第10章 二元一次方程组（期中复习检测卷）-2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期中复习培优检测（2024.新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期中复习培优检测（新教材） 第10章 二元一次方程组 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（2分）（2024春•万州区校级期中）《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2分）（2024春•鼓楼区校级期中）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（2分）（2024春•莱芜区期中）我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A． B． C． D． 4．（2分）（2024春•来宾期中）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 5．（2分）（2024春•信都区期中）用加减法解方程组，下列解法正确的是（　　） A．①×2+②×3消去y B．①×3﹣②×2消去y C．①×3+②×2消去x D．①×2+②×3消去x 6．（2分）（2021春•镇海区校级期中）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　） A．4000 千米 B．3750 千米 C．4250 千米 D．3250 千米 7．（2分）（2024春•沿河县期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则y； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 8．（2分）（2023春•南漳县期中）已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解； ②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数； ③x，y都为自然数的解有4对； ④若2x+y＝8，则a＝2． 正确的有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2分）（2021春•滨江区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y．则； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（2分）（2021春•萧山区期中）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2024春•泌阳县期中）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　 cm． 12．（2分）（2024春•北京期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克．依据题意，可列方程组为 　 　 ． 13．（2分）（2024春•渝北区校级期中）已知关于x，y的方程值与关于x，y的方程组的解相同，则m+n的值为 　 　 ． 14．（2分）（2024春•通辽期中）练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔，正好用去14元．如果设水性笔的单价为x元，练习本单价为y元，那么所列方程组为 　 　 ． 15．（2分）（2024春•张店区校级期中）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为 　 　 ． 16．（2分）（2022春•东湖区校级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有x两，每只燕有y两，则可列方程组为　 　 ． 17．（2分）（2024春•锦江区校级月考）已知2x+y＝0，x﹣y＝3，则（x+y）2006＝　 　 ． 18．（2分）（2018春•滨州期中）若x时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则a﹣2b＝　 　 ． 19．（2分）（2015秋•高密市期末）已知方程组中，x，y的值相等，则n＝　 　 ． 20．（2分）（2023春•冷水滩区期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2024春•桑植县期中）解方程组： （1）； （2）． 22．（6分）（2024春•平南县期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，x＝2y+1③ 第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y＝5 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小强解方程组用的方法是 　 　 消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小强解方程组的过程，从第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ； 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 23．（8分）（2024春•番禺区校级期中）小明和小亮两人各带20元钱同时到一家文具店购买同一型号的中性笔和笔记本，这种中性笔每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.2元．小明要买3支中性笔和4本笔记本，需花费19元；小亮要买7支中性笔和3本笔记本，需花费19元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支中性笔的价格； （2）小明和小亮都还想再买一件单价为1.5元的小工艺品，他们利用所带的钱，能否做到既买全了想要的文具，又都能买到一件小工艺品？请通过计算说明． 24．（8分）（2024春•濮阳期中）阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5 ③ 把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得，x＝4， 所以方程组的解为． 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组． 25．（8分）（2019春•沂源县期中）某公园的门票价格如下表： 购票人数 1﹣50人 51﹣100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到50人，二（2）班的人数有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？ 26．（8分）（2024春•秦安县期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　 　 张，正方形铁片 　 　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 27．（8分）（2024春•张店区期中）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 28．（8分）（2024春•泌阳县期中）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 　 　 张，B型板材 　 　 张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期中复习培优检测（新教材） 第10章 二元一次方程组 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B A B D D C C 1．（2分）（2024春•万州区校级期中）《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意列方程组即可． 【规范解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 由题意得：， 故选：A． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意建立等量关系是关键． 2．（2分）（2024春•鼓楼区校级期中）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可． 【规范解答】解：由题意得： ， 故选：B． