专题04 三角形的证明（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题04 三角形的证明 题型概览 题型01等腰三角形的证明 题型02等边三角形的证明 题型03直角三角形的证明 题型04角平分线与垂直平分线的证明 题型05手拉手模型 题型06三角形的证明与动点问题 题型07航海问题与三角形的证明 题型08尺规作图 等腰三角形的证明题型01 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证即可求证； （2）根据，结合全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴是等腰三角形 （2）解：∵ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推导是解题关键． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点是中边上一点，点是线段上一点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质得到，继而得到，根据等腰三角形的判定得，证明，由全等的性质即可得到结论．解题的关键是掌握：三条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图， 中，，，，， 点F 是与的交点，点M 是的中点，过点 A 作 交 延长线于点 H． (1)试判断与 的数量关系并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明垂直平分，得出，证明，得出，即可证明结论； （2）由（1）可得，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：；理由如下： 连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ． （2）证明：由（1）可得， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当时， ①如图2．连接，当，求的长； ②若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，，全等三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据线段之间的关系，求出，根据勾股定理即可求出； （2）根据勾股定理求出，再根据全等三角形的判定和性质，则，推出，即可；分类讨论：当点在上；当点在的延长线上；根据，得到，再根据三角形的性质，即可． 【详解】（1）∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． （2）∵于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵． 当点在上，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 6．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形或等腰三角形． 问题解决：请你根据上面的分析过程，添加适当辅助线，选择用构造全等三角形和构造等腰三角形两种方法中的一个方法，证明． 方法运用：如图②，点B是的中点，于点B．请判断线段与之间的大小关系，并说明理由．    【答案】问题解决：证明见解析；方法运用：，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长到F，使，连接，由E是的中点，得到，再证明，进而可求证； （2）延长到，使，连接，先证明，得到，再证明，得到，利用三角形的三边关系即可得到答案． 【详解】解：问题解决：延长到F，使，连接，如图：    ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 方法运用： 结论：，理由如下： 延长到，使，连接，如图：    ∵点B是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， 即． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 【基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点B在直线上，求出n的值，得到点B的坐标，把点B的坐标D代入即可求出m的值； （2）过点A作直线的垂线，垂足为P，此时线段最短，过点P作y轴的垂线，垂足为M．求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵点在直线上， ∴ ∴，                                 ∴                                 ∵点在直线上上， ∴ ∴．                                 （2）过点A作直线的垂线，垂足为P，此时线段最短，过点P作y轴的垂线，垂足为M．                  ∴， 由直线知，时， 时， ∴点，点                     ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴                                 由直线知，当时，， 即直线与y轴交点， ∴ ∴， ∴，                         ∴，                                 ∴．                            ∴ 等边三角形的证明题型02 8．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，点为延长线上一点，点为延长线上一点，且，，的延长线交于，，求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定等知识点，先由三角形的外角的性质得出，进而可得，得出，最后由，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】证明：，， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 为等边三角形． 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，△ABC中，∠A<60°，AB=AC，D是△ABC外一点，∠ACD=∠ABD=60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】延长至，使，连接，，可得是等边三角形，即可求得，可得，即可求得，可得即可求解． 【详解】． 证明：如图，延长至，使，连接，． 是等腰三角形． ·， 是等边三角形． ，． ， ． ． ， ． ． 即． ． ． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，本题求证是解题的关键． 10．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键； （1）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）过点D作，交的延长线于点，由等边三角形的性质得，，再利用所对直角边是斜边的一半得出，最后由三角形面积公式即可求解； 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ，， ， ， 的面积， 的面积为； 11．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由等边三角形的性质可得，再结合可得，易证可得，再根据等边三角形的性质可得，即；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵交于点，是等边三角形， ∴，即 ∴四边形的周长为 ． 12．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，，且，连接，， (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，若，求出的面积是多少？ 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)4 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论成立； ②利用“边角边”证明，从而可证明结论正确； （2）利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得． 【详解】（1）证明：①如图1，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； ②， ， ，， ， ； （2）解：如图2，设与交于点N，连接， ， ， ，， 设，则， ， ， ， 在中，有， 解得：， ， ， 是的角平分线，也是的中垂线． ，， 边上的高为， ． 直角三角形的证明题型03 13．