，又，所以，故D错误. 故选：BC. 53．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知向量，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由坐标判断向量是否共线、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算可求出、的值，可得出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项. 【详解】因为向量，，， 所以，，解得，则，， 对于A选项，， 因为，则与不共线，A错； 对于B选项，，则， 故，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，，故，D对. 故选：BCD. 54．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 【答案】BD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】ABC选项，根据得到三角形有一解，由得到三角形有两解，D选项，由余弦定理得到唯一，故三角形有一解. 【详解】对A：由知，，所以三角形有一解，A错误； 对B：由，即，所以三角形有两解，B正确； 对C：由，即，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对D：， 由余弦定理得，唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 55．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 【答案】AC 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】由平面向量共线以及共线定理可判断A错误，D正确，再由数乘运算可得B正确，因为平面向量不能比较大小，可知C错误. 【详解】对于A，向量与向量是共线向量，则可能平行，因此不一定在同一条直线上，即A错误； 对于B，若，则或，即B正确； 对于C，向量不能比较大小，因此错误，即C错误； 对于D，由平面向量的共线定理可知D正确. 故选：AC 56．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【知识点】复数的基本概念、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 设， 对于B，由，得，则， 因此，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BCD 57．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 58．（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【知识点】判断几何体是否为棱柱、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 59．（23-24高一下·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【知识点】斜二测画法辨析、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法规则，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确； 对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确； 对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行， 因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直， 如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误. 故选：ABC    60．（23-24高一下·吉林白山·期中）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】对于A，运用长方体举反例证明其错误；对于B，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D. 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线， 四边形所在的平面为，四边形所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误； 对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线， 则，由 知，从而；B正确 对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确； 对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确． 故选：BCD． 61．（20-21高一下·福建宁德·期中）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 【答案】BD 【知识点】空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 62．（21-22高一下·江苏扬州·期中）下列命题中正确的有（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．空间内三点确定一个平面 C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】AC 【知识点】棱柱的结构特征和分类、公理的应用 【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故A正确； 对于B选项，要强调该三点不在同一直线上，故B错误； 对于C选项，两条直线的交点同时在两个平面上，所以交点只可能在两个平面的交线上，故C正确； 对于D选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D错误. 故选：AC. 63．（21-22高一下·山东青岛·期中）如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（    ） A．相交 B． C． D．以上都不是 【答案】BC 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】利用线面平行的判定定理和直线与平面的位置关系即可得出结果. 【详解】由题意知，直线直线，且平面， 当不在平面内时，平面内存在直线， 则，符合线面平行的判定定理，所以； 当在平面内时，也符合条件， 所以与的位置关系为或在平面内. 故选：BC. 64．（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 【答案】AD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、异面直线的判定 【分析】根据题意，画出该正方体的直观图，结合正方体的结构特征依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， 对于A，易得，A正确； 对于B，与异面，B错误； 对于C，直线与相交，C错误； 对于D，直线与异面，D正确. 故选：AD. 三、填空题 65．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 【答案】1 【知识点】平面向量基本定理的应用、已知向量共线（平行）求参数 【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件列出向量方程，根据对应系数相等求解即得. 【详解】依题意，，, 因三点共线，即，则存在，使得， 即得，解得. 故答案为：1. 66．（23-24高一下·北京东城·期中）已知向量，，则 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据向量坐标的加法运算和数量积运算求解. 【详解】由题意，， 则. 故答案为： 67．（23-24高一下·河南·期中）已知，，且，则 . 【答案】2 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由，得，将，代入得，解得. 故答案为：2 68．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知向量，，若，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量平行的坐标公式求解即可. 【详解】若，则，解得. 故答案为： 69．（23-24高一下·四川泸州·期中）在等边中，，则 ． 【答案】/ 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积的定义计算. 【详解】. 故答案为：. 70．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 . 【答案】且 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】根据与 的夹角为锐角，由，且与 不共线解不等式求解. 【详解】因为， 所以， 因为与 的夹角为锐角， 所以，且与 不共线， 所以，且， 解得且. 故答案为：且. 71．（21-22高一下·江苏淮安·期中）若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【分析】根据为平面内所有向量的一组基底，可知不共线，通过求共线时的值，即可得到不共线时的范围. 【详解】因为向量，，能作为平面内所有向量的一组基底， 所以， 当时，，解得， 所以若，则，即的取值范围为， 故答案为： 72．（23-24高一下·安徽黄山·期中）向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故答案为：. 73．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据题意可求得，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理可得，因此； 不妨取，其中， 因此. 故答案为： 74．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由题意，所以． 故答案为：. 75．（23-24高一下·云南玉溪·期中）求值： . 【答案】 【知识点】复数的除法运算 【分析】利用复数的除法可化简所求复数. 【详解】. 故答案为：. 76．（21-22高一下·江苏扬州·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】利用复数的除法运算、模长公式计算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 77．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 【答案】4 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义列出方程组，解出a的值即可. 【详解】解：复数是纯虚数， 则，解得. 故答案为：4. 78．（23-24高一下·北京通州·期中）若复数为纯虚数，则实数 . 【答案】1 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】利用纯虚数的定义直接求出值. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：1 79．（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用、复数的向量表示 【分析】运用复数几何意义，结合平面向量减法运算可解. 【详解】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 80．（23-24高一下·青海·期中）若为实数．则 ． 【答案】6 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据虚部为零计算即可. 