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 3．（2分）（2024春•莱芜区期中）我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可得等量关系：①7枚黄金的重量＝9枚白银的重量；②（8枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+6枚黄金的重量）＝12两，根据等量关系列出方程即可． 【规范解答】解：由题意得：． 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象从二元一次方程组的知识，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 4．（2分）（2024春•来宾期中）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 【思路点拨】观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【规范解答】解：， 由①得：x ③， 把③代入②得：， 去分母得：24﹣9y﹣10y＝10， 解得：y， 由③得：x． 则合作中出现错误的同学为丙． 由24﹣9y﹣10y＝5解得：y＝1， ∴合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是：甲、乙、丁， 故选：B． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5．（2分）（2024春•信都区期中）用加减法解方程组，下列解法正确的是（　　） A．①×2+②×3消去y B．①×3﹣②×2消去y C．①×3+②×2消去x D．①×2+②×3消去x 【思路点拨】根据加减消元法解二元一次方程组逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A、①×2+②×3，能消去y，故A选项正确，符合题意； B、①×3﹣②×2，不能消去y，故B选项不正确，不符合题意； C、①×3+②×2，不能消去x，故C选项不正确，不符合题意； D、①×2+②×3，不能消去x，故D选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法，用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 6．（2分）（2021春•镇海区校级期中）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　） A．4000 千米 B．3750 千米 C．4250 千米 D．3250 千米 【思路点拨】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k， 则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为， 又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km， 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程， ， 两式相加，得， 则 x+y＝3750（千米）． 故选：B． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 7．（2分）（2024春•沿河县期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则y； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【思路点拨】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a， ①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可， ②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案， ③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可， ④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系， 【规范解答】解：关于x，y的二元一次方程组， ①+②得，2x+2y＝4+2a， 即：x+y＝2+a， （1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0， ∴a＝﹣2，故①正确， （2）②原方程组的解满足x+y＝2+a， 当a＝1时，x+y＝3， 而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6， 因此②不正确， （3）方程组，解得， ∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得， x﹣y＝3（4﹣x﹣3y）， 即；y 因此④是正确的， 故选：D． 【考点评析】考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键． 8．（2分）（2023春•南漳县期中）已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解； ②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数； ③x，y都为自然数的解有4对； ④若2x+y＝8，则a＝2． 正确的有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y＝2a+1即可求解； ②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解； ③根据试值法求二元一次方程x+y＝3的自然数解即可得结论； ④根据整体代入的方法即可求解． 【规范解答】解：①将a＝1代入原方程组，得 解得 将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右两边， 左边＝3，右边＝3， 当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解； ②解原方程组，得 ∴x+y＝3， 无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数； ③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3 ∴x、y为自然数的解有，，，． ④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8， 解得a＝2． 故选：D． 【考点评析】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解． 9．（2分）（2021春•滨江区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y．则； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a， ①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可， ②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案， ③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可， ④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系， 【规范解答】解：关于x，y的二元一次方程组， ①+②得， 2x+2y＝4+2a， 即x+y＝2+a， ①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0， ∴a＝﹣2，故①正确； ②原方程组的解满足x+y＝2+a， 当a＝1时，x+y＝3， 而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6， 因此②不正确； ③方程组， 解得， ∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3， 因此③是正确的； ④方程组， 由方程①得，a＝4﹣x﹣3y， 代入方程②得， x﹣y＝3（4﹣x﹣3y）， ∴y， 因此④是正确的． 故选：C． 【考点评析】此题考查二元一次方程组的解法和应用，正确地解出方程组的解是解决问题的关键． 10．