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，为边上的高． (1)若，求证：是直角三角形； (2)若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握两个定理的条件和结论是解题的关键． （1）分别在和中利用勾股定理，求出和，再求出，利用勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，则，利用勾股定理建立等式求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，，， ， ∴是直角三角形 （2）解：设，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中， ，， ∴，即， 解得：， ∴，， 在中， ， ∴， ∴． 14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，D为上一点，E为延长线上一点，且．    (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）延长交于点，由已知可根据“”证明，得，所以，则； （2）作于点，由角平分线的性质得，再证明，则，求得． 【详解】（1）证明：延长交于点， ，为上一点，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：作于点，则， 平分，，，且， ， ，， ， ， ， ， 的长是．    【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 15．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，D是的外角平分线上的一点，． (1)求证：； (2)若是等腰直角三角形，，，，与交于点F，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角： （1）过点作于点，作于点，首先根据角平分线的性质定理证明，再利用“”证明，即可证明结论； （2）首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质证明，进而可证明． 【详解】（1）证明：如下图，过点作于点，作于点， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∴. 16．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）问题背景：在中，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)的面积=______；边上的高=______． (2)在图2中画，三边的长分别为、、 ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 【答案】(1)， (2)画图见解析；①是直角三角形，理由见解析；② 【分析】本题考查勾股定理的应用和勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． （1）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积，根据等积法即可求得边上的高； （2）①根据题意即可画出图形，勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形；②利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：； 设边上的高为h， 则， ∵ ∴ 故答案为：， （2）解：①画图如下：即为所求；    由图可知：，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ②． 角平分线与垂直平分线的证明题型04 17．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【详解】（1）作，垂足为点    平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2），（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 18．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．    (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形的内角和定理可得，最后利用三角形的外角性质即可解答． （2）根据已知可得，再用线段的和差关系，以及等量代换可得，求出，再利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为，， ∴，，即， ∴， ∴在直角中，由勾股定理得，． 19．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点为上一点，若是的角平分线，求的长．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解答的关键．先利用勾股定理求得,再根据角平分线的性质定理得到，进而证明得到，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过D作于H，则，    ∵，，， ∴,则， ∵是的角平分线，，， ∴，又， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得， 解得． 20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，平分于点E，点F在上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．根据角平分线的性质，可得，再证明，即可求证． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知中，BE平分∠ABC，且BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D． （1）求证：∠BEC＝∠BAF； （2）判断的形状并说明理由． （3）若CD＝2，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AFC是等腰三角形，理由见解析；（3）4 【分析】（1）证明△BEC≌△BAF便可得结论； （2）过F作FG⊥BA，与BA的延长线交于点G，证明△CDF≌△AGF，便可得出结论； （3）设BA＝BE＝x，证明△BFD≌△BFG，用x表示BD，进而表示BF，再由线段和差求得结果． 【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABF， 在△BEC和△BAF中， ， ∴△BEC≌△BAF（SAS）， ∴∠BEC＝∠BAF； （2）△AFC是等腰三角形． 证明：过F作FG⊥BA，与BA的延长线交于点G，如图， ∵BA＝BE，BC＝BF，∠ABF＝∠CBF， ∴∠AEB＝∠BCF， ∵∠BEC＝∠BAF， ∴∠GAF＝∠AEB＝∠BCF， ∵BF平分∠ABC，FD⊥BC，FG⊥BA， ∴FD＝FG， 在△CDF和△AGF中， ， ∴△CDF≌△AGF（AAS）， ∴FC＝FA， ∴△ACF是等腰三角形； （3）设AB＝BE＝x， ∵△CDF≌△AGF，CD＝2， ∴CD＝AG＝2， ∴BG＝BA+AG＝x+2， 在Rt△BFD和Rt△BFG中， ， ∴△BFD≌△BFG（HL）， ∴BD＝BG＝x+2， ∴BF＝BC＝BD+CD＝x+4， ∴EF＝BF﹣BE＝x+4﹣x＝4． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，关键在于证明三角形全等． 22．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，在中．D，E分别是边上的动点，连接，，且，交于点F． (1)若，为 的角平分线． ①求的度数． ②求证： (2)如图2．若求的度数． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①由角平分线的定义及三角形内角和即可求解； ②在上截取，连接；首先证明，易得，从而得，利用证明，得，从而可证得结论成立； （2）在上截取，连接；先证明，得，，则有，从而有；利用三角形外角的性质即可得的度数． 【详解】（1）解：①∵，为 的角平分线， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图1，在上截取，连接； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，在上截取，连接； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形外角性质与三角形内角和等知识，构造适当辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 手拉手模型题型05 23．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．如图， 和． 互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、点E均在 外， 连接、交于点 M， 连接， 求证：平分 ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键． 过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的对应高相等得，根据角平分线的判定定理证明结论即可． 【详解】解：证明：如图，过点A作于G，于H， 则， 和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点， ，，， ， ， 在和中，            ， ，                              ，， 平分． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）如图1，A、D、B三点在同一直线上，为等腰直角三角形，试判断的关系并证明你的结论； （2）如图2，若绕顶点D旋转一任意角度后得到图形2，则（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，解此题的关键是根据得到． （1）根据等腰直角三角形性质得出，根据推出即可得出，再证明即可得出结论 ； （2）根据等腰直角三角形性质得出，求出根据推出，即可推出答案． 【详解】解：（1）， 证明：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵在△ADO和△CDB中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 所以，， （2）解：AO=BC，AO⊥BC仍成立， 理由是：设与相交于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，与均为等边三角形，点A，O，D在同一条直线上，连接，，与所在直线交点为E． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题深究】 （2）猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在与中，，，，若，，与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，关键是利用三角形的内角和外角找出找出所求角的关系． （1）用证明即可． （2）利用全等可得，，可得出的度数． （3）仿造（1）证明，可得，再利用三角形内角和等于，可得出角的关系． 【详解】（1）证明：与均为等边三角形， ，，， ， ， ． （2）解：． 由（1）知， ． 点，，在同一条直线上， ， ， ． （3）解：． ，，， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， ． 26．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）以的边，为腰分别向外作等腰直角，，，，，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，若，，，过点作直线于点，交线段于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，利用全等三角形的性质得到是解答的关键． （1）先证明是等边三角形，得到，利用周角定义求得，再证得，由等腰三角形的性质求解即可； （2）连接，，交点为O，设与的交点为G，证明得，利用三角形的内角和定理求得，然后利用勾股定得到即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：连接，，交点为O，设与的交点为G， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵，，， ∴，， 又， ∴， 则， ∴． 三角形的证明与动点问题题型06 27．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 若，如图，    ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 若，如图，    则在中，， 解得：； 若，如图，    则，解得： ∴当为等腰三角形时，的值为或或； 28．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，是等边三角形，边长为，点、分别是边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，分别沿边、运动，设运动时间为，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数； (2)连接，当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)秒或秒 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质， （1）根据等边三角形的性质得和，根据运动得，即可得，得到，根据三角形的外角的性质解答即可； （2）设点P，Q运动x秒时，则，，分和两种情况，根据含角的直角三角形性质计算即可． 【详解】（1）的大小不发生变化，理由如下， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ∴． ∴， ∴ 则 （2）设点P，Q运动x秒时，是直角三角形， 则，， ①当时， ∵， ∴，即，解得，； ②当时， ∵， ∴，即，解得； 故当t为秒或秒时，是直角三角形． 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 航海问题与三角形的证明题型07 30．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口P出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里． (1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于Q、R处（图1），且相距30海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口P离开经过两个小时后位于点C处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到PA海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 【答案】(1)乙船沿南偏东20°方向航行，理由见解析； (2)他能在14分钟内到海岸线，理由见解析． 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答． （1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）作于D，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，（海里）， （海里）， 在中， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴乙船沿南偏东方向航行； （2）解：过点C作于D， 由题知，则，（海里）， ∴（海里）， ∴（海里）， （海里）， ， 所以他能在14分钟内到海岸线． 尺规作图题型08 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，两条公路之间有两个小区A、B，为了方便市民购物，政府决定修建一个超市，问超市建在什么位置能使两个小区到超市路程一样长，并且超市到两条公路距离也相等．请用尺规作图，并保留作图痕迹． 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线，根据题意，得到超市应建在的交平分线和线段的中垂线的交点上，作图即可． 【详解】解：如图，点即为超市所建位置： 32．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）尺规作图，已知直线l及其两侧两点A，B如图：    在直线上求做一点Q，使直线l平分，保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图，作垂线，作线段，角平分线，垂直平分线的性质，过点B作直线l的垂线m交直线l于点E，延长到点C，截取，连接并延长交直线l于点Q，连接，则直线l平分． 【详解】解：过点B作直线l的垂线m交直线l于点E，延长到点C，截取，连接并延长交直线l于点Q，连接，则直线l平分． 如图，点Q即为所求    33．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，在一个池塘旁有一段笔直小路（B，C为小路两端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：，，米，池塘的平面示意图如图2所示． (1)在图2中完成尺规作图： 求作：，使得，交于点H．（不写作法，只保留作图痕迹） (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理． （1）以点B为圆心，的长为半径，画弧，交于点D，再分别以点D，点A为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q，连接并延长交于点H，即为所求； （2）根据（1）中，结合，得到，由，得到，推出，利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ，即， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形的证明 题型概览 题型01等腰三角形的证明 题型02等边三角形的证明 题型03直角三角形的证明 题型04角平分线与垂直平分线的证明 题型05手拉手模型 题型06三角形的证明与动点问题 题型07航海问题与三角形的证明 题型08尺规作图 等腰三角形的证明题型01 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点是中边上一点，点是线段上一点，且，．求证：． 3．