【详解】因为为实数， 所以，则，． 故答案为：6. 81．（21-22高一下·山东青岛·期中）设（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为 . 【答案】1 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设出的代数形式，再利用复数运算及复数的实部求出其虚部. 【详解】设，由，得， 依题意，，所以的虚部. 故答案为：1. 82．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 83．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三角形是三角形的直观图，则三角形的面积是 ． 【答案】2 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】画出原图形可得答案． 【详解】由直观图画出原图，如图， 可得是等腰三角形，且，， 所以三角形的面积. 故答案为：2． 84．（23-24高一下·天津·期中）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设组合体无盖，且内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．若球的半径为，组合体的容积为，则该组合体内壁表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】先计算出圆柱的高，内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积． 【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为， 由题意可知：， 由于，解得：， 内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积， 即． 故答案为：． 85．（23-24高一下·吉林·期中）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为 . 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】由棱台体积公式计算即可求解. 【详解】该正四棱台的体积为. 故答案为：. 86．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）已知球的半径为3，则该球的表面积等于 ，则该球的体积等于 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据球的表面积公式和体积公式直接求解即可. 【详解】因为球的半径为3， 所以球的表面积为，体积为. 故答案为：， 87．（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示 ，， 在三角形中，，    由余弦定理得 . 故答案为： 88．（22-23高一下·广东·期中）祖暅（公元前5-6世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，若总成立，且图中圆柱体（右侧图）的底面直径为3，高为3，则该几何体（左侧图）的体积是 .    【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据题意利用求解即可. 【详解】由总成立， 故该几何体（左侧图）的体积是. 故答案为： 四、解答题 89．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【答案】(1)， (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【详解】（1）依题意，向量， ， . （2）由于， 所以. 90．（22-23高一下·浙江·期中）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由已知得，求解即可； （2）由已知可得，求解即可. 【详解】（1），故由，可得，解得． （2）由，得，解得． 91．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，且． (1)求的值； (2)求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、求投影向量 【分析】（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值； （2）利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得向量在向量方上的投影向量. 【详解】（1）∵，且 ，则. （2）由（1）得 所以在上的投影向量为. 92．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 【答案】(1) (2)时，张角最大 【知识点】三角函数在生活中的应用、用和、差角的正切公式化简、求值、高度测量问题 【分析】（1）利用直角三角形知识可求，利用两角和的正切公式可求； （2）利用两角和的正切公式表示出，利用基本不等式可求答案. 【详解】（1）由题意,在中，， 所以； 在中，, 在中，, 因为，所以， 所以， 解得，所以. （2）设，则； 在中，, 在中，, 于是 设，则 . 当且仅当时，即时，等号成立； 又恒成立，所以，所以； 由正切函数在上为增函数，所以取最大值时，也最大. 当时，张角最大. 93．（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2）已知复数z满足，求z． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义可得； （2）依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且， 解得； （2）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 94．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或；（2） 【知识点】向量夹角的计算、复数范围内方程的根 【分析】（1）根据题意复数满足方程，带入化简后利用复数相等列出等式即可求解； （2）由条件得，进而求出，再分别求出与的坐标和模长，再用夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为复数是关于x的方程的一个根， 所以， 整理得， 当时，代入可得， 当时，有， 解得， 综上：或 . （2）由已知，化简可得， 即，所以 ， ∴， . ∴， 设与的夹角为， 则， 即与的夹角的余弦值为． 95．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，E为棱中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）作中位线并利用线面平行的判定定理即可证明得出结论； （2）利用等体积法以及三棱锥的体积公式即可计算求出结果. 【详解】（1）证明：设AC与BD交于点O，连结OE，如图所示： 因为是正方体，所以ABCD为正方形，O为BD中点． 又E为中点，可知； 又平面AEC，平面， 所以平面AEC， （2）设点D到平面AEC的距离为d，则由图可知： 在中，，，可得， 由可得， 即， 解得， 即点D到平面AEC的距离为． 96．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）连接交于点，连接，只要证明即可； （2）求出面，得到是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 四边形是矩形， 为的中点，又是的中点， ，又平面平面, 平面； （2）是的中点， ， 又平面平面, 平面, 平面, 则是三棱锥的高, 又 . 97．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面平行的性质、证明线面平行 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）得平面，由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1）连接, 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）分别是的中点， ， 平面，平面， 平面， 若平面平面， 又平面， 所以. 98．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】（1）由勾股定理求出圆锥底面半径，然后由侧面积公式求解即可； （2）分别求出圆锥，圆柱的体积，然后求和即可求出几何体的体积. 【详解】（1）因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm， 所以圆锥底面半径为cm， 所以圆锥的侧面积为 （2）由（1）可知，圆锥的体积为： ， 圆柱的体积为：， 所以几何体的体积为：. 99．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面角的概念及辨析、证明线面平行 【分析】（1）根据线线平行可证明为平行四边形，即可由和线面平行的判定定理求证 （2）根据面面垂直的性质可得平面，，进而可得即为直线与平面所成角，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点， 中点为， 所以，且， 又，故，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面，    （2）由于底面，平面，所以平面底面，又两平面的交线为， 过作于，连接， 所以平面，故即为直线与平面所成角， 又，，所以，， ， 由，所以， 故 100．（23-24高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求点面距离、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据线线垂直即可求证， （2）利用等体积法，即可由三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）由于四棱柱为正四棱柱，所以四边形为正方形，故, 又底面，底面，故, 平面， 故直线平面 （2）由，可得, 所以, 设到平面的距离为， 则 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下期中真题百题大通关（基础版） （范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步） 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期中）已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，为的中点，为的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏扬州·期中）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为线段上一点，.若，则的值为(    ). A． B． C． D．1 5．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知向量，，且，则（     ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·广东·期中）已知向量，，且，则（    ） A．0 B． C． D．5 7．（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（23-24高一下·云南玉溪·期中）已知平面向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 11．（21-22高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 12．（23-24高一下·山东泰安·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 13．