（2分）（2021春•萧山区期中）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意①+②得x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【规范解答】解：①+②得， x+my+mx﹣y＝9+m x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0 x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0 根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关， 解得 所以这个公共解为 故选：C． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2024春•泌阳县期中）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　56　 cm． 【思路点拨】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【规范解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm， 由题意得， 解得， 则n个纸杯叠放在一起时的高度为：（n﹣1）x+y＝n﹣1+7＝（n+6）cm， 当n＝50时，其高度为：50+6＝56（cm）． 故答案为：56． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键． 12．（2分）（2024春•北京期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克．依据题意，可列方程组为 　　 ． 【思路点拨】结合一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克，可列二元一次方程组即可完成解答． 【规范解答】解：由题意得：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．（2分）（2024春•渝北区校级期中）已知关于x，y的方程值与关于x，y的方程组的解相同，则m+n的值为 　﹣5　 ． 【思路点拨】首先解方程组，即可求得方程组的解，然后把方程组的解代入含有m，n的两个方程，即可求解出m，n的值，最后计算m+n值即可． 【规范解答】解：解方程组， 得， 把代入方程mx+5y＝4得m+5＝4， 解得m＝﹣1， 把代入方程5x+ny＝1得5+n＝1， 解得n＝﹣4， ∴m+n＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【考点评析】本题主要考查了方程组的解的定义，首先求得方程组的解是解题的关键． 14．（2分）（2024春•通辽期中）练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔，正好用去14元．如果设水性笔的单价为x元，练习本单价为y元，那么所列方程组为 　　 ． 【思路点拨】根据“练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：依题意得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．（2分）（2024春•张店区校级期中）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为 　　 ． 【思路点拨】此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组． 【规范解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组：， 解得：． 故答案为：． 【考点评析】此题是一道材料分析题，主要考查了二元一次方程组的应用，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组． 16．（2分）（2022春•东湖区校级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有x两，每只燕有y两，则可列方程组为　　 ． 【思路点拨】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【规范解答】解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，． 故答案为． 【考点评析】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 17．（2分）（2024春•锦江区校级月考）已知2x+y＝0，x﹣y＝3，则（x+y）2006＝　1　 ． 【思路点拨】由题意可得方程组，然后求解． 【规范解答】解：由题意得， （1）+（2）得：3x＝3， 所以x＝1， 代入（1）得：2+y＝0， 所以y＝﹣2， 所以（x+y）2006＝（1﹣2）2006＝（﹣1）2006＝1． 【考点评析】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的代入消元法和加减消元法． 负数的偶次幂为正数． 18．（2分）（2018春•滨州期中）若x时，关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为倒数，则a﹣2b＝　11　 ． 【思路点拨】把x，y的值代入方程组中，得到关于a，b的方程组，求解即可． 【规范解答】解：由于x、y互为倒数，x，则y＝2， 代入二元一次方程组， 得， 解得a＝10，b， 则a﹣2b＝11． 故本题答案为：11． 【考点评析】本题的实质是解三元一次方程组，解答此题还要熟悉倒数的概念． 19．（2分）（2015秋•高密市期末）已知方程组中，x，y的值相等，则n＝　1　 ． 【思路点拨】根据x、y的值相等，利用第二个方程求出x的值，然后代入第一个方程求解即可． 【规范解答】解：由解得， ∴5x﹣4y＝5﹣4＝1． 故答案为1． 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，根据x、y的值相等利用第二个方程求出x的值是解题的关键． 20．（2分）（2023春•冷水滩区期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 　　 ． 【思路点拨】根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可． 【规范解答】解：将是代入， 得， 方程组转化为： 则， 解得． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是整体和转化思想的运用． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2024春•桑植县期中）解方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）运用加减消元法解出x的值，再运用代入消元法解出y的值，即可作答； （2）先去分母，再运用代入消元法解出y的值，即可作答． 【规范解答】解：（1）因为， 所以②+①×2，得11x＝66， 解得x＝6， 把x＝6代入①，得18+4y＝16， 解得， 所以方程组的解为； （2）因为， 所以整理①得3x﹣3+2y+2＝6，即3x+2y＝7， 所以整理②得x＝4﹣y， 把x＝4﹣y代入3x+2y＝7， 得3×（4﹣y）+2y＝7， 解得y＝5， 把y＝5代入x＝4﹣y， 解得x＝﹣1， 所以方程组的解为． 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键． 22．（6分）（2024春•平南县期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，x＝2y+1③ 第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y＝5 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小强解方程组用的方法是 　代入　 消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小强解方程组的过程，从第 　二　 步开始出现错误，错误的原因是 　整体代入未添加括号　 ； 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【思路点拨】任务一：观察小强的解法，找出解方程组的方法即可； 任务二：观察小强解的过程，找出出错的步骤即可； 任务三：写出正确的解方程组过程即可． 