精品解析：山东省济南市莱芜第一中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试题

莱芜一中64级（高二）下学期第一次阶段性测试 数学试题 2025.3 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数在区间上的单调性，结合单调性求函数的最大值. 【详解】因为， 所以函数的导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，。函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为. 故选：B. 2. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 3. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点， 而函数在上单调递增，则或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数图像，确定函数单调性，进而可判断； 【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增， 结合选项，只有A符合； 故选：A 5. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解. 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 6. 已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后由恒成立来求得的取值范围. 【详解】由，解得， 所以的定义域是， 依题意可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 由于， 所以的最大值为， 所以. 故选：D. 7. 已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数可求得的单调性及在，上的取值情况，再根据题意可得或，由此建立关于的不等式组，解出即可． 【详解】， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 且， 又对任意的，，都存在唯一的，，使得成立， 或， 又，，故， ，解得． 故选：C 8. 若函数，且，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式可利用同构思想构造函数判断函数单调性，即求即可，再利用导数求得可求出. 【详解】易知的定义域为， 由可得，即； 因为，所以，即， 构造函数，则， 可知函数在上单调递增，因此， 即，所以， 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，； 即可得，解得. 所以正实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式恒成立利用指对同构等，通过构造函数转化为求函数极值、最值问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的待0分. 9. （多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可. 【详解】对于A: ，令，得或，有“巧值点”，A满足； 对于B: ，令，得，有“巧值点”，B满足； 对于C: ，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”，C满足； 对于D: ，令，得，与矛盾，没有“巧值点”，D不满足. 故答案为：ABC. 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 方程有两个根 B. 函数有2个零点 C. 当时，函数的图象总在函数图象的上方 D. 函数的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，构造，求定义域，求导，得到单调性，并画出及的图象，数形结合得到两函数有两个不同的交点，故有两个根，A正确；B选项，令求出，只有1个零点；C选项，令，求导得到函数单调性，得到，从而得到C正确；D选项，对求导，得到其单调性，确定在处取得最大值，最大值为，D正确. 【详解】A选项，，定义域为， 令，则， 令得，令得或， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，当时，恒成立， 画出及的图象如下： 可以看出两函数有两个不同的交点，故有两个根，A正确； B选项，，定义域为R， 令得，只有1个零点，B错误； C选项，令， 则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 故当时，，函数的图象总在函数图象上方，C正确； D选项，定义域为R， ， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，D正确 故选：ACD 【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等. 11. 设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线的一部分，则（ ） A. 点在上 B. 将在轴上方的部分看作函数的图象，则1是的极小值点 C. 在点处的切线与的另一个交点的横、纵坐标均为有理数 D. 时，曲线上任意一点到坐标原点的距离均大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入即可求解A，求导，根据即可求解B，求导，根据点斜式求解切线方程，联立与曲线方程求解交点即可判断C，根据两点距离公式将问题转化为，根据即可求解D. 【详解】解：将代入C的方程，等式成立，故A正确； 对于C在轴上方的部分，可知函数， 则，因为，故B错误； 过点作C的切线，由B选项知其斜率为，故其方程为，将其与C的方程联立得，故切线与C的交点的坐标， 横，纵坐标均为有理数，故C正确； 设，则其到坐标原点的距离为， 要使该距离大于，只需要， 整理得， 易知当时，不存在，可知， 又因为，故， 故成立，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数在处的导数存在，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义计算直接得出结果. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】求得函数的导函数，进而可求得. 【详解】因为， 所以 ， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数若关于a的方程恰有四个不同的解，则正数m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与方程关系，将问题等价转化为函数求零点，利用导数与函数的单调性的关系，结合零点存在性定理，建立不等式，可得答案. 【详解】由方程，则当时，可得；当时，可得， 则可得关于x的方程有两个不等的正根，关于x的方程有两个不等的负根， 即函数恰好有两个零点，函数恰好有两个零点， 由，则只需研究函数恰好有两个零点即可， 求导可得， 令，因为，且， 所以在上有一个零点，记为． 当时，，；当时，，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 当或时，，则，即． 因为，所以，则． 因为函数在上单调递增，且， 所以，则，由， 得，又， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题的难点在于求导存在隐零点，对于导数函数根据其单调性，结合零点存在性定理，设出零点，可写出原函数的单调区间，在求解不等式时，可用由零点定义所得的等量关系，进行等量代换，即可解题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）3 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 16 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）解不等式和即可； （2）构造函数，利用导函数求其最小值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 要证明，只需证明， 设，则， 因且在上单调递增，且，， 所以存在唯一的，使得，即，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 故原命题成立. 17. 某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购. （1）求年利润关于年加工量的解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本） （2）当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:）. 【答案】（1） （2）当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元. 【解析】 【分析】（1）依题意，由年利润年销售收入-流动成本-年固定成本，直接写出解析式，化简即可； （2）由（1）中求得的解析式，分别利用导数和基本不等式的性质，分别求得两个式子的最大值，然后作比较，再取较大的值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以年利润关于年加工量的解析式为：； 【小问2详解】 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以， 当时，， 当且仅当，即时取得等号. 因为， 所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元. 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）对定义域内，都有恒成立，即，令，利用导数求的最大值即可； （3）利用（2）中结论可得恒成立，将中的替换为，再利用对数的运算性质和等比数列的前项和公式证明即可. 【小问1详解】 若，则，，， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 若对定义域内，都有恒成立， 即恒成立，只需即可， 设，，则， 令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 故的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）得当时，恒成立，即， 将中的替换为，显然， 则， 故， 即 故. 19. 已知函数． （1）当时，求的极小值； （2）若存在两个极值点． （i）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出的解析式和定义域，求出，根据导数求出的单调性，求出的极小值； （2）（i）求出的定义域，求出，设，求出，求出的单调性和的极值，求出的范围即可求解； （ii）求出的取值范围，求出，设，判断的正负，求出，求出的单调性，求出的取值范围即可求解. 【小问1详解】 当时，，可知定义域为， 且，当时，，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为； 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可得的定义域为， 且， 设， 可知在内有两个变号零点， 则，当，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为， 令，当趋于时，趋于， ， 令，则， 令得，， 所以在取得最小值且大于， 所以，所以， 因为趋于时趋于，因为时， 所以趋于，所以， 所以当x趋近于时，趋近于， 当时，则， 可得，可得， 即当x趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）可知，， 且， 所以， 设， 显然，又， 因为，则， 可知在上单调递减， 且，可得， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题（2）（ii）关键在于设，判断的正负，求出，求出的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莱芜一中64级（高二）下学期第一次阶段性测试 数学试题 2025.3 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 6. 已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，且，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的待0分. 9. （多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C D. 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 方程有两个根 B. 函数有2个零点 C. 当时，函数的图象总在函数图象的上方 D. 函数的最大值为1 11. 设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线的一部分，则（ ） A. 点在上 B. 将在轴上方的部分看作函数的图象，则1是的极小值点 C. 在点处的切线与的另一个交点的横、纵坐标均为有理数 D. 时，曲线上任意一点到坐标原点距离均大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数在处的导数存在，且，则_____. 13. 已知函数，则_____. 14. 已知函数若关于a的方程恰有四个不同的解，则正数m的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，证明：当时，. 17. 某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购. （1）求年利润关于年加工量解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本） （2）当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:）. 18 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：，. 19. 已知函数． （1）当时，求的极小值； （2）若存在两个极值点． （i）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$