（21-22高一下·广东深圳·期中）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 14．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 16．（23-24高一下·北京通州·期中）在复平面内，复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（24-25高一下·全国·期中）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（23-24高一下·湖北·期中）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 20．（23-24高一下·江苏·期中）复数，则z的虚部为（   ）． A．3 B． C．i D． 21．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·福建龙岩·期中）复数（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·江苏徐州·期中）复数的模是（    ）． A．0 B．1 C． D． 27．（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·天津·期中）已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 29．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 30．（23-24高一下·广西玉林·期中）复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 31．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 32．（21-22高一下·江苏扬州·期中）是虚数单位，复数的虚部为（   ） A． B． C．5 D． 33．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 34．（23-24高一下·吉林·期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 35．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知复数z在复平面内对应的点是，则（    ） A． B． C． D． 36．（21-22高一下·山西运城·期末）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 37．（21-22高一下·吉林长春·期中）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 39．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 41．（23-24高一下·福建福州·期中）已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（    ） A．4 B． C． D．8 42．（23-24高一下·山西太原·期中）已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一下·山西太原·期中）下列结论不正确的是（    ） A．三棱锥是四面体 B．长方体是平行六面体 C．正方体是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面体 44．（23-24高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高一下·天津·期中）下列说法中，正确的有（    ）个． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形； ⑤通过圆台侧面一点，有无数条母线； ⑥四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形． A．0 B．1 C．2 D．3 46．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 47．（23-24高一下·广东广州·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 48．（23-24高一下·吉林·期中）设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 49．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 51．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 二、多选题 52．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 53．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知向量，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 55．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 56．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 57．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 58．（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 59．（23-24高一下·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 60．（23-24高一下·吉林白山·期中）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 61．（20-21高一下·福建宁德·期中）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 62．（21-22高一下·江苏扬州·期中）下列命题中正确的有（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．空间内三点确定一个平面 C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 63．（21-22高一下·山东青岛·期中）如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（    ） A．相交 B． C． D．以上都不是 64．（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 三、填空题 65．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 66．（23-24高一下·北京东城·期中）已知向量，，则 ． 67．（23-24高一下·河南·期中）已知，，且，则 . 68．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知向量，，若，则 . 69．（23-24高一下·四川泸州·期中）在等边中，，则 ． 70．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 . 71．（21-22高一下·江苏淮安·期中）若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 72．（23-24高一下·安徽黄山·期中）向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 73．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则 ． 74．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 75．（23-24高一下·云南玉溪·期中）求值： . 76．（21-22高一下·江苏扬州·期中）计算： ． 77．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 78．（23-24高一下·北京通州·期中）若复数为纯虚数，则实数 . 79．（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 80．（23-24高一下·青海·期中）若为实数．则 ． 81．（21-22高一下·山东青岛·期中）设（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为 . 82．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 83．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三角形是三角形的直观图，则三角形的面积是 ． 84．（23-24高一下·天津·期中）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设组合体无盖，且内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．若球的半径为，组合体的容积为，则该组合体内壁表面积为 ． 85．（23-24高一下·吉林·期中）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为 . 86．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）已知球的半径为3，则该球的表面积等于 ，则该球的体积等于 87．（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    88．（22-23高一下·广东·期中）祖暅（公元前5-6世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，若总成立，且图中圆柱体（右侧图）的底面直径为3，高为3，则该几何体（左侧图）的体积是 .    四、解答题 89．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 90．（22-23高一下·浙江·期中）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 91．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，且． (1)求的值； (2)求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 92．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 93．（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2）已知复数z满足，求z． 94．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． 95．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，E为棱中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 96．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 97．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 98．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 99．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 100．（23-24高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$