【规范解答】解：任务一：小强解方程组用的方法是代入法； 故答案为：代入； 任务二：小强解方程组的过程，从第二步出现错误，错误的原因是整体代入未添加括号； 故答案为：二，整体代入未添加括号； 任务三：正确的解答过程：， 解：由①得x＝2y+1③， 将③代入②得2（2y+1）+2y＝5， 解得：y， 把y代入③得：x＝21， 解得：x＝2， ∴原方程组的解为：． 【考点评析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 23．（8分）（2024春•番禺区校级期中）小明和小亮两人各带20元钱同时到一家文具店购买同一型号的中性笔和笔记本，这种中性笔每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.2元．小明要买3支中性笔和4本笔记本，需花费19元；小亮要买7支中性笔和3本笔记本，需花费19元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支中性笔的价格； （2）小明和小亮都还想再买一件单价为1.5元的小工艺品，他们利用所带的钱，能否做到既买全了想要的文具，又都能买到一件小工艺品？请通过计算说明． 【思路点拨】（1）设单独购买一支中性笔的价格是x元，每本笔记本的单价是y元，依题意：小明要买3支中性笔和4本笔记本，需花费19元；小亮要买7支中性笔和3本笔记本，需花费19元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）若两人各自购买，则要买到想买的文具，小亮要花费19元，小明花费19元，则小明和小亮将无法再买一件小工艺品，若两人合在一起买文具，则买文具所需费用为36元，然后由40﹣36＝4（元），1.5×2＝3（元），即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设单独购买一支中性笔的价格是x元，笔记本的单价是y元， 依题意得：， 解得：， 答：单独购买一支中性笔的价格是1元，笔记本的单价是4元． （2）若两人各自购买，则要买到想买的文具，小亮要花费19元，小明花费19元， ∵小明和小亮每人有19元， ∴小明和小亮将无法再买一件小工艺品， 若两人合在一起买文具，则买文具所需费用为：（1﹣0.2）×（3+7）+4×（4+3）＝36（元）， ∵两人共有20+20＝40（元），40﹣36＝4（元），1.5×2＝3（元），4﹣3＝1（元）， ∴两人应该合在一起买文具，才能既买到要买的文具又都能买到一件小工艺品． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 24．（8分）（2024春•濮阳期中）阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5 ③ 把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得，x＝4， 所以方程组的解为． 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组． 【思路点拨】方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出x的值，进而求出y的值，得到方程组的解． 【规范解答】解： 将方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19． 将方程①代入③，得3×5+2y＝19．y＝2 把y＝2代入①得 x＝3 ∴方程组的解为． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 25．（8分）（2019春•沂源县期中）某公园的门票价格如下表： 购票人数 1﹣50人 51﹣100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到50人，二（2）班的人数有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？ 【思路点拨】此题可以设二（1）班有x人，二（2）班有y人．根据共有104人和共付1240元列方程组求解；再进一步根据共有104人，每人按100元以上的票价，即9元．计算出共付的钱数和1240进行比较． 【规范解答】解：设二（1）班有x人，二（2）班有y人 则： 解得： 节省钱数为1240﹣104×9＝304元． 答：两个班各有48人和56人，学生联合起来购票能省304元． 【考点评析】此题要注意理解各个人数段对应的票价． 26．（8分）（2024春•秦安县期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　 张，正方形铁片 　3　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【思路点拨】（1）一个竖式长方体铁容器需要4个长方形铁皮和1个正方形铁皮；一个横式长方体铁容器需要3个长方形铁皮和2个正方形铁皮； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得：①两种容器共需长方形铁皮2014张；②两种容器共需正方形铁皮1176张，根据等量关系列出方程组即可； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，由铁板的总数量及所需长方形铁片的数量为正方形铁皮的2倍，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，取其整数部分再将剩余铁板按一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片处理，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：． ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 【考点评析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 27．（8分）（2024春•张店区期中）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【思路点拨】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积； （2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝10cm，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝15cm．根据这两个等量关系可列出方程组； （3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【规范解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴xy＝10×6＝60． 故每个小长方形的面积为60； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm， 则，解得， 则12x+y＝12×1+8＝20． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm． （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得 ， 解得， ∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64． 故答案为：64． 【考点评析】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 28．（8分）（2024春•泌阳县期中）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 　64　 张，B型板材 　38　 张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值． 【思路点拨】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中a与b的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4， 所以两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生B型板材为：2×4＝8， 所以两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张）， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个， 则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（2x+2y）个， 所以， 解得． 【考点评析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$