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图， 中，，，，， 点F 是与的交点，点M 是的中点，过点 A 作 交 延长线于点 H． (1)试判断与 的数量关系并说明理由； (2)求证：． 4．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当时， ①如图2．连接，当，求的长； ②若，直接写出的长． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 6．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形或等腰三角形． 问题解决：请你根据上面的分析过程，添加适当辅助线，选择用构造全等三角形和构造等腰三角形两种方法中的一个方法，证明． 方法运用：如图②，点B是的中点，于点B．请判断线段与之间的大小关系，并说明理由．    7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 【基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 等边三角形的证明题型02 8．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，点为延长线上一点，点为延长线上一点，且，，的延长线交于，，求证：为等边三角形． 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，△ABC中，∠A<60°，AB=AC，D是△ABC外一点，∠ACD=∠ABD=60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明． 10．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 11．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 12．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，，且，连接，， (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，若，求出的面积是多少？ 直角三角形的证明题型03 13．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，为边上的高． (1)若，求证：是直角三角形； (2)若，请直接写出的长． 14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，D为上一点，E为延长线上一点，且．    (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 15．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，D是的外角平分线上的一点，． (1)求证：； (2)若是等腰直角三角形，，，，与交于点F，求的度数． 16．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）问题背景：在中，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)的面积=______；边上的高=______． (2)在图2中画，三边的长分别为、、 ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 角平分线与垂直平分线的证明题型04 17．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 18．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．    (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求长． 19．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点为上一点，若是的角平分线，求的长．    20．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，平分于点E，点F在上，，求证：． 21．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知中，BE平分∠ABC，且BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D． （1）求证：∠BEC＝∠BAF； （2）判断的形状并说明理由． （3）若CD＝2，求EF的长． 22．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，在中．D，E分别是边上的动点，连接，，且，交于点F． (1)若，为 的角平分线． ①求的度数． ②求证： (2)如图2．若求的度数． 手拉手模型题型05 23．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．如图， 和． 互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、点E均在 外， 连接、交于点 M， 连接， 求证：平分 ． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）如图1，A、D、B三点在同一直线上，为等腰直角三角形，试判断的关系并证明你的结论； （2）如图2，若绕顶点D旋转一任意角度后得到图形2，则（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 25．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，与均为等边三角形，点A，O，D在同一条直线上，连接，，与所在直线交点为E． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题深究】 （2）猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在与中，，，，若，，与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 26．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）以的边，为腰分别向外作等腰直角，，，，，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，若，，，过点作直线于点，交线段于点，求的长． 三角形的证明与动点问题题型06 27．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值． 28．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，是等边三角形，边长为，点、分别是边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，分别沿边、运动，设运动时间为，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数； (2)连接，当为何值时，为直角三角形？ 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 航海问题与三角形的证明题型07 30．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口P出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里． (1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于Q、R处（图1），且相距30海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口P离开经过两个小时后位于点C处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到PA海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 尺规作图题型08 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，两条公路之间有两个小区A、B，为了方便市民购物，政府决定修建一个超市，问超市建在什么位置能使两个小区到超市路程一样长，并且超市到两条公路距离也相等．请用尺规作图，并保留作图痕迹． 32．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）尺规作图，已知直线l及其两侧两点A，B如图：    在直线上求做一点Q，使直线l平分，保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法 33．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，在一个池塘旁有一段笔直小路（B，C为小路两端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：，，米，池塘的平面示意图如图2所示． (1)在图2中完成尺规作图： 求作：，使得，交于点H．（不写作法，只保留作图痕迹